浙江省萧山区2018届中考数学一轮复习二次函数课后作业
二次函数课后作业1、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b 与y=ax 2-bx 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知函数y=ax 2-2ax-1（a 是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ） A ．当a=1时，函数图象过点（-1，1） B ．当a=-2时，函数图象与x 轴没有交点 C ．若a ＞0，则当x≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x≤1时，y 随x 的增大而增大3、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象经过点A （-1，2），B （2，5），顶点坐标为（m ，n ），则下列说法错误的是（ ）A ．c ＜3B ．m≤21C ．n≤2D ．b ＜1 4、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c ＞0，③a ＞b ，④4ac-b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a-b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6、以x 为自变量的二次函数y=x 2-2（b-2）x+b 2-1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b≥45B ．b≥1或b≤-1C ．b≥2D ．1≤b≤2 7、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D 是抛物线y=-x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 ．8、已知抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上且经过点（1，1），双曲线y=x21经过点（a ，bc ），给出下列结论：①bc ＞0；②b+c ＞0；③b ，c 是关于x 的一元二次方程x 2+（a-1）x+a21=0的两个实数根；④a-b-c≥3．其中正确结论是 （填写序号）9、如图，抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ．10、如图，已知抛物线y=-x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．11、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．12、如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．参考答案1、解析：首先根据图形中给出的一次函数图象确定a 、b 的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．解：A 、对于直线y=ax+b 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2-bx 来说，对称轴x=ab2＞0，应在y 轴的右侧，故不合题意，图形错误； B 、对于直线y=ax+b 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2-bx 来说，对称轴x=ab2＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误； C 、对于直线y=ax+b 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2-bx 来说，图象开口向上，对称轴x=ab2＞0，应在y 轴的右侧，故符合题意； D 、对于直线y=ax+b 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2-bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误；故选：C ．2、解析：把a=1，x=-1代入y=ax 2-2ax-1，于是得到函数图象不经过点（-1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x 轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=-aa22-=1判断二次函数的增减性．解：A 、∵当a=1，x=-1时，y=1+2-1=2，∴函数图象不经过点（-1，1），故错误；B 、当a=-2时，∵△=42-4×（-2）×（-1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故错误； C 、∵抛物线的对称轴为直线x=-aa22-=1，∴若a ＞0，则当x≥1时，y 随x 的增大而增大，故错误；D 、∵抛物线的对称轴为直线x=-aa22-=1，∴若a ＜0，则当x≤1时，y 随x 的增大而增大，故正确；故选D ．3、解析：根据已知条件得到a −b +c ＝2, 4a +2b +c ＝5，解方程组得到c=3-2a ＜3，b=1-a ＜1，求得二次函数的对称轴为x=-a b 2=-a a 21-=21-a 21＜21，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．解：由已知可知：a −b +c ＝2,4a +2b +c ＝5， 消去b 得：c=3-2a ＜3， 消去c 得：b=1-a ＜1，对称轴：m=x=-a b 2=-a a 21-=21-a 21＜21，∵A （-1，2），a ＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值， ∴n≤2， 故B 错．4、解析：首先根据二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y ＜0，可得a+b+c ＜0；再根据图象开口向下，可得a ＜0，图象的对称轴为x=-23，可得-ab2＝−23，b ＜0，所以b=3a ，a ＞b ；最后根据二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有两个交点，可得△＞0，所以b 2-4ac ＞0，4ac-b 2＜0，据此解答即可．解：∵二次函数y=ax 2+bx+c 图象经过原点， ∴c=0，∴abc=0∴①正确；∵x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，∴②不正确； ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴是x=-23，∴-a b 2＝−23，b ＜0，∴b=3a ，又∵a ＜0，b ＜0，∴a ＞b ，∴③正确；∵二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有两个交点，∴△＞0，∴b 2-4ac ＞0，4ac-b 2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C ．5、解析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线对称轴x ＞0，且抛物线与y 轴交于正半轴， ∴b ＞0，c ＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，故②正确， 令方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2， 由对称轴x ＞0，可知221x x +＞0，即x 1+x 2＞0，故③正确； 由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：-1＜x ＜0， ∴当x=-1时，y=a-b+c ＜0，故④正确．故选：B ．6、解析：由于二次函数y=x 2-2（b-2）x+b 2-1的图象不经过第三象限，所以抛物线在x 轴的上方或在x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x 轴有无交点，抛物线与y 轴的交点的位置，由此即可得出关于b 的不等式组，解不等式组即可求解．解：∵二次函数y=x 2-2（b-2）x+b 2-1的图象不经过第三象限， ∴抛物线在x 轴的上方或在x 轴的下方经过一、二、四象限， 当抛物线在x 轴的上方时， ∵二次项系数a=1， ∴抛物线开口方向向上，∴b 2-1≥0，△=[2（b-2）]2-4（b 2-1）≤0， 解得b≥45； 当抛物线在x 轴的下方经过一、二、四象限时， 设抛物线与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=2（b-2）≥0，b 2-1≥0， ∴△=[2（b-2）]2-4（b 2-1）＞0，① b-2＞0，② b 2-1＞0，③ 由①得b ＜45，由②得b ＞2， ∴此种情况不存在， ∴b≥45， 故选A ．7、解析：设D （x ，-x 2+6x ），根据勾股定理求得OC ，根据菱形的性质得出BC ，然后根据三角形面积公式得出∴S △BCD =21×5×（-x 2+6x-3）=-25（x-3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．解：∵D 是抛物线y=-x 2+6x 上一点， ∴设D （x ，-x 2+6x ）， ∵顶点C 的坐标为（4，3），∴OC=2234 =5， ∵四边形OABC 是菱形， ∴BC=OC=5，BC ∥x 轴， ∴S △BCD =21×5×（-x 2+6x-3）=-25（x-3）2+15， ∵-25＜0， ∴S △BCD 有最大值，最大值为15， 故答案为15．8、解析：根据抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上且经过点（1，1），双曲线y=x21经过点（a ，bc ），可以得到a ＞0，a 、b 、c 的关系，然后对a 、b 、c 进行讨论，从而可以判断①②③④是否正确，本题得以解决．解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上且经过点（1，1），双曲线y=x21经过点（a ，bc ）， ∴a ＞0, a +b +c ＝1,bc ＝a21 ∴bc ＞0，故①正确；∴a ＞1时，则b 、c 均小于0，此时b+c ＜0， 当a=1时，b+c=0，则与题意矛盾，当0＜a ＜1时，则b 、c 均大于0，此时b+c ＞0， 故②错误；∴x 2+（a-1）x+a21=0可以转化为：x 2-（b+c ）x+bc=0，得x=b 或x=c ，故③正确； ∵b ，c 是关于x 的一元二次方程x 2+（a-1）x+a21=0的两个实数根，∴a-b-c=a-（b+c ）=a+（a-1）=2a-1， a+b+c=1故b+c=1-a ＜1，当1＞1-a ＞-1，即2＞a ＞0时，有（b+c ）2＜1， 由（b-c ）2＞0可得：b 2+c 2＞2bc ，所以4bc ＜（b+c ）2， 即4bc ＜1，bc ＜41，从而得出a ＞2，与题设矛盾； 故a≥2，即2a-1≥3； 故④正确； 故答案为：①③④．9、解析：当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D 坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=-x2+2x+3中，令y=2，可得-x2+2x+3=2，解得x=1±2，∴P点坐标为（1+2，2）或（1-2，2），故答案为：（1+2，2）或（1-2，2）．10、解析：（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=-x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=-x2+mx+3得：0=-32+3m+3，解得：m=2，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴0＝3k+b, 3＝b解得：k＝−1, b＝3∴直线BC的解析式为：y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．11、解析：（1）根据抛物线F：y=x2-2mx+m2-2过点C（-1，-2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得y P的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题解：（1）∵抛物线F经过点C（-1，-2），∴-2=（-1）2-2×m×（-1）+m2-2，解得，m=-1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x-1；（2）当x=-2时，y p=4+4m+m2-2=（m+2）2-2，∴当m=-2时，y p的最小值-2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2-2，∴当x≤-2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤-2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是-2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴m2−2≤2, 22−2m×2+m2−2≥2或m2−2≥2, 22−2m×2+m2−2≤2解得，-2≤m≤0或2≤m≤4．12、解析：（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S 关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．解：（1）将A （2，4）与B （6，0）代入y=ax 2+bx ， 得4a +2b ＝4, 36a +6b ＝0，解得：a ＝21,b ＝3； （2）如图，过A 作x 轴的垂直，垂足为D （2，0），连接CD ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD =21OD•AD=21×2×4=4； S △ACD =21AD•CE=21×4×（x-2）=2x-4；S △BCD =21BD•CF=21×4×（-21x 2+3x ）=-x 2+6x ，则S=S △OAD +S △ACD +S △BCD =4+2x-4-x 2+6x=-x 2+8x ， ∴S 关于x 的函数表达式为S=-x 2+8x （2＜x ＜6）， ∵S=-x 2+8x=-（x-4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16．。
2018年浙江中考数学专题复习二次函数性质综合题
二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b =72或b =72-(舍)， ∴二次函数解析式为y =277x x ++;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b =7(舍)或b =-7(舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =72或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =277x x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2|=21212()4x x x x +-=4 , ∴212b +＝4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a -，24b a-）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a-=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a +)2+1−2(1)4a a+， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C 与直线y 3=x -3 除顶点外的另一交点为M ， 此时点M 的横坐标即为m 的最大值，由 2(2)13y x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得x =2或x =3， ∴m 的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点a （h ，-1）．第8题解图②当0＜a ≤1时，k ＞0，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在三个横坐标为整数点，即当x =h +3时，y 2＞y 1恒成立．∴k （h +3）-kh -1＞a （h +3-h ）2-1，整理得：k ＞3a ．又∵0＜a ≤1， 所以0＜3a ≤3，所以k ＞3．9.已知二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点B ， （1） 若二次函数的图象经过点A （1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线 x =1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a ，当x>n 时，y 随x 的增大而增大，请求出n 的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l 的上方，在1<x<2这一段位于直线y =2x -2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a b b a⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a-< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。
2018中考数学真题复习 二次函数中考真题大题系列加详解(PDF版)
二次函数中考真题系列1．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4 过点B，C 两点，且与x 轴的一个交点为D（﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t 为何值时，∠PBE 和Rt △OCD 中的一个角相等？？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM∥BQ，交CQ 于点M，作PN∥CQ，交BQ 于点N，当四边形PMQN 为正方形时，求t 的值为．2．如图①，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC 的面积与△OBC 的面积相等，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．抛物线y=﹣x+3 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC 的表达式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB 面积最大时，一动点Q 从点P 从出发，沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x 轴上的某个点H 处，最后到达线段BC 的中点F 处停止．求当△PCB 面积最大时，点P 的坐标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB 面积最大时，把抛物线y=﹣x+3 向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y'，在新抛物线y'上是否存在点E，使△ECB 的面积等于△PCB 的面积．若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线l：y=﹣x+1 与x 轴、y 轴分别交于点B、C，经过B、C 两点的抛物线y=x2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD∥x 轴交l 于点D，PE∥y 轴交l 于点E，求PD+PE 的最大值；（3）设F 为直线l 上的点，以A、B、P、F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．。
浙江省2018年中考数学复习函数第15课时二次函数综合题含近9年中考真题试题
第一部分 考点研究第三单元 函数 第15课时 二次函数综合题 浙江近9年中考真题精选（2009-2017）命题点 1 与一次函数结合(杭州必考)1．(2013杭州20题10分)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2．(2014杭州23题12分)复习课中，教师给出关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 是实数)．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过(1，0)点； ②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x >1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．3．(2016杭州22题12分)已知函数y 1＝ax 2＋bx ，y 2＝ax ＋b (ab ≠0)．在同一平面直角坐标系中．(1)若函数y 1的图象过点(－1，0)，函数y 2的图象过点(1，2)，求a ，b 的值； (2)若函数y 2的图象经过y 1的图象的顶点．①求证：2a ＋b ＝0；②当1<x <32时，比较y 1与y 2的大小．4．(2017杭州22题12分)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (x 0，m )和Q (1，n )在函数y 1的图象上．若m <n ，求x 0的取值范围．命题点 2 与几何图形结合类型一 与线段有关的综合题(温州2012.24)5．(2012温州24题14分)如图，经过原点的抛物线y ＝－x 2＋2mx (m >0)与x 轴的另一个交点为A .过点P (1，m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B .记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (B 、C 不重合)．连接CB ，CP . (1)当m ＝3时，求点A 的坐标及BC 的长； (2)当m >1时，连接CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ?(3)过点P 作PE ⊥P C 且PE ＝PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并求出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由．第5题图类型二 与角度有关的综合题(绍兴2考)6．(2013绍兴24题14分)抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y轴交于点C，点D为顶点．(1)求点B及点D的坐标；(2)连接B D，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标；②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．类型三与面积有关的综合题(温州2考)7．(2016温州23题10分)如图，抛物线y＝x2－mx－3(m>0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC.(1)用含m的代数式表示BE的长；(2)当m＝3时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由；(3)作AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G.①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．②连接AE，交OB于点M.若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是________．第7题图类型四与三角形相似有关的综合题8．(2017宁波25题12分)如图，抛物线y ＝14x 2＋14x ＋c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点C (6，152)在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D .(1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点． ①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长(用含m 的代数式表示)．第8题图答案1．解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8；(2分)①当n ＝8时一次函数为y 2＝43x ＋8，y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，第1题解图①∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16， ∴这时抛物线开口向下，B (10，0)，如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2；(5分)②当n ＝－8时一次函数为y 2＝43x －8，y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为A (6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16， ∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；(8分)第1题解图②综上所述，当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2.(10分) 2．解：①是真命题；②是假命题；③是假命题；④是真命题．(2分) 理由如下：①当k ＝0时，原函数变形为y ＝－x ＋1，当x ＝1时，y ＝0，即存在函数y ＝－x ＋1，其图象过(1，0)点，故是真命题；②当k ＝0时，原函数变形为y ＝－x ＋1，图象为直线且过第一、二、四象限，与坐标轴只有两个不同的交点，与总有三个不同交点矛盾，故是假命题；(5分)③由题可知当k ＝1时，函数解析式为y ＝2x 2－5x ，又x ＝－b 2a ＝54>1时，由图象可知当x >1时，y 随x 先减小再增大，故是假命题；(8分) ④当k ≠0时，y ＝4ac －b 24a ＝－24k 2＋18k，当k >0时，函数图象开口向上，y 有最小值，最小值为负数；当k <0时，函数图象开口向下，y 有最大值，最大值为正数，故是真命题．(12分)3．(1)解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，∴a ＝1，b ＝1；(3分)(2)①证明：∵函数y 1的图象的顶点坐标为(－b 2a ，－b24a)，∴a (－b 2a )＋b ＝－b 24a ，即b ＝－b22a ，∵ab ≠0，∴－b ＝2a ， 即证2a ＋b ＝0；(7分)②解：∵b ＝－2a ，∴y 1＝ax (x －2)，y 2＝a (x －2)， ∴y 1－y 2＝a(x －2)(x －1)， ∵1＜x ＜32，∴x －2＜0，x －1＞0，∴(x －2)(x －1)＜0，∴当a ＞0时，a (x －2)(x －1)＜0，即y 1＜y 2， 当a ＜0时，a (x －2)(x －1)＞0，即y 1＞y 2.(12分)4．解：(1)∵函数y 1＝(x ＋a)(x －a －1)图象经过点(1，－2)，∴把x ＝1，y ＝－2代入y 1＝(x ＋a)(x －a －1)得，－2＝(1＋a )(－a )，(2分) 化简得，a 2＋a －2＝0，解得，a 1＝－2，a 2＝1， ∴y 1＝x 2－x －2；(4分)(2)函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)图象在x 轴的交点为(－a ，0)，(a ＋1，0)， ①当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(－a ，0)时， 把x ＝－a ，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中， 得a 2＝b ；(6分)②当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(a ＋1，0)时， 把x ＝a ＋1，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中， 得a 2＋a ＝－b ；(8分)(3)∵抛物线y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴是直线x ＝－a ＋a ＋12＝12，m <n ， ∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大， ∵m <n ，∴点Q 离对称轴x ＝12的距离比点P 离对称轴x ＝12的距离大，(10分)∴|x 0－12|<1－12，∴0<x 0<1.(12分)5．解：(1)当m ＝3时，y ＝－x 2＋6x ， 令y ＝0，得－x 2＋6x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝6， ∴A (6，0)． 当x ＝1时，y ＝5， ∴B (1，5)．∵抛物线y ＝－x 2＋6x 的对称轴为直线x ＝3， 又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝4；(3分)(2)过点C 作CH ⊥x 轴于点H (如解图①)，第5题解图①由已知得∠ACP ＝∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠PCB ， 又∵∠AHC ＝∠PBC ＝90°， ∴△ACH ∽△PCB ，∴AH CH ＝PB BC.∵抛物线y ＝－x 2＋2mx 的对称轴为直线x ＝m ，其中m ＞1， 又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝2(m －1)，∵B (1，2m －1)，P (1，m )， ∴BP ＝m －1，又∵A (2m ，0)，C(2m －1，2m －1)， ∴H (2m －1，0)，∵AH ＝1，CH ＝2m －1， ∴12m －1＝m －12（m －1）， ∴m ＝32；(7分)(3)∵B ，C 不重合，∴m ≠1.(Ⅰ)当m ＞1时，BC ＝2(m －1)，PM ＝m ，BP ＝m －1.(ⅰ)若点E 在x 轴上(如解图①)， ∵∠CPE ＝90°，∴∠MPE ＋∠BPC ＝∠MPE ＋∠MEP ＝90°， ∴∠BPC ＝∠MEP .又∵∠C B P ＝∠PME ＝90°，PC ＝EP ， ∴△BPC ≌△MEP ， ∴BC ＝PM ， ∴2(m －1)＝m ，∴m ＝2，此时点E 的坐标是(2，0)； (ⅱ)若点E 在y 轴上(如解图②)，第5题解图②过点P 作PN ⊥y 轴于点N ， 易证△BPC ≌△NPE ， ∴BP ＝NP ＝OM ＝1，∴m －1＝1， ∴m ＝2，此时点E 的坐标是(0，4)；(11分)(Ⅱ)当0＜m ＜1时，BC ＝2(1－m )，PM ＝m ，BP ＝1－m ， (ⅰ)若点E 在x 轴上(如解图③)，第5题解图③易证△BPC ≌△MEP ， ∴BC ＝PM ， ∴2(1－m )＝m ，∴m ＝23，此时点E 的坐标是(43，0)；(12分)(ⅱ)若点E 在y 轴上(如解图④)，第5题解图④过点P 作PN ⊥y 轴上点N ，易证△BPC ≌△NPE ，∴BP ＝NP ＝OM ＝1， ∴1－m ＝1， ∴m ＝0(舍去)．综上所述，当m ＝2时，点E 的坐标是(2，0)或(0，4)， 当m ＝23时，点E 的坐标是(43，0)．(14分)6．解：(1)∵抛物线y＝(x－3)(x＋1)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，∴当y＝0时，(x－3)(x＋1)＝0，解得x＝3或－1，∴点B的坐标为(3，0)．∵y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点D的坐标为(1，－4)；(4分)(2)①∵抛物线y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3与y轴交于点C，∴C点坐标为(0，－3)．∵对称轴为直线x＝1，∴点E的坐标为(1，0)．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，如解图①所示，则H点坐标为(1，－3)，第6题解图①∴CH＝DH＝1，∴∠CDH＝∠BCO＝∠BCH＝45°，∴CD＝2，CB＝32，BD＝25，∴△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R.∵∠BDE＝∠DCP＝∠QCR，∠CDB＝∠CDE＋∠BDE＝45°＋∠DCP，∠QCO＝∠RCO＋∠QCR＝45°＋∠DCP，∴∠CDB＝∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴OC OQ ＝CD CB ＝13，∴OQ ＝3OC ＝9，即Q (－9，0)．∴直线CQ 的解析式为y ＝－13x －3，直线BD 的解析式为y ＝2x －6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －3y ＝2x －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97y ＝－247，∴点P 的坐标为(97，－247)；(9分)②(Ⅰ)当点M 在对称轴右侧时，若点N 在射线CD 上，如解图②所示，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G.第6题解图②∵∠CMN ＝∠BDE ，∠CNM ＝∠BED ＝90°，∴△MCN ∽△DBE ，∴CN MN ＝BE DE ＝12，∵MN ＝2CN ，设CN ＝a ，则MN ＝2a ，∵∠CDE ＝∠DCF ＝45°，∴△CNF，△MGF 均为等腰直角三角形，∴NF ＝CN ＝a ，CF ＝2a ，∴MF ＝MN ＋NF ＝3a ，∴MG ＝FG ＝322a ，∴CG ＝FG －FC ＝22a ，∴M (322a ，－3＋22a )， 代入抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)，解得a ＝729，∴M (73，－209)，若点N 在射线DC 上，如解图③所示，MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G .第6题解图③∵∠CMN ＝∠BDE ，∠CN M ＝∠BED ＝90°，∴△MCN ∽△DBE ，∴CNMN ＝BEDE ＝12，∴MN ＝2CN ，设CN ＝a ，则MN ＝2a .∵∠CDE ＝45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形，∴NF ＝CN ＝a ，CF ＝2a ，∴MF ＝MN －NF ＝a ，∴MG ＝FG ＝22a ，∴CG ＝FG ＋FC ＝322a ，∴M (22a ，－3＋322a )，代入抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)，解得a ＝52，∴M (5，12)；(Ⅱ)当点M 在对称轴左侧时，∵∠CMN ＝∠BDE ＜45°，∴∠MCN ＞45°，而抛物线左侧任意一点K ，都有∠KCN ＜45°，∴点M 不存在． 综上可知，点M 坐标为(73，－209)或(5，12)．(14分) 7．解：(1)∵抛物线的对称轴是x ＝m2，∴AC ＝m ，∴BE ＝2AC ＝2m ；(3分)(2)当m ＝ 3 时，点D 落在抛物线上，理由如下：∵m ＝3，∴AC ＝3，BE ＝23，y ＝x 2－3x －3，把x ＝23代入y ＝x 2－3x －3，得y ＝(23)2－3³23－3＝3，∴OE ＝3＝OC ，∵∠DEO ＝∠ACO ＝90°，∠DOE ＝∠AOC ，∴△OED ≌△OCA ，∴DE ＝AC ＝3，∴D (－3，3)，∴把x ＝－3代入y ＝x 2－3x －3，得y ＝(－3)2－3³(－3)－3＝3，∴点D 落在抛物线上；(7分)(3)①由(1)得BE ＝2m ，则点B 的横坐标为2m ，如解图①，当x ＝2m 时，y ＝2m 2－3，则点B 的纵坐标为2m 2－3，∴OE ＝2m 2－3.第7题解图①∵AG ∥y 轴，∴EG ＝AC ＝12BE ， ∴FG ＝12OE ， ∵S △DOE ＝S △BGF ，即12DE ²OE ＝12BG ²FG ，∴DE ＝12BG ＝12AC .∵∠DOE ＝∠AOC ，∴tan∠DOE ＝tan∠AOC ，∵∠DEO ＝∠ACO ＝90°，∴DE OE ＝AC OC ，∴OE ＝12OC ＝32，∴2m 2－3＝32，∴m ＝±32，又∵m >0，∴m ＝32；(8分) ②322.(10分)【解法提示】由①知B (2m ，2m 2－3)，E(0，2m 2－3)，A(m ，－3)， ∵G 是BE 的中点，∴GF ＝m 2－32，则AF ＝m 2＋32，易得直线BO 的解析式为y ＝2m 2－32m x ，设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1m ＋b 1＝－3b 1＝2m2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2mb 1＝2m 2－3，∴直线AE 的解析式为y ＝－2mx ＋2m 2－3.联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx ＋2m 2－3y ＝2m 2－32m x，解得x ＝（2m 2－3）²2m6m －3，∴点M 的横坐标为（2m 2－3）²2m6m 2－3.如解图②，过点M 作MN ⊥AG 于点N ，第7题解图②则MN ＝m －（2m 2－3）²2m6m 2－3＝2m 3＋3m6m 2－3，由S △BGF ＝S △AMF 得12MN ²AF ＝12GB ²GF ，即2m 3＋3m 6m 2－3²(m 2＋32)＝m ²(m 2－32)，解得m ＝322，或m ＝0(舍去)，或m ＝－322(舍去)．8．解：(1)把点C (6，152)代入y ＝14x 2＋14x ＋c ，得152＝9＋32＋c ，解得c ＝－3，(1分)∴y ＝14x 2＋14x －3，当y ＝0时，14x 2＋14x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3，∴A (－4，0)，(2分)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (－4，0)，C (6，152)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b 152＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3，∴直线AC 的函数表达式为y ＝34x ＋3；(4分)(2)①∵在Rt △AOB 中，tan∠OAB ＝OB OA ＝34.在Rt △AOD 中，tan∠OAD ＝OD OA ＝34，∴∠OAB ＝∠OAD ，(6分)∵在Rt△PO Q 中，M 为PQ 中点，∴OM ＝MP ，∴∠MOP ＝∠MPO ，∵∠MOP＝∠AON，∴∠APM ＝∠AON ，∴△APM ∽△AON ；(8分)②如解图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E .第8题解图 又∵OM ＝MP ，∴OE ＝EP ，∵点M 横坐标为m ，∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4，(9分) ∵tan∠OAD ＝34，∴cos∠EAM ＝cos∠OAD ＝45，∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4，(10分)∵△APM ∽△AON ，∴AM AN ＝AP AO ，(11分)∴AN ＝AM²AO AP ＝5m ＋202m ＋4.(12分)。
2018年中考数学第一轮复习---二次函数
2018年中考数学第一轮复习--- 二次函数及其综合应用(部分难题附答案）【中考目标】1。
理解二次函数的概念; 会用描点法画二次函数的图象；利用二次函数的图象，理解二次函数的增减性、最值；会求解析式中字母的值等;2.会把二次函数的一般式化为顶点式,会确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向；3.掌握二次函数平移的规律；4.掌握二次函数与一元二次方程的关系；会用待定系数法求二次函数的解析式； 5。
掌握二次函数、一次函数、反比例函数中的两个函数图像交点的意义并运用;6.会分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小)值；7.掌握二次函数与平面图形等知识的综合应用。
【中考知识清单】一、二次函数的定义:一般地,如果y= （a 、b 、c 是常数,a≠0）那么y 叫做x 的二次函数. 二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的图象是一条 ，其顶点坐标为 对称轴是2、在抛物y=ax 2+bx+c （a ≠0)中：当a 〉0时,开口向 ，当x<—2b a时，y 随x 的增大而 ,当x时，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向 当x<-2b a时,y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x增大而减小。
注意如下图几个特殊形式的抛物线的特点，分别写出它们的表达式:（1） ， ⑵ ， ⑶ ， （4） . 三、二次函数的三种表达式1.一般式： （a,b ，c 为常数,a ≠0)2.顶点式： （a ≠0，a 、h 、k 为常数）,它直接显示二次函数的顶点坐标是 。
3.两根式： （a ≠0,a 、1x 、2x 为常数),其中1x 、2x 是图象与x 轴交点的横坐标.4。
三种表达式之间的关系： 顶点式 −−−←配方一般式−−−→−因式分解两根式 四、二次函数图象的平移二次函数的平移问题本质可看作是顶点问题的平移，要掌握抛物线的平移，只要找准顶点平移即可.五、二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与字母系数之间的关系：a:开口方向 ：向上则a 0，向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越b:对称轴位置，与a 、b 联系,用 ；判断b=0时，对称轴是c ：与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0;负半轴上则c 0；当c=0时，抛物过 点d:特殊值判断：在抛物线y = ax 2+bx+c 中,当x=1时,y= ；当x=—1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号.六、二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点交点的 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解．二次函数图象与x 轴交点个数b 2－4ac ＞0 二次函数图象与x 轴有______个交点．b 2－4ac ＝0 二次函数图象与x 轴有______个交点． b 2－4ac ＜0 二次函数图象与x 轴______交点．二次函数图象与不等式利用图象求不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0的解集。
中考数学一轮专练：二次函数(二)
中考数学一轮专练：二次函数（二）一、单选题1．将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能够成等边三角形，那么平移的距离为（）A．1个单位B．√3个单位C．52个单位D．32个单位2．某商品原价800元，连续两次降价a%后售价为578元，下列所列方程正确的是（）A．800（1+a%）2=578B．800（1﹣a%）2=578C．800（1﹣2a%）=578D．800（1﹣a2%）=5783．把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=x2+1B．y=（x+1）2C．y=x2﹣1D．y=（x﹣1）24．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（）A．﹣45B．﹣20C．﹣4D．05．已知一次函数y＝ax＋b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（）A．B．C．D．6．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y＝﹣15 x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m7．若一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2﹣mx（）A．有最大值m4B．有最大值﹣m4C．有最小值m4D．有最小值﹣m48．在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A．y=x2﹣2B．y=x2+2C．y=（x﹣2）2D．y=（x+2）29．将抛物线y=x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（）A．y=(x+1)2−1B．y=(x−1)2−1C．y=(x+1)2+1D．y=(x−1)2+110．对于二次函数y=3x2+2，下列说法错误的是（）A．其最小值为2B．其图象与y轴没有公共点C．当x<0时，y随x的增大而减小D．其图象的对称轴是y轴二、填空题11．已知点A（﹣2，y1），B（√2，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．（用“＞”号连接）12．函数y=(m−1)x m2+1−2mx+1的图象是抛物线，则m= ．13．小明在研究抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1（ℎ为常数）时，得到如下结论：①无论x取何实数，y的值都小于0；②该抛物线的顶点始终在直线y=-x+1上；③当x<2时，y随x的增大而增大，则ℎ<2；④该抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1<x2，x1+x2>2ℎ，则y1>y2 .其中一定正确的是（填序号即可）.14．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0；已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 .15．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是.16．函数y=(m−3)x m2−2m−1的图像是开口向下的抛物线，则.17．在平面直角坐标系中，已知A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．18．若二次函数y=kx2−4x+3的函数值恒大于0，则k取值范围是.三、解答题19．已知二次函数y=12x2−3x+4 ,将其配方成y=a(x−k)2+ℎ的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.20．已知函数y=（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．21．若二次函数y =x 2+bx −3的对称轴为直线x =1，求关于x 的方程x 2+bx −3=5的解.22．已知二次函数y=a （x ﹣h ）2+k 当x=﹣1时，有最小值﹣4，且当x=0时，y=﹣3，求二次函数的解析式．23．设x i （i=1，2，3，…，n ）为任意代数式，我们规定：y=max{x 1，x 2，…，x n }表示x 1，x 2，…，x n 中的最大值，如y=max{1，2}=2． （1）求y=max{x ，3}；（2）借助函数图象，解不等式max{x+1，1x}≥2；（3）若y=max{|1﹣x|，12x+a ，x 2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a 的值．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】y1>y 3>y 212．【答案】-1 13．【答案】②④14．【答案】y=（x ﹣2）2+1 15．【答案】-2＜k ＜1216．【答案】-1 17．【答案】4 18．【答案】k >4319．【答案】解： y =12x 2−3x +4=12(x −3)2−12开口方向向上顶点坐标是 (3,−12)对称轴是直线 x =320．【答案】解：（1）①当m=1，n ≠﹣2时，函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y=0时，（n+1）x m +mx+1﹣n=0，∴x=1−n n+2，∴函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m=2，n ≠﹣1时，函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y=0时，y=（n+1）x m +mx+1﹣n=0，即：（n+1）x 2+2x+1﹣n=0， △=22﹣4（1+n ）（1﹣n ）=4n 2≥0；∴函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n=﹣1，m ≠0时，函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n 是一次函数，当y=0时，x=n−1m ，∴函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）与x 轴有交点； （2）①假命题，若它是一个二次函数， 则m=2，函数y=（n+1）x 2+2x+1﹣n ， ∵n ＞﹣1，∴n+1＞0， 抛物线开口向上，对称轴：﹣b 2a=−22(n+1)=﹣1n+1＜0，∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小， ②当x=1时，y=n+1+2+1﹣n=4． 当x=﹣1时，y=0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．21．【答案】解：∵二次函数y =x 2+bx −3的对称轴为直线x =1，∴x =−b 2a =−b2×1=1， 解得b =−2.将b =−2代入x 2+bx −3=5中，得：x 2−2x −3=5， 解得x 1=−2，x 2=4.22．【答案】解：设y=a （x+1）2﹣4则﹣3=a （0+1）2﹣4 ∴a=1，∴二次函数的解析式为：y=（x+1）2﹣4 23．【答案】解：（1）y={x (x ≥3)3(x <3)；（2）①由图可知，不等式式max{x+1，1x }≥2的解集为0<x ≤12或x ≥1；②由图可知，最小值为y=12x+a与抛物线y=x2﹣4x+3的交点，∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣√2，x2=2+√2（舍去），∴12×（2﹣√2）+a=1，解得a=√22．。
2018-2019学年浙教版九年级上数学专题复习二：二次函数图象与系数的关系含答案
专题复习二 二次函数图象与系数的关系(1)系数a 决定抛物线的开口方向和大小，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.(2)对称轴在y 轴的左侧，a ，b 同号；对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号.(3)c>0时，图象与y 轴交点在x 轴上方；c=0时，图象过原点；c<0时，图象与y 轴交点在x 轴下方.(4)b 2-4ac 的符号决定抛物线与坐标轴的交点个数.1.已知二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么a ，b 的符号为(C ).A.a ＞0，b ＞0B.a ＜0，b ＞0C.a ＞0，b ＜0D.a ＜0，b ＜0 (第1题) (第2题) (第5题)2.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，对称轴是直线x=1，则下列结论错误的是(D ).A.c ＞0B.2a+b=0C.b 2-4ac ＞0D.a-b+c ＞03.二次函数y=ax 2-a 与反比例函数y=xa (a ≠0)在同一平面直角坐标系中可能的图象为(A ). A. B. C. D.4.二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点(D ).A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)5.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b 2-4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c-a=2；④方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有(C ).A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M(a ，c)在第 三 象限.7.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1，给出以下结论：（第7题）①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③4b+c ＜0；④若B （-25，y 1），C （-21，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2； ⑤当-3≤x ≤1时，y ≥0.其中正确的结论有 ②③⑤ (填序号).8.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，顶点落在第二象限．(1)试确定a ，b ，b 2-4ac 的符号，并简述理由．(2)若此二次函数的图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为32，求抛物线的二次函数的表达式．【答案】(1)∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵顶点在第二象限，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-044022ab ac a b ，∴b ＜0，b 2-4ac ＞0. (2)由题意可得c=0，此时顶点坐标为（-a b 2，-a b 42）.∵顶点在直线x+y=0上，∴-a b 2-ab 42=0. ∴b=-2.此时顶点坐标为（a 1，-a 1）.∴21a +21a =(32)2.∴a=-31或a=31 (舍去).∴抛物线的函数表达式为y=-31x 2-2x. 9.已知函数y=x 2-2mx 的顶点为点D.(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示).(2)求函数y=x 2-2mx 的图象与x 轴的交点坐标.(3)若函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围.【答案】(1)y=x 2-2mx=(x-m)2-m 2，∴顶点D(m ，-m 2).(2)令y=0，得x 2-2mx=0，解得x 1=0，x 2=2m.∴函数的图象与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2m ，0).(3)∵函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方.∴-m 2＞m ，即m 2+m ＜0.∴m 的取值范围是-1＜m ＜0.10.已知抛物线y=ax 2+3x+(a-2)，a 是常数且a ＜0，下列选项中，可能是它大致图象的是(B ).A. B. C. D.11.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①4ac-b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m(am+b)+b ＜a(m ≠-1).其中正确的结论有(B ).A.4个B.3个C.2个D.1个(第11题) (第12题) （第14题）(第15题)12.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，则下列结论：①b 2-4c ＜0；②c-b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+(b-1)x+c ＜0．其中正确结论的个数为(C ).A.1B.2C.3D.413.二次函数y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(-1，0).设t=a+b+1，则t 的取值范围是 0＜t ＜2 ．14.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a b 的值为 -2 ，a c 的取值范围是 -8＜ac ＜-3.【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=-a b 2=1，即ab =-2.由图象知当x=-2时，y ＞0，即4a-2b+c ＞0①，当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0②，将b=-2a 代入①②，得c ＞-8a ，c ＜-3a.又∵a ＞0，∴-8＜ca ＜-3.15.如图所示为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A ，B ，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则a ，b 之间满足的关系式为 a-b+1=0 ．(第16题)16.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象.(1)判断a ，b ，c 及b 2-4ac 的符号．(2)若OA=OB ，求证：ac+b+1=0．【答案】(1)a>0,b<0,c<0,b 2-4ac>0.(2)∵OA=OB ，且OB=|c|=-c ，∴ax 2+bx+c=0有一根为x=c.∴ac 2+bc+c=0.∴ac+b+1=0.17.对于二次函数y=ax 2+bx+c ，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x 2+2x+2)．(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的函数表达式： y=21x 2+21x .(不必证明) (2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=21x 2+21x (2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=c;当x=1时,y=a+b+c.由整点抛物线定义知：c 为整数，a+b+c 为整数，∴a+b 必为整数.又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b ）+c 是整数，∴2a 必为整数.∴|a|≥21.∴不存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线.（第18题）18.【攀枝花】二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列命题中，正确的是(D ).A.a ＞b ＞cB.一次函数y=ax+c 的图象不经过第四象限C.m(am+b)+b ＜a(m 是任意实数)D.3b+2c ＞0【解析】由二次函数的图象可知a ＞0，c ＜0；由x=-1得-ab 2=-1，故b ＞0，b=2a ，则b ＞a ＞c ，故A 错误.∵a ＞0，c ＜0，∴一次函数y=ax+c 的图象经过第一、三、四象限，故B 错误.当x=-1时，y 最小，即a-b+c 最小，故a-b+c＜am 2+bm+c ，即m(am+b)+b ＞a ，故C 错误.由图象可知当x=1时y ＞0,即a+b+c ＞0，∵b=2a ，∴a=21b.∴21b+b+c ＞0.∴3b+2c ＞0，故D 正确.故选D. 19.【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=(x+a)(x-a-1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，-2)，求函数y 1的表达式.(2)若一次函数y 2=ax+b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的表达式.(3)已知点P(x 0，m)和点Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围.【答案】(1)函数y 1的图象经过点(1，-2)，得(a+1)(-a)=-2，解得a 1=-2，a 2=1.当a1=-2时，y1=(x-2)(x+2-1)=x 2-x-2；当a2=1时，y1=(x+1)(x-2)=x 2-x-2.综上所述，函数y1的表达式为y=x 2-x-2.(2)当y=0时，(x+a)(x-a-1)=0，解得x 1=-a ，x 2=a+1.∴y 1的图象与x 轴的交点是(-a ，0)，(a+1，0).当y2=ax+b 经过(-a ，0)时，-a 2+b=0，即b=a 2；当y2=ax+b 经过(a+1，0)时，a 2+a+b=0，即b=-a 2-a.(3)由题意知，函数y 1的对称轴为直线x=21.当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m ＜n ，得0＜x 0≤21；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得21＜x 0＜1.综上所述，m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1.20.如图所示，二次函数y=ax 2+2ax-3a(a ≠0)图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 右侧)，点H ，B 关于直线l:y=33x+3对称． (1)求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上.(2)求二次函数的表达式.(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于点K,M,N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN,NM,MK ，求HN+NM+MK 的最小值．(第20题) 图1图2（第20题答图） 【答案】(1)由题意得ax 2+2ax-3a=0(a ≠0)，解得x 1=-3,x 2=1.∴点A 的坐标为(-3,0),点B 的坐标为(1,0).∵直线y=33x+3,当x=-3时,y=33×(-3)+ 3=0,∴点A 在直线l 上.(2)∵点H ，B 关于过点A 的直线y=33x+3对称,∴AH=AB=4.∵AH=BH ，∴△ABH 为正三角形.如答图1所示，过顶点H 作HC ⊥AB 于点C ，则AC=21AB=2,HC=23,∴顶点H(-1,23)，代入二次函数表达式,解得a=-23.∴二次函数表达式为y=-23x 2-3x+233. (3)易求得直线AH 的函数表达式为y=3x+33，直线BK 的函数表达式为y=3x-3.由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=33333x y x y ,解得⎩⎨⎧==323y x ,即K(3,23).∴BK=4.∵点H ，B 关于直线AK 对称,∴HN+MN 的最小值是MB.如答图2所示，过点K 作直线AH 的对称点Q,连结QK,交直线AH 于点E ，则QM=MK,QE=EK=KD=23,则QK=43,AE ⊥QK.∴BM+MK 的最小值是BQ,即BQ 的长是HN+NM+MK 的最小值.∵BK ∥AH,∴∠BKQ=∠HEQ=90°.由勾股定理可求得QB=8.∴HN+NM+MK 和的最小值为8.。
2018年二次函数中考选择填空题(带的答案解析)
2018二次函数中考选择填空题（难）一．选择题（共18小题）1．（2018•杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁2．（2018•泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．或C．D．13．（2018•齐齐哈尔）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2018•连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m5．（2018•贵阳）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2 6．（2018•乐山）二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．a=3±2B．﹣1≤a＜2C．a=3或﹣≤a＜2 D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣7．（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确10．（2018•莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y ＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 11．（2018•陕西）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．（2018•呼和浩特）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣413．（2018•荆门）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a 的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥15．（2018•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）16．（2018•兰州）如图，抛物线y=x2﹣7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣＜m＜﹣ B．﹣＜m＜﹣ C．﹣＜m＜﹣ D．﹣＜m＜﹣17．（2018•巴中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m18．（2018•济南）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y=mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2二．填空题（共5小题）19．（2018•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．20．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为．21．（2018•黔西南州）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是．22．（2018•南充）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=﹣时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确结论是（填写序号）．23．（2018•淄博）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为．2018年10月05日初中数学的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2018•杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，∴乙的结论不正确；当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．2．（2018•泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．或C．D．1【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．3．（2018•齐齐哈尔）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①利用抛物线对称轴方程可判定；②与y轴相交设x=0，问题可解；③当抛物线过A（﹣1，2）时，带入可以的到2n=3﹣5m，函数关系式中只含有参数m，由抛物线与x轴有两个公共点，则由一元二次方程根的判别式可求；④求出线段AB端点坐标，画图象研究临界点问题可解；⑤把不等式问题转化为函数图象问题，答案易得．【解答】解：抛物线对称轴为直线x=﹣故①正确；当x=0时，y=2n﹣1故②错误；把A点坐标（﹣1，2）代入抛物线解析式得：2=m+4m+2n﹣1整理得：2n=3﹣5m带入y1=mx2﹣4mx+2n﹣1整理的：y1=mx2﹣4mx+2﹣5m由图象可知，抛物线交y轴于负半轴，则：2﹣5m＜0即m＞故③正确；由抛物线的对称性，点B坐标为（5，2）当y2=ax2的图象分别过点A、B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a的值分别为a=2、a=a的取值范围是≤a＜2；故④正确；不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解可以看做是，抛物线y1=mx2﹣4mx+2n﹣1位于直线y=﹣1上方的部分，由图象可知，其此时x的取值范围使y1=mx2﹣4mx+2n﹣1函数图象分别位于轴上下方故⑤错误；故选：B．【点评】本题为二次函数综合性问题，考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与x轴交点个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式．4．（2018•连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t=10时h=141m，此选项错误；D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．5．（2018•贵阳）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．【解答】解：如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x ﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．6．（2018•乐山）二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．a=3±2B．﹣1≤a＜2C．a=3或﹣≤a＜2 D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣【分析】根据二次函数的图象性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：方程x2+（a﹣2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，即x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，当△=0时，即（a﹣3）2﹣12=0a=3±2当a=3+2时，此时x=﹣，不满足题意，当a=3﹣2时，此时x=，满足题意，当△＞0时，令y=x2+（a﹣3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：﹣1≤a≤，当a=﹣1时，此时x=1或3，满足题意；当a=﹣时，此时x=2或x=，不满足题意，综上所述，a=3﹣2或﹣1≤a＜，故选：D．【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案，本题属于中等题型．7．（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．8．（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），∵，∴y1＜y2，故③正确，④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，∴﹣＜a＜﹣，故④正确故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．9．（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=1，3，4，5【解答】解：∵抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式得x2﹣2x+2﹣c=0△=（﹣2）2﹣4（2﹣c）=0解得c=1②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c min=2，但取不到，c max=5，能取到∴2＜c≤5又∵c为整数∴c=3，4，5综上，c=1，3，4，5故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．10．（2018•莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y ＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=﹣=﹣1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11．（2018•陕西）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把x=1代入解析式，根据y＞0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．【解答】解：把x=1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，解得：a＞1，所以可得：﹣，，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：C．【点评】此题考查抛物线与x轴的交点，关键是得出a的取值范围，利用二次函数的性质解答．12．（2018•呼和浩特）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4【分析】根据题意得到关于二次函数与反比例函数的函数值的大小关系，然后利用函数图象得到自变量为和1对应的关于m的不等式，再解关于m的不等式组即可．【解答】解：∵2x3﹣x2﹣mx＞2，∴2x2﹣x﹣m＞，抛物线y=2x2﹣x﹣m的开口向上，对称轴为直线x=，而双曲线y=分布在第一、三象限，∵＜x≤1，2x2﹣x﹣m＞，∴x=时，2×﹣﹣m≥4，解得m≤﹣4，x=1时，2﹣1﹣m＞2，解得m＜﹣1，∴实数m的取值范围是m≤﹣4．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值范围．13．（2018•荆门）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣=﹣2，=﹣9a，∴b=4a，c=﹣5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a 的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2﹣x+2．观察图象可知当a＜0时，x=﹣1时，y≤2时，且﹣≥﹣1，满足条件，可得a ≤﹣1；当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且﹣≤2满足条件，∴a≥，∵直线MN的解析式为y=﹣x+，由，消去y得到，3ax2﹣2x+1=0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或≤a＜，故选：A．【点评】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（2018•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．16．（2018•兰州）如图，抛物线y=x2﹣7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣＜m＜﹣ B．﹣＜m＜﹣ C．﹣＜m＜﹣ D．﹣＜m＜﹣【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m 与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案【解答】解：∵抛物线y=x2﹣7x+与x轴交于点A、B∴B（5，0），A（9，0）∴抛物线向左平移4个单位长度∴平移后解析式y=（x﹣3）2﹣2当直线y=x+m过B点，有2个交点∴0=+mm=﹣当直线y=x+m与抛物线C2相切时，有2个交点∴x+m=（x﹣3）2﹣2x2﹣7x+5﹣2m=0∵相切∴△=49﹣20+8m=0∴m=﹣如图∵若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，∴﹣﹣＜m＜﹣故选：C．【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．17．（2018•巴中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2，5时，即可求得结论．【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，∴a=﹣，∴y=﹣x2+3.5．故本选项正确；B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，∴当x=﹣2.5时，h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．18．（2018•济南）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y=mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围【解答】解：∵y=mx2﹣4mx+4m﹣2=m（x﹣2）2﹣2且m＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x=2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．将（1，﹣1）代入y=mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1=m﹣4m+4m﹣2．解得m=1．此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+2．由y=0得x2﹣4x+2=0．解得x1=2﹣≈0.6，x2=2+≈3.4．∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m=1时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m=1时）答案图2（m=时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．将（0，0）代入y=mx2﹣4mx+4m﹣2得到0=0﹣4m+0﹣2．解得m=．此时抛物线解析式为y=x2﹣2x．当x=1时，得y=×1﹣2×1=﹣＜﹣1．∴点（1，﹣1）符合题意．当x=3时，得y=×9﹣2×3=﹣＜﹣1．∴点（3，﹣1）符合题意．综上可知：当m=时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m=不符合题．∴m＞．综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围城的区域（含边界）内有七个整点，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．二．填空题（共5小题）19．（2018•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是﹣2．【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（﹣，﹣），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为（﹣，﹣）．∵抛物线y=ax2过点B，∴﹣=a（﹣）2，解得：b1=0（舍去），b2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b 的方程是解题的关键．20．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为3．【分析】解方程x2+mx=0得A（﹣m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（﹣1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．【解答】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，2），∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3．故答案为3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．21．（2018•黔西南州）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．22．（2018•南充）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=﹣时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确结论是②④（填写序号）．【分析】利用二次函数的性质一一判断即可；【解答】解：∵﹣＜，a＞0，∴a＞﹣b，∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误，若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，∴ax2+bx+c﹣t=0有实数解要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c﹣t≤c﹣n；故③错误，设抛物线的对称轴交x轴于H．∵=﹣，∴b2﹣4ac=4，∴x==，∴|x1﹣x2|=，∴AB=2PH，∵BH=AH，∴PH=BH=AH，∴△PAB是直角三角形，∵PA=PB，∴△PAB是等腰直角三角形．。
2018届中考数学复习《二次函数的综合问题》专题训练题及答案
二次函数的综合问题例1。
如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．不存在，请说明理由．图1例2。
2014年苏州市中考第29题如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：ADAE为定值；为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1练习1、如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．图1练习2、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；的坐标；（3）若直线l 过点E(4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．的解析式．图1练习3．（2015苏州）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ．（1）∠ABC 的度数为 ▲ ▲ °；°；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．在，请说明理由．练习4．（2016苏州）如图，直线:33l y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ． (1)求该地物线的函数表达式；求该地物线的函数表达式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ．设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ．求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；的最大值； (3)在(2)的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M ¢. ①写出点M ¢的坐标；的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ¢，当直线l ¢与直线AM ¢重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l ¢与线段BM ¢交于点C ．设点B 、M ¢到直线l ¢的距离分别为的距离分别为 1d 、2d ，当12d d +最大时，求直线l ¢旋转的角度（即∠BAC 的度数）．练习5．（2017苏州）如图，二次函数y=x 2+bx +c 的图象与x 轴交于轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OB=OC ．点D 在函数图象上，CD ∥x 轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．物线的顶点．（1）求b 、c 的值；的值；（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F'恰好在线段BE 上，求点Fy xOPCBAl （第27题）题）的坐标；的坐标；（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．的坐标；如果不存在，说明理由．参考答案： 例1。
浙江省2018年中考数学复习函数第13课时二次函数的图像及性质含近9年中考真题试题
第一部分考点研究第三单元函数第13课时二次函数的图像及性质浙江近9年中考真题精选（2009-2017）命题点1抛物线的对称性及对称轴(杭州2017.9，台州2015.7，绍兴2016.9) 1．(2016衢州7题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( )A. 直线x＝－3B. 直线x＝－2C. 直线x＝－1D. 直线x＝02．(2015台州7题4分)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A. (1，0)B. (3，0)C. (－3，0)D. (0，－4)3．(2014宁波12题4分)已知点A(a－2b，2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )A. (－3，7)B. (1，7)C. (－4，10)D. (0，10)4．(2015宁波11题4分)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x 轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )A. 1B. －1C. 2D. －25．(2016绍兴9题4分)抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是( )A. 4B. 6C. 8D. 106．(2017杭州9题3分)设直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是实数，且a <0)的图象的对称轴( )A. 若m >1，则(m －1)a ＋b >0B. 若m >1，则(m －1)a ＋b <0C. 若m <1，则(m －1)a ＋b >0D. 若m <1，则(m －1)a ＋b <0命题点 2 二次函数的增减性及最值(杭州2015.13)7．(2012衢州10题3分)已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( ) A. y 1>y 2>y 3 B. y 1＜y 2＜y 3 C. y 2>y 3>y 1 D. y 2＜y 3＜y 18．(2016舟山10题3分)二次函数y ＝－(x －1)2＋5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m ＋n 的值为( ) A. 52 B. 2 C. 32 D. 129．(2014嘉兴10题4分)当－2≤x ≤1时，二次函数y ＝－(x －m )2＋m 2＋1有最大值4，则实数m 的值为( )A. －74B. 3或－ 3C. 2或－ 3D. 2或3或－7410．(2017嘉兴10题3分)下列关于函数y ＝x 2－6x ＋10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x ＝3＋n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n ＋1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0＋1)，其中a >0，b >0，则a ＜b .其中真命题的序号是( )A. ①B. ②C. ③D. ④11．(2015杭州13题4分)函数y ＝x 2＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝________；当1<x <2时，y 随x 的增大而________(填写“增大”或“减小”)． 命题点 3 二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系12．(2013宁波10题3分)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，0)，下列结论中，正确的一项是( ) A. abc <0 B. 2a ＋b <0 C. a －b ＋c <0 D. 4ac －b 2<0第12题图13．(2013义乌10题3分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x >3时，y ＜0；②3a ＋b >0；③－1≤a ≤－23；④3≤n ≤4中，正确的是( )A. ①②B. ③④C. ①④D. ①③第13题图命题点 4 二次函数解析式的确定(杭州2014.15，绍兴2015.21)14．(2014杭州15题4分)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__________．15．(2015绍兴21题10分)如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y ＝2x 2＋3x －4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y ＝－x 2＋2bx ＋c ＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．命题点 5 二次函数图象的平移及旋转(杭州2015.20，绍兴3考)16．(2017丽水8题3分)将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A. 向左平移1个单位B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移1个单位17．(2017绍兴9题4分)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A. y ＝x 2＋8x ＋14 B. y ＝x 2－8x ＋14 C. y ＝x 2＋4x ＋3 D. y ＝x 2－4x ＋318．(2012宁波17题3分)把二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．19．(2015宁波23题10分)已知抛物线y ＝(x －m )2－(x －m )，其中m 是常数． (1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52.①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点． 20．(2014绍兴22题12分)如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y ＝x 2＋px ＋q ，我们称[p ，q ]为此函数的特征数，如函数y ＝x 2＋2x ＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?命题点 6 二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系(杭州2考)21．(2015杭州10题3分)设二次函数y 1＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0，x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2＝dx ＋e (d ≠0)的图象交于点(x 1，0)．若函数y ＝y 1＋y 2的图象与x 轴仅有一个交点，则( )A. a (x 1－x 2)＝dB. a (x 2－x 1)＝dC. a (x 1－x 2)2＝d D. a (x 1＋x 2)2＝d22. (2013杭州10题3分)给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x的图象第22题图①如果1a>a >a 2，那么0<a <1；②如果a 2>a >1a，那么a >1；③如果1a>a 2>a ，那么－1<a <0；④如果a 2>1a>a 时，那么a <－1.则( )A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④C. 正确的命题是①②D. 错误．．的命题只有③ 23．(2016衢州22题10分)已知二次函数y ＝x 2＋x 的图象，如图所示．(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x 2＋x ＝1的根在图上近似地表示出来(描．点．)，并观察图象，写出方程x 2＋x ＝1的根(精确到0.1)． (2)在同一直角坐标系中画出一次函数y ＝12x ＋32的图象，观察图象写出自变量x 取值在什么范围时，一次函数的值小于．．二次函数的值． (3)如图，点P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P 是否在函数y ＝12x ＋32的图象上，请说明理由．第23题图答案1．B 【解析】由表格的数据可以看出，x ＝－3和x ＝－1时y 的值相同都是－3，所以可以判断出，点(－3，－3)和点(－1，－3)关于二次函数的对称轴对称，利用公式x ＝x 1＋x 22可求出对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝－3－12＝－42＝－2.故选B.2．B 【解析】先求出二次函数图象的对称轴，再确定选项．∵二次函数为y ＝(x －3)2－4，∴对称轴为x ＝3，在(1，0)，(3，0)，(－3，0)，(0，－4)四点中只有(3，0)在直线x ＝3上．故选B.3．D 【解析】∵点A (a －2b ，2－4ab )在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，∴(a －2b )2＋4×(a －2b )＋10＝2－4ab , a 2－4ab ＋4b 2＋4a －8b ＋10＝2－4ab , (a ＋2)2＋4(b －1)2＝0，∴a ＋2＝0，b －1＝0, 解得a ＝－2，b ＝1，∴a －2b ＝－2－2×1＝－4, 2－4ab ＝2－4×(－2)×1＝10，∴点A 的坐标为(－4，10)，∵对称轴为直线x ＝－42×1＝－2，∴点A 关于对称轴的对称点的坐标为(0，10)．4．A 【解析】本题考查抛物线的性质以及待定系数法．∵抛物线y ＝a (x －4)2－4(a ≠0)，∴其对称轴为直线x ＝4.∵抛物线在2＜x ＜3的部分位于x 轴下方，∴根据对称性可知5＜x ＜6的部分在x 轴下方，又∵抛物线上6＜x ＜7的部分在x 轴的上方，∴必然有x ＝6时，y ＝0，将点(6，0)代入抛物线解析式得0＝a (6－4)2－4，解得a ＝1.5．A 【解析】 由题知，对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则有1≤－b2≤3，可得到：－6≤b ≤－2，由二次函数经过点A (2，6)，代入可得：4＋2b ＋c ＝6，∴b ＝2－c 2，∴－6≤2－c2≤－2, 解得6≤c ≤14，所以c 的值不可能是4.6．C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b2a＝1，b ＝－2a ，①当m >1时，则m －1>0，∴(m －1)a ＋b ＝ma －a ＋b ＝ma －a －2a ＝a (m －3)，∵a <0，而m －3的正负性无法确定，∴a (m －3)的正负性无法确定，∴A，B 错误；②当m <1时，则m －1<0，∴(m －1)a ＋b ＝ma －a ＋b ＝ma －a －2a ＝a (m －3)，∵a <0，m －3<0，∴a (m －3)>0，∴C 正确，D 错误． 7．A 【解析】∵二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，∴此函数的对称轴为：x ＝－b 2a ＝－－72×（－12）＝－7，∵0<x 1<x 2<x 3，三点都在对称轴右侧，a <0，∴对称轴右侧y 随x 的增大而减小，∴y 1>y 2>y 3.8．D 【解析】由题意可知，m <0，n >0，由题意可分两种情况讨论：①当m ≤0≤x ≤n <1时，x ＝m 时y 取最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5，解得m ＝－2，x ＝n 时y 取最大值，即2n ＝－(n －1)2＋5，解得n ＝2，不符合题意，舍去；②当m ≤0≤x ≤1≤n 时，x ＝1时，y 取最大值，即2n ＝－(1－1)2＋5，解得n ＝52；当1－m >n －1，即m ＋n <2时，函数在x ＝m 处取最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5，解得m ＝2(舍去)或m ＝－2，当1－m <n －1，即m ＋n >2时，x ＝n 处取最小值，即2m ＝－(n －1)2＋5，代入n ＝52，得m ＝118(舍去)．综上，m ＝－2，n ＝52，∴m ＋n ＝12.9．C 【解析】二次函数的对称轴为直线x ＝m ，①当m <－2，x ＝－2时，二次函数有最大值，此时－(－2－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝－74，与m <－2矛盾，故m ＝－74不符合题意；②当－2≤m ≤1，x ＝m 时二次函数有最大值，此时，m 2＋1＝4，解得m 1＝－3，m 2＝3(舍去)；③当m >1，x ＝1时，二次函数有最大值，此时－(1－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝2.综上所述，m 的值为2或－ 3.故选C.10．C 【解析】①∵二次函数的性质：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a >0，则当x ＝－b 2a时，y 有最小值为y ＝4ac －b 24a ，∴当x ＝－（－6）2＝3，y 有最小值为：4×1×10－（－6）24×1＝1，故①是假命题；②根据二次函数的对称性可知，x ＝3＋n 与x ＝3－n 的函数值相等，故②是假命题；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n ＋1时，y 随x 的增大而增大，且y 的最小值为：y ＝n 2－6n ＋10为整数值，y 的最大值为：y ＝n 2－4n ＋5也为整数值，∴y 的整数值共有：(n 2－4n ＋5)－(n 2－6n ＋10)＋1＝2n －4(个)，故③是真命题；④∵二次函数的二次项系数a ＝1>0，∴当x <3时，y 随x 的增大而减小，若0<a <3，0<b <3时，函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0＋1)，∵y 0<y 0＋1，则a >b ，故④是假命题．11．－1，增大 【解析】把y ＝0代入函数y ＝x 2＋2x ＋1中，得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1；∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上，又∵抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－22×1＝－1，∴当x >－1时，y 随x 的增大而增大，∴当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大．12．D 【解析】A.根据题图知，抛物线开口方向向上，则a >0，抛物线的对称轴x ＝－b2a ＝1>0，则b <0.由抛物线与y 轴交于负半轴，则c <0，所以abc >0.故A 选项错误；B.∵x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0.故B 选项错误；C.∵对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，0)，∴该抛物线与x 轴的另一交点的坐标是(－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0.故C 选项错误；D.根据题图知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，则b 2－4ac >0，则4ac －b 2<0.故D 项正确．13．D 【解析】①∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(3，0)∴根据图示知，当x >3时，y <0.故①正确；②根据图示知，抛物线开口向下，则a <0.∵对称轴x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，∴3a＋b ＝3a －2a ＝a <0，即3a ＋b <0.故②错误；③∵抛物线与x 轴的两个交点坐标分别是(－1，0)，(3，0)，∴－1×3＝－3，∴c a ＝－3，则a ＝－c3.∵抛物线与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，∴2≤c ≤3，∴－1≤－c 3≤－23，即－1≤a ≤－23.故③正确；④根据题意知，a ＝－c 3，－b 2a ＝1，∴b ＝－2a ＝2c 3，∴n ＝a ＋b ＋c ＝43c .∵2≤c ≤3，∴83≤43c ≤4，即83≤n ≤4.故④错误．综上所述，正确的说法有①③. 14．y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2 【解析】∵点C 在直线x ＝2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1或x ＝3，当对称轴为直线x ＝1时，设抛物线解析式为y ＝a (x －1)2＋k ，将A (0，2)，B (4，3)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝29a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18k ＝158，∴y ＝18(x －1)2＋158＝18x 2－14x ＋2；当对称轴为直线x ＝3时，设抛物线解析式为y ＝a (x －3)2＋k ，将A(0，2)，B(4，3)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝39a ＋k ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18k ＝258，∴y ＝－18(x －3)2＋258＝－18x 2＋34x ＋2，综上所述，抛物线的函数解析式为y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2. 15．解：(1)答案不唯一，如：y ＝x 2－2x ＋2；(3分)(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b ，c ＋b 2＋1)，且－1＋2b ＋c ＋1＝1，∴c ＝1－2b ，(5分)∵顶点纵坐标为c ＋b 2＋1＝2－2b ＋b 2＝(b －1)2＋1，∴当b ＝1时，c ＋b 2＋1最小，即抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x .(10分)16．D 【解析】A.将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，则函数解析式为y ＝(x ＋1)2，将点A (1，4)代入y ＝(x ＋1)2可知，点A 坐标满足函数解析式，即函数y ＝(x ＋1)2的图象经过点A ，故A 选项错误；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，则函数解析式为y ＝(x －3)2，同理可验证函数y ＝(x －3)2的图象经过点A ，故B 选项错误；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位，则函数解析式为y ＝x 2＋3，验证可知函数y ＝x 2＋3的图象经过点A ，故C 选项错误；D. 将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位，则函数解析式为y ＝x 2－1，当x ＝1时，y ＝0，因此函数y ＝x 2－1的图象不经过点A.故选D.17．A 【解析】由于矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，A (2，1)，则C (－2，－1)，要使透明纸上的点与C 点重合，抛物线移动路径为先向下移动2个单位长度，再向左移动4个单位长度，∵原抛物线为y ＝x 2，∴后来的抛物线解析式为y ＝(x ＋4)2－2＝x 2＋8x ＋14.18．y ＝－x 2－2x －3 【解析】由二次函数解析式可知，旋转前抛物线的顶点坐标为(1，2)，且开口向上，绕原点旋转180°后，顶点坐标变为(－1，－2)，且开口向下，所以旋转后的函数解析式为y ＝－(x ＋1)2－2＝－x 2－2x －3.19．(1)证明：∵y ＝(x －m )2－(x －m )＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ，令关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0，(2分)根的判别式b 2－4ac ＝[－(2m ＋1)]2－4×1×(m 2＋m )＝4m 2＋4m ＋1－4m 2－4m＝1＞0，(3分)∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点； (4分)(2)解：①∵y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ，其对称轴为直线x ＝－b 2a ＝2m ＋12， 又已知抛物线对称轴为直线x ＝52， ∴2m ＋12＝52， 解得m ＝2，(6分)∴抛物线解析式为y ＝x 2－5x ＋6；(8分)②由抛物线y ＝x 2－5x ＋6，化为顶点式为y ＝(x －52)2－14， 则抛物线顶点坐标为(52，－14)， 要使向上平移抛物线后与x 轴只有一个公共点，则抛物线顶点由(52，－14)变为(52，0)，即向上平移了14个单位， ∴将抛物线向上平移14个单位长度后，它与x 轴只有一个交点. (10分) 20．解：(1)由题意可得出该函数解析式为：y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴此函数图象的顶点坐标为：(1，0)；(3分)(2)①由题意可得出该函数解析式为：y ＝x 2＋4x －1＝(x ＋2)2－5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y ＝(x ＋1)2－4＝x 2＋2x －3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，－3]；(7分)②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∵平移后函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y ＝x 2＋3x ＋4＝(x ＋32)2＋74，∴原函数的图象向左平移12个单位，再向下平移14个单位即可得到．21．B 【解析】∵一次函数y 2＝dx ＋e 经过点(x 1，0)，∴dx 1＋e ＝0，则e ＝－dx 1. 根据题意得：y ＝y 1＋y 2＝a (x －x 1)(x －x 2)＋dx ＋e＝a (x －x 1)(x －x 2)＋dx －dx 1＝a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]＋dx －dx 1＝ax 2－[a (x 1＋x 2)－d ]x ＋ax 1x 2－dx 1.∵此函数为关于x 的二次函数，它的图象与x 轴仅有一个交点，∴根的判别式b 2－4ac ＝0，即：[a (x 1＋x 2)－d ]2－4a (ax 1x 2－d x 1)＝a 2(x 1＋x 2)2－2ad (x 1＋x 2)＋d 2－4a 2x 1x 2＋4adx 1＝a 2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]－2adx 1－2adx 2＋d 2＋4adx 1＝a 2(x 1－x 2)2＋2ad (x 1－x 2)＋d 2＝[a (x 1－x 2)＋d ]2＝0，∴a (x 1－x 2)＋d ＝0，∴a (x 1－x 2)＝－d ，即a (x 2－x 1)＝d .22．A 【解析】y 123.解：(1)描点画图如解图：第23题解图(2分)x 1≈－1.6，x 2≈0.6；(3分)(2)画直线如解图，(4分)x ＜－1.5或x ＞1；(6分)(3)平移方法不唯一．如先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标P (－1，1)， 平移后表达式：y ＝(x ＋1)2＋1，即y ＝x 2＋2x ＋2.(8分)点P 在函数y ＝12x ＋32的图象上．理由：把P 点坐标(－1，1)代入y ＝12x ＋32，左边＝右边，(9分)∴点P 在函数y ＝12x ＋32的图象上. (10分)。
中考数学第一阶段复习考点过关练习：二次函数的实际应用
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学第一阶段复习考点过关练习：二次函数的实际应用考点1：应用二次函数解决抛物线型实际问题1.（2018年四川省巴中市）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m2.（2018年江苏省连云港市）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m3.（2018年四川省绵阳市）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．4.（2018年浙江省衢州市）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．5.（2018年山东省滨州市）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？考点2：应用二次函数解决利润最大问题6.（2018年广西贺州市）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元．7.（2018年河南省）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x= 元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？8.（2018年甘肃省兰州市（a卷））某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？9.（2018年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田市）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？10.（2018年浙江省温州市）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．11.（2018年浙江省台州市）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P 与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．12.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？13.（2018年四川省甘孜州）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？14.（2018年四川省眉山市）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）15.（2018年湖北省荆门市）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）考点3：应用二次函数解决面积最大问题16.（2018年辽宁省沈阳市）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB= m时，矩形土地ABCD的面积最大．17.（2018年福建省（A卷））如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．18.（2018年湖北省荆州市）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）14 16 28合理用地（m2/棵）0.4 1 0.419.（2018年内蒙古呼和浩特市）某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问题．已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系构成一次函数，（1≤x≤7且x为整数），且第一和第三年竣工投入使的公租房面积分别为和百万平方米；后5年每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系是y=﹣x+（7＜x≤12且x为整数）．（1）已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积，最后一年要比第6年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12年中，每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同，且第一年，一年38元/m2，第二年，一年40元/m2，第三年，一年42元/m2，第四年，一年44元/m2……以此类推，分析说明每平方米的年租金和时间能否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W关于时间x的函数解析式，并求出W的最大值（单位：亿元）．如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58m2的房子，计算老张这一年应交付的租金．答案解析1.【考点】二次函数的应用【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2，5时，即可求得结论．解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5，∴a=﹣，∴y=﹣x2+3.5．故本选项正确；B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，∴当x=﹣2.5时，h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．2.【考点】二次函数的应用【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t=10时h=141m，此选项错误；D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．3.【考点】二次函数的应用【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2=﹣0.5x2+2，解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4.【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．5.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．解：（1）当y=15时，15=﹣5x2+20x，解得，x1=1，x2=3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）当y=0时，0═﹣5x2+20x，解得，x3=0，x2=4，∵4﹣0=4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6.【考点】二次函数的应用【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解：设利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7.【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．解；（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，，得，即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600，当x=115时，y=﹣5×115+600=25，即m的值是25；（2）设成本为a元/个，当x=85时，875=175×（85﹣a），得a=80，w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b元，当x=90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．8.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；（2）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．解：（1）由题意可知y=2x+40；（2）根据题意可得：w=（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），=﹣2x2+80x+2400，=﹣2（x﹣20）2+3200，∵a=﹣2＜0，∴函数有最大值，∴当x=20时，w有最大值为3200元，∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．9.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然，当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得．解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，∵经过点（0，168）与（180，60），∴，解得：，∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，∵直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），∴，解得，∴当50＜x＜130时，y2=﹣x+80．综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，①当0≤x≤50时，W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+，∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；②当50＜x＜130时，W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840，∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；③当130≤x≤180时，W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415，∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．10.【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；（3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值．解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，共生产甲产品2（65﹣x）130﹣2x件．在乙每件120元获利的基础上，增加x人，利润减少2x元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x﹣5）=130﹣2x．故答案为：65﹣x；130﹣2x；130﹣2x（2）由题意15×2（65﹣x）=x（130﹣2x）+550∴x2﹣80x+700=0解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）∴130﹣2x=110（元）答：每件乙产品可获得的利润是110元．（3）设生产甲产品m人W=x（130﹣2x）+15×2m+30（65﹣x﹣m）=﹣2（x﹣25）2+3200∵2m=65﹣x﹣m∴m=∵x、m都是非负数∴取x=26时，m=13，65﹣x﹣m=26即当x=26时，W最大值=3198答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元．【点评】本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．11.【考点】二次函数的应用【分析】（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析式；②求出8＜t≤12和12＜t≤24时，月毛利润w在满足336≤w≤513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P的最大值与最小值，二者综合可得答案．解：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入，得：，解得：，∴P=t+2；（2）①当0＜t≤8时，w=（2t+8）×=240；当8＜t≤12时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w=（﹣t+44）（t+2）=﹣t2+42t+88；②当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2﹣2，∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，当2（t+3）2﹣2=336时，解题t=10或t=﹣16（舍），当t=12时，w取得最大值，最大值为448，此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14；当12＜t≤24时，w=﹣t2+42t+88=﹣（t﹣21）2+529，当t=12时，w取得最小值448，由﹣（t﹣21）2+529=513得t=17或t=25，∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，此时P=t+2的最小值为14，最大值为19；综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得336≤w≤513所对应的t的取值范围是解题的关键．12.【考点】二次函数的应用【分析】（1）找出当x=6时，y1、y2的值，二者做差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式，二者做差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时，y1﹣y2的值，设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．解：（1）当x=6时，y1=3，y2=1，∵y1﹣y2=3﹣1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y1=mx+n，y2=a（x﹣6）2+1．将（3，5）、（6，3）代入y1=mx+n，，解得：，∴y1=﹣x+7；将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1，4=a（3﹣6）2+1，解得：a=，∴y2=（x﹣6）2+1=x2﹣4x+13．∴y1﹣y2=﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣5）2+．∵﹣＜0，∴当x=5时，y1﹣y2取最大值，最大值为，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）当t=4时，y1﹣y2=﹣x2+x﹣6=2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据题意得：2t+（t+2）=22，解得：t=4，∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．13.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128+8x）件，则y=（128+8x）（100﹣x﹣80）=﹣8x2+32x+2560，即y与x之间的函数解析式是y=﹣8x2+32x+2560；（2）∵y=﹣8x2+32x+2560=﹣8（x﹣2）2+2592，∴当x=2时，y取得最大值，此时y=2592，∴销售单价为：100﹣2=98（元），答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．14.【考点】二次函数的应用【分析】（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；解：（1）设李明第x天生产的粽子数量为280只，由题意可知：20x+80=280，解得x=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x＜10时，p=2；当10≤x≤20时，设P=kx+b，把点（10，2），（20，3）代入得，，解得，∴p=0.1x+1，①0≤x≤6时，w=（4﹣2）×34x=68x，当x=6时，w最大=408（元）；②6＜x≤10时，w=（4﹣2）×（20x+80）=40x+160，∵x是整数，∴当x=10时，w最大=560（元）；③10＜x≤20时，w=（4﹣0.1x﹣1）×（20x+80）=﹣2x2+52x+240，∵a=﹣2＜0，∴当x=﹣=13时，w最大=578（元）；综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．15.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．解：（1）依题意得，解得：；（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，由图象得：，解得：。