西北师大附中高三第五次诊断考试

西北师大附中2016届高三第五次诊断考试数学（理科）第Ⅰ卷一.选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知R是实数集，{21,M xN y y x ⎧⎫=<==⎨⎬⎩⎭，则R N C M ⋂= A.()1,2B.[]0,2C.∅D.[]1,22.“1m =”是“复数21z m mi =+-为纯虚数”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.在等差数列{}n a 中，已知n S 是其前n 项和，且14812152a a a a a ---+=，则15S = A ．30-B ．30C ．15-D ．15 4.给出下列四个命题：111:(0,),23xxp x ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21123:(0,1),log log p x x x ∃∈>；311:(0,),23xxp x ⎛⎫⎛⎫∀∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；41311:(0,),log 32xp x x ⎛⎫∀< ⎪⎝⎭.2211侧视图正视图第5题图其中真命题是A.1p ，3pB.1p ，4pC.2p ，3pD.2p ，4p5.某几何体的三视图如图所示，则其侧面的直角三角形的个数为 A.1B.2C.3D.46.已知图象不间断函数()f x 是区间[],a b 上的单调函数，且在区间(,)a b 上 存在零点.下图是用二分法求方程()0f x =近似解的程序框图， 判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①()()0;f a f m <②()()0;f a f m >③()()0;f b f m <④()()0;f b f m > 其中能够正确求出近似解的是A.②④B.②③C.①③D.①④7.已知过定点()0,2的直线与抛物线y x =2相交于()()2211,,,y x B y x A 两点，若21,x x 是方程0cos sin 2=-+ααx x 的两个不相等实数根，则αtan 的值是A.21B.21-C.2D.-28.若函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像关于直线12x π=对称，且当12,(,)63x x ππ∈-， 12x x ≠时，12()()f x f x =，则12()f x x +=A.12B.22C.32D.19.已知圆22:210C x y x +--=，直线:34120l x y -+=，圆C 上任意一点P 到直线l 的距离小于2的概率为A ．16B ．13C ．12D ．1410.已知在△ABC 中，AB=1，BC=6，AC=2，点O 为△ABC 的外心，若AO sAB t AC =+u u u r u u u r u u u r，则有序实数对(s,t )为 A.43(,)55 B.34(,)55C.（45，35）D.(35，45)第6题图11.如图，1F 、2F 是双曲线)0>,0>(1=2222b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ΔABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．4C ．332D ．7 12.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立， 则使得22()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为 A.{}1x x ≠± B.()(),11,-∞-⋃+∞ C.()1,1- D.()()1,00,1-⋃第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上）13.已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0003042y x y x y x ，则目标函数32z y x =-的最大值为 ． 14.已知1022023552x a x dx ax x ⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝⎰，则的展开式中有理项的个数为 . 15.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是线段A 1C 1上的动点，则四棱锥P-ABCD 的外接球半径R 的取值范围是 .16△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，则BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分） 已知首项为12的等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项和为n S ，且11S a +，22S a +，33S a +成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，求满足不等式22n T n ++≥116的最大n 值． 18.（本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -中，∠BCA=90°，AC AA =12==BC ,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D .（1）求证：11BA AC ⊥；（2）求C B A A --1的余玄值.19.（本小题满分12分）某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生， 调查对选做题倾向得下表：(Ⅰ)从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.（只需要做出其中的一种情况） (Ⅱ)按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；(ⅱ)若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE.20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3，且点2(2,)在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过点(1,0)P ，且与椭圆C 有两个交点A 、B ，是否存在直线l 0：x =x 0（其中x 0>2）， 使得A 、B 到l 0的距离d A 、d B 满足||||A B d PA d PB =恒成立？若存在，求x 0的值；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分12分）已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值； （3）证明：当0x >时，(1)ln 10xe e x x x +---≥.ECFDBAO请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O e 的直径，C 、F 是O e 上的两点，OC AB ⊥，过点F 作O e 的切线FD 交AB 的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E .(Ⅰ)求证：2DE BD DA =g ；(Ⅱ)若2,4DB DF ==，试求CE 的长. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线OM ：θα=（其中02πα<<）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：2πθα=+与圆C 交于O 、Q 点，与直线l 交于点N ，求||||||||OP OQ OM ON ⋅的最大值. 24.（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数222()23f x x a x a =-++- （1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若对于任意非零实数a 以及任意实数x ，不等式2()f x b x a >--恒成立，求实数b 的取值范围.西北师大附中2016届高三第五次诊断考试数学（理科）答题卡一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13. .14. .15. .16. .三.解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效18．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效选做题（本题满分10分，请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（选作第22题用图）23.24.、西北师大附中2016届高三第五次诊断考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）9.解:圆C ：22(1)2x y -+=，圆心(10)，，半径r =3，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为α，则cos2α==π24α=，即π2α=，α所对的弧长为π2=14=，故选D ． 12.解：令22()()g x x f x x =-，则[]2'()2()'()22()'()2g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-当0x>时，'()0g x <，()g x 单调递减，又()f x 是偶函数，则2222()()()()g x x f x x x f x x g x -=--=-=，即()g x 是偶函数.不等式22()(1)1xf x f x -<-可变形为22()(1)1x f x x f -<-，即()(1)g x g <，所以()(1)g x g <，1x >，解得1x <-或1x >，故选B.二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 9 .14. 6 .15. 34⎡⎢⎣⎦.16.( . 三、解答题（本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分） 已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若2log n n n b a a =⋅，数列{b n }的前n 项和T n ，求满足不等式22n T n ++≥116的最大n 值．解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1=12，又∵S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列， ∴2(S 2+a 2)=S 1+a 1+S 3+a 3，∴32 q =12 +q 2，解得q =1或q=12 ，…………………………………………4分 又由{a n }为递减数列，于是q=12 ，∴a n =a 11-n q=(12)n ．……………………………………………………6分 （Ⅱ）由于b n =a n log 2a n =-n ∙(12)n，∴()211111[1+2++1]2222n n n T n n -=-⋅⋅-⋅+⋅L （）（）（）， 于是()211111[1++1]2222n n n T n n +=-⋅-⋅+⋅L （）（）（），两式相减得：2111111[()++()]22222n n n T n +=--⋅L +()111[1()]122=1212n n n +⋅--+⋅-()，∴()12()22n n T n =+⋅-． ∴21()22n n T n +=+≥116，解得n ≤4， ∴n 的最大值为4．…………………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -中，∠BCA=90°，AC AA =12==BC ,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D .（I ）求证：11BA AC ⊥；（II ）求C B A A --1的余玄值.19.（本小题满分12分）某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生，调查对选做题倾向得下表：(Ⅰ)从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.（只需要做出其中的一种情况）(Ⅱ)按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；(ⅱ)若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数E.学期望ξ解：（Ⅰ）可直观判断：倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”，与性别无关；倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”，与性别有关；倾向“平面几何选讲”或倾向“不等式选讲”，与性别有关.（正确选择一组变量并指出与性别有关即给1分）…………1分选择一：2×2列联表：…………2分由上表，可直观判断：因为232(16844) 6.969 6.63520122012k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，…………4分所以可以有99%以上的把握，认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.…………6分选择二：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量Y 的值.作出如下2×2列联表：…………2分因为238(161264)10.8810.82820182216k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，………4分所以可以有99.9%以上的把握，认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.………………6分（Ⅱ）（ⅰ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20：12＝5：3， 所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.…7分 （ⅱ）依题意，得3,1,1,3ξ=--，…8分33381(3)56C P C ξ=-==，12533815(1)56C C P C ξ=-==， 21533830(1)56C C P C ξ===，30533810(3)56C C P C ξ===.…………10分 故ξ的分布列如下:所以13(1)135********E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯=.…………12分20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且点在C上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过点(1,0)P ，且与椭圆C 有两个交点A 、B ，是否存在直线l 0：x =x 0（其中x 0>2）， 使得A 、B 到l 0的距离dA 、dB 满足||||A B d PA d PB =恒成立？若存在，求x 0的值；若不存在，请说明理由。