数学动点问题练习(含答案)
初二数学动点问题练习(含答案)
梯形中，//，/90°,141821,点P从A开始沿边以1秒的速度移动，点Q从
B以2秒的速度移动，如果P,Q分别从A,C同时出发，设移动时间为t
D，丄于E
M
C
点o的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D•过点C作
•2.•••.又••四边形是平行四边形
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发,
三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
•四边形是菱形
4、在△中
MD C
AD
1
42 . 3.•2AC3.在△中，/3。0,...2
图2N
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△◎△:②+:
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：;
⑶当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证
明•
解：(1［①•••//90°•••//90°•••//90°
解：（1［①30,1:②60,1.5；
（2）当/%=900时，四边形是菱形•
•••/a =Z90°,.・..•••，•••四边形是平行四边形 在△中，/900,/6002,•••/ 30°.
在边上，且1,N为对角线上任意一点，则的最小值
.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.
动中求静•
•••//•/•△BA
(2)•••///90°又T
.•.△也厶•，•
(3)当旋转到图3的位置时，(或，等)
中考数学动点问题(含答案)
中考数学之动点问题一、选择题：1. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停顿，设点P运动的路程为*，△ABP的面积为y，如果y关于*的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是〔〕A、10B、16C、18D、20二、填空题：1. 如上右图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________〔把你认为正确的序号都填上〕。
三、解答题：1．〔2008年大连〕如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、C H于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线A B于点F．设PD的长为*，EF的长为y．⑴求PM的长(用*表示)；⑵求y与*的函数关系式及自变量*的取值范围(图13为备用图)；⑶当点E在线段AH上时，求*的取值范围(图14为备用图)．2.〔2008年福建宁德〕如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时0＜x＜，△DCQ的8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为*秒()8面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．⑴求y1与*的函数关系，并在图2中画出y1的图象；⑵如图2，y2的图象是抛物线的一局部，其顶点坐标是〔4，12〕，求点P的速度及AC的长；⑶在图2中，点G是*轴正半轴上一点〔0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于*轴，分别交y1、y2于点E、F．①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜*＜６时，求线段EF长的最大值．3.〔2008年白银〕如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为〔4，3〕．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿*轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t 〔秒〕． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t=秒或秒时，MN=21AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？假设有，求出最大值；假设没有，要说明理由．参考答案一、选择 A二、填空：〔1〕〔2〕〔3〕〔5〕 三、解答： 2、解：⑴∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21，CD ＝3，CQ ＝*， ∴x y 231=． 图象如下图．⑵方法一：CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －*k ，CQ ＝*， ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．∵抛物线顶点坐标是〔4，12〕，∴12444212=⋅+⋅-k k ． 解得23=k ．图1C Q → B图2则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米． 方法二：观察图象知，当*=4时，△PCQ 面积为12． 此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得 12244=⨯k ．解得23=k ． 则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2． ∵图象过〔0，0〕，〔4，12〕，〔8，0〕，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，， ∴x x y 64322+-=． ①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －*k ，CQ ＝*，∴kx kx y 42122+-=． ②比拟①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．⑶①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差〔或△PDQ 面积〕． ②由⑵得 x x y 64322+-=.〔方法二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=〕∵EF ＝y 2－y 1， ∴EF ＝x x x x x 29432364322+-=-+-， ∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，427=EF 最大． 3、解：(1)〔4，0〕，〔0，3〕； 2分 (2) 2，6； 4分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ．由△OMN ∽△OAC ，得OCONOA OM =， ∴ ON =t 43，S=283t ． 6分 当4＜t ＜8时，如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4． 方法一：由△DAM ∽△AOC ，可得AM =)4(43-t ，∴ BM =6-t 43． 7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 34=8-t ，∴ CN =t-4． 8分S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-)4(23-t -21〔8-t 〕〔6-t 43〕-)4(23-t =t t 3832+-． ·························· 10分方法二：易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-4，BN =8-t ．7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BM =BN 43=6-t 43，∴ AM =)4(43-t ．8分 以下同方法一． (4) 有最大值．方法一： 当0＜t ≤4时，∵ 抛物线S=283t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值2483⨯=6； 11分当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t 3832+-的开口向下，它的顶点是〔4，6〕，∴ S ＜6． 综上，当t=4时，S 有最大值6． 12分 方法二：∵ S=22304833488t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩，≤，∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如下图． 11分显然，当t=4时，S有最大值6． 12分说明：只有当第〔3〕问解答正确时，第〔4〕问只答复"有最大值〞无其它步骤，可给1分；否则，不给分．。
初二数学动点问题练习(含答案)
动态问题之袁州冬雪创作所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.处理这类问题的关键是动中求静,矫捷运用有关数学知识处理问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形连系思想 转化思想1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开端沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开端沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒. 当t=时，四边形是平行四边形；6 当t=时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为53、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开端，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α=度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，断定四边形EDBC 是否为菱形，并O E CDAα lOCA（备用图）说明来由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300. ∴AB =4,AC∴AO在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 颠末点C ，且AD ⊥MN于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB②∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BCCBAE D图1 N MA B CDE M N图2ACB EDNM图3∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BCEF 行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．颠末思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，毗连ME ，则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那末结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明来由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明来由．解：（1）正确．ADF C GE B图1ASA ）．（2）正确．ASA ）．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的间隔为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t.求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t 值7、如图1求：（1间隔；（2ADFC GE B图3ADFGB 图2ADFC G E BN23明来由解（1）如图1，于点∵为的中点，（2不发生改变．图1A DEBFCGA DEBFC图4（备A DEBFC图5（备A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）如图2cos30︒=中，PN的周长=PM在线段DC等边三角形．3当时，如图4548中点．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF CMN GGRG图2A D E BF CPNMG H(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，颠末1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B P与点Q解：（1∴②∵，∴，又∵，，则/秒.（2）设颠末秒后点与点第一次相遇，由题意，得上相遇，∴颠末803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不管E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF 的面积是否发生变更？如果不变，求出这个定值；如果变更，求出最大（或最小）值．【答案】解：（1）证明：如图，毗连AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC.∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°.∴△ABC和△ACD为等边三角形.∴∠ACF=60°，AC=AB.∴∠ABE=∠AFC.∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变更.来由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF .∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值.作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，22AECF ABC 11S S BC AH BC AB BH 4322∆==⋅⋅=⋅-=四形边.由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变更而变更，且当AE最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．∴S △CEF =S四边形AECF ﹣S △AEF()()221432323332=-⋅⋅-=.∴△CEF 的面积的最大值是3.【考点】菱形的性质，等边三角形的断定和性质，全等三角形的断定和性质，勾股定理，垂直线段的性质.【分析】（1）先求证AB =AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠ACF =60°，AC =AB ，从而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE =CF .（2）由△ABE ≌△ACF 可得S △ABE =S △ACF ，故根据S四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △AB E =S △ABC 即可得四边形AECF 的面积是定值.当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．△AEF 的面积会随着AE的变更而变更，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大.10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t=1时FC的长度．（2）求MN=PF时t的值．（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．考点：相似形综合题．分析：（1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；（2）根据MN=PF，可得关于t的方程6﹣t=2t，解方程即可求解；（3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式；（4）分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．解答：解：（1）根据题意，△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．∵，OF=EP=t，∴当t=1时，；（2）∵AP=t，AE=t，PF=OE=6﹣t∴6﹣t=2t解得t=2．故当t=2时，MN=PF；（3）当1≤t≤2时，S=2t2﹣4t+2；当2＜t≤时，S=﹣t2+30t﹣32；当＜t≤3时，S=﹣2t2+6t；（4）△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或．点评：程思想，分类思想的运用，有一定的难度．。
初中八年级上册数学动点问题试卷附答案
初中八年级上册数学动点问题试卷附答案
一、选择题
1. 一辆汽车以每小时60千米的速度向东行驶，经过2小时后改变方向，以每小时40千米的速度向北行驶，求其位移。
A. 40千米
B. 80千米
C. 100千米
D. 120千米
答案：D. 120千米
2. 一辆自行车向前行驶30分钟后，记下此时的位置。
然后车辆停下来，待30分钟后，以相同的时间和速度往后倒退，到达原点。
求此自行车的位移。
A. 0千米
B. 5千米
C. 10千米
D. 15千米
答案：A. 0千米
二、填空题
1. 一个物体从A点出发，以每秒2米的速度向东行驶10秒，
然后改变方向，以每秒3米的速度向南行驶15秒，最后以每秒4
米的速度向西行驶20秒。
求物体的位移为______米。
答案：-20
2. 一架飞机以每秒200米的速度向东飞行30秒，然后改变方向，以每秒300米的速度向南飞行40秒，最后以每秒400米的速
度向西飞行50秒。
求飞机的位移为______米。
答案：-4000
三、解答题
1. 一个人从原点出发，以每小时5千米的速度向西行驶1小时，然后改变方向，以每小时8千米的速度向南行驶2小时，最后以每
小时10千米的速度向东行驶3小时。
求此人的位移和位移方向。
答案：位移为-23千米，位移方向为东南方向。
2. 一个物体以每秒10米的速度向北行驶30秒，然后改变方向，以每秒15米的速度向东行驶40秒，最后以每秒20米的速度向南
行驶50秒。
求物体的位移和位移方向。
答案：位移为20米，位移方向为南方。
初二数学动点问题练习(含答案)
动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.【数学思想：分类思想数形结合思想转化思想】1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC∴AO=12AC.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（备用图）CBED图1NMA BCDEMACBEDNM图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD FC G E B 图1 AD FG B 图3A D FC GE B 图2A D F C GB M A D FC G B N7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC∥，E是AB的中点，过点E作EF BC∥交CD于点F．46AB BC==，，60B=︒∠.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF⊥交BC于点M，过M作MN AB∥交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x=.①当点N在线段AD上时（如图2），P M N△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC⊥于点G．∵E为AB的中点，∴122BE AB==．在Rt EBG△中，60B=︒∠，∴30BEG=︒∠．∴112BG BE EG====，A DEBFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CM NGGRG图1A D EBF CG 图2A D EBFCPNMG H①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。
初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版
动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．B3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α． （1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．A C BQ ED图16OE CBDA αlOCA （备用图）7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.C B ADE BFC图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D E BF C图1图2A DEBF C PN M图3A D EBFCPN M（第25题）9如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF∠=o，且EF交正方形外角DCG∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF△≌△，所以AE EF=．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOB OA OB∠===°，，．如图，A DFGB图1A DFGB图2A DFGEB图3将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．12如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD边上图（1）A BCDEF M N一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2） AB C D EF M12..如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD 角形ABC 中，角C=90度，角CBA=30度，BC=20根号3。
初一数学动点问题20题及答案
初一数学动点问题20题及答案数轴上动点问题1．已知：如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣8，动点P从点A出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点M为线段BC中点，点N为线段BP中点．设运动时间为t秒．（1）线段AC的长为__________个单位长度；点M表示的数为；（2）当t=5时，求线段MN的长度；（3）在整个运动过程中，求线段MN的长度．（用含t的式子表示）．2．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是x，﹣6，4．（1）线段BC的长为_________，线段BC的中点D所表示的数是；（2）若AC=8，求x的值；（3）在数轴上有两个动点P，Q，P的速度为1个单位长度/秒，Q的速度为2个单位/秒，点P，Q分别从点B，C同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后P，Q两点相距4个单位？3．动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动，且A、B的速度之比是1：4（速度单位：长度单位/秒），3秒后，A、B两点相距15个单位长度．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置．（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？4．如图A、B两点在数轴上分别表示﹣10和20，动点P从点A出发以10个单位每秒的速度向右运动，动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度出向右运动．设运动时间为t．（1）当点P运动到B点时，求出t的值；（2）当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出此时P点对应的数？（3）在此运动过程中，若P、Q相距10个单位，直接写出运动时间t？5．已知a，b满足（a+2）2+|b﹣1|=0，请回答下列问题：（1）a=_______，b=_______；（2）a，b在数轴上对应的点分别为A，B，在所给的数轴上标出点A，点B；（3）若甲、乙两个动点分别从A，B两点同时出发沿x轴正方向运动，已知甲的速度为每秒2个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度，更多好题请进入：437600809，请问经过多少秒甲追上乙？6．在数轴上有A、B两动点，点A起始位置表示数为﹣3，点B起始位置表示数为12，点A的速度为1单位长度/秒，点B的运动速度是点A速度的二倍．（1）若点A、B同时沿数轴向左运动，多少秒后，点B与点A相距6单位长度？（2）若点A、点B同时沿数轴向左运动，是否有一个时刻，表示数﹣3的点是线段AB 的中点？如果有，求出运动时间；如果没有，说明理由．7．如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H 同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？8．如图，数轴上的点A，B对应的数分别为﹣10，5．动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AB的长；（2）直接用含t的式子分别表示数轴上的点P，Q对应的数；（3）当PQ=AB时，求t的值．9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是你数轴上一点，且AB=10，动点P从点O 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B所表示的数______；当t=3时，OP=_______．（2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R 同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？10．如图．点A、点C是数轴上的两点，0是原点，0A=6，5AO=3CO．（1）写出数轴上点A、点C表示的数；（2）点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，问运动多少秒后，这两个动点到原点O的距离存在2倍关系？11．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上的动点，其对应的数为x．（1）数轴上是否存在点P，使P到点A、点B的之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（2）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动．问，它们同时出发几分钟时点P到点A、点B的距离相等？12．A、B两个动点在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如下．（1）根据题意，填写下列表格；（2）A、B两点能否相遇？如果相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，请说明理由；（3）A、B两点能否相距18个单位长度？如果能，求相距18个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．13．如图1，点A，B是在数轴上对应的数字分别为﹣12和4，动点P和Q分别从A，B 两点同时出发向右运动，点P的速度是5个单位/秒，点Q的速度是2个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）AB=．（2）当点P在线段BQ上时（如图2）：①BP=______________（用含t的代数式表示）；②当P点为BQ中点时，求t的值．。
初二数学动点问题练习(含答案)
动态问题之五兆芳芳创作所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关头是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关头:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q辨别从A，C同时出发，设移动时间为t秒.当t=时，四边形是平行四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时ADOE CDAαlOCA（备用图）的长为；（2解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300. ∴AB =4,AC∴AO在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEBCBAE D图1 N MA B CDE M N图2ACB EDNM图3②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方EF形，点E是边BC经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC在此根本上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改成“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的不雅点正确吗？如果正确，写出证明进程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的不雅点正确吗？如果正确，写出证明进程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．ASA）．（2）正确．ASA）．6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB标的目的以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△PAB为等腰三角形的t值；（2）△PAB为直角三角形的t值；（3）若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值7、如图1A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2A DFGBN求：（1距离；（223明理由解（1）如图1，于点∵为的中点，∴（2图1A DEBFCGA DEBFC图4（备A DEBFC图5（备A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）不产生改动．如图2cos30︒=中，PN的周长=PM在线段DC等边三角形．3当时，如图45图3A DEBFCPNM图4A DEBFCPMN图5A DEBFCMNGGRG图2A DEBFCPNMGH48中点．(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B点P与点Q解：（1又米，米，∴②∵，∴，又∵，，则/秒.（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．9、如图所示，在菱形ABCD 中，AB =4，∠BAD =120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 辨别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．（1）证明不管E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE =CF ； （2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，辨别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否产生变更？如果不变，求出这个定值；如果变更，求出最大（或最小）值．【答案】解：（1）证明：如图，连接AC∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，∠BAE +∠EAC =60°，∠FAC +∠EAC =60°，∴∠BAE =∠FAC .∵∠BAD =120°，∴∠ABF =60°. ∴△ABC 和△ACD 为等边三角形.∴∠ACF =60°，AC =AB .∴∠ABE =∠AFC .∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE =∠FAC ，AB =AC ，∠ABE =∠AFC ，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）.∴BE =CF .（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积产生变更.理由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF . ∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值.作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，22AECF ABC 11S S BC AH BC AB BH 4322∆==⋅⋅=⋅-=四形边.由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变更而变更，且当AE最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF()()221432323332=-⋅⋅-=.∴△CEF 的面积的最大值是3.【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质.【阐发】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF=60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，便可求得BE=CF.（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故按照S四边形F=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△AB E=S△ABC便可得四边形AECF的面积AEC是定值.当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF 的面积会随着AE的变更而变更，且当AE最短时，正三角形AEF 的面积会最小，按照S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大.10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB标的目的运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD标的目的运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA 于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t=1时FC的长度．（2）求MN=PF时t的值．（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．考点：相似形综合题．阐发：（1）按照等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；（2）按照MN=PF，可得关于t的方程6﹣t=2t，解方程便可求解；（3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式；（4）分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．解答：解：（1）按照题意，△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．∵，OF=EP=t，∴当t=1时，FC=1；（2）∵AP=t，AE=t，PF=OE=6﹣tMN=QC=2t∴6﹣t=2t解得t=2．故当t=2时，MN=PF；（3）当1≤t≤2时，S=2t2﹣4t+2；当2＜t≤时，S=﹣t2+30t﹣32；当＜t≤3时，S=﹣2t2+6t；（4）△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或．点评：程思想，分类思想的运用，有一定的难度．。
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动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想:分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形AＢCD中,AD∥BC，∠B=90°,AＢ=1４cｍ,AD=1８ｃm,BＣ＝2１cm,点P从Ａ开始沿AD边以１cm/秒的速度移动，点Ｑ从C开始沿CB向点Ｂ以２ｃm/秒的速度移动，如果P，Ｑ分别从A，C同时出发,设移动时间为t秒。
当ｔ= 时,四边形是平行四边形;6当ｔ=时,四边形是等腰梯形. 82、如图2,正方形ABＣD的边长为4,点M在边ＤC上,且DM=1,Ｎ为对角线AC上任意一点，则DN＋MN的最小值为 53、如图，在Rt ABC△中,9060ACB B∠=∠=°，°,2BC=．点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE AB∥交直线l于点E,设直线l的旋转角为α．(1）①当α=度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为;②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为;（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解:（１）①３0，1;②60,1．5;（2)当∠α=900时,四边形EＤBC是菱形.∵∠α=∠AＣB=900，∴BC/／ED．∵CＥ//AB, ∴四边形EＤＢC是平行四边形在Rt△AＢC中，∠AＣB＝9００，∠B＝６00，BC＝2, ∴∠A=300.∴AB＝4，ＡC=２3. ∴AO=12AC=3.在Rt△AOＤ中,∠A=300,∴AD＝2．∴ＢD=2. ∴BＤ＝BC. 又∵四边形EDＢC是平行四边形，∴四边形EDBＣ是菱形OE CDAαlOCA（备用图）４、在△ＡB Ｃ中,∠ACB=９0°，AC ＝BC ，直线M Ｎ经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，ＢＥ⊥MN 于Ｅ.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：①△ADC ≌△C ＥB;②DE=AD+BE ； (２)当直线ＭN 绕点C 旋转到图２的位置时，求证:DE=AD-BE ；(3)当直线M Ｎ绕点C 旋转到图３的位置时,试问DE 、AD 、B Ｅ具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．解:(1)① ∵∠ACD ＝∠ACB=９0° ∴∠CAD ＋∠ACD=90° ∴∠B ＣＥ+∠ＡCD=9０° ∴∠ＣAD=∠BC Ｅ ∵ＡC=BC ∴△A ＤC ≌△CEB② ∵△ＡＤC ≌△CE Ｂ ∴C Ｅ=AD,CD ＝ＢE ∴D Ｅ＝ＣE+ＣＤ＝AD+B Ｅ （２) ∵∠ADC=∠CEB ＝∠A ＣＢ=９0° ∴∠A ＣＤ=∠ＣＢＥ 又∵AC ＝ＢC ∴△AC Ｄ≌△CBE ∴CE=AD ，C Ｄ=ＢE ∴ＤE=C Ｅ-CD=AD －B Ｅ(３) 当M Ｎ旋转到图3的位置时,DE=ＢE-AD(或A Ｄ＝BE-D Ｅ，BE=AD ＋DE 等） ∵∠A ＤＣ=∠C ＥB=∠ACB ＝90° ∴∠ACD=∠C ＢE ， 又∵AC=ＢC,∴△ＡCD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=B Ｅ, ∴ＤＥ＝ＣD-CE=BE-AD.５、数学课上,张老师出示了问题：如图１,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=，且ＥF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点Ｆ，求证:AE =E Ｆ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点Ｍ,连接M Ｅ,则ＡＭ=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上,同学们作了进一步的研究：（1)小颖提出:如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ，C 外）的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由；(2）小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外）的任意一点，其他条件不变,结论“AE =E Ｆ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程;如果不正确,请说明理由． 解:(1)正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME . BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°. CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°,135ECF ∴∠=°. AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°,90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠. AME BCF ∴△≌△(A ＳA ）. AE EF ∴=.(2)正确．证明:在BA 的延长线上取一点N .使AN CE =，连接NE .BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形, AD BE ∴∥. DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠． ANE ECF ∴△≌△（A ＳA).AD FC G B 图1 AD FBA D FC GB 图2A D F C G EB M A D FGE BN C B AE D 图1 N M A B C D E M N 图2A CB E D N M 图3AE EF∴=．6、如图,射线ＭB上,ＭＢ=９,A是射线MB外一点，ＡB=５且A到射线ＭB的距离为3,动点P从M 沿射线MB方向以1个单位／秒的速度移动,设P的运动时间为t.求（1)△ＰAB为等腰三角形的t值;(2）△ＰＡＢ为直角三角形的t值;(3) 若AB＝5且∠AＢM＝45 °，其他条件不变,直接写出△PAＢ为直角三角形的t值7、在等腰梯形ＡBCD中，AD‖BC,E为AB的中点,过点E作EＦ‖ＢC交CD于点F．ＡB=4,BC=６, ∠Ｂ=6０°。
（1)求点Ｅ到ＢC的距离;（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作ＰM⊥EF交BC于点M，过M作MN‖ＡB交折线ＡDＣ于点N,连接PN,设EP=x①当点Ｎ在线段AD上时，△PMN的形状是否发生改变？若不变,求出△PMN的周长;若改变，请说明理由②当点Ｎ在线段ＤC上时,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的X的值,若不存在,请说明理由。
①②１°①②1°2°３°２° 3°8、如图,已知ABC △中，10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点.(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向Ｃ点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等，请说明理由; ②若点Ｑ的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等?(2)若点Ｑ以②中的运动速度从点Ｃ出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Ｑ第一次在ABC △的哪条边上相遇? 解:(1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米.又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△. ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，,∴点P ,点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米／秒。
(２）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒. ∴点P 共运动了803803⨯=厘米. ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，AQDB∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇.7、如图1,在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点,过点E 作EF BC ∥交CD 于点F .46AB BC ==，,60B =︒∠.求:(1)求点E 到BC 的距离;(２）点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ,设EP x =.①当点N 在线段AD 上时(如图2),PMN △的形状是否发生改变？若不变,求出PMN △的周长；若改变,请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3)，是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由解（1)如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．ﻩ ∵E 为AB 的中点, ∴122BE AB ==．在Rt EBG △中,60B =︒∠， ∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC（２）①当点N 在线段AD 上运动时,PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥．A D E BF CA D E BF C图4（备用）AD EBF C 图5（备用）A D E BF C图1 图2A D E BF C PNM图3A D EBF C PN M （第25题）∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==．如图2,过点P 作PH MN ⊥于H ,∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时,如图３，作PR MN ⊥于R ,则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形,∴3MC MN ==． 此时,6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5,30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合,PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述,当2x =或4或(5-时,PMN △为等腰三角形．图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CM NGGRG图2A D E BFCPNMG H。