八年级培优--动点型试题专项训练(二)
(完整)初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)(2)
初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC 上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CHC CQ =，可得5425258CQ =÷=． 所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展：如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =． 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1思路点拨：1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点． 2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 解答：（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=． 解得1211t =，2211t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t = ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535tt-=．解得258t=．如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，5t=．不存在∠ONM＝90°的可能．所以，当258t=或者5t=时，△MON为直角三角形．图4 图5考点伸展：在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．图6 图7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2) 因为OE＝2EB，所以223E Bx x==，243E By y==，E(2,4)．设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得5,2 4.bk b=⎧⎨+=⎩解得12k=-，5b=．所以直线DE的解析式为152y x=-+．(3) 由152y x=-+，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55．①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,52)，点N的坐标为(－5,52)．②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．由△NPO∽△DOF，得NP PO NODO OF DF==，即51055NP PO==．解得5NP=，25PO=．此时点N的坐标为(25,5)-．图3 图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5 图6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG 相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF，则有，即，解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t=；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON 2+EN 2=OE 2，即：62+（5﹣t ）2=（10﹣t ）2解得：t =3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t ，使得点B ′与点O 重合．考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在． 拓展练习：1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。
人教版八年级数学(初二)动点问题专项训练-最新
人教版八年级数学（初二）动点问题专项训练1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)．(1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC C PQBA MNC若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． 4、（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．5、（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。
2020-2021人教版语文八年级下册 专项训练卷(二)文学作品阅读
培优卷2020年人教版语文八年级下册专项训练卷（二）文学作品阅读一、阅读（一）阅读下面文章，回答问题。
草木结霜鲍尔吉·原野①草并不知道，秋天，它们要披上白霜的铠甲。
②草出生之后被称为青草，它们身穿绿衫在天涯奔跑。
草给黑色、红色和黄色的泥土打上绿印，绿是植物的命，是无处不在的生长。
天下没有黑草，就像没有绿色的煤炭。
只有绿才可以打通阳光的能量通道。
绿把阳光变成蛋白质，草们吃阳光，喝地下水，草的生活方式至简至净、至广大。
③草在绿里安家，绿色的脉络里有水渠和马路。
草的叶子既是肉身也是房子，自己住在自己身上，不假外求。
这一点比人强多了，自由从此诞生。
春天起，草一直生长。
它早上长还是夜里长？草什么时候都在长，如同听过“草活一秋”的咒语。
人的一生如果只活三个季节，他一定拼命生长，而不去打麻将喝酒看电视剧。
草所做的只是生长，它只会生长，那就一直生长。
生长很舒服，它觉出自己的腰拔高了。
阳光拢在叶子里，暖洋洋。
草不悲观。
悲观是干什么？是跟自己作对吗？大凡生长者都不悲观。
当你无选择地置身足以悲观的处境里面，先要剔除悲观。
我相信草在短短一生看到的东西比人一生看过的更多。
草看到天鹅绒的黑夜镶满银钻。
草看到雨水在空气中亦疾亦徐地跳舞。
草看到白粉沾满蝴蝶的翅膀。
草看到阳光从天边爬进自己脖子。
甲____________。
乙_________。
丙_________。
④秋天到了，草停止生长。
草长了一生也不过一巴掌高。
它们站立不动，一如等待判决。
它不知是谁、是什么不让它们继续生长，是立秋白露还是欧阳修的《秋声赋》？自然界，不生长就意味着凋亡。
但草不知道什么叫死，太阳照耀它，雨还在下，土地还有许多地方没长草。
草离开此世，世上似乎什么都没少，草没有草的遗产，没有草的车辆和文字。
只不过，没有草的土地露出了土地。
草站在秋天的驿站张望等待，这时候五谷丰登，果树挂满亮晶晶的水果取悦人类。
草在告别，一身之外一无所有，甚至发不出一声鸟鸣来辞行。
初二数学动点问题练习(含答案)
静态问题之蔡仲巾千创作创作时间：二零二一年六月三十日所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图1, 梯形ABCD 中, AD ∥ BC, ∠B=90°, AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动, 点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动, 如果P, Q 分别从A, C 同时动身, 设移动时间为t 秒. 当t=时, 四边形是平行四边形；6 当t=时, 四边形是等腰梯形. 82、如图2, 正方形ABCD 的边长为4, 点M 在边DC 上, 且DM=1, N 为对角线AC 上任意一点, 则DN+MN 的最小值为53、如图, 在Rt ABC △中, 9060ACB B ∠=∠=°，°, 2BC =．点O 是AC 的中点, 过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始, 绕点O 作逆时针旋转, 交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E , 设直线l 的旋转角为α．（1）①当α=度时, 四边形EDBC 是等腰梯形, 此时AD 的长为；,,（2, 并说明理由．解：（1）①30, 1；②60, 1.5；（2）当∠α=900时, 四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900, ∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中, ∠ACB=900, ∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC∴AO在Rt△AOD中, ∠A=300, ∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形,∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, 直线MN经过点C, 且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时, 求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, 求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时, 试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系, 并加以证明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠AC D=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°（备用图）CBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图3∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD, CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD, CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN旋转到图3的位置时, DE=BE-AD(或AD=BE-DE, BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE, 又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE, ∴AD=CE, CD=BE, ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上, 张老师出示了问题：如图1, 四边形ABCD是正方形, 点E是边BC且EF经过思考, 小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M, 连接ME, 则AM=EC,在此基础上, 同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2, 如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B, C外）的任意一点”, 其它条件不变, 那么结论“AE=EF”仍然成立, 你认为小颖的观点正确吗？如果正确, 写出证明过程；如果不正确, 请说明理由；（2）小华提出：如图3, 点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点, 其他条件不变, 结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确, 写出证明过程；如果不正确, 请说明理由．解：（1）正确．ASA ）．（2）正确．四边形ASA ）．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单元/秒的速度移动, 设P 的运动时间为t.求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °, 其他条件不变, 直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值7、如图1, , 过点ADFC GE B图1ADFC GE B图3ADFC GE B图2ADFG BN求：（1）求点（2,2）变？若不变,, 请说明理由；3）,等腰三角形？若存在, ,请说明理由解（1）如图1,, ∴在中,∴∴A DE FA DEBFC图4（备A DEBFC图5（备A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）（2如图2,cos30︒=中,PN的周长=PM在线段DC,恒为等边三角形．如图3,∵是等边三角形, ∴此时那时, 如图4, 这时此时,那时, 如图5, 则又图3A DEBFCPNM图4A DEBFCPMN图5A DEBFCMNGGRG图2A DEBFCPNMGH综上所述,48、如图,,(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动, 同时, 点Q 在线段CA 上由C点向A 点运动①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等, 经过1秒后,, 请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等, 当点Q 的运动速度为几多时,（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 动身, 点P 以原来的运动速度从点B 同时动身,, 求经过多长时间点P 与点Q解：（1,,,,又∵厘米, ∴厘米, ∴②又则∴点P , 点Q 运动的时间433BP t ==秒, ∴515443Q CQ v t===厘米/秒.（2）设经过x 秒后点P与点Q 第一次相遇, 由题意, 得1532104x x =+⨯, 解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+, ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇,∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．9、如图所示, 在菱形ABCD 中, AB =4, ∠BAD =120°, △AEF 为正三角形, 点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动, 且E 、F 不与B ．C ．D 重合．（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动, 总有BE =CF ； （2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时, 分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变动？如果不变, 求出这个定值；如果变动, 求出最年夜（或最小）值．【谜底】解：（1）证明：如图, 连接AC∵四边形ABCD 为菱形,∠BAD =120°,∠BAE +∠EAC =60°,∠FAC +∠EAC =60°,∴∠BAE =∠FAC .∵∠BAD =120°, ∴∠ABF =60°.∴△ABC 和△ACD 为等边三角形.∴∠ACF =60°, AC =AB .∴∠ABE =∠AFC .∴在△ABE 和△ACF 中, ∵∠BAE =∠FAC , AB =AC ,∠ABE =∠AFC ,∴△ABE ≌△ACF （ASA ）.∴BE =CF .（2）四边形AECF 的面积不变, △CEF 的面积发生变动.理由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF , 则S △ABE =S △ACF .∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC , 是定值. 作AH ⊥BC 于H 点, 则BH =2,22AECF ABC 11S S BC AH BC AB BH 4322∆==⋅⋅=⋅-=四形边.由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时, 边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变动而变动, 且当AE最短时, 正三角形AEF 的面积会最小,又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF , 则此时△CEF 的面积就会最年夜．∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF()()221432323332=-⋅⋅-=.∴△CEF 的面积的最年夜值是3.【考点】菱形的性质, 等边三角形的判定和性质, 全等三角形的判定和性质, 勾股定理, 垂直线段的性质.【分析】（1）先求证AB=AC, 进而求证△ABC、△ACD为等边三角形, 得∠ACF=60°, AC=AB, 从而求证△ABE≌△ACF, 即可求得BE=CF.（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF, 故根据S四边形AEC F=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△AB E=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值.当正三角形AEF的边AE与BC垂直时, 边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变动而变动, 且当AE最短时, 正三角形AEF的面积会最小, 根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF, 则△CEF的面积就会最年夜.10、如图, 在△AOB中, ∠AOB=90°, OA=OB=6, C为OB上一点,射线CD⊥OB交AB于点D, OC=2．点P从点A动身以每秒个单元长度的速度沿AB方向运动, 点Q从点C动身以每秒2个单元长度的速度沿CD方向运动, P、Q两点同时动身, 当点P到达到点B时停止运动, 点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E, PF⊥OB于点F, 获得矩形PEOF．以点Q为直角极点向下作等腰直角三角形QMN, 斜边MN∥OB, 且MN=QC．设运动时间为t（单元：秒）．（1）求t=1时FC的长度．（2）求MN=PF时t的值．（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部份时, 求重叠（阴影）部份图形面积S与t的函数关系式．（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．相似形综合题．考点：分（1）根据等腰直角三角形, 可得, OF=EP=t, 再将t=1代入求出FC的长度；创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 析： （2）根据MN=PF, 可得关于t 的方程6﹣t=2t, 解方程即可求解； （3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；求出重叠（阴影）部份图形面积S 与t 的函数关系式；（4）分M 在OE 上；N 在PF 上两种情况讨论求得△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值．解答： 解：（1）根据题意, △AOB 、△AEP 都是等腰直角三角形．∵, OF=EP=t,∴当t=1时, FC=1；（2）∵AP=t, AE=t, PF=OE=6﹣tMN=QC=2t∴6﹣t=2t解得t=2．故当t=2时, MN=PF ；（3）当1≤t≤2时, S=2t 2﹣4t+2；当2＜t≤时, S=﹣t 2+30t ﹣32；当＜t≤3时, S=﹣2t 2+6t ；（4）△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t=2或．点评： 考查了相似形综合题, , 函数思想, 方程思想, 分类思想的运用, 有一定的难度．创作时间：二零二一年六月三十日。
初二数学动点问题练习(含答案)
动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC=23. ∴AO=12AC=3.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.OE CDAαlOCA（备用图）CBAED图1NMA BCDEMACBEDNM图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF Q 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=Q °，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． Q 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD FC G E B 图1 AD FG B 图3A D FC GE B 图2A D F C GB M A D FC G B N7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC∥，E是AB的中点，过点E作EF BC∥交CD于点F．46AB BC==，，60B=︒∠.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF⊥交BC于点M，过M作MN AB∥交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x=.①当点N在线段AD上时（如图2），PMN△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC⊥于点G．∵E为AB的中点，∴122BE AB==．在Rt EBG△中，60B=︒∠，∴30BEG=︒∠．∴22112132BG BE EG===-=，．A DEBFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=g ． 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=g ． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CM NGGRG图1A D EBF CG 图2A D EBFCPNMG H①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。
11.专题勾股定理中的动点问题专练(二)原卷版2020-2021学年八年级数学上册专题培优训练
专题02 勾股定理中的动点问题专练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径为()A. 2√1+π2B. 2√1+4π2C. 4√1+π2D. 2√4+π22.如图，等边△ABC的边AB=8，D是AB上一点，BD=3，P是AC边上一动点，将△ADP沿直线DP折叠，A的对应点为A′，则CA′的长度最小值是()A. 4√3−6B. 2C. 4√3−2√6D. 33.如图，在Rt△ABC中，BC=AC=4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，使A落在A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为()A. 2√2或4B. 2√2或4√2C. 2或4D. 4或4√2−44.如图，在8×8的网格中(小正方形的边长为1)，△ABC和△BDE的位置如图，且顶点都在网格点上，连接AD，点M、N分别是BD、AD上的动点，连接AM，MN，则AM+MN的最小值为()C. 2√10D. 6A. 4√2B. 8√1055.如图，在△ABC中，AB=AC=15，且△ABC的面积为90，D是线段AB上的动点(包含端点)，若线段CD的长为正整数．．．，则点D的个数共有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是()A. 14.8B. 15C. 15.2D. 16二、填空题7.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O，A，B，M均在格点上，P为线段OM上的一个动点．(I)OM的长等于______；(Ⅱ)当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，AC=5cm，动点P从点B出发沿射线BC以lcm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值为______．9.如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17.点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B′为直角三角形时，DE的长为________________10.如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=3，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF=CE，则BE+CF的最小值为______．11.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8.P是BC上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE=_________．三、解答题12.如图所示，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm，P、Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．(1)则BC=____cm；(2)当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？此时CQ=____；(3)当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．13.如图，∠ABC=90∘，AB=6cm，AD=24cm，BC+CD=34cm，点C是直线l上一动点，请你探索当点C离点B多远时，▵ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？14.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间(直接写答案)．。
八年级数学动点题目专项练习
11.锐角△ABC中，BC＝6, 两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x＝，公共部分面积y最大，y最大值 ＝,
的图象相交于B（－1，5）、C（ ，d）两点．点P（m，n）是一次函数 的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）设 ，过点P作x轴的平行线与函数 的图象相交于点D．试问△PAD的面积是
否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设 ，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值
（2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。
（3）由m≠n得到 。分 和 两种情况求解。
22.（2012山东济南9分）如图，已知双曲线 ，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四边形PEQF是平行四边形。
∴DE= EF。
∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE= AB。
又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3。
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
12.（2012江苏泰州12分）如图，已知一次函数 的图象与x轴相交于点A，与反比例函数
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
初二数学动点问题练习(含答案)
动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC∴AO=12AC.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（备用图）CBED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD FC G E B 图1 AD FG B 图3A D FC GE B 图2A D F C GB M A D FC G B N7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC∥，E是AB的中点，过点E作EF BC∥交CD于点F．46AB BC==，，60B=︒∠.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF⊥交BC于点M，过M作MN AB∥交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x=.①当点N在线段AD上时（如图2），P M N△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC⊥于点G．∵E为AB的中点，∴122BE AB==．在Rt EBG△中，60B=︒∠，∴30BEG=︒∠．∴112BG BE EG====，A DEBFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CM NGGRG图1A D EBF CG 图2A D EBFCPNMG H①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。
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例7：问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 1
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
2
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
例8：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D。
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
例9：已知等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,点E在AC边的延长线上,且∠DEC=45°,点M、N分别是DE、AE的中点,连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边的延长线上时,如图1所示,易证MF+FN=
1
BE
2
(1)当点D在CB边上时,如图2所示,上述结论是否成立?若成立,请给与证明；若不成立,请写出你的猜想,并说明理由．
(2)当点D在BC边的延长线上时,如图3所示,请直接写出你的结论．（不需要证明）
例10：如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．
（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．
（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
例11：如图1,在正方形ABCD中,BD是对角线,点E在BD上,△BEG是等腰直角三角形,且∠BEG=90°,点F是DG的中点,连结EF与CF．
（1）求证：EF=CF；
（2）求证：EF⊥CF；
（3）如图2,若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°,其他条件不变,请判断△CEF的形状,并证明你的结论．
例12：已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．
（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需证明）；
（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与
∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．。