【附加15套高考模拟试卷】西北师大附中2020届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试卷含答案

西北师大附中2020届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ） A ．23 B ．43 C ．13 D ．213 2．已知函数()sin 3cos 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0ω>在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( )A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,4⎛⎤⎥⎝⎦ D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．下列数值最接近2的是（ ） A ．3cos14sin14︒︒+B ．3cos 24sin 24︒︒+C ．3cos 64sin 64︒︒+D ．3cos 74sin 74︒︒+4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( ) A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线C :22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线2PF 交双曲线C 右支于点N ，若122PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．22y x=±C ．2y x =±D ．22y x =±6．在梯形中，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2cos(2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+C ．()2cos(2)4f x x π=- D ．()cos(2)4f x x π=- 8．若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞- B ．()1,0- C ．()0,4D ．()()0,11,4U9．若钝角α满足sin 3cos tan 2cos sin ααααα-=-，则tan α=（ ）A ．226-B ．26-C ．227-D ．27-10．若函数()2()11ax f x x x =>-有最大值4-，则a 的值是A ．1B ．1-C ．4D ．4-11．函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为 A 2 B 3 C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在某次语文考试中，A 、B 、C 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C 说：“A 没有得优秀”；B 说：“我得了优秀”；A 说：“C 说得是真话”。

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．14．在三棱锥D ABC -中，1AB BC DB DC ====，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_______．15．如下分组的正整数对：第1组为(){1,2，()2,1}，第2组为(){1,3，()3,1}，第3组为(){1,4，()2,3，()3,2，()4,1}，第4组为(){1,5，()2,4，()4,2，()5,1}，⋯，则第40组第21个数对为______．16．已知函数()ln ,0,x x e f x ex e x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点123,,x x x ，且()121233x x x x x f x <<，则的取值范围为___________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元; 方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a 元. 某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：以上100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记X 表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数.()1求X 的分布列；()2以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？18．（12分）已知函数()()()[]321,12.0,12xx f x x eg x ax xcosx x -=+=+++∈当时，求证()11;1x f x x -≤≤+若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围. 19．（12分）甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题。

规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.求甲能入选的概率.求乙得分的分布列和数学期望；20．（12分）选修4— 4：坐标系与参数方程设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线C 的参数方程为1cossinxyαα=+⎧⎨=⎩（α是参数），直线l的极坐标方程为3sin cos13mρθρθ-+=．求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；设点(1,)P m，若直线l与曲线C相交于A B、两点，且8||||PAPB=，求m的值﹒21．（12分）如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面ABC,22AB BC AC==,且4AD BC+=证明:平面ABD⊥平面BCD;求四面体ABCD的体积的最大值.22．（10分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D-中，侧棱1A A ABCD⊥底面，AB AC⊥，1AB=，12,5AC AA AD CD====，点E为线段1AA上的点，且12AE=．求证：BE⊥平面1ACB；求二面角11D AC B--的余弦值；判断棱11A B 上是否存在点F，使得直线DF P平面1ACB，若存在，求线段1A F的长；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B2．B3．D4．C5．A6．D7．A8．D9．D10．B11．A12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．C14．73π15．()22,2016．()1,+∞三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】（1）确定X 所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，依次计算X 每个取值所对应的的概率，从而可列出分布列；（2）分别求解两种方案的数学期望，根据数学期望的大小比较，确定选择哪一种更划算. 【详解】（1）X 所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6 ()11105525P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11121722101055100P X ==⨯+⨯⨯=，()121313221055105P X ==⨯⨯+⨯⨯=， ()2231114255101050P X ==⨯+⨯⨯=，()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯= X ∴的分布列为（2）选择延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为：()111116960007500900010500120008580455025100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (元)选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为：()()()2676921774077407740277401002510050a E Y a a =⨯+⨯++⨯+=+ (元) ()()122184050aE Y E Y ∴-=-当()()1221840050aE Y E Y -=->，即02000a <<时， 选择方案二 当()()1221840050aE Y E Y -=-=，即2000a =时，选择方案一，方案二均可 当()()1221840050aE Y E Y -=-<，即2000a >时，选择方案一 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、利用数学期望解决实际问题，关键是明确选择方案的原因在于平均花费更少，即数学期望更小，属于中档题.18．（I ）见解析（II ）,3]-∞-（ 【解析】试题分析：（1）将问题转化为证明(1)(1)xx x ex e -+≥-与1x e x ≥+，从而令()(1)(1)x xh x x e x e -=+--、()1x K x e x =--，然后利用导数求得(),()h x K x 的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得()()f x g x -≥2(12cos )2x x a x -+++，从而令2()2cos 2x G x x =+，通过多次求导得出其单调性即可求出a 的取值范围．试题解析：（1）要证[0,1]x ∈时，2(1)1xx e x -+≥-，只需证明(1)(1)x x x e x e -+≥-.记()(1)(1)xx h x x ex e -=+--，则()()x x h x x e e -=-'，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0h x h ≥=， 所以()1,[0,1]f x x x ≥-∈. 要证[0,1]x ∈时，21(1)1xx ex-+≤+，只需证明1x e x ≥+， 记()1xK x e x =--，则()1x K x e =-'，当(0,1)x ∈时，()0k x '>，因此()K x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0K x K ≥=，所以1()1f x x≤+，[0,1]x ∈. 综上，11()1x f x x-≤≤+，[0,1]x ∈.（2）（解法一）32()()(1)(12cos )2xx f x g x x eax x x --=+-+++3112cos 2x x ax x x ≥-----2(12cos )2x x a x =-+++.设2()2cos 2x G x x =+，则()2sin G x x x -'=，记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x -'=， 当时，，于是在上是减函数， 从而当时，，故在上是减函数，于是，从而，所以，当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，.记，则，当时，，故在上是减函数.于是在上的值域为. 因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.（解法二） 先证当时，. 记，则，记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此.所以当时，.同理可证，当时，.综上，当时，.因为当时，，所以当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，因为.所以存在（例如取和中的较小值）满足.即在上不恒成立.综上，实数a的取值范围是(,3]-∞-.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】求证不等式()()f xg x≥，一种常见思路是用图像法来说明函数()f x的图像在函数()g x图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数()()()F x f x g x＝－，通过导数研究函数()F x的性质，进而证明欲证不等式．19．（I）81125；（II）见解析.【解析】试题分析：（I）由已知甲至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，()23 23323555P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（II）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为15,0,15,30-，由排列组合的知识分别可求其概率，进而可得其分布列，由期望的定义可得数学期望；试题解析：（I）由已知甲至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，则()232332381555125P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， （II ）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-()3531011512C P X C =-==； ()23553105012C C P X C ===；()125531051512C C P X C ===； ()3531013012C P X C ===.其概率分布表如下：()()1551151501530121212122E X =⨯-+⨯+⨯+⨯=.20．（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，直线l 的参数方程112x y m t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数）；（Ⅱ）3m =±.【解析】【分析】（I）利用22cos sin 1αα+=，消去α，求得曲线C 的普通方程.先求得直线l 的直角坐标方程，然后利用直线参数方程的知识，写出直线l 的参数方程.（II ）将直线参数方程代入切线C 的普通方程，写出韦达定理，利用直线参数方程参数的几何意义，列方程，解方程求得m 的值. 【详解】解：（Ⅰ）由题可得，曲线C 的普通方程为()2211x y -+=. 直线l 1x -+=，即10x -+=由于直线l 过点()1,P m ，倾斜角为30o ，故直线l 的参数方程1212x t y m t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数）（直线l 的参数方程的结果不是唯一的.）（Ⅱ）设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并化简得：22221111102m t t mt m ⎛⎫⎛⎫+-++=⇒++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以21218PA PB t t m ==-=, 解得3m =±. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为参数方程的方法，考查直线参数方程参数t 的几何意义，所以中档题. 21．（1）见解析； （2）12881. 【解析】 【分析】⑴由线面垂直，以及已知条件结合勾股定理逆定理进行证明 ⑵设BC x =，得到()2146V x x =-，运用导数求出最值 【详解】（1）AD ⊥Q 平面ABC ,BC Q ⊂平面ABC ,AD BC ∴⊥由2AB BC AC ==,得222AB BC AC +=,AB BC ∴⊥, 又AB AD A ∴⋂=,BC ∴⊥平面ABD ,BC Q ⊂平面BCD 则平面ABD ⊥平面BCD （2）设BC x =,则04x <<，()21114326V AB BC AD x x =⨯⨯⨯⨯=-，令()()2146f x x x =-则()24132f x x x -'=，由()0f x '=得83x =，803x ∴<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；843x ∴<<时，()0f x '<，()f x 单调递减。