矩形弹子球中的量子波包分析
研究量子力学中的波包和束缚态
研究量子力学中的波包和束缚态引言：量子力学作为物理学中的基础理论之一，对于解释微观世界中的现象起到了关键作用。
其中，波包和束缚态是研究量子粒子运动和行为的重要概念。
本文将探讨波包和束缚态的定义、性质以及其在研究量子力学中的应用。
一、波包的概念与性质波包是波动学中的一个重要概念，它描述了一束波动的集中和传播。
在量子力学中，波包则代表了一种包含了多个波长（能量）的粒子状态。
波包通常由多个平面波的叠加形成，其振幅在空间上有限且随时间演化。
波包的传播速度可以通过群速度（群速度定义为能量传播的速度）来描述，而波包的存在时间则与波包的频率宽度相关。
波包的存在时间越短，其频率越宽，其精确定位性就越差。
波包的性质不仅与波的叠加有关，也与波包的形状有关。
例如，高斯波包是一种常见的波包形式，其形状呈钟形曲线，具有明显的峰值和波包宽度。
高斯波包由于形状的特殊性，在许多物理问题中都得到了广泛的应用。
二、束缚态的概念与性质束缚态是指粒子被限制在某个空间域中的一类特殊状态。
在量子力学中，束缚态描述了粒子存在于特定势能场中，并且具有离散能量的情况。
以一维简谐振子为例，当粒子受到势能限制时，会出现一系列离散的能量值，对应着不同的束缚态。
这些束缚态分别对应着粒子在不同位置上的可能性分布，而每个束缚态的能量则代表了粒子在该状态下的总能量。
束缚态的性质与势能场的形状紧密相关。
在不同的势能场中，粒子的束缚态表现出不同的特征。
例如，在无限深势阱中，束缚态呈现出平坦、分立的能级；而在有限深势阱中，束缚态的能级受到限制，但仍然存在离散的能量。
三、波包和束缚态的应用波包和束缚态在量子力学研究中具有广泛的应用价值。
首先，波包可以用于描述量子粒子在空间中的行为。
通过分析波包的传播和演化规律，可以了解粒子的运动轨迹和特征。
波包的形状和传播速度也可以对粒子的定位和速度做出一定程度的预测。
其次，束缚态在原子物理和分子物理领域起到了重要作用。
原子的电子存在于特定的束缚态中，其能级和波函数可以描述电子在原子轨道中的分布和行为。
矩形波的微分
矩形波的微分1. 什么是矩形波？矩形波是一种特殊的周期函数，其图像呈现出一种矩形的形状。
它在一个周期内的函数值是分段常数的，即在某个时间段内保持恒定值，而在其他时间段内为零。
矩形波通常用以下函数表示：f(t)={A,0≤t<T/2−A,T/2≤t<T其中，A表示矩形波的幅值，T表示一个周期的时间长度。
2. 矩形波的图像下面是一个具有幅值A=1和周期T=2的矩形波的图像示例：我们可以看到，在每个周期内，矩形波的函数值在t=0到t=T/2之间为常数A，而在t=T/2到t=T之间为常数−A。
3. 矩形波的微分矩形波的微分是指对矩形波函数进行微分运算得到的结果。
微分运算可以理解为求函数在某一点的斜率或变化率。
对于矩形波函数f(t)，我们可以通过以下步骤求得其微分：1.在0≤t<T/2的区间内，矩形波函数的值为常数A。
在这个区间内，矩形波的微分为零，即f′(t)=0。
2.在T/2≤t<T的区间内，矩形波函数的值为常数−A。
在这个区间内，矩形波的微分同样为零，即f′(t)=0。
综上所述，矩形波函数在每个周期内的微分结果均为零。
这意味着矩形波函数在每个周期内是一个平坦的线段，没有斜率或变化率。
4. 矩形波微分的几何意义矩形波的微分结果为零的几何意义是函数在每个周期内的斜率为零。
换句话说，矩形波在每个周期内没有变化的速率。
从几何角度来看，矩形波的图像可以被看作是由一系列水平线段组成的。
每个周期内的水平线段都是平行的，没有任何斜率。
这种特性使得矩形波在实际应用中具有一些特殊的性质。
例如，矩形波可以用于表示数字信号中的逻辑电平，其中高电平和低电平分别对应于矩形波的幅值A和−A。
5. 矩形波的微分公式根据矩形波函数的定义和微分的性质，我们可以得到矩形波的微分公式：f′(t)={0,0≤t<T/2 0,T/2≤t<T这个公式表明，矩形波的微分在每个周期内均为零。
6. 矩形波微分的应用尽管矩形波的微分结果为零，但矩形波的微分在信号处理和电路设计中仍然具有重要的应用。
量子力学中的波包运动与测量
量子力学中的波包运动与测量量子力学是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
其中一个重要的概念是波包运动，它与测量密切相关。
本文将探讨量子力学中的波包运动与测量，并尝试解释它们的意义和应用。
量子力学中的波包运动指的是一个粒子的波函数在时间上的演化。
根据量子力学的原理，粒子的波函数可以被表示为一个波包，它是一组波的叠加。
波包的位置和动量可以通过波函数的数学表达式来描述。
在波包运动中，波包的位置和动量会随着时间的推移而改变。
波包运动的一个重要特性是不确定性原理。
根据不确定性原理，我们无法同时准确地确定粒子的位置和动量。
这意味着在波包运动过程中，我们无法精确地知道粒子的位置和动量。
这是由于波包的位置和动量是相互关联的，当我们试图测量其中一个时，就会对另一个造成扰动。
测量在量子力学中起着重要的作用。
测量可以用来确定粒子的性质，例如位置、动量、能量等。
然而，在量子力学中，测量不同于经典物理中的测量。
在经典物理中，测量不会对被测量物体造成任何影响。
然而，在量子力学中，测量会引起波函数的坍缩，即波函数从一个可能性分布坍缩为一个确定的结果。
测量的结果是随机的，并且受到波函数的干涉效应的影响。
干涉效应是指当两个或多个波包相遇时，它们会相互干涉，产生干涉图样。
在量子力学中，波函数的干涉效应可以解释为粒子的概率幅的叠加。
当我们进行测量时，不同的概率幅会相互干涉，从而产生不同的测量结果。
波包运动和测量在量子力学中具有广泛的应用。
例如，它们可以用来解释原子和分子的行为，从而帮助我们理解化学反应和材料的性质。
此外，波包运动和测量还可以应用于量子计算和量子通信领域。
量子计算利用量子叠加和干涉效应来进行并行计算，有着巨大的计算能力。
量子通信利用量子纠缠来进行安全的信息传输，具有防窃听和防篡改的特性。
总之，量子力学中的波包运动和测量是一对密不可分的概念。
波包运动描述了粒子在时间上的演化，而测量则用来确定粒子的性质。
微波技术矩形波导中电磁波的通解要点
微波技术矩形波导中电磁波的通解要点矩形波导是一种常见的微波传输线结构，具有广泛的应用，如微波通信、雷达系统和微波功率传输等。
在矩形波导中，电磁波的传播可以通过求解波动方程得到其通解。
下面将介绍矩形波导中电磁波的通解的要点。
矩形波导中的电磁波动方程是由Maxwell方程组给出的。
在无源情况下，即没有电流密度和电荷密度，Maxwell方程组可以简化为两个波动方程，即：（1）对电场E的波动方程：∇^2E+k^2E=0（2）对磁场H的波动方程：∇^2H+k^2H=0其中，k为波数，k=ω/c，ω为角频率，c为光速，∇^2为Laplace 算子。
为了求解上述波动方程，我们需要确定边界条件。
（1）边界条件：矩形波导具有无限大的边界，因此我们可以选择适当的坐标系来求解波动方程。
一种常见的坐标系选择是矩形坐标系，其中坐标轴沿着波导的边界方向。
在矩形波导的壁面上，电场E和磁场H应满足如下边界条件：a）电场E与波导壁面垂直，即E·n=0，其中n为壁面的法向量；b）磁场H与波导壁面平行，即H·n=0。
（2）模态理论：矩形波导中的电磁波存在多个模式，每个模式由一组特定的场分布和频率特征确定。
每个模式都对应于特定的截止频率，超过这个频率时将不能在波导中传播。
对于矩形波导，存在两个基本的模式，即TE (Transverse Electric)模式和TM (Transverse Magnetic)模式。
TE模式是指电场E的一部分为零，也就是垂直于波导壁面的电场分量为零。
TE模式有多种类型，根据电场分布情况的不同而命名。
例如，TE10模式表示只有横向电场分量的模式，而TE20模式表示有两个横向电场分量的模式。
TM模式是指磁场H的一部分为零，也就是垂直于波导壁面的磁场分量为零。
TM模式也有多种类型，根据磁场分布情况的不同而命名。
例如，TM11模式表示只有横向磁场分量的模式，而TM30模式表示有三个横向磁场分量的模式。
固-流结构矩形声子晶体中弹性波的传输特性
Ｆ ｇ １ Ｔ ｅ ｒ ｃａ ｇ ｅ １一Ｄ ｐ ｏ ｏ ｉ ｃ ｙ ｔｌ ｉ． ｈ ｅ ｔｎ ｌ ｈ ｎ ｎｃ ｒ ｓａ
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ｌ
的周期结 构发 生 相 互 作 用 ， 而 产 生 类 似 于 光波 在 光 从
子晶体中传播产生的能带 。由于利用声子晶体 的能带 可 以十分 方便 地 控 制 弹 性 波 的传 播 ， 此声 子 晶 体 在 因 技术 上有着 广 泛 的 应 用 前 景 ， 声 滤 波 、 声 隔 离 、 如 噪 减
振 第２ ９卷第 １ ２期
动
与
冲
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Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｂ ＯＦ ＶＩ ＲＡＴＩ ＯＮ ＡＮＤ ／ＯＣＫ Ｓ－ Ｉ
固 一流 结构 矩 形声 子 晶体 中弹性 波 的传 输特 性
刘 启 能
（ 重庆工商大学 计 信学院 ， 重庆 ４０６ ） ００ ７
摘 要 ：利用一维固 一 流结构矩形声子晶体中弹性波横向受限的条件， 推导出弹性波在其中各个模式满足的关系
声子 晶体 的横 向受 限 问题 对 弄 清真 实 的一 维 声 子 晶体
的特性有 着 十分重要 的理论 价 值 和应 用 价值 。本 文 将
由式 （ ） ３ 可知 、 各 取 一 个 值 ， 对应 于一 个 后即弹 性 波的一个 模式 ， 固将 、 称为 模式 量 子数 。 因此 在 一 维 固 一流结 构矩形 声子 晶体 中传播 的弹性 波 存在 多 个 分离 的模式 ， 中 ＝０ Ｊ ＝０的模 式 对 应 弹性 波 正 其 、 入 射 ， 他模 式对 应弹性 波斜 入射 的情况 。式 （ ） 是 其 ３正
振 等 。这使 得对声 子 晶体 的研 究 很快 成 为 人们 十 分关
量子力学中的波包
量子力学中的波包波包是量子力学中一个重要的概念，它在描述微观粒子的运动和性质时起到了至关重要的作用。
本文将深入探讨波包的定义、性质和应用，帮助读者更好地理解和应用量子力学中的波包概念。
一、波包的定义波包是指由多个波组成的一种波动现象。
在量子力学中，波包描述了微观粒子在空间中的运动状态。
波包可以看作是一种波的叠加效应，由多个频率、波长和振幅不同的波组成。
二、波包的性质1. 局域性：波包在空间上是局域化的，具有时空集中的特点。
与传统的波相比，波包在空间上具有较小的空间范围，是一种局部化的现象。
2. 速度分布：波包中不同波的速度可能不同，因此波包中的不同部分在传播过程中会出现速度分散的情况。
3. 相位关系：波包中的不同波之间具有一定的相位关系。
相位关系的变化会影响波包的形状和传播特性。
三、波包的应用1. 粒子的定位：波包常用于描述微观粒子的运动和位置信息。
通过波包的传播和干涉现象，科学家可以推断出微观粒子的位置和速度。
2. 波的传播：波包在传播过程中呈现出一系列特殊的规律，如衍射和干涉现象。
这些现象不仅在物理学领域有重要的应用，也在光学、声学等领域发挥着重要的作用。
3. 量子计算：波包在量子计算中也有重要的应用。
量子计算利用了波包的干涉和叠加效应，实现了比传统计算更高效的计算机算法。
四、波包的研究进展随着科学技术的不断发展，对波包的研究也在不断深入。
科学家们通过实验和理论推导，对波包的性质和应用进行了更精确的研究和探索。
五、结语波包是量子力学中的一个重要概念，它在描述微观粒子的运动和性质时起到了至关重要的作用。
本文对波包的定义、性质和应用进行了深入探讨，并介绍了波包在粒子定位、波的传播和量子计算等领域的应用。
希望通过本文的阐述，读者可以更好地理解和应用量子力学中的波包概念。
量子力学小论文
= ������������（t1 − t0）其中������������
= ������������
2������
是动量为������������的简
谐波的相速度。由此，叠加的新的波包将相对 t0 时刻的波包在空间上存在扩展
效应。也就是说，德布罗意波的波包在经历时间的演化将在空间中逐渐扩展开，
粒子的非定域性也随时表现的越加明显。
量子力学的几率解释
对于存在电磁能量的量子—光子，我们可以将其描写为平均圆频率为
和总
能量为
的归一化波包。又因为作为描述波函数 k 和圆频率
的简谐
波的振幅的权重而引入的谱函数：
在描写光子时，则
将看做是解释光子处于波数为 k 的几率密度 P(k)的
一种度量。也即，找到光子处在波数为
之间的几率为
p(k)Δk = N|������(������)|2Δ������
这样的 一个组态称之为波包， f(k)为谱函数 对应于波函数为 k 和圆频率为 的简谐波的振幅。
考察一个简单的谱函数-----Gaussian 函数
其中 f(k)在 k=k0 处取得极大值， 和代替积分近似有：
为高斯谱函数的宽度并且通过有限项的求
对于时间的演化，在 t1>0 时刻： 由于组成波包的所有波包均以光速 c 移动了c ∗ t1，因此由这 t1 时刻叠加的新波 包较 t=0 时刻而言也仅仅表现为波包移动了c ∗ t1的距离而形状保持不变。故上 述形式的波包在任意时刻保持同样形状。
2������ 与光子的平面波类似，给出非相对论下关系：
上式即为物质波的德布罗意波。
对应的相速度
������������
=
������ = ������ 。
量子力学中的波包描述粒子的局域性质
量子力学中的波包描述粒子的局域性质在量子力学中，波包是一种描述粒子行为的数学工具，它可以用来描述粒子的局域性质。
波包在时间和空间上都具有局限性，类似于经典物理中的“粒子”。
本文将详细介绍波包在量子力学中的应用和局域性质的描述。
1. 波函数和波包量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数可以用来计算粒子在空间中的概率分布，并提供了有关粒子位置和动量的信息。
然而，波函数本身并不直接表示粒子的位置，而是通过对波函数进行操作得到概率分布。
波包是一种局限于时间和空间范围内的波函数。
它是由多个频率和波数的波叠加而成，表示了粒子在一定范围内的局域性质。
波包可以被视为波函数的叠加态，使得粒子具有一定的位置和动量分布。
2. 不确定性原理与波包的局域性质根据不确定性原理，即海森堡不确定性原理和薛定谔不确定性原理，测量粒子的位置和动量是存在一定不确定性的。
薛定谔不确定性原理指出，越局域的波函数，其动量越不确定，而越集中的波函数，其位置越不确定。
波包的局域性质与不确定性原理密切相关。
当波包的空间范围越小，它对应的位置分布越集中，即位置的不确定度越小。
相应地，动量的不确定度将增大，因为波包包含了多个频率和波数的分量。
这种折衷关系反映了波包的局域性质。
3. 波包的传播与演化在量子力学中，波包可以通过薛定谔方程来描述其传播和演化。
薛定谔方程是用来描述波函数随时间变化的方程。
当波包传播时，它会随时间演化并且扩展。
波包的传播过程是通过波包内不同频率和波数波动的叠加来实现的。
这意味着波包的结构将随时间的推移而改变，同时也影响了粒子的位置和动量分布。
4. 波包与局域化粒子波包描述了量子粒子的局域性质，类似于经典物理中的局域化粒子。
局域化粒子是指粒子在空间中具有明确定义的位置，其动量在局限范围内分布。
在波包的局域性质中，粒子也具有明确定义的位置分布。
波包还可以用来描述其他局域性质，例如能量和自旋。
通过对波包进行适当调整，可以获得具有特定能量和自旋状态的粒子。
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附录(翻译)矩形弹子球中的量子波包分析王德华，冯小永，于永江，高枫，林圣路（1。
鲁东大学物理系，烟台，264025，中国; 2。
鲁东大学体育学院，烟台264025，中国；3山东师范大学物理系，济南，250014，中国）摘要:利用波包分析量子力学体系的动力学行为在研究经典和量子的对应关系方面越来越成为一个非常重要的方法,利用高斯波包分析犯法,我们计算了矩形弹子球体系的自相关函数,自关联函数的峰和经典周期轨道的周期符合的很好,这表明经典周期轨道的周期可以通过含时的量子波包方法产生.我们还讨论了矩形弹子球的波包回归和波包的部分回归,计算结果表明在每一个回归时间,波包出现精确的回归,对于动量为零的波包,初始位置在弹子球内部的特殊对称点处,出现一些时间比较短的附加回归.关键词:弹子球,量子波包,自相关函数1介绍随着探索状态化的量子化能量特征值和经典质点运动之间联系的能力的提高,经典质点在石质技术方面变得越来越重要而晶体生长技术也使例如像纳米之类的清洁而又微小的物质的生成实现.电子在这种情况下通过出发电压被限制在1维或2维空间,在这种情况下可以把电子视为量子弹球.关于量子弹球的研究现已引起了许多领域的兴趣,接着许多理论模型被确立并发展完善.例如,周期轨道理论便非常直接的确立了能级与经典周期轨道之间的关系.被薛定谔解决的量子力学机械波包括短波与长波传播的时间相关性即波包理论,波包现象被广泛的发现在各种物理领域.用波包理论分析量子机械系统的动力学已经成为了分析经典量子力学迅速增长的一个研究方向.开发这些实验技术几经引起了研究人员的波包展开法理论研究的广泛兴趣.人们做了许多关于定态量子系统在长时间下的运动行为的研究例如波包理论.Parker和Stroud将波包理论应用到了估算里的博原子的运动,随后Yeazell和Stroud发现了理得博原子的波包现象.在我们先前的工作中我们用周期轨道理论在矩形弹球中研究了量子能级和经典周期轨道.这章中我们将用高斯波包法来研究自相关函数和经典周期轨道之间的联系.结果表明这两者符合的很好.我们也在矩形弹球中讨论了波包回归,结果表明对于所有波包来说确实在每个回归电都有回归,额外的情况下精确回归和部分回归也发现短期内回归时间为零动量波包最初位于弹球内的特殊点.2量子高斯波包分析2.1经典周期轨道考虑一个弹球在二维矩形以Lx=a,Ly=b and a=(1+f)b运动,初始条件为: 0, 0<x<a,0<y<bV(x,y)=∞, (其它区域) 在这种情况下的薛定谔方程为:22221/2()(,)(,)x y E x y x yψψ∂∂+=∂∂ (2)在此种情况下的薛定谔方程的能级附加条件为:2222()22()()2(,)()()sin()sin(),,1,2,3,.....x y xyxyyx n n y x n n n n x y n n h E m a b n y n x x y u x u y a b where n n πππψ++=+=== (3)在我们先前的工作中我们已经在矩形弹球模型中获得了一些关于经典周期轨道理论的数据.解决经典闭合轨道得用一个特定的方法图形法, 事实上，利用二维平面可以平铺长方形, 。
考虑特定矩形台球，反复折叠，任何一点的矩形可以连接到相应的点在另一个“确定”伙伴和由此产生的路径在一个特定的矩形弹子球可以通过反复折叠的矩形弹球直到他们重叠。
因此所有长度的周期轨道可以发现这种对称方法，如图1所示。
图1几何描述的建设路径长度对应不同的周期轨道在一个长方形台球，乙型和丙型，对应的对称点在不同方向。
将(0,0)作为例子带入,它的相应坐标是:(2),(2)p q x p a y q b == (4)在双路和第二季度统计点击的纵向和横向壁分别最后再回到起点。
然后经典轨道长度是:(,)2L p q = （5）这相当于初始角（相对于水平）:tan()(1)q py qx f pθ==+ (6)使用这种方法，我们发现所有可能的周期轨道的长度/40L b ≤，初步角1tan [](1)qf p θ-=+,该时期的经典周期轨道()po cl T τ=2/a v τ=时最小值）简单的, 我们采取=1为例。
长度，时间和初始角的周期轨道在表1中给出的一些周期轨道。
给出了参考文献[ 16]. 表1长度的周期轨道和时期的经典周期轨道2.2量子波包的构建与分析能量本征值谱和量子系统的经典动力学之间的关系也可以探讨通过时间依赖性波包解的薛定谔方程。
波包在系统的特点是一个单一的量子数，任意波包解决方案可以书面的形式:()/1(,)()iE n t h n n n x t a x e ψψ∞-==∑ （7）我们可以扩展的能量本征值的主值，0n 用在建设的波包:'''2'''3000000011()()()()()()()() (26)E n E n E n n n E n n n E n n n ≈+-+-+-+ （8） 经典时间,回归时间,特殊时间:'0''0sup '''02()2()/22()/6cl rev er h T E n hT E n h T E n πππ===（9） 一个系统，如二维矩形弹子球体系的能量本征值()x y E n n +，取决于量子数()x y n n +，都有一个相应的古典值：22()22(,)/22(,)/xy n clx x y x n cly x y yh a Th n E n n n h mbT h n E n n n πππππ==∂∂==∂∂ （10）比较简单的一维运动的无限潜力，运动在二维系统变得更加有趣。
根据几何形的长方形，长度的闭合轨道在井是由式（5）。
它所对应的是古典值：()00(,)po clL p q Tv ==（11）0v 是经典值得速度t,从而：(,)2pocl T L p q a τ==（12）根据高斯波包理论，古典周期轨道出现时，两者的比例古典时期是有理数：2222()()y n x cl x yn ma mb p pT qT q h n cl h n ππ===（13a ）2(1)y xqn n p f =+ (13b) 带式（13）到（3）式，我们得到：222222222220()222241(1)()222(1)x y yx x n n n n n h h p f q mv E m a b mb p f ππ+++==+=+(14a) 200:x y or mbv n h mbv n h ππ==(14b) 我们得到的经典的闭合轨道：2()002(,)()xn po clclx ma L p q TpT p h n v π====(15) 因此，我们得到的经典式（15）是一样的古典时期给予在式（11）。
看到这个结果，我们利用某种形式的高斯波包在下面的形式：0000(,;0)(,,,)(,,,)G G x G y x y t x x p c y y p c ψψψ== (16)且：22000()/()/200(,,,)p x i p x x hx x c G x x x p c eψ'---=(17)22000()/()/200(,,,)p y i p y y hy y c G y x x p c eψ'---=根据波包理论，如果初始坐标远离边界线，高斯波包可以扩大反应本征态的体系：(,)/()/()/()()1111(,;0)()()()()()()(,)(,)x y y x x y x y x y x y y y iE n n t hiE n t h iE n t h G n n n n n n x G G n n n n x y t a a u x u y ea u x e a u n y e x t y t ψψψ∞∞∞∞---====⎡⎤⎡⎤==⨯=⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ (19)一个是膨胀系数的波包在一维无限总体。
为高斯波包的形式在式（17 - 18），它们是由：000000()(,,,),()(,,,)x x y x an n G x bn n G y a u x x x p c dx a u x y y p c dyψψ==⎰⎰ (20)自相关函数的二维系统的定义是：22//,0()()()n n y x x y x y iE t hiE t hx y n n n n A t A t A t a ea e∞===∑(21)用上述方程我们算出自相关函数在初始坐标00(,)(/2,/2)x y a b =，初始动量0000(,)(cos ,sin )x y p p p p θθ=条件下22()()()x y A t A t A t =，对于不同的初始角如0400,p πθ==，我们也用1/c =和000.05x y == ,图2的自相关函数与初始角为000,9.46,⋅⋅⋅.比较经典值了表1，他们相吻合。
例如，在角等于09.46，经典周期轨道理论在长/40L b ≤，/10po cl T τ≤的情况下有3个值，有三峰的自相关函数，表明该时期的经典轨道可以生产的含时波包方法。
3量子波包回归长波的波包的运动可以包括有可能回归，其中最初在束缚状态，经过一段时间的传播，最终变成很像初始状态，时间尺度的回归，在两维量子系统是由：12122212122122(,)212122(1/2)(,)/2(1/2)(,)/2(,)/n rev n rev n n rev hT E n n n hT E n n n hT E n n n n πππ=∂∂=∂∂=∂∂∂ (22) 给定。
为矩形弹子球正，考虑我们有以下的量子波包回归时间：22(,)44,,0y x y xn n n n revrev rev ua ub T T T h h ππ=== (23)使用高斯波包的用以上相同的参数，但与零动量00p =，这样的波包，因为没有明显的经典周期运动，唯一的自然周期的问题是回归时间在式（23）。
这种情况下对应放置一个对象“休息”在无限深矩形内的，根据对称性质的方形势阱，2维空间问题，可以减少到一维问题。
为零动量Po=0，膨胀系数一维无限深势阱宽度，可以进一步减少到以下形式：22222222/20/20sin[]sin[]x x y y c n a x n c n ay n n x a a n y a a ππππ--==(24)图2自相关函数与不同的初始角度，星星表示位置不同的经典闭合轨道。
形成上述公式可以看出，对于一些特殊的波包的初始坐标00(,)x y ，由于势阱的对称性，有些膨胀系数会消失。