上海硕彦教育二次函数应用(能力提高)附答案11
(完整版)二次函数应用题(含答案)整理版
(完整版)二次函数应用题(含答案)整理版题目1：某公司的销售额可以用二次函数$y=-2x^2+20x$来表示，其中$x$表示月份（从1开始），$y$表示对应月份的销售额。
求解下列问题：问题1：请计算公司第6个月的销售额。
解答：将$x=6$代入二次函数中，可得：$y=-2\times6^2+20\times6=-72+120=48$所以公司第6个月的销售额为48。
问题2：请问公司销售额最高的月份是哪个月？解答：二次函数$y=-2x^2+20x$是一个开口朝下的抛物线，最高点即为销售额最高的月份。
通过求导数，我们可以找到函数的最高点。
首先，求导得到一次函数$y'=-4x+20$，令$y'=0$，解方程可得$x=5$。
因此，公司销售额最高的月份是第5个月。
题目2：一架火箭从地面起飞后，高度$h$（以米为单位）随时间$t$（以秒为单位）变化的规律可以用二次函数$h=-5t^2+100t$表示。
求解下列问题：问题1：请问火箭多少秒后达到最大高度？解答：同样地，通过求导数，我们可以找到火箭高度的最高点。
将二次函数$h=-5t^2+100t$求导得到一次函数$h'=-10t+100$，令$h'=0$，解方程可得$t=10$。
因此，火箭在10秒后达到最大高度。
问题2：请计算火箭达到最大高度时的高度。
解答：将$t=10$代入二次函数中，可得：$h=-5\times10^2+100\times10=-500+1000=500$所以火箭达到最大高度时的高度为500米。
以上是对二次函数应用题的解答，希望能帮助到您。
部编数学九年级上册专题11二次函数的实际应用—喷水问题(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题11 二次函数的实际应用—喷水问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·和平期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）A．9m4B．19m8C．39m16D．45m16【答案】A【完整解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．∵该抛物线过点（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-34．∴y=-34（x-1）2+3．∵当x=0时，y=-34（0-1）2+3=-34+3=94，∴水管应长94 m．故答案为：A【分析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，可设顶点式为y=a（x-1）2+3，将（3，0）代入解析式中求出a值即得解析式，再求出x=0时的y值即可.2．（2分）（2021九上·长兴月考）学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（ ）A．﹣118B．118C．﹣116D．116【答案】C【完整解答】解：根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，OH＝6，B（6，16），Q（10，15），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+16，把Q（10，15）代入解析式得：15＝a（10﹣6）2+16，解得：a＝﹣116，故答案为：C.【分析】如图以GH 所在直线为x 轴，GH 的垂直平分线所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B 为抛物线顶点，共线的三点B 、D 、H 所在直线为抛物线的对称轴，然后写出顶点B 及Q 的坐标，利用顶点式求出抛物线解析式即可.3．（2分）（2021九上·青县月考）如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB ：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y=−12x 2+4x 来刻画，下列结论错误的是（ ） A ．山坡可以用正比例函数 12y x = 来刻画B ．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米C ．水柱落到斜面时距O 点的距离为7米D ．水柱距O 点水平距离超过4米呈下降趋势【答案】C【完整解答】解：A.∵山坡AB ：OB=1：2，∴斜坡可以用正比例函数y=12 x 刻画，不符合题意；B.当y=1.875时，即− 12x 2+4x=1.875，解得：x 1=0.5，x 2=7.5，∴若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米，不符合题意；C.解方程组 212142y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 得， 1100x y =⎧⎨=⎩ ， 22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，∴当小球落在斜坡上时，它离O 点的水平距离是7m ，符合题意；D.∵y=− 12 x 2+4x=- 12（x-4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，∴当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，不符合题意；故答案为：C ．【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
二次函数应用(能力提高)附答案.doc
二次函数应用（能力提高）一、选择题：1、二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ）（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）92、下列四个函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ） （A ）x y 2=（B ）()01>=x xy （C ）1+=x y （D ）()02>=x x y 3、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则 （ ） （A ） ac+1=b （B ） ab+1=c （C ）bc+1=a （D ）以上都不是4、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( )(A) 0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<15、如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-146、把二次函数23x y =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）（A ）()1232+-=x y （B ） ()1232-+=x y （C ） ()1232--=x y（D ）()1232++=x y7、(3)已知抛物线y=ax 2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )A.一、二、三象限B.一、二、四象限 C ．一、三、四象限D.一、二、三、四象限8、若0<b ，则二次函数12-+=bx x y 的图象的顶点在 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限9、已知二次函数222)(22b a x b a x y +++-= ，b a , 为常数，当y 达到最小值时，x 的值为 （ ） （A ）b a + （B ）2b a + （C ）ab 2- （D ）2ba - 10、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+c 的是（ ）二、填空题：C A y xO11、已知二次函数y ＝ax 2（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 。
二次函数提高拓展题(含答案)
图象写出y 2>y 1时，x 的取值范围 ________________ .三、解答题8.已知：如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A B 两点，其中A 点坐标为(-1 , 0), 点C(0, 5)，另抛物线经过点(1 , 8) , M 为它的顶点. (1)求抛物线的解析式；二次函数提高拓展题一、选择题1.如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a 丰0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x 轴于点 A(m, 0)和点B ,且m>4那么AB 的长是()A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m 2.已知函数y = (k — 3)X 2+2x + 1的图象与x 轴有交点，贝Uk 的取 是()A. k v 4 B . k <4 C . k v 4 且 k ^3D. k <4且 23值范围 3.若 X 1, X 2 (X 1<X 2)是方程(x-a ) (x-b ) =1 (a vb )的两个根，则实数 X 1, X 2, a , b 的大小关系为() A 、X 1V X 2v a vb B 、X 1V a v X 2v b C 、X 1 v a v b v X 2 D 、a v X 1V b vX 2 A. y = 4x 2 25 B . y 厶2 C . y 丄x 2 D. ^-x 2 5 25 5 4.如图，四边形 ABCD 中, Z BAD ：/ AC 住90°, AB=AD, AC=4BC ,设CD 的长为x ,四边形ABCD 勺 面积为y ,则y 与x 之间的函数关系式是( ) 5.如图，等腰梯形ABCD 勺底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B(4,2 ) , 一次函数 八kx —1的函数 积，关于x 的图象平分它的面 y = mx 2 - 3m k x 2m k 的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的 值为().1 1 A. 0B. - -C. — 1D. 0 或 或一1 2 2 ［中@国A *教&育出版 二、填空题 / 6. 如图所示，P 是边长为磊 向AB 作垂线PQ Q 为垂足」延长QP 与AC 的延长线 BP=x (0<x < 1), △ BPQ 与△ CPR 的面积之和为 y , x 的函数是 ________________________ . 7. 如图是二次函数yp ax 2+ bx + c 和一次函数y ?= ■^的 BC 边 上一点，从P交于R ,设 把y 表示为mx^ n 的图象，观察(2)求厶MCB 勺面积k < 4;②当k — 3 = 0时，y = 2x + 1,与x 轴有交点. 故选B.3 解答：解：T X 1 和 X 2 为方程的两根，•••（ x 「a ） （x 「b ） =1 且（X 2-a ）（ X 2-b ） =1, ■'■（ X 1-a ）和（X 1-b ）同号且（x 2-a ）和（X 2-b ）同号；t X 1V X 2,• （ X 1-a ）和（X 1-b ）同为负号而（X 2-a ）和（X 2-b ）同为正号，可得：X 1-a v 0且X 1-b v 0, X 1 v a 且 X 1V b ,• X 1 v a ,： X 2-a > 0 且 X 2-b > 0,二 X 2> a 且 X 2> b ,： X 2 > b , •••综上可知a , b , X 1, X 2的大小关系为：X 1 v a v b v X 2. 故选C. 4.B 5.D填空题9.如右图，抛物线y = _x 2 • 5x • n 经过点A(1, 0)，与y 轴交于点B. (1) 求抛物线的解析式；(2) P 是y 轴正半轴上一 点,「目PAB 是以AB 为腰的等腰三角形， 试求点P 的坐标.10知：在厶ABC 中, BO 20,高AD= 16,内接矩形EFGH 勺顶点E 、 F 在BC 上, G H 分别在AC AB 上,求内接矩形EFGH 勺最大面积。
最新推荐中考数学能力提高题 二次函数及答案
b c x1 x 2
x1 x2 2
x1 x2 2 4 x1 x2
b 2 4ac b 4c a a a a
·1·
最新推荐中考数学能力提高题 二次函数
【课标要求】 知识与技能目标 考点 课标要求 理解二次函数的意义 会用描点法画出二次函数的图 像 会确定抛物线开口方向、顶点坐 标和对称轴 通过对实际问题的分析确定二 次函数表达式 理解二次函数与一元二次方程 的关系 2 会根据抛物线 y=ax +bx+c (a≠ 0)的图像来确定 a、b、c 的符号 了解 理解 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ 掌握 灵活应 用
2
b 4ac b 2 . ，k 2a 4a 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口 向下； h a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x h .特别地， y 轴记作直线 x 0 . 4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么 抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
y kx n y ax 2 bx c
的解的数目来确定：①方程组有两组不
同的解时 l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点； ③方程组无解时 l 与 G 没有交点. （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交 点为 Ax1， 0 ，Bx 2， 0 ，由于 x1 、 x 2 是方程 ax 2 bx c 0 的两个根，故
二次函数应用答案
1【答案】B 2【答案】C 3【答案】A 4【答案】A5【答案】21 6【答案】3 7【答案】252或12.5 8【答案】不会 9【答案】15 10【答案】⑴a =4，b=3⑵① y=63832+-x x (0≤x ≤4) ②经过3秒后重叠部分的面积等于83平方厘米。
11【答案】【分析】⑴设法证明y 与x 这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y 关于x 的函数关系式;⑵将m 的值代入⑴中的函数关系式，配方化成项点式后求最值;⑶逆向思考，当△DEF 是等腰三角形，因为DE ⊥EF ，所以只能是EF =ED ，再由⑴可得Rt △BFE ≌Rt △CED ，从而求出m 的值.【答案】⑴在矩形ABCD 中，∠B=∠C =Rt ∠，∴在Rt △BFE 中， ∠1+∠BFE =90°，又∵EF ⊥DE ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE ，∴Rt △BFE ∽Rt △CED∴BF BE CE CD =即8y x x m-=∴28x x y m -=⑵当m =8时， 288x x y -=，化成顶点式: ()21428y x =--+， ∴当x =4时，y 的值最大，最大值是2.⑶由12y m =，及28x x y m-=得x 的方程: 28120x x -+=，得， 122;6x x ==， ∵△DEF 中∠FED 是直角，∴要使△DEF 是等腰三角形，则只能是EF =ED ，此时， Rt △BFE ≌Rt △CED ，∴当EC =2时，m =CD =BE =6; 当EC =6时，m =CD =BE =2.即m 的值应为6或2时， △DEF 是等腰三角形.【点评】在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”、“面积法”与“勾股法”建立有关等式，从而转化为函数关系式.这也是中考试卷中的常【答案】12．（本题满分10分）解：（1）在Rt △AOC 中，∵∠AOC=30 o ，OA =83，∴AC=OA ·sin30o =83×21=34， OC=OA ·cos30o =83×23=12． ∴点A 的坐标为（12，34）． …………………………………2分设OA 的解析式为y=kx ，把点A （12，34）的坐标代入得： 34=12k ，∴k =33 ，∴OA 的解析式为y =33x ； (2) ∵顶点B 的坐标是（9，12）, 点O 的坐标是（0，0） ∴设抛物线的解析式为y=a (x-9)2+12，…………………………………6分把点O 的坐标代入得：0=a （0-9）2+12，解得a =274-， ∴抛物线的解析式为y =274-(x -9)2+12 及y =274- x 2+ 38x ； …………………………………………………8分 (3) ∵当x =12时，y =332 ≠34， ∴小明这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点． …………10分13【答案】（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ，∴A HDQ ∠=∠，∴△DHQ ∽△ABC ．（2）①如图1，当5.20≤<x 时， ED =x 410-，QH =x A AQ 43tan =∠， 此时x x x x y 4152343)410(212+-=⨯-=．（图1）C （图2）当45=x 时，最大值3275=y ． ②如图2，当55.2≤<x 时，ED =104-x ，QH =x A AQ 43tan =∠， 此时x x x x y 4152343)104(212-=⨯-=． 当5=x 时，最大值475=y ． ∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).55.2(41523),5.20(4152322x x x x x x y y 的最大值是475． （3）①如图1，当5.20≤<x 时，若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 45cos =∠， DE =x 410-，∴x 410-=x 45，2140=x ． 显然ED =EH ，HD =HE 不可能；②如图2，当55.2≤<x 时，若DE =DH ，104-x =x 45，1140=x ； 若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ；若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ， ∴AD DH DH ED =，x x x x 24545104=-，103320=x ． ∴当x 的值为103320,5,1140,2140时，△HDE 是等腰三角形. 14【答案】（1）在Rt ABC ∆中，sin B =，AB =得AC AB =2AC =，根据勾股定理得：4BC =．（2）∵PD ∥AB ，∴ABC ∆∽DPC ∆，∴12DC AC PC BC == 设PC x =，则12DC x =，122AD x =- ∴2211111(2)(2)122244ADP S AD PC x x x x x ∆=⋅=-⋅=-+=--+ ∴当2x =时，y 的最大值是1．。
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项能力提升训练(含答案)
(1)抛物线的解析式为__________；
(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接 ，过点M作 的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若 与 相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时， 有一边与线段 相等，并且此时这一边与线段 具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请写出“对称点”M的坐标．
12．如图，抛物线y= x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与 轴相交于A，B两点 点A在点B的左侧 ，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m
②若 是 的中点，以点 ，D， 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标．
3．抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图 ，连接 、 ，交点为 ，连接 ，若 ，求点 的坐标；
(3)如图 ，在（2）的条件下，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 ，连接 和 ，求 的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 ，点P为直线 上方抛物线上一动点，连接 交 于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
(3)把抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线 ，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
二次函数提高训练
二次函数提高训练一．解答题（共30小题）1．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求⊥PAC为直角三角形时点P的坐标．2．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设⊥PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使⊥MAC和⊥MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M 点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．3．如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断⊥AMN的形状；（2）如果mn=﹣4，（1）中有关⊥AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．4．已知：直角三角形AOB中，⊥AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O 向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求⊥OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？（2）当t为何值时，⊥BPQ和⊥AOB相似；（3）当t为何值时，⊥OPQ为直角三角形；（4）①试证明无论t为何值，⊥OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使⊥OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．5．如图，已知抛物线y=x2﹣ax+a2﹣4a﹣4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．（1）求a的值；（2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．（4）当t为何值时，⊥PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin⊥MOH=．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若=时，求点P的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使⊥ANG 与⊥ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．7．已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将⊥AOC沿AC翻折得⊥APC．（1）求⊥PCB的度数；（2）若P，A两点在抛物线y=﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M 是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．8．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ⊥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使⊥OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图（1），抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S⊥ABM=3，求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c 平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式；（2）作Rt⊥OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得⊥BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，⊥APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．13．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将⊥AOB 绕点O逆时针旋转90°得到⊥COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．14．如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当⊥MBA+⊥CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B 向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．23．如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．（1）试求点A、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN⊥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．15．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求⊥BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成⊥ADP，是否存在S⊥ADP=S⊥BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求⊥ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=⊥ABM时，求P点坐标．17．如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设⊥PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C 为x轴上一点，且⊥CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E 点，若P是⊥BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P 为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：⊥OBD⊥⊥ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求⊥POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．21．如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD⊥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分⊥DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
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二次函数应用（能力提高）一、选择题：1、二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）92、下列四个函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ） （A ）x y 2=（B ）()01>=x xy （C ）1+=x y （D ）()02>=x x y 3、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则 （ ） （A ） ac+1=b （B ） ab+1=c （C ）bc+1=a （D ）以上都不是4、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是( )(A) 0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<15、如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 6、把二次函数23x y =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）（A ）()1232+-=x y （B ） ()1232-+=x y （C ） ()1232--=x y（D ）()1232++=x y7、(3)已知抛物线y=ax 2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )A.一、二、三象限B.一、二、四象限 C ．一、三、四象限 D.一、二、三、四象限 8、若0<b，则二次函数12-+=bx x y 的图象的顶点在 （ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限9、已知二次函数222)(22b a x b a x y +++-= ，b a , 为常数，当y 达到最小值时，x 的值为 （ ）（A ）b a + （B ）2b a + （C ）ab 2- （D ）2ba -10、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+c 的是（ ）二、填空题：11、已知二次函数y ＝ax 2（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 。
12、已知二次函数y ＝－4x 2－2m x ＋m 2与反比例函数y ＝xm 42+的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，则m 的值是 。
13、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如 图（4），求抛物线的解析式是_______________。
14、如图（5）A. B. C.是二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像上三点,根据图中给出的三点的位置,可得a-.——0，c ——0, 15、老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。
乙：函数的图像经过第一象限。
丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。
丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________。
16、已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是————————————（只要写出一个可能的解析式）17、炮弹从炮口射出后,飞行的高度h （m ）与飞行的时间t （s ）之间的函数关系是h=v 0tsin α—5t 2,其中v 0是炮弹发射的初速度, α是炮弹的发射角,当v 0=300（s m）, sin α=21时，炮弹飞行的最大高度是___________。
18．已知点P (a ，m ）和Q( b ，m ）是抛物线y=2x 2+4x －3上的两个不同点，则a+b=_______.19．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结C A y xO论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．三、解答题：20．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。
（1）问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时进货多少个？（2）当定价为多少元时，可获得最大利润？ 21．已知y 是x 的二次函数，且其图象在x 轴上截得的线段A B 长4个单位，当x =3时，y 取得最小值-2。
(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P ，使ΔP A B 的面积等于12个平方单位，求P 点坐标。
22.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由． 23．已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.24．如图，已知抛物线234y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线334y x t=-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<． （1）确定b c ，的值：（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．25．已知P （m ，a ）是抛物线2y ax =上的点，且点P 在第一象限.（1）求m 的值 （2）直线y kx b =+过点P ，交x 轴的正半轴于点A ，交抛物线于另一点M.①当2b a =时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；②当4b =时，记△MOA 的面积为S ，求s1的最大值yCA O Q HB PxyxOP AM参考答案： 一、CBAAC ，DBDBA二、11．3262+ 12。
-7 13。
x x y 25402512+-= 14．0,0<<c a 15。
2)2(-=x y 不唯一 16．442+-=x x y 17。
1125米 18。
-2 19。
①②③④20．（1）60元，400个或80元200个 （2）7021．解：(1)∵当x =3时 y 取得最小值-2.即抛物线顶点为(3，-2).∴设二次函数解析式为 y =a (x -3)2-2又∵图象在x 轴上截得线段A B 的长是4，∴图象与x 轴交于(1，0)和(5，0)两点∴a (1-3)2-2=0 ∴a =∴所求二次函数解析式为y =x 2-3x +(2)∵ΔP A B 的面积为12个平方单位，｜A B ｜=4∴×4×｜P y ｜=12 ∴｜P y ｜=6 ∴P g =±6但抛物线开口向上，函数值最小为-2，∴P y =-6应舍去，∴P g =6 又点P 在抛物线上，∴6=x 2-3x +x 1=-1,x 2=7 即点P 的坐标为(-1，6)或(7，6)22．解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y23． 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=．∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）．∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a．∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=， 得)16916(259891622++=+-aa a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．24．[解] （1）94b = 3c = （2）(40)B ， (40)Q t ， (443P t t-， （3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ PB =时 PH OB ⊥ ，则GH HB =4444t t t ∴--=13t ∴=②当PB QB =得445t t -=49t ∴=③当PQ QB =时，如图解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB =则522BP BD t ==又BDQ BOC △∽△BD BQBO BC ∴= 544245t t -∴=3257t ∴= 解法二：作Rt OBC △斜边中线OE 则522BC OE BE BE ===，， 此时OEB PQB △∽△BE OBBQ PB∴= 542445t t ∴=-3257t ∴=解法三：在Rt PHQ △中有222QH PH PQ +=222(84)(3)(44)t t t ∴-+=-257320t t ∴-= 32057t t ∴==，（舍去） 又01t << ∴当13t =或49或3257时，PQB △为等腰三角形． 25．[解] （1）2(0)m a a =>21(0)1m m m =>⇒= （2）①b=2a ，2y kx a =+P 在直线上，则 2a k a a k =+⇒=-(0)k <22202a k kx a x k k-+=⇒=-=-= A （2，0） 22220(2)(1)0,21kx kx k x x x x x x -=-⇒--=⇒-+===-或M （-1，a ） ∠OPA=90° 即21a =，1a =1k =-，22,y x y x =--= P （1，1）故存在这样的点P ②440kx x k+=⇒=-又44k a k a +=⇒=-22(4)4(4)40(4)(1)0a x ax ax a x ax x -+=⇒---=⇒+-=C O PQDBCOPQEBCO PQ H B∴S=2416132424a a a a =--2211111(2)832328a a a S =-=--+ ∴当2a =时，max 118S =。