2013届高中数学总复习阶段性测试题11 统计与概率 理 新人教A版必修1

阶段性测试题十一(统计与概率(理))本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设ξ～N(0,1)，且P(ξ<1.623)＝p ，那么P(－1.623≤ξ≤0)的值是( ) A ．p B ．－p C ．p －0.5 D ．0.5－p [答案] C[解析] ∵P(ξ≥1.623)＝1－p ，∴P(－1.623≤ξ≤0)＝12[1－2P(ξ≥1.623)]＝12[1－2(1－p)]＝p －0.5.2．(2010·北京文，3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 [答案] D[解析] 该试验所有基本事件(a ，b)可在平面直角坐标系中表示出来如下图． 易知所有基本事件有5×3＝15个，记“b>a”为事件A ，则事件A 所含基本事件有3个． ∴P(A)＝315＝15D.3．(2011·咸阳模拟)样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[2,10)内的频率为a ，则a 的值为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 [答案] D[解析] 样本数据落在[2,10)内的频率为a ＝(0.02＋0.08)×4＝0.4.4．已知函数f(x)＝sin aπ3x ，a 等于抛掷一颗骰子得到的点数，则y ＝f(x)在[0,4]上至少有5个零点的概率是( ) A.13 B.12 C.23D.56[答案] C[解析] 抛掷一颗骰子共有6种情况．当a ＝1,2时，y ＝f(x)在[0,4]上的零点少于5个；当a ＝3,4,5,6时，y ＝f(x)在[0,4]上的零点至少有5个，故P ＝46＝23，选C.5．(2010·湖南考试院)设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数，则斜边的长小于34的概率为( ) A.9π64 B.964 C.9π16 D.916[答案] A[解析] 设两直角边长分别为a 、b ，则0<a<1,0<b<1，由条件a2＋b2<916，如图可知，所求概率P ＝14π×⎝⎛⎭⎫3421×1＝9π64.6．(2011·温州八校期末)已知α，β，γ是不重合平面，a ，b 是不重合的直线，下列说法正确的是( )A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D ．“若a ⊥α，a∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．7．将1,2,3，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为( ) A.156 B.1280 C.556 D.1420[答案] A[解析] 基本事件总数C39·C36·C33A33＝280.每组三个数都成等差数列的有 (1)(1,2,3)，(4,5,6)，(7,8,9) (2)(1,2,3，)，(4,6,8)，(5,7,9) (3)(1,3,5)，(2,4,6)，(7,8,9) (4)(1,4,7)，(2,5,8)，(3,6,9)(5)(1,5,9)，(2,3,4)，(6,7,8)1为第一组首项时，只有公差1,2,3,4，四种情形， ∴所求概率P ＝5280＝156.8．(2011·阜阳一中月考)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1500元的称为低收入者，高于3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是( )A ．1000,2000B ．40,80C ．20,40D ．10,20 [答案] C[解析] 由图可知，低收入者的频率是0.0002×500＝0.1，故应在低收入者中抽取200×0.1＝20人；高收入者的频率是(0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故应在高收入者中抽取200×0.2＝40人．9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5[答案] A[解析] 因为a ^＝y －－b ^x －，由回归方程知0.35＝y －－0.7x －＝2.5＋t ＋4＋4.54－0.7×3＋4＋5＋64，解得t ＝3，故选A.10．(2010·全国Ⅰ理)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 [答案] C[解析] (1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x 的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x ＋12x ＝2x ，所以x 的系数为2.11．在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表：A.x －甲＝x －乙，且甲组比乙组成绩稳定 B.x －甲>x －乙，且乙组比甲组成绩稳定 C.x －甲＝x －乙，且乙组比甲组成绩稳定 D.x －甲<x －乙，且甲组比乙组成绩稳定 [答案] A[解析] 通过计算可知x －甲＝x －乙，s2甲＝172，s2乙＝256，s2甲<s2乙，所以甲组成绩比乙组成绩稳定．12．(2010·广西柳州市模拟)将甲乙两人在内的7名医生分成三个医疗小组，一组3人，另两组每组各2人，则甲乙不分在同一组的分法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．25种 D ．120种 [答案] A[解析] 解法一：当两人都在3人组内时，有12C15·C24种，当两人都在某个两人组内时，有C35种，∴共有12C37C24－C35－12C15C24＝80种．解法二：直接法．当甲、乙在两人小组一组一个时，有12C35C12A22种，当甲、乙一个在三人1 2C35C12A22＋C25C23A22＝80种．组中，另一个在两人组中时，有C25·C23·A22种，∴共有第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13.如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是________． [答案]115[解析] 6个数任意填入6个小正方形中有6！＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法6×2×2×2＝48种，故所求概率P ＝48720＝115. 14．设集合A ＝{x|x2－3x －10<0，x ∈Z}，从集合A 中任取两个元素a ，b 且a·b≠0，则方程x2a ＋y2b ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为________． [答案]310[解析] A ＝{x|－2<x<5，x ∈Z}＝{－1,0,1,2,3,4}，由条件知，(a ，b)的所有可能取法有：(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(－1,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共20种，方程x2a ＋y2b ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，应有a>b>0，∴有(2,1，)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)共6种， ∴所求概率P ＝620＝31015．(2010·南京调研)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． (1)袋中原有白球的个数为________．(2)随机变量X 的数学期望E(X)＝________. [答案] (1)6 (2)107[解析] (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C2n C29＝512，即n n －129×82＝512，化简得n2－n －30＝0.解得n ＝6或n ＝－5(舍去)． 故袋中原有白球的个数为6.(2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4. P(X ＝1)＝69＝23P(X ＝2)＝3×69×8＝14；P(X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P(X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以X 的概率分布列为：所求数学期望E(X)＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.16．在一次选拔赛中，共设置了五道试题，其中两道文科题，三道理科题，参赛者可以从中不放回的依次抽取两道题作答，则某选手在第一次抽到理科题的条件下，第二次又抽到理科题的概率为________． [答案] 12[解析] 解法1：在第一次抽到理科题的条件下，还剩两道理科题和两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为12.解法2：第一次抽到理科题为事件A ，第二次抽到理科题为事件B ，则P(A)＝35，P(A∩B)＝C23C25＝310， ∴P(B|A)＝P A ∩B P A ＝12. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2011·山西太原调研)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；(2)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为x －甲＝85，x －乙＝85，甲的方差为S2甲＝35.3，S2乙＝41.现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由．(3)若将预赛成绩中的频率视为概率，记“甲在考试中的成绩不低于80分”为事件A ，其概率为P(A)；记“乙在考试中的成绩不低于80分”为事件B ，其概率为P(B)．则P(A)＋P(B)＝P(A ＋B)成立吗？请说明理由．[解析] (1)作出如图所示茎叶图，易得乙组数据的中位数为84.(2)派甲参赛比较合适，理由如下：∵x －甲＝85，x －乙＝85，S2甲＝35.5，S2乙＝41， ∴x －甲＝x －乙，S2甲<S2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． (3)不成立．由已知可得P(A)＝68，P(B)＝78，P(A)＋P(B)＝138.而0<P(A ＋B)<1.所以P(A)＋P(B)＝P(A ＋B)不成立．[点评] P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)成立的条件是A 和B 互斥，而此问题中的A 和B 是不互斥的，故P(A)＋P(B)＝P(A ＋B)不成立． 18．(本小题满分12分)(2010·全国Ⅰ理)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．[分析] (1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X 服从二项分布，结合公式求解即可．[解析] (1)记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用． 则D ＝A ＋B·C ，而P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3 故P(D)＝P(A ＋B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.4.(2)随机变量X 服从二项分布，即X ～B(4,0.4)，∵P(X ＝0)＝(1－0.4)4＝0.1296，P(X ＝1)＝C14×0.4×(1－0.4)3＝0.3456，P(X ＝2)＝C24×0.42×(1－0.4)2＝0.3456，P(X ＝3)＝C34×0.43×(1－0.4)＝0.1536，P(X ＝4)＝0.44＝0.0256. ∴其分布列为期望E(X)＝4×19．(本小题满分12分)(2011·江西分宜中学、玉山一中、临川一中、南城一中、南康一中、彭泽一中、泰和中学、樟树中学、高安中学九校联考)随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185)分组，得到样本身高的频率分布直方图如图．(1)求频率分布直方图中x的值及身高不低于170cm的学生人数；(2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185)区间的学生依次记为A、B、C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6个，求从这三组分别抽取的学生人数．(3)在(2)的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率．[解析](1)由频率分布直方图知5×(0.01＋0.02＋0.04＋x＋0.07)＝1，∴x＝0.06.∴身高不低于170cm的学生人数为100×(0.06＋0.04＋0.02)×5＝60人．(2)A、B、C三组的人数分别为100×0.06×5＝30人，100×0.04×5＝20人，100×0.02×5＝10人，因此A、B、C三组应各抽取30×660＝3人，20×660＝2人，10×660＝1人．(3)在(2)的条件下，设A组抽取的3位同学为A1，A2，A3，B组抽取的两位同学为B1，B2，C组抽取的一位同学为C1，从这6名同学中抽取2人有15种可能：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，其中B组中至少有一人被抽中的情况有9种(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C2)，故所求概率为P＝915＝35.20．(本小题满分12分)甲、乙两箱都装有某种产品，甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[解析](1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C28＝8×72＝28，这2个产品都是次品的事件数为C23＝3.∴这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝C25C28＝514，P(B2)＝C15C13C28＝1528，P(B3)＝C23C28＝3 28，P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝49，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝514×23＋1528×59＋328×49＝712. 21．(本小题满分12分)(2011·黄冈市期末)为预防“甲型H1N1流感”的扩散，某两个大国的研究所A 、B 均对其进行了研究．若独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，研究成功的概率分别为13和14；若资源共享，则提高了效率，即他们合作研究成功的概率比独立研究时至少有一个研制成功的概率提高了50%.又疫苗研制成功获得经济效益a 万元，而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配．请你给A 研究所参谋：是否应该采取与B 研究所合作的方式来研制疫苗，并说明理由．[解析] 若A 研究所独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，则其经济效益的期望为 0×23＋a×13＝a3万元． 而两个研究所独立地研究时至少有一个研制成功的概率为 1－⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12所以两个研究所合作研究成功的概率为 12×(1＋50%)＝34于是A 研究所采用与B 研究所合作的方式来研制疫苗，所获得的经济效益的期望为0×14＋12a×34＝38a 万元，而38a>13a ，故应该建议A 研究所采用与B 研究所合作的方式来研制疫苗． 22．(本小题满分12分)(2011·巢湖市质检)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚． 据《法制晚报》报道，2010年8月1日至8月28日，某市交管部门共抽查了1000辆车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员80人，下图是对这80人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．(2)根据上述数据，求此次抽查的1000人中属于醉酒驾车的概率；(3)若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．(2)P＝(8＋4)÷1000＝0.012.(3)因为血液酒精浓度在[70,80)范围内有12人，[80,90)范围内有8人，要抽取一个容量为5的样本，[70,80)内范围内应抽3人，记为a，b，c，[80,90)范围内应抽2人，记为d，e，则从总体中任取2人的所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a，d)，(a，e)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A，则P(A)＝6 10＝35.11。