河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题

河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则||z =（ ）A ．2BC ．1D ．22．已知:(1)(2)0p x x --≤，2:log (1)1q x +≥，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，从一层到四层共有（ ）种走法 A ．23 B ．32 C ．24 D ．42 4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．245．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 6．如图将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为60°；④AB 与平面BCD 所成的角为60°．其中错误的结论是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④7．有5位学生和2位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少种不同坐法（ ）A ．71种B ．240种C ．480种D ．960种8．若函数()324f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,5B ．[)1,5C ．(]1,5D ．()(),15,-∞+∞9．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )A ．180种B ．240种C ．360种D ．420种10．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D ．2 11．在272(1)x x -+的展开式中的3x 的系数为（ ）A ．210B ．－210C ．－910D ．280 12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且函数()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x f x e +<的解集是 （ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．1(,)e -∞D ．1(,)e+∞二、填空题 13．命题：“2,10x R x ax ∃∈-+<”的否定为____．14．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种．15．已知复数z x yi =+，x ，y R ∈，且31z -=，则2241x y x +++的最大值为________．16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)三、解答题17．设a R ∈，命题q ：x R ∀∈，210x ax ++>，命题p ：[]1,2x ∃∈，满足()110a x -->．（1）若命题p q ∧是真命题，求a 的范围；（2）()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，求a 的取值范围．18．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求： （1）015a a a +++； （2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++．19．已知抛物线的方程是24y x =，直线l 交抛物线于,A B 两点（1）若弦AB 的中点为()3,3，求弦AB 的直线方程;（2）设()()1122,,,A x y B x y ，若1212y y =-，求证AB 过定点.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB 、AD 、AP 两两垂直，且长度均为1，()01BC AD λλ=<≤.（1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）若二面角B PC D --的大小为120，求实数λ的值.21．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22182x y +=的左、右焦点，点00(,)P x y 在椭圆C 上. （Ⅰ）求12PF PF →→⋅的最小值；（Ⅱ）设直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点P 在第一象限，且121PF PF →→⋅=-，求PAB △面积的最大值.22．已知()()ln 1f x x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.参考答案1．B【分析】由已知条件，结合复数的运算可得1z i =+，由模长公式可得答案.【详解】∵(1)2z i i ⋅+=， ∴22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i -+====+++-，故||z ==故选：B.【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题. 2．A【分析】根据题意解不等式可得集合p 与q 的范围，根据充分必要条件的判定即可判断结论．【详解】因为2:(1)(2)0,:log (1)1p x x q x --+所以:12p x ≤≤，:1q x所以p q ⇒但q p ⇒/ 所以p 是q 的充分不必要条件所以选A【点睛】本题考查了根据不等式判定充分必要条件，属于基础题．3．B【分析】根据题意，分析层与层之间的走法数目，利用分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有32222⨯⨯=种走法．故选：B ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，注意认真分析题意，注意四层的大楼有三层楼梯，属于基础题．4．D【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种考点：排列、组合及简单计数问题5．D【解析】4项工作分成3组,可得：24C =6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A ⨯=种． 故选D.6．D【详解】①取BD 中点E ，连接AE,CE,,, AEC AE BD CE BD BD ⊥⊥∴⊥平面,故AC ⊥BD ，①正确： ②AC AD DC ==，△ACD 是等边三角形，③AB 与CD 所成的角为60°④AB 与平面BCD 所成的角为45°选D.考点：直线与平面垂直的判定，两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角7．D【分析】先排5位学生，由排列公式可得其坐法数目，要求2位教师坐在一起，用捆绑法，插入到5个学生符合要求的4个空位中，易得其有142A 种坐法，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：先排5位学生，有55A 种坐法，2位教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有2种坐法，将这个“整体”插在5个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有4个空位可选，则共有51542960A A =种坐法． 故选：D【点睛】本题考查排列、组合的运用，关键在于掌握常见的问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，属于基础题．8．B【解析】由题意,()2'32f x x x a =+-， 则()()'1'10f f -<，即()()150a a --<，解得15a <<，另外,当1a =时,()()()2321131f x x x x x =+-=+-'在区间(−1,1)恰有一个极值点13x =， 当5a =时,函数()()()2325135f x x x x x =+-=-+'在区间(−1,1)没有一个极值点， 实数a 的取值范围为[)1,5.故选B.9．D【分析】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有55A 种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有245A 种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有35A 种，相加即得所求．【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有55A 种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有245A 种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有35A 种，故最多有55A +245A +35A =420种栽种方案，故选D ．【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 10．A【分析】 228AF BF AB ++=，故AB 的最小值为3，当且仅当AB x ⊥轴时，AB 最小，此时3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】22112248AF BF AF BF AF BF AB a +++=++==，22AF BF +最大值为5，故AB 的最小值为3，当且仅当AB x ⊥轴时，AB 最小，此时3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即221449c b+=又因为224b c =+， 可得1c =，故12c e a ==. 故选：A .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．C【解析】试题分析：，令，，或，代入得到系数：考点：二项式定理的应用12．A【解析】设()()12017x f x g x e=⨯,由f (x )>f ′(x )， 得：()()()102017x f x f x g x e '-'=⨯<， 故函数g (x )在R 递减，由f (x )+2017为奇函数,得f (0)=−2017，∴g (0)=−1，∵f (x )+2017e x <0,∴()112017x f x e ⨯<-,即g (x )<g (0)， 结合函数的单调性得：x >0，故不等式f (x )+2017e x <0的解集是(0,+∞).本题选择A 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．13．2,10x R x ax ∀∈-+≥【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题“210x R x ax ∃∈-+<，”的否定是“210x R x ax ∀∈-+≥，”.故答案为∀x ∈R ，x 2﹣ax +1≥0【点睛】本题考查命题的否定及特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．14．1440【分析】因为要求不相邻，采用插空法来解，先排列另外四人，有44A 种结果，再在排列好的四人的5个空里，排列甲、乙、丙，有35A 种结果，根据分步计数原理相乘得到结果．【详解】解：∵7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，∴采用插空法来解，先排列甲、乙、丙之外的4人，有44A 种结果，再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有35A 种结果，根据分步计数原理知共有43451440A A =种结果，故答案为：1440．【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空里，排列不相邻的元素．属于基础题．15．33【分析】根据复数的几何意义计算可得；【详解】解：复数z x yi =+，x ，y R ∈，设(),P x y ， 由31z -=，表示复平面上点P 的轨迹是以()3,0M 为圆心，1为半径的圆．则()22224123x y x x y +++=++-．则()2,0Q -与点()3,0M 的距离5QM ==． ∴()()222max 4151333x y x +++=+-=． 故答案为：33．【点睛】本题主要考察了复数形式的圆的方程、两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．1260.【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.17．（1）322aa ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．（2）2a ≤-或322a <<． 【分析】 （1）根据p 、q 为真命题，列式计算．（2）由()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真p ⇒、q 同时为假或同时为真，分别求出实数a 的取值范围即可．【详解】解：（1）p 真，则()102110a a ->⎧⎨-->⎩或()101110a a -<⎧⎨⋅-->⎩得32a >； q 真，则240a -<，得22a -<<∵命题p q ∧是真命题，∴a 的范围为322a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （2）由()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，p ∴、q 同时为假或同时为真，若p 假q 假，则3222a a a ⎧≤⎪⎨⎪≤-≥⎩或，2∴≤-a ， 若p 真q 真，则3222a a ⎧>⎪⎨⎪-<<⎩，322a ∴<< 综上2a ≤-或322a <<． 【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键，属于中档题．18．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243-【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解.【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-，所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=,所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19．（1）y=23x+1（2）见证明 【分析】（1）设出A,B 的坐标，结合弦AB 的中点坐标，建立等式，计算直线AB 的斜率，得到直线方程，即可．（2）设出AB 的直线方程，代入抛物线方程，得到二次等式，结合根与系数的关系，得到AB 的方程，计算定点，即可．【详解】（1）因为抛物线的方程为24y x =，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则有x 1 ≠x 22114y x =，2224y x =，因为弦AB 的中点为(3,3)，两式相减得22121244y y x x -=-， 所以121212423y y x x y y -==-+，经验证符合题意． 所以直线l 的方程为y -3=23（x -3）,即y=23x+1 ； （2）当AB 斜率存在时，设AB 方程为y =kx +b 代入抛物线方程：ky 2-4y +4b =0，12412,3b y y b k k==-=-,， AB 方程为y =kx -3k =k (x -3)，恒过定点（3,0）.当AB 斜率不存在时，1212y y =-，则x 1=x 2=3，过点(3,0).综上，AB 恒过定点（3,0）.【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于较难的题． 20．（1）13（2）1λ= 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求出平面PBC 的一个法向量和平面PCD 的一个法向量，利用向量法能求出λ．【详解】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系如图.因为1λ=，所以BC AD =.依题意，()1,1,0C ，()0,0,1P ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，所以()1,1,1PC =-，()1,0,1PB =-，()0,1,1PD =-.设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，取1z =得()1,1,1n =. 所以1cos ,33PC nPC n PC n ⋅<>===⋅. 所以，直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13； （2）依题意，()1,,0C λ，()1,0,1PB =-，()1,,1PC λ=-，()0,1,1PD =-. 设平面PBC 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩取11z =得，()11,0,1n =. 设平面PCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩取21z =得()11,1,1n λ=-， 所以1212121cos ,cos12022n n n n n n⋅<>====⋅， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=.【点睛】本题考查利用空间向量法求解线面角、二面角，考查运算求解能力，是中档题． 21．（Ⅰ）12PF PF →→⋅的最小值为4-; （Ⅱ）2. 【详解】试题分析：（Ⅰ）设00(,)P x y ，由向量数量积的坐标运算求得12PF PF →→⋅20344x =-+，注意椭圆中有0x -≤，因此可得最小值； （Ⅱ）由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长AB ，求出P 点坐标，再求得P 到直线AB 的距离即三角形的高，从而得PAB ∆面积PAB S ∆=由基本不等式可得最大值．试题解析：（Ⅰ）有题意可知()1F，)2F ，则()100,PF x y →=-，)200,PF x y →=-， ∴2212006PF PF x y →→⋅=+-， ∵点()00,P x y 在椭圆C 上，∴2200182x y +=，即220024x y =-， ∴22200120326444x x PF PF x →→⋅=+--=-+（0x -≤≤）， ∴当00x =时，12PF PF →→⋅的最小值为4-． （Ⅱ）设l 的方程12y x b =+，点()11,A x y ，()22,B x y ， 由221,2{182y x b x y =++=得222240x bx b ++-=， 令2248160b b ∆=-+>，解得22b -<<．由韦达定理得122x x b +=-，21224x x b =-，由弦长公式得AB == 由且121PF PF →→⋅=-，得(2,1)P ． 又点P 到直线l的距离d ==∴1122PAB S AB d ==△=22422b b +-≤=，当且仅当b =>0∆，等号成立，∴PAB △面积最大值为2.22．(1) 0a ≤时 ()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；0a >时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减.（2）()0,1. 【详解】 试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,∞+,()1f x a x '=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1. 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.。