离散数学-二元关系与运算-专业数学教材
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《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
4-5 二元关系与函数 离散数学 教学课件
f ：R→Z, f (x)= x 满射, 但不单射, 例如 f (1.5)=f (1.2)=1.
f ：R→R, f (x)=2x+1 满射、单射、双射, 因为它是单调并且ranf =R.
f ：R+→R +, f (x)=x /(x2+1) 有极大值f (1)=1/2. 该函数既不单射也不满射.
当A1=A时，称f (A1)=f (A)=ran f 是函数的像。
注意：函数值 f(x)∈B, 而像 f [A1]B. 例：设f：{1,2,3}→{a,b}，
f={1,a,2,a,3,b}，A1={1,2}， 试求A1在f 下的像f (A1)和函数f 的像f (A)。 解：
f (A1)={f (x) |xA1} ={f (1), f (2)}
f (A)={f (x) |xA}
={f (1), f (2), f (3)}
={a}
={a,b}
函数的性质——满射
定义 设 f ：X→Y, （1）若ranf = Y, 则称 f ：X→Y是满射的.
X
Y
x1
y1
x2
x3
y2
满射(到上映射)
X
Y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
到内法：直线方程
解1： 令 f：[0,1]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/4
解2： 令 f ：[1, 0]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/2=-(x-2)/4
构造从A到B的双射函数（续）
三、A 与自然数集合之间构造双射
方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始 按照次序与自然数对应
f(x)
f ：R→R, f (x)=2x+1 满射、单射、双射, 因为它是单调并且ranf =R.
f ：R+→R +, f (x)=x /(x2+1) 有极大值f (1)=1/2. 该函数既不单射也不满射.
当A1=A时，称f (A1)=f (A)=ran f 是函数的像。
注意：函数值 f(x)∈B, 而像 f [A1]B. 例：设f：{1,2,3}→{a,b}，
f={1,a,2,a,3,b}，A1={1,2}， 试求A1在f 下的像f (A1)和函数f 的像f (A)。 解：
f (A1)={f (x) |xA1} ={f (1), f (2)}
f (A)={f (x) |xA}
={f (1), f (2), f (3)}
={a}
={a,b}
函数的性质——满射
定义 设 f ：X→Y, （1）若ranf = Y, 则称 f ：X→Y是满射的.
X
Y
x1
y1
x2
x3
y2
满射(到上映射)
X
Y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
到内法：直线方程
解1： 令 f：[0,1]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/4
解2： 令 f ：[1, 0]→[1/4,1/2]
f (x)=-x/4+1/2=-(x-2)/4
构造从A到B的双射函数（续）
三、A 与自然数集合之间构造双射
方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始 按照次序与自然数对应
f(x)
mathchap44离散数学二元关系
基本的集合运算
庄伯金
bjzhuang@
16
关系的运算规律
定理1：设F是任意关系，则
(F-1)-1=F domF-1=ranF, ranF-1=domF
定理2：设F、G和H是任意的关系，则
(F∘G)∘H=F∘(G∘H) (F∘G)-1=G-1∘F-1
定理3：设R为A上的关系，则
庄伯金
bjzhuang@
9
常见关系
小于等于关系：
LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y}，其中A⊆R
整除关系：
DB={<x,y>|x,y∈B∧x整除y}，其中B⊆Z*
包含关系：
R⊆={<x,y>|x,y∈A∧x⊆y}，其中A为集合族
例：B={a,b}，A=P(B)，求R⊆。
庄伯金
bjzhuang@
8
二元关系的概念
有限集合上的关系总数也是有限的
|A|=m，|B|=n，则|A×B|=mn，所以，A到B上的关系共有2mn种。
A上的特殊关系
空关系：A×A的空集 全域关系：EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A； 恒等关系：IA={<x,x>| x∈A}。
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
子集的笛卡儿积仍为子集
A⊆C∧B⊆D⇒A×B⊆C×D
庄伯金
bjzhuang@
5
笛卡儿积
例：A={1,2}，求P(A)×A。
15
关系的运算
限制：设R为二元关系，A为集合，R在A上的限制记作 R↾A，其中R↾A={<x,y>|<x,y>∈R∧x∈A}。 R↾A的值域 称为A在R下的像，记作R[A]，其中R[A]=ran(R↾A)。
庄伯金
bjzhuang@
16
关系的运算规律
定理1：设F是任意关系，则
(F-1)-1=F domF-1=ranF, ranF-1=domF
定理2：设F、G和H是任意的关系，则
(F∘G)∘H=F∘(G∘H) (F∘G)-1=G-1∘F-1
定理3：设R为A上的关系，则
庄伯金
bjzhuang@
9
常见关系
小于等于关系：
LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y}，其中A⊆R
整除关系：
DB={<x,y>|x,y∈B∧x整除y}，其中B⊆Z*
包含关系：
R⊆={<x,y>|x,y∈A∧x⊆y}，其中A为集合族
例：B={a,b}，A=P(B)，求R⊆。
庄伯金
bjzhuang@
8
二元关系的概念
有限集合上的关系总数也是有限的
|A|=m，|B|=n，则|A×B|=mn，所以，A到B上的关系共有2mn种。
A上的特殊关系
空关系：A×A的空集 全域关系：EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A； 恒等关系：IA={<x,x>| x∈A}。
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
子集的笛卡儿积仍为子集
A⊆C∧B⊆D⇒A×B⊆C×D
庄伯金
bjzhuang@
5
笛卡儿积
例：A={1,2}，求P(A)×A。
15
关系的运算
限制：设R为二元关系，A为集合，R在A上的限制记作 R↾A，其中R↾A={<x,y>|<x,y>∈R∧x∈A}。 R↾A的值域 称为A在R下的像，记作R[A]，其中R[A]=ran(R↾A)。
离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)
VS
详细描述
关系的对称差运算可以用符号表示为 R△S，其中 R 和 S 是两个关系。它包括 属于 R 但不属于 S，以及属于 S 但不属 于 R 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R△S 中，那么 (a, b) 或者只属于 R，或者只属 于 S。
04
CATALOGUE
关系的闭包
闭包的定义
1 2
关系的交运算可以用符号表示为 R ∩ S，其中 R 和 S 是两个关系 。它包括同时属于 R 和 S 的所有 有序对。如果 (a, b) 在 R ∩ S 中 ，那么 (a, b) 同时是 R 和 S 的差是一种集合差集操作，它从第一个 关系中去除与第二个关系共有的元素。
中可以推导出的新事实。
数据完整性
03
在数据库设计中，闭包的概念用于确保数据的完整性和准确性
，防止出现冗余和不一致的情况。
05
CATALOGUE
关系的类型
函数关系
总结词
函数关系是一种特殊的二元关系，它满足每 个自变量都有唯一的因变量与之对应。
详细描述
在函数关系中，对于定义域中的每一个元素 ，在值域中都有唯一一个元素与之对应。这 种关系具有明确性、确定性和无重复性。常 见的函数关系有数学函数、映射函数等。
离散数学ch2.二元 关系(5、6、7节)
contents
目录
• 引言 • 二元关系的性质 • 关系的运算 • 关系的闭包 • 关系的类型 • 关系在数据库中的应用 • 关系在人工智能中的应用
01
CATALOGUE
引言
定义与概念
定义
二元关系是集合论中的一个基本概念 ，它描述了两个元素之间的联系。
在设计关系型数据库时，需要考虑数据结构、数据完整性、数据冗余和数 据安全性等方面。
离散数学 第七章 二元关系
举例
A表示某大学所有学生的集合，B表示大学开设的 表示某大学所有学生的集合， 表示大学开设的 表示某大学所有学生的集合 所有课程的集合， 所有课程的集合， 则A×B可以用来表示该校学生选课的所有可能情 × 可以用来表示该校学生选课的所有可能情 况。 是直角坐标系中x轴上的点集 令A是直角坐标系中 轴上的点集，B是直角坐标 是直角坐标系中 轴上的点集， 是直角坐标 系中y轴上的点集 轴上的点集， 系中 轴上的点集， 于是A× 就和平面点集一一对应 就和平面点集一一对应。 于是 ×B就和平面点集一一对应。
17
其它常用的关系
小于或等于关系： 小于或等于关系：LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y}，其中 A⊆R。 ∈ ∧ ， ⊆ 。 整除关系： 整除y}， 整除关系：DB={<x,y>|x,y∈B∧x整除 ，其中 B⊆Z* ∈ ∧ 整除 ⊆ Z*是非零整数集 包含关系： ⊆ 包含关系：R⊆＝{<x,y>|x,y∈A∧x⊆y}，其中 是集合族 ∈ ∧ ⊆ ，其中A是集合族
6
笛卡尔积举例
举例
设A={a,b}, B={0,1,2}，则 ， A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>} × B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>} ×
举例
设 A={ x | 0<x<2 } ,B={ y |0<y<1 },则 则 A × B={ <x,y>| 0<x<2且0<y<1 } 且 1 y
A表示某大学所有学生的集合，B表示大学开设的 表示某大学所有学生的集合， 表示大学开设的 表示某大学所有学生的集合 所有课程的集合， 所有课程的集合， 则A×B可以用来表示该校学生选课的所有可能情 × 可以用来表示该校学生选课的所有可能情 况。 是直角坐标系中x轴上的点集 令A是直角坐标系中 轴上的点集，B是直角坐标 是直角坐标系中 轴上的点集， 是直角坐标 系中y轴上的点集 轴上的点集， 系中 轴上的点集， 于是A× 就和平面点集一一对应 就和平面点集一一对应。 于是 ×B就和平面点集一一对应。
17
其它常用的关系
小于或等于关系： 小于或等于关系：LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y}，其中 A⊆R。 ∈ ∧ ， ⊆ 。 整除关系： 整除y}， 整除关系：DB={<x,y>|x,y∈B∧x整除 ，其中 B⊆Z* ∈ ∧ 整除 ⊆ Z*是非零整数集 包含关系： ⊆ 包含关系：R⊆＝{<x,y>|x,y∈A∧x⊆y}，其中 是集合族 ∈ ∧ ⊆ ，其中A是集合族
6
笛卡尔积举例
举例
设A={a,b}, B={0,1,2}，则 ， A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>} × B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>} ×
举例
设 A={ x | 0<x<2 } ,B={ y |0<y<1 },则 则 A × B={ <x,y>| 0<x<2且0<y<1 } 且 1 y
离散数学第四章 - 二元关系和函数-4
哈斯图：
a, b
a
b
7
例3、画出 (A), R 的哈斯图，其中A 分别为
(2) A a,b,c
解：P(A) ,a,b,c,a,b, a, c ,b, c ,a, b, c
8
例3、画出 (A), R
(2) A a,b,c
解：哈斯图：
的哈斯图，其中A 分别为
a, b, c
a, b
a,c b,c
上确界——最小的上界 下确界——最大的下界
不一定存在， 若存在必唯一
18
例5、A a,b, c，偏序集 (A), R ， a,b,c
求 B的最大、小元，极大、小元，
上、下界，上、下确界。
a, b
a,c b,c
(1) B a,c,b,c
a
b c
解：B 的最大元：无，最小元：无， 极大元：a,b,c ，极小元：a,c，
则称 y为B的下界。
15
二、偏序集中极小元，极大元，最小元，
最大元，上界，下界，上确界，下确界。 2、上、下界，上、下确界。
定义：设 A, 为偏序集，B A ，
(3) 令 C y y为B的上界，称 C 中最小元
为B 的上确界(最小上界)。（记为lub)
(4) 令D y y为B的下界，称 D 中最大元
2
定义2：设 A, 是一偏序集合， x, y A,若x y或y x，则称x与y是可比的。
例1、偏序集合的常见例子。 整数集上的小于等于关系
A 的幂集( A)上的包含关系
集合 A 上的恒等关系
正整数集上的整除关系
Q, R
( A), R
A, I A
Z , R整除
3
2、哈斯图 (Hasse) 。（偏序集合的简化的关系图）
离散数学第四章-二元关系和函数
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
28
例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
28
例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
离散数学第四章 二元关系和函数
y, x
x, y R
LA 为 A 上小于等于关系， 例5、 A {2,3,6} ，
1 L 解： A 2, 2 , 3,3 , 3, 2 , 6, 2 , 6,3 , 6, 6
1 1 DA 为 A 上整除关系，分别求出 L 。 ， D A A
x, y
x, y A x y
第四章 二元关系和函数 第一节 二元关系及其运算 内容： 二元关系，关系图，关系矩阵，关系的运算 重点： (1)二元关系的定义及三种表示法，
(2) 一些特殊的二元关系。
（3）二元关系的逆、复合、幂运算
了解：关系的复合运算性质，矩阵法求幂运算
一、二元关系。 1、定义： (1) 若集合 R 为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ， 否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何子集都称作从 A 到 B 的关系， 特别，当 A B 时，称作 A 上关系。
则 A A n2 ，
A A 的子集共有 2 个，
n2
n 元集 A 上不同的关系共有 2 个。
n2
3、特殊的关系。 空关系 ，全域关系 EA ，恒等关系 I A 。 对任意集合 A ， 空关系 ， 全域关系 E A x, y | x A y A A A， 恒等关系 I A x, x | x A 。
一般：设 A {x1 , x2 ,
, xn }
1 xi Rx j M R (rij )nn ，其中 rij 0 xi Rx j
点( n 个顶点)
关系图表示
边(每个有序对对应一条有向弧)
二、逆关系，复合关系。 1、关系的逆。 (1) 定义：关系 R 的逆关系定义为
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公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或
者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打
印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的
领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不
仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召
开面对面会议、远程会议或在网上给观众展
示演示文稿。
Microsoft Office
PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格
式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等202 Nhomakorabea/4/4
16
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例4.4 设A={1,2,3,4}， R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}是A上的 关系，试写出R的关系矩阵并画出关系图：
2021/4/4
8
证明： 用第一种方法
对于任意的<x,y> A ( B∪C ) xAy(B∪C)
xA(yByC )
(xAyB)(xAyC)
<x, y>AB<x, y>AC <x, y>(AB)∪(AC) A(B∪C)=(AB)∪(AC)
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例4.2 设A={1,2}，求P(A)A
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6
(4) A(B∪C) = (AB)∪(AC) (对∪的分配律)
(B∪C)A = (BA)∪(CA)
(?)
A(B∩C) = (AB)∩(AC)
(?)
(B∩C)A = (BA)∩(C A)
(?)
我们证明：
A(B∪C) = (AB)∪(AC)
2021/4/4
7
证明思想
要证明两个集合相等，通常有两种方法：
记作：A B 符号化：A B = {<x,y> | xA y B}
2021/4/4
4
例4.1 设A={a,b}，B={0,1,2} ，求AB，BA 解：根据笛卡儿积的定义知
A B = {<a,0>, <a,1>, <a,2>, <b,0>, <b,1>, <b,2> }
B A = {<0, a>, <0, b>, <1,a>, <1,b>, <2,a>, <2,b>} 一般地：如果|A|=m，|B|=n，则 |AB|=|BA|=m n
10
3、二元关系的数学定义
二元关系：如果一个集合的元素都是二元有 序组，则这个集合称为一个二元 关系，记作：R 。
如果<x, y> R ，记作 x R y
如果<x, y> R ，记作 x R y
2021/4/4
11
从A到B的二元关系：设A，B为集合，A B的任 何子集所定义的二元关系叫做从 A到B的二元关系。
2021/4/4
1
§4.1 二元关系的概念
一、二元关系的概念
1. 二元有序组：由两个元素x和y按一定顺序 排成二元组，记作：<x，y> 。
如： 平面直角坐标系中点的坐标
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二元有序组的性质 (1) 当x y时，<x，y> <y，x> (2) <x，y> = <u，v>，当且仅当x = u，y = v
若A=B，叫做 A上的二元关系； 若|A|＝n，则|AA|＝n2。
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AA的所有子集有2 n 2 个。
就是说，A上有2 n 2个不同的二元 关系，其中包括空关系、全域 关系UA和恒等关系IA。
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例4.3 设A = {a,b}，写出P(A)上的包含关系R ：
解： P(A) = {,{a},{b}{a,b}} R = {<, >, < ,{a}>, <{,{b}>,<{a, b}>, <{a},{a}>,<{a},{a, b}>, <{b},{b}>, <{b},{a, b}>, <{a, b},{a, b}>}
解： P(A)A
= {，{1}，{2}，{1,2}} {1,2}
= {<,1>，<,2>，<{1},1>，<{1},2>，
<{2},1>，<{2},2>， <{1,2},1>，<{1,2},2>}
n阶笛卡儿积：
A1 A2 …An
= {(x1,x2,… xn) | x1A1x2A2 …xnAn}
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(1)、(2)说明有序组区别于集合
n元有序组：由n个元素x1，x2，…，xn， 按一定顺序排成的n元组，记 作：(x1，x2，…，xn) 。
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2. 一种新的集合运算 ––– 积运算 ： 设A、B为两集合，用A中元素为第一
元素，B中元素作为第二元素构成的二元有 序组的全体叫做A和B的笛卡儿积。
一是证两个集合相互包含； 二是利用已有的
集合运算的性质(算律和已证明过的公式)，仿
照代数恒等式的证明方法，一步步从左(右)边
推出右(左)边，或从左、右边分别推出同一个
集合式子。一般说来，最基本的集合相等关
系要用第一种证法，比较复杂的集合相等关
系用第二种方法更好，但第二种方法的使用
取决于我们对算律和常用公式的熟练程度。
解： 关系矩阵 ：
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1100 0011 0000 0100
关系图 ：
1
2
4
3
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§4.2 关系的运算
一、关系的定义域与值域
关系R的定义域： domR = {x | (y)<x, y>R} (即R中有序组的第一个元 素构成的集合)
是R的关系矩阵
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rn1
rn 2
rnn
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2. 关系图：
以V=A={x1, x2,…, xn} 为顶点集， 以E = {<xi, xj> | xiAxjAxiRxj}为有向 边集组成的有向图G = <V, E>
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Microsoft Office PowerPoint，是微软
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二、二元关系的表示方法
A上关系的表示法
1. 关系矩阵： 设A={x1, x2, …, xn)，R是A上的关系， 令：
1 rij =
0
若xi R xj 若xi R xj
(i, j = 1,2,…, n)
r11 r12 r1n
则 (rij)nxn = r21
r22
r2 n
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积运算的性质
(1) 若A，B中有一个空集，则笛卡儿积是空集， 即： B = A =
(2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA
(3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC)
因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中 的元素为< x, <y, z> > 。