数学45中2021中考一模卷评分标准完成版
2021年河北省中考数学模拟试题及参考答案与评分标准
2021年河北省中考数学模拟试题及参考答案与评分标准2021年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试（一）数学试卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷满分120分，考试试卷为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共40分）一、选择题（本大题共15个小题，1～10小题每小题3分，11～15小题每小题2分，共40分） 1．下列数中，比－2.5小的数是（） A．－2 B．－3 C．0 D．?22．按括号内的要求用四舍五入法取近似数，下列正确的是（） A．403.53≈403（精确到个位） B．2.604≈2.60（精确到十分位） C．0.023 4≈0.0（精确到0.1）D．0.013 6≈0.014（精确到0.000 1） 3．如图，AB∥CD，∠1＝70°，BC平分∠ABE，则∠2＝（）12A．30° B．35° C．70° D．110° 4．下列运算中，正确的是（）x2?1?x?1 A．x＋x＝x B．（x－1）＝x－1 C．－x・（－x）＝－xD．x5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝55°29′，∠B＝（）22223A．35°29′ B．35°31′ C．34°29′ D．34°31′6．对于命题“若m＜n，则m2＜n2”，下列m，n的值，能说明这个命题是假命题的是（） A．m＝1，n＝2 B．m＝0，n＝2 C．m＝－1，n＝2 D．m＝－2，n＝2 7．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝（）A．25° B．30° C．40° D．50°18．面积为6的正方形边长为a，下列错误的是（）．．A．a2＝6 B．a＞2 C．a－3＜0 D．a是分数9．若m－x＝2，n＋y＝3，则（m－n）－（x＋y）＝（） A．－1 B．1 C．5 D．－510．一组数据2，3，5，5，5，6，9，若去掉一个数据5，则下列统计量中，发生变化的是（） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差11．“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．两点确定一条直线12．有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置．请你判断数字4对面的数字是（）A．6 B．3 C．2 D．113．如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合），将纸片沿BE折叠，使点A落在点A′处，延长EA′交CD于点F，则∠EBF＝（）A．40° B．45° C．50° D．不是定值14．洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．它是在一个正方形方格中，每个小方格内均有不同的数，任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等．如图是2一个洛书，上面只有部分数字可见，则x对应的数是（）A．1 B．4 C．6 D．815．如图，抛物线y＝a（x－1）2＋k（a＞0）经过点（－1，0），顶点为M，过点P （0，a＋4）作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A，B，H．以下结论：①当x＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP－AP）是定值；④设点M关于x轴的对称点为M′，当a＝2时，点M′在l下方．其中正确的是（） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④卷Ⅱ（非选择题，共80分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 16．如果x＝2是关于x的方程x－a＝3的解，则a＝______．17．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝3，点E在BC的延长线上，∠E＝1∠ABC，DE＝______． 218．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工1个月能完成总工程的131．根据题意，x得方程______．19．如图，在△ABC中，AC＝5，∠B＝30°，点P，Q分别是AB，AC上的点，BP＝2AQ，PD⊥BC于点D．当PQ⊥DQ时，AQ＝______．3三、解答题（本大题共7个小题，共68分） 20．（本小题满分8分）已知有理数－3，1．（1）在下图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A，B表示；（2）若|m|＝2，在数轴上表示数m的点介于A，B之间；在点A右侧且到点B距离为5的点表示的数为n．①计算m＋n－mn；②解关于x的不等式mx＋4＜n，并把解集表示在下图的数轴上．21．（本小题满分9分）如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PQ⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB，连接AB，AB与OP交于点E．（1）求证：△OPA≌△OPB；（2）若AB＝6，求AE的长．22．（本小题满分9分）小明对A，B，C，D四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知A超市有女共20人．（1）A超市共有员工多少人？B超市有女工多少人？（2）若从这些女工中随机选出一个，求正好是C超市的概率；（3）现在D超市又招进男、女员工各1人，D超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是．你认为谁说的对，并说明理由． 23．（本小题满分9分）如图，某环形路ABCD是平行四边形，AB＝1000米，BC＝3000米，现有41号、2号两车分别从A地同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿此环形路连续循环行驶，环形路上的人员可以随时乘车（上、下车的时间忽略不计）．由于地段上人员的稠密程度，车的行驶速度不同，在BC这段路上行驶时，速度是200米/分；在AB，AD，CD 这三段路上行驶时，速度是400米/分．小明和小华在BC路段上的学校E地要去地铁口C 地，此时恰好1号车经过E地．【探究】从A地到C地，1号车用时______分，2号车用时______分；各自行驶一周用时______分．【发现】在E地小明乘坐了1号车，小华步行，步行速度为50米/分，结果两人同时到达C地，求EC的长．【拓展】若两人在E地等候并乘2号车去往C地，最快到达C地需要多长时间（包括等候和乘车时间）？24．（本小题满分10分）如图，A（0，4），B（0，2），A C∥x轴，且与直线y?2x交于点C，CD⊥x3轴并交x轴于点D，点P是折线AC―CD上一点．设过点B，P的直线为l．（1）点C的坐标为________；若l所在的函数随x的增大而减小，则PD的取值范围是________．（2）若l∥OC时，求直线l的解析式．（3）若l与线段OC有交点，设该交点为E，是否存在OE＝OB的情况？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（本小题满分11分）某农户要改造部分农田种植蔬菜．经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，这项费用每年均需再投入，除上述费用外，没有其他费用．设改造x亩，每亩蔬菜年销售额为p元．（1）设改造当年收益为y元，用x，p的式子表示y；（2）按前三年计算，若p＝1500，是否改造面积越大收益越大？改造面积为多少时，可以得到最大收益？（3）若20≤x≤60，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求p的取值范围．注：收益＝销售额－（改造费＋辅助设备费＋种子、人工费）． 26．（本小题满分12分）如图，在Rt△AOB中，已知点O（0，0），A（2，0），B（0，n），n＞1.5，OD是以OA为直径的⊙C的弧，交AB于点D，P是OD上一点（包括端点O，D），点E的坐标为（0，1.5）．（1）若n＝2，求：5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
安徽合肥市庐阳区四十五中2020-2021九年级上第一次月考数学试卷(含答案)
合肥庐阳区四十五中2020-2021九年级上第一次月考数学试卷（含答案）一、选择题（每小题4分，满分40分）1.下列关系中，属于二次函数的是（x 为自变量）( ）A.213y x =B. 21y x =-C. 21y x= D. y=ax 22.函数y=（x-1）2+3的图像的最低点坐标是（ ）. A.（1，4） B.（-1，3）C （1，3）D （0，4）3.已知反比例函数12m y x+=的图像分布在第一、三象限，则m 的取值范围是（ ）A.m ＜0B.m ＞0C.m ＜12-D. m ＞12-4.抛物线y=x 2-2x-3与x 轴有（ )A.两个交点B.一个交点C.无交点D.不能确定 5.如果将抛物线y=ax 2+bx+c 向右平移2个单位，再向上平移3个单位,得到新的抛物线y=x 2−2x+1，那么（ ） A.b=6，c=12 B.b=−6，c=6 C.b=2，c=−2 D.b=2，c=4 6.抛物线y=x 2+bx+4的顶点在x 轴上方，则b 的值不可能是（ ）A.4B.3C.2D.1 7.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b 与y=ax 2-bx 的图象可能是（ ）A. B. C. D.8.已知二次函数y ＝(m －2)x 2+(m+3)x+m+2的图像过点(0，5)，则m ＝( ). A.m ＝1 B.m ＝2 C.m ＝3 D.m ＝－19.如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，连接ED 交AB 于点F ，AF=x （0.2≤x ≤0.8），EC=y ，.则在下面函数图象中，大致能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A. B. C. D.10.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A(−1,0),顶点坐标(1，n)与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a+b＜0；②−1≤a ≤−23；③对于任意实数m ，a+b ≥am 2+b ，总成立；④关于x 的方程ax 2+bx+c=n −1有两个不相等的实数根。
2021年中考数学模拟卷(2)参考答案及评分标准
∴△ADE 是等边三角形
………………………7 分
∴AE=DE，∠AED=60°
∴∠EAC=∠AED﹣∠C=30°
∴∠EAC=∠C
∴AE=CE=2
………………………9 分
∴⊙D 的半径 AD=2
………………………10 分
3
23.解：（1）根据题意填表如下：（3 分）
学校一次购买树苗（棵） 10
15
20
②原式＝2×π0+ 1 1 3
1
＝2×1﹣3
＝﹣1
…………………………………………………4 分
（2）原式＝4ax2﹣2ax+a﹣2ax …………………………………………6 分
＝a（4x2﹣4x+1）
………………………………………7 分
＝a（2x﹣1）2．
………………………………………8 分
19. 证明：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
当 y1＝y2 时，即：18x＝17x+30，解得：x＝30；
当 y1＜y2 时，即：18x＜17x+30，解得：x＜30；
因此，当 20＜x＜30 时；y1＜y2，即：甲农场实际花费少；
…………9 分
当 x＝30 时，y1＝y2，即：甲、乙农场花费相同；
当 x＞30 时；y1＞y2，即：乙农场实际花费少；………………………10 分
（1）如图，连接 OM，ON，OP.
∵点 P 关于 OA，OB 的对称点分别为点 M，点 N
∴由轴对称的性质得：∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∠OME=∠OPE，∠ONF=∠OPF
∵∠AOB=52°
∴∠MON=2∠AOB=104°，
………………………4 分
2021年合肥市数学中考模拟考试+评分标准
A B OC 2021年合肥市中考模拟考试（一模）数 学 试 题（注意事项：本卷共八大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内．每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的(不论是否写在括号内)一律得0分． 1．－3的倒数是【 】A ．3B ．－3C ． 1 3D ．－ 132．如图，直线l 1∥l 2，∠1＝40°，∠2＝65°，则∠3＝【 】A ．65°B ．70°C ．75°D ．85° 3．2011年11月3日，“神舟八号”与“天宫一号”成功交会对接，两个航天器组合体的连接主要依靠对接面上12把对接锁，每把对接锁的拉力为3吨，共36吨．36吨用科学记数法表示为A ．3.6×101千克B ．36×103千克C ．3.6×107千克D ．0.36×104千克4．下面的几何体中，主视图是正方形的几何体共有【 】A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个 5．为了更好地评价学生的数学学业成绩，某校把学生的数学成绩分成优秀、良好、合格、不合格四个等级，下图是某次数学测验成绩的频数分布直方图，则这次数学测验中“良好”等次的频率是【 】A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1 6．下列多项式可以用公式法因式分解的是【 】A ．m 2＋4mB ．－a 2－b 2C ．m 2＋3m ＋9D ．－y 2＋x 27．若x ＝－1是方程x 2＋ax ＋2＝0的一个根，则该方程的另一个根为【 】 A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 8．如图，⊙O 的弦AB ＝6，半径OD ⊥AB ，交AB 于点D 、交弧AB 于点C ．若CD ＝1，则⊙O 的半径为【 】 A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A 、B 两个 格点，请在图中再寻找另一个格点C ，使△ABC成为等腰三角形，则满足条 件的点C 有【 】 A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个10．如图，等腰直角△ABC 沿MN 所在的直线以2cm/min 的速度向右作匀速运动．如果MN ＝2AC ＝4cm ，那么△ABC 和正方形XYMN 重叠部分的面积S (cm 2)与匀速运动所用时间t (min)之间的函数的大致图象是【 】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．计算：(50－8)÷2＝ ．12．地面上有一棵高为6m 的大树，早晨8∶00太阳光与地面的夹角为30°，此时这棵大树在水平地面上的影子长为 m ．13．如图，在□ABCD 中，点E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点O ，则△AOE 与△COD 的面积比为 ．14．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ．下列结论中，正确的是 ．①OP 垂直平分AB ； ②∠APB ＝∠BOP ； ③△ACP ≌△BCP ； ④PA ＝AB ；⑤若∠APB ＝80°，则∠OAB ＝40°． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：(π－3)0÷|2－3|－2cos45°＋2sin60°．16．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3(x ＋2)，x －1＜2 3 x ．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）A B M YX C (N )A ．B ．C ．D ． 123 l 1l 2 合格 优秀 良好 不合格 O A B D A E BCD O17．2011年10月龙厦高铁开通后，龙岩至厦门的铁路运行里程由原来的500km 缩短为现在的300km ，运行速度提高到原来的2倍，这样运行时间缩短了213h ．请求出龙厦高铁开通后的运行速度．18．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示． (1)以O 为位似中心，在第一象限内．．．．．．将菱形OABC 放大为原．来的．．2．倍．得到菱形OA 1B 1C 1，请画出菱形OA 1B 1C 1，并直接写出点B 1的坐标；(2)将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转90°菱形OA 2B 2C 2，请画出菱形OA 2B 2C 2，并求出点B 旋转到点B 2的路径长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别为OA 、OB 的中点．(1)求证：△ADE ≌△BCF ； (2)若AB ＝8cm ，AD ＝4cm ，求CF 的长．20．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝ mx的图象相交于点P 、C ，与两坐标轴分别相交于点A 、B ，CD ⊥x 轴于点D ， 且OA ＝OB ＝OD ＝1．(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求点P 的坐标；(3)根据图象直接写出．．．．x 为值时，kx ＋b ＞ mx． 六、（本大题满分12分）A BCDOEF21．2012年1月15日，广西龙江河发生严重的重金属镉污染事件．据专家介绍，重金属镉具有毒性，长期过量接触镉会引起慢性中毒，影响人体肾功能．为了解这次镉污染的程度，国务院派出的龙江河调查组抽取上层江水制成标本a1、a2，抽取中层江水制成标本b1、b2，抽取下层江水制成标本c1、c2．(1)若调查组从抽取的六个样本中送选两个样本到国家环境监测实验室进行检验，求刚好选送一．个上层江水标本．．．．．．．和一个下层江水标本．．．．．．．．的概率；(2)若每个样本的质量为500g，检测出镉的含量(单位：mg)分别为：0.3、0.2、0.7、0.5、0.3、0.4，请算出每500g河水样本中金属镉的平均含量；(3)据估计，受污染的龙江河河水共计2500万吨，请根据(2)的计算结果，估算出2500万吨河水中含镉量约为多少吨？七、（本大题满分12分）22．先阅读下列材料，再解答后面的问题一般地，若a n＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则n叫做以a为底b的对数，记为log a b(即log a b＝n)．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381＝4)．(1)计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝．(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；(3)猜想一般性的结论：log a M＋log a N＝ (a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)，并根据幂的运算法则：a m•a n＝a m+n以及对数的含义证明你的猜想．八、（本大题满分14分）23．如图1，把两个直角边的长均为4的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起，并使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边的中点O重合．现在，将三角板EFG绕着点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)，四边形CKGH是旋转过程中两个三角板的重叠部分(如图2)．(1)在上述旋转过程中，BH与GK有怎样的数量关系？四边形CKGH的面积有无变化？请说明理由；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GHK的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出函数y的最小值；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GHK的面积恰好等于△ABC面积的516？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．ACE FBO(G)O(G)ACEKHFαB图1 图22021年合肥市中考模拟考试（一模）数 学 试 题数学试题参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCCBADBBCD11．3 12．63 13．1∶4 14．①③⑤15．(π－3)0－|2－3|＋2cos45°＋2sin60°＝1－(3－2)－222⨯＋232⨯……6分＝1－3＋2－2＋3＝1．………………8分16．解：由不等式①，得 x ≥－1，由不等式②，得 x ＜3．………………4分∴原不等式组解集为－1≤x ＜3．……………………8分17．解：设原来的运行速度是x km/h ，则开通后龙厦高铁的运行速度是2x km/h ．根据题意，得3122300500=-x x ，………………4分 解得 x ＝150．经检验，x ＝150是原方程的解，所以2x ＝300…………………7分 答：开通后龙厦高铁的运行速度是300km/h ．……………………8分 18．解析：(1)B 1(8，8)……………………4分(2)正确画出旋转图形，则24324422==+=OBBB 2的弧长＝ππ221802490=⨯……………………8分19．解析：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形 ∴AD ＝BC ，O A ＝O C ，O B ＝O D ，AC ＝BD ，AD //BC ， ∴O A ＝O B ＝O C ， ∠DA E ＝∠O CB ∴∠O CB ＝∠O BC ∴∠DA E ＝∠CB F又∵A E 21=O A ，B F 21=O B ∴A E ＝B F∴△AD E≌△BC F ……………………4分(2)过点F 作FG⊥BC 于G 点，则∠FG C ＝90º ∵∠DCB ＝90º∴FG∥DC ， ∴△B FG∽△BDC∴BCBGBD BF DC FG == 由(1)可得41=BD BF ，∴4418BG FG == ∴FG＝2cm ，B G ＝1cm∴G C ＝BC －B G ＝4－1＝3cm 在Rt△FG C 中，139422=+=+=GC FG CF cm ……………………10分20.解：(1)将A (－1，0)，B (0，1)代入y ＝k x ＋b 得⎩⎨⎧=+-=b bk 10 ∴y＝x ＋1，∵C 点与D 点横坐标相同(均为1)，∴y＝1＋1＝2．即C (1，2)．把C 点代入xmy =得m ＝2．∴xy 2=…………………………4分 (2)根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 21∴11=x ，22-=x 代入x y 2=得21=y ，12-=y ∴P 点坐标为(－2，－1)………………8分（3）由图像可知：x ＞1或－2＜x ＜0……………………10分 21.(1)用树状图分析：yAB CO A 1 B 1C 1A 2B 2C 2-2 -1 0 开始A BC DO EF G一共有30种不同的结果，而一个上层江水样本和一个下层江水样本有8种情况，所以 P(一个上层江水样本和一个下层江水样本)＝154308=．………………5分 (2)4.0)4.03.05.07.02.03.0(61=+++++⨯=x (毫克)………………8分 数学试题参考答案(共3页)第2页(3)7105.210005004.0⨯⨯⨯＝20(吨)．………………12分22．解析：(1)4log 2＝2， 16log 2＝4，64log 2＝6………………3分 (2)4log 2＋16log 2＝64log 2…………………………5分 (3)()N M MN a a a log log log +=…………………………8分 证明：设1log b M a =，2log b N a = 则M a b =1，N a b =2 ∴2121b b b b aa a MN +=⋅= ∴)(log 21MNb b a =+即)(log log log MN N M a a a =+………………12分23．解析：(1)在上述旋转过程中，B H ＝C K ，四边形C HGK 的面积不变．……1分证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，O(G)为其斜边中点， ∴C G ＝B G C G⊥AB ∴∠AC G ＝∠B ＝45º ∵∠C G B ＝∠EGF＝90º ∴∠B GH ＝∠C GK ∴△B GH≌△C GK∴B H ＝C K ，S △B GH ＝S △C GK ∴S 四边形C HGK ＝S △C HG ＋S △C GK ＝S △C HG ＋S △B GH ＝21S △ABC ＝21×21×4×4＝4 即四边形C HGK 的面积不变，始终等于4．…………5分 (2)C H ＝x -4，C K ＝x ，S △GKH ＝S 四边形C HGK －S △C HK 即)4(214x x y --= 42212+-=x x y ∵2)2(21422122+-=+-=x x x y ， ∵0°＜α＜90° ∴40<<x ，∵a＝021〉，∴抛物线开口向上，∴当x ＝2时，y 有最小值，最小值为2．………………10分 (3)存在。
2023年安徽省合肥市第四十五中学本部中考一模数学试卷(含答案解析)
2023年安徽省合肥市第四十五中学本部中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数绝对值最小的是（）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．目前检测出的新型冠状病毒的半径平均在50纳米左右，即0.00000005米，用科学记数法表示0.00000005正确的是（）A ．7510⨯B ．8510⨯C ．7510-⨯D ．8510-⨯3．如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（）A ．B ．C ．D ．4．下列运算一定正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．()3328x x =C ．3362a a a +=D ．()()2212121x x x +-=-5．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．前10分钟，甲比乙的速度快B ．甲的平均速度为0.06千米/分钟C ．经过30分钟，甲比乙走过的路程少D ．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米6．如图，将长方形ABCD 沿线段EF 折叠到EB C F ''的位置，若100EFC '∠︒＝，则DFC '∠A ．139．如图，在 点．DCA ∠=∠A ．310．将抛物线2y x =-+A ．第一象限二、填空题11．不等式组39026x x +>⎧⎨<⎩的解集是______．12．方程220x x m --=没有实数根，则m 的取值范围是______；13．把一块含60︒角的三角板ABC 按右图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60︒角的顶点B 在x 轴上，斜边AB 与x 轴的夹角60ABO ∠=︒，若2BC =，当点A ，C 同时落在一个反比例函数图象上时，OB =_________．14．已知：点P 是ABC 内一点，PBA PCB ∠=∠，BP 与CP 的中垂线交于点M ，（1）ABM ∠=______°．（2）若2AB =，60ABC ∠=︒，3BC =，则AP 的最小值是______．三、解答题(1)将ABC 绕点A 顺时针旋转90ADE V ；(2)连接CE ，请用无刻度直尺作出17．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为(1)求证：BAD CAE ∠=∠；(2)若8,6AB AC ==，O 的半径为20．桔槔俗称“吊杆”“称杆”，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图21．爱知中学为了解初三同学的体育中考准备情况，育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：(1)请补全条形统计图；(2)所调查学生测试成绩中位数为_______；众数为_______；(3)若该校九年级共有学生1250人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于9分的学生约有多少人？22．如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知12OA =米，4OB =米，抛物线顶点D 到地面OA 的垂直距离为10米，以OA 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，(1)求抛物线的解析式；(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5米，才能安全B 通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？23．如图1，在正方形ABCD 中，点E 为DC 中点，连接AE ，AE 的垂直平分线交BC 于点G ，交AD 于点F ，AE 与FG 交于点H(1)若正方形ABCD 的边长为6，求BG 的长(2)求证：3GH FH ；(3)如图2，连接AG ，BH ，AG 与BH 交于点O ，求:HO OB 的值．参考答案：关运算法则是解题的关键．5．D【分析】结合函数关系图逐项判断即可．【详解】解：A 项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故本选项不符合题意；B 项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2400.08÷=千米/分钟，故本选项不符合题意；C 项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故本选项不符合题意；D 项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．6．A【分析】由翻折可知EFC EFC '∠∠＝，再利用180DFC EFC EFC ''∠∠+∠︒=﹣即可得出答案．【详解】解：由翻折知，100EFC EFC '∠∠︒＝＝，∴200EFC EFC '∠+∠︒＝，∴'180********DFC EFC EFC ∠∠+∠-︒︒-'︒︒＝＝＝，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、长方形的性质等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．7．B【分析】如图所示，连接OC OD 、，由垂径定理得到COB DOB ∠=∠，再由圆周角定理得到45DOB ∠=︒，即可得90COD ∠=︒，由此利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接OC OD 、，其中经过点C的有∴经过点C的概率为故选：C．【点睛】本题主要考查概率公式，不重不漏地列举出所有可能的结果求出,ACD CDE ∴∠=∠DCE ∠ 是BCD △的外角，,DCE B BDC ∴∠=∠+∠,ACD B BDC ∠=∠+∠ ,DCE ACD ∴∠=∠,DCE CDE ∴∠=∠,DE CE ∴=,DE AC ∥,ABC DBE ∴ ,BC AC ABBE DE BD==又2,3,,AB AC BC DE CE ====32,3DE DE∴=+6,DE ∴=∠=++，则ABMαβγ∵60,ABC PBA PBC ∠=∠+∠=︒∴60PCB PBC ∠+∠=︒，即BPC ∠（2）解：连接CE ，，如下图：∵将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒，∴由旋转定义可得AC AE =，∴CAE V 为等腰直角三角形，∵90CAE ∠=︒,AC AE =,∴四边形AEMC 为正方形，∴AM 垂直平分CE ，∴CF EF =∴点F 为CE 的中点．【点睛】本题考查了旋转的定义、旋转中作图；熟练掌握在旋转过程中图形的边长不变，准确找到旋转角是解此类题的关键．17．中型12辆，小型18辆.【分析】根据题意设中型x 辆，小型y 辆，即可列出方程组求出答案.【详解】解：设中型x 辆，小型y 辆，根据题意可得：30158324x y x y +=⎧⎨+=⎩，∵127AOM ∠=︒，90EOM ∠=︒，∴1279037AOE ∠=︒-︒=︒，∴37BOC AOE ∠=∠=︒，∵154.5AOA ∠=︒，∴1154.53717.5B OD A OE ︒∠=∠=︒-︒=，∵ 5.4AB =米，:2:1OA OB =，∴ 3.6OA =米， 1.8OB =米，在Rt OBC △中，sin sin 370.6 1.8 1.08BC OCB OB OB =∠⨯=︒⨯≈⨯=（米），在1Rt OB D △中，11sin17.50.31.80.54B D OB =︒⨯≈⨯=（米），∴1 1.080.54 1.62BC B D +=+=（米），∴此时水桶B 上升的高度为1.62米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．21．(1)见解析(2)9，10(3)700人【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图；（2）利用中位数、众数的求法，直接求值即可；（3）先计算抽样学生中成绩不低于9分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．【详解】（1）解：∵抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%，∴本次抽样人数为：1020%50÷=（人），∵成绩9分的人数占抽样人数的24%，∴抽样学生中成绩为9分的有：5024%12⨯=（人），补全条形统计图如下：∵正方形ABCD的边长为6，即a∴1136884 BG a==⨯=；（2）证明：由（1）可知HMF△。
2024年安徽省合肥市第四十五中学本部中考一模数学试题(解析版)
九年级数学期中练习一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1. 下列各数中，属于有理数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】此题考查了有理数和无理数的判断，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的分类，有理数包括整数，分数（有限小数）和无限循环小数，无理数有开方开不尽的数，和无限不循环小数．【详解】解：A属于无理数，故本选项不符合题意；B 、属于无理数，故本选项不符合题意；C属于无理数，故本选项不符合题意；D 、属于有理数，故本选项符合题意．故选：D ．2. 合肥园博园自开园以来累计接待国内外游客632万人次、单日最高40万人，上榜国庆假期国内热门旅游目的地．其中632万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）．【详解】解：632万，故选：D ．3. 如图，该几何体的俯视图是（ ）π2-ππ2-20TOP 70.63210⨯563.210⨯463210⨯66.3210⨯10n a ⨯110a ≤<n n a 66320000 6.3210==⨯A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是三视图，注意能看到的棱都要画成实线，掌握“三视图中的俯视图”是解本题的关键，根据俯视图，从上面看到的平面图形，根据定义可得答案．【详解】解：从上面看这个几何体看到的是，故选：C ．4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、，原式计算错误，不符合题意；B 、，原式计算错误，不符合题意；C 、，原式计算错误，不符合题意；D 、，原式计算正确，符合题意；故选：D ．5.有意义的x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二次根式的定义及在数轴上表示不等式的解集，分析得出答案．【详解】解：由题意得：2-x ≥0，2325a a a +=()2222a a =842a a a ÷=23326a a a ⋅=325a a a +=()2224a a =844a a a ÷=23326a a a ⋅=解得：x ≤2，在数轴上表示为：故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握二次根式的意义是解题关键．6. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质．由题意知，，则，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，由题意知，，∴，∴，故选：B ．7. 如图，已知是的弦，C 为上的一点，于点D ，若的半径为3，，则弧长为（）AB CD EF FH G EF 40GFH ∠=︒120C E F ∠=︒HFB ∠10︒20︒40︒50︒AB CD ∥60GFB FED ∠=∠=︒HFB GFB GFH ∠=∠-∠120C E F ∠=︒18060FED CEF ∠=︒-∠=︒AB CD ∥60GFB FED ∠=∠=︒20HFB GFB GFH ∠=∠-∠=︒AB O O OC AB ⊥O 25ABC ∠=︒BCA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理以及垂径定理、弧长公式，先根据，得出，因为，结合圆周角定理，得出，据此即可作答．【详解】解：连接∵∴∴∵∴∴则弧长为故选：C8. 毕业典礼上，甲、乙、丙三人合影留念，3人随机站成一排，那么甲和丙位置不相邻的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】B23π53π56π512πOC AB ⊥ AC CB=BOC AOC ∠=∠250AOC ABC ∠=∠=︒AOOC AB⊥ AC CB=BOC AOC∠=∠ AC AC=250AOC ABC ∠=∠=︒50BOC ∠=︒BC 503253606ππ︒⨯⨯==︒12131416【解析】【分析】本题考查了概率公式计算和画树状图或列表求概率，根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲和丙位置不相邻的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．准确的画出树状图是关键．【详解】解：根据题意画图如下：共有6种可能情况数，其中甲和丙位置不相邻的有2种，故甲和丙位置不相邻的概率为故选：B ．9. 若实数x ，y ，m 满足，，则代数式的值可以是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：解得，设，，，2163=6x y m ++=34x y m -+=12xy -5272m x m y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩12w xy =-634x y m x y m ++=⎧⎨-+=⎩5272m x m y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩12w xy =-257133121262222m m w xy m m --=-=-⨯⨯=-+-102-<有最大值，最大值为，代数式的值可以是1，故选：A ．10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C 的对称点E 落在边上，点D 的对称点为点F ，交于点G ，连接交于点H ，连接，，下列说法错误的是（ ）A B. 当时，C. 当时，或3D. 【答案】B【解析】【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定A 选项即可；设，结合正方形性质以及折叠性质，得出，运用勾股定理解出，运用解直角三角形的相关性质内容列式，计算得出，故B 是错误的；设，运用勾股定理解出，运用解直角三角形的相关性质内容列式，计算得出，则或3，故C 是正确的，连接，，，由，可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，，得到，所以，，，四点共圆，所以，通过，可得，这样，.w ∴1334363221242⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴12xy -ABCD PQ AB EF AD CG PQ CE 6AB =PBE QFG △∽△2BE =32DQ =5EG =2BE =22EG CH GQ GD -=⋅DQ x BP y ==，AEG FQG BPE ∠=∠=∠83y =43DQ =66EB a BP b EP b AE a ===-=-，，，23612a b -=222AG AE EG +=2BE =DH MH HE BEC MEC ≌CMG CDG ≌BCE MCE ∠=∠MCG DCG ∠=∠1452ECG ECM GCM BCD ∠=∠+∠=∠=︒EC HP ⊥45CHP ∠=︒45EHP CHP ∠=∠=︒EH CG ⊥222EG EH GH -=CM EG ⊥EH CG ⊥90EMC EHC ∠=∠=︒E M H C 45HMC HEC ∠=∠=︒CMH CDH ≌45CDH CMH ∠=∠=︒，因为，易证，则得，从而说明D 成立．【详解】解：四边形是正方形，．由折叠可知：，．，，，．，．，．故A 选项是正确；设∵四边形是正方形∴∵折叠性质∴∴∴同理，得45GDH ∠=︒45GHQ CHP ∠=∠=︒GHQ GDH ∽2GH GQ GD =⋅ ABCD 90A B BCD D ∴∠=∠=∠=∠=︒90GEP BCD ∠=∠=︒90F D ∠=∠=︒90BEP AEG ∴∠+∠=︒90A ∠=︒ 90AEG AGE ∴∠+∠=︒BEP AGE ∴∠=∠FGQ AGE ∠=∠ BEP FGQ ∴∠=∠90B F ∠=∠=︒ PBE QFG ∴ ∽DQ x BP y==，ABCD 690AB BC DC A B BCD D ===∠=∠=∠=∠=︒，9090EP PC FQ DQ F D FEP BCD ==∠=∠=︒∠=∠=︒，，，90BPE BEP AEG BEP∠+∠=︒=∠+∠AEG BPE∠=∠AEG FQG∠=∠即在中，即解得∵∴则∴∵∴则解得，故B 选项是错误的；设∵∴在中，即解得∵∴AEG FQG BPE∠=∠=∠Rt EBP 222EP EB BP =+()2264y y -=+83y =AEG FQG BPE∠=∠=∠tan tan tan BPE AEG FQG∠=∠=∠24AG GF y x==8226x x AG GF EG EF GF y y y===-=-，，AEG FQG BPE∠=∠=∠cos cos BPE AEG∠=∠4266y x y y=--8451251233x y =-=⨯-=66EB a BP b EP b AE a===-=-，，，5EG =651GF =-=Rt EBP 222EP EB BP =+()226b a b -=+23612a b -=AEG FQG BPE∠=∠=∠tan tan tan BPE AEG FQG∠=∠=∠则则∵∴∵∴解得或3故C 选项是正确的；过点作于，连接，，，如图，由折叠可得：，∵，，16a AG b FQ a==-，26b a a FQ AG a b-==，23612a b -=()()()226121263666612a a a AG a a a a a a-==-⨯=--++222AG AE EG +=()22126256a a a ⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭2a =C CM EG ⊥M DH MH HE GEC DCE ∠=∠AB CD BEC DCE \Ð=Ð，在和中，，．，．，∴，，，，，，，．．由折叠可得：，．．由折叠可知：．．，，，，，，四点共圆，．在和中，，．，BEC GEC ∴∠=∠BEC MEC 90B EMC BEC GEC CE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BEC MEC ∴≌CB CM ∴=BEC MEC S S = CG CG = ()HL CMG CDG ≌BEC MEC ≌CMG CDG ≌BCE MCE ∴∠=∠MCG DCG ∠=∠1452ECG ECM GCM BCD ∴∠=∠+∠=∠=︒EC HP ⊥ 45CHP ∴∠=︒45GHQ CHP ∴∠=∠=︒45EHP CHP ∠=∠=︒EH CG ∴⊥222EG EH GH ∴-=EH CH =222EG CH GH ∴-=CM EG ⊥ EH CG ⊥90EMC EHC ∴∠=∠=︒E ∴M H C 45HMC HEC ∴∠=∠=︒CMH CDH △CM CD MCG DCG CH CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)CMH CDH ∴ ≌45CDH CMH ∴∠=∠=︒，，，．，，，，．故选项正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，解直角三角形，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.______．【答案】【解析】【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂及算术平方根计算即可．【详解】解：原式，故答案为：1．12. 已知m ，n 是一元二次方程的两个根，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求是90CDA ∠=︒Q 45GDH ∴∠=︒45GHQ CHP ∠=∠=︒ 45GHQ GDH ∴∠=∠=︒HGQ DGH ∠=∠ GHQ GDH ∴ ∽∴GQ GH GH GD=2GH GQ GD ∴=⋅22GE CH GQ GD ∴-=⋅∴D 02024-=121=-1=2240x x --=m n mn +-6m n 2240x x --=2m n +=4mn =-值即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，∴，故答案为：．13. 如图，四边形中，，于点C ，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，化为最简二次根式，取的中点E ，连接，证明是等边三角形，得到，进而利用三角形外角的性质得到，由勾股定理得到；再证明是等边三角形，得到，则，即可得到答案．【详解】解：如图所示，取的中点E ，连接，而，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，m n 2240x x --=2m n +=4mn =-()24246m n mn +-=--=+=6ABCD 6cm AB =ACBC ⊥60ABC ACD ADC ∠=∠=∠=︒BDcm AB CE BCE 60BEC CE BE AE =︒==∠，30∠=∠=︒EAC ECA 22227AC AB BC =-=ADC △60AD AC CAD ==︒，∠90BAD ∠=︒AB CE AC BC ⊥3cm AE BE CE ===60ABC ∠=︒BCE 60BEC ∠=︒EAC ECA =∠∠60BEC EAC ECA ∠=∠+∠=︒∴，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，故答案为：14. 如图，中，，，点A 和点B 都在反比例函数（）图像上，过点A 作轴于点M ，过点B 作轴于点N ．（1）若面积为4时，则k 的值为______；（2）当k 取任意正数时，的值为______．【答案】①. 8 ②. 【解析】【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形性质和判定，解答本题的关键是作辅助线构造全等三角形，再结合反比例函数的性质进行解答．（1）根据反比例函数系数k 的几何意义进行求解即可解题；（2）作于点，作于点，设点的坐标为，点的坐标为，证明的30∠=∠=︒EAC ECA 132BC AB ==90ACB ∠=︒22227AC AB BC =-=60ACD ADC ∠=∠=︒ADC △60AD AC CAD ==︒，∠90BAD ∠=︒BD ==Rt ABO △90OBA ∠=︒OB AB =k y x =0x >AM x ⊥BN y ⊥ONB ON NAM O -BP OM ⊥P AQ BP ⊥Q A ,k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ,k b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到，，表示出值，建立等式，得到，再根据求解，即可解题．【详解】解：（1）轴于点N ，的面积为4，，解得或，图象在第一象限，，故答案为：．（2）作于点，作于点，设点的坐标为，点的坐标为，，，，，，，，，，，，，，()AAS OPB BQA ≌BP AQ =OP BQ =k a =BQ OP ON ON ONON AM ==- BN y ⊥ONB ∴42k =8k =8k =- ∴8k =8BP OM ⊥P AQ BP ⊥Q A ,k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ,k b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 90OBA ∠=︒90ABQ OBP ∴∠+∠=︒90BOP OBP ∠+∠=︒ ABO BOP ∴∠=∠ OB AB =90OPB BQA ∠=∠=︒∴()AAS OPB BQA ≌BP AQ ∴=OP BQ =OP b = k k BQ b a =-k BP b=AQ a b =-，整理得，，整理得， ，整理得，解得或，，，，．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查分式加减法，熟练掌握分式加减法的法则是解题的关键．先化成同分母分式，再运用同分母分式加减法法则计算即可．【详解】解：原式．16. 如图，在平面直角坐标系中，单位长度为1，的顶点均在正方形网格的格点上，其中．k k b b a ∴=-2ab k a b=-k a b b=-()k b a b =-∴()2ab b a b a b =--223524a b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭a =a = a b >∴a =∴()2k b a b b b ⎫=-=-=⎪⎪⎭∴2BQ OP b b k ON ON O O N kN b AM =====-=2422x x x+--2x +2422x x x =---242x x -=-()()222x x x +-=-2x =+ABC ()0,1A（1）画出统点O 逆时针旋转的图形；（2）在x 轴上画出一个格点D ，使；（3）在线段上画出点E ，使的长度最短．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，保留作图痕迹）【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查作图−应用与设计作图，旋转的性质，垂直的定义，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握网格特征解决问题．（1）根据旋转的性质找到点A 、B 、C 的对应点，连接，则即为所求；（2）利用网格的特点，取点即可；（3）根据点到直线的垂线段最短，利用网格特点，取点即可．【小问1详解】解：如图，；【小问2详解】解：如图，D 点为所画的点；【小问3详解】解：如图，E点为所画的点．ABC 90︒111A B C △=90BDC ∠︒BC DE 111,,A B C 111,,A B C 111A B C △111A B C △四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. “道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规，某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份和2月份的销量，该品牌头盔1月份销售300个，2月份销售360个，若从1月份到3月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔3月份的销售量．【答案】该品牌头盔3月份的销售量为432个【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，利用该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔1月份的销售量（该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x 的一元一次方程，求解出增长率，即可得出结论．【详解】解：设1月份到3月份销售量的月增长率为x ，根据题意得： ，解得：，，答：该品牌头盔3月份的销售量为432个．18. 某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：______=______；（2）已知且n 为整数，猜想第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明．=⨯1+()3001360x +=0.220%x ==()360120%432∴+=()21515152251210025=⨯==⨯⨯+()22525256252310025=⨯==⨯⨯+()235353512253410025=⨯==⨯⨯+2656565=⨯=19n ≤≤【答案】（1），（2），详见解析【解析】【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字与等式的变化规律是解题的关键．（1）计算，根据上述等式规律可得；（2）根据上述等式，得出规律，，且整数），再证明即可．【小问1详解】解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…；故答案为：，；【小问2详解】解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…猜想第n 个等式（用含n 的等式表示）为：，，且为整数）证明：；∴左边右边，∴等式成立．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）为4225()6710025⨯⨯+()()2105100125n n n +=++65654225⨯=()42256710025=⨯⨯+2(105)(1)10025n n n +=+⨯+(19n ≤≤n 2151515225(12)10025=⨯==⨯⨯+2252525625(23)10025=⨯==⨯⨯+23535351225(34)10025=⨯==⨯⨯+∴()265656542256710025=⨯==⨯⨯+5625(78)10025⨯⨯+2151515225(12)10025=⨯==⨯⨯+2252525625(23)10025=⨯==⨯⨯+23535351225(34)10025=⨯==⨯⨯+∴2(105)(1)10025n n n +=+⨯+(19n ≤≤n 22(105)10010025n n n +=++2()10025n n =+⨯+(1)10025n n =+⨯+=19. 华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，）【答案】浮雕像的高度约为2.0米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F 点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出．【详解】.解：过点于F 点，在中，，，，，，∴在中，.答：浮雕像的高度约为．20. 如图，是的外接圆，是的直径，F 是延长线上一点，连接，，且是的切线．AR AB CD BE 1.75m AC = 2.45m AD =53CAD ∠=︒CD 0.1sin530.80︒≈cos530.60︒≈tan531.33︒≈ 1.41≈CD CF AD ⊥Rt CFA △,CF AF DF CD CF AD ⊥Rt CFA △ 1.75m AC =53CAD ∠=︒()sin53 1.750.80 1.4m CF AC ∴=⋅︒=⨯≈()cos53 1.750.60 1.05m AF AC =⋅︒=⨯≈()2.45 1.05 1.4m DF ∴=-=Rt CFD ()1.974 2.0m CD ===≈CD 2.0m O ABC AD O AD CD CF CF O（1）求证：；（2）若，求的半径．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，由切线的性质结合圆周角的性质得到，进而得到，推出，即可证明结论；（2）设的半径为r ，在中，利用勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：连接，是的切线是的直径，，；【小问2详解】解：设的半径为r ，在中，DCF CAD ∠=∠CF =4DF =O 2OC DCF ACO ∠=∠OA OC =ACO CAD ∠∠=O R t F C O △OC CF O ∴⊥OC PC 90DCF OCD ∴∠+∠=︒AD O 90ACD ∴∠=︒90ACO OCD ∴∠+∠=︒DCF ACO ∴∠=∠OA OC = ACO CAD∴∠=∠DCF CAD ∴∠=∠O R t F C O △222OC CF OF +=， 解得的半径为2．【点睛】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，圆周角定理以及勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．六、（本大题满分12分）21. 教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理的工作通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，确有需求的，须经家长同意、书面提出申请，进校后应将手机由学校统一保管，禁止带入课堂．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图（1），图（2）所示的统计图，已知“查资料”的人数是48人．解答下列问题：（1）在扇形统计图中，表示“玩游戏”的扇形圆心角度数为_______，补全条形统计图；（2）该校共有学生1300人，估计每周使用手机时间在以上（不含）的人数；（3）请写出一条学生健康使用手机的建议．【答案】（1），见解析（2）（3）合理安排时间，不沉迷手机【解析】【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以即可得到“玩游戏”的扇形圆心角CF = 4DF=(()2224r r ∴+=+2r =∴O 2h 2h 126︒910360︒度数，求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；（2）由每周使用手机时间在以上（不含）所占的比乘以1300即可得到结果．（3）根据不损害健康和视力的原则提出建议即可．【小问1详解】解： ，故扇形统计图中表示“玩游戏”的扇形圆心角度数为；随机抽取的学生数为：（人），用手机时间在3小时以上的人数为：（人），补全条形如图故答案为：；【小问2详解】解：（人）答：每周使用手机时间在2h 以上的人数约为910人；【小问3详解】解：合理安排时间，不沉迷手机；少看手机，保护视力（答案不唯一）．七、（本大题满分12分）22. 如图，直线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线经过B 、C 两点，抛物线与x 轴负半轴交于点A ．2h 2h 100%40%18%7%3601)6(2---⨯︒=︒126︒4840%120÷=120216183252----=126︒32521300910120+⨯=3y x =-2y x bx c =++（1）求抛物线的函数表达式；（2）直接写出当时，x 的取值范围；（3）点P 是位于直线BC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作于点E ，连接．求面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）（2）（3）；【解析】【分析】（1）令直线解析式，即可求得点B 的坐标，令，即可求得点C 的坐标，利用待定系数法直接代入求解即可；（2）根据函数图象即可解答；（3）过点P 作轴于点H ，交直线于点G ，过点E 作于点F ，设点，则点，，证明是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：时，，，，时，，，将，代入得：23x x bx c ->++PE BC ⊥OE BOE △223y x x =--03x <<7516115,24⎛⎫- ⎪⎝⎭0y =0x =PH x ⊥BC EF PH ⊥()2,23P a a a --(),3G a a -()223233PG a a a a a =----=-+EGP △231754216BOES a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 0y =30x -=3x =()3,0B ∴0x ==3y -()0,3C ∴-()3,0B ()0,3C -2y x bx c =++解得，；【小问2详解】解：，，时，由函数图象可得：；【小问3详解】解：如图，过点P 作轴于点H ，交直线BC 于点G ，过点E 作于点F ，设点，则点，， ，，，轴，是等腰直角三角形，，，，∵P 在直线下方，，9303b c c ++=⎧⎨=-⎩23b c =-⎧⎨=-⎩223y x x ∴=-- ()3,0B ()0,3C -∴23x x bx c ->++03x <<PH x ⊥EF PH ⊥()2,23P a a a --(),3G a a -()223233PG a a a a a =----=-+3OC OB == 180452BOC OCB ︒-∠∴∠==︒PE BC ⊥ PH y ∥EGP ∴ 2322GD a a PF -+==()2223233222a a a a FH PH PF a a -+∴=-=----=-++∴22233393175322224424216BOE BO HF a a S a a a ⎛⎫⋅⎛⎫==-++=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ BC 03a ∴<<，对称轴直线，当时，，此时点P 坐标为．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，图像法解不等式，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．八、（本大题满分14分）23. 如图，中，边上的中线与的平分线交于F 点，．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，进而得到，由是的平分线，得到，即可证明；（2）取中点G ，连接，利用三角形中位线的性质，易证，得到，进而的得到，即可证明；（3）同理（2）取中点G ，连接，证明，设，则，求出，由，得到，根据，由相似的性质即可求解．【小问1详解】证明：，，，为102-< 12a =∴12a =max 7516BOE S =△115,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC BC AE ABC ∠BD AD AF =ABF CBD ∽2CD EF =2DF =BF 2+ADF AFD ∠=∠ABF CDB ∠=∠BD ABC ∠ABF CBD ∠=∠ABF CBD ∽CD EG ADF AGE △∽△AD AF AG AE =12DG CD =CD EG CEG CBD ∽△△EG x =2BD x =22BF x =-ADF AGE △∽△22AD DG x =-ABF CBD ∽ AD AF =ADF AFD ∴∠=∠ABF CDB ∴∠=∠是的平分线，，；【小问2详解】解：取中点G ，连接，是边上的中线，即点E 为的中点，，，，，，即，，，；【小问3详解】解：如（2）中图，可知，，，点是的中点，点E 为的中点，， BD ABC ∠ABF CBD ∴∠=∠∴ABF CBD ∽CD EG AE BC BC EG BD ∴∥∴ADF AGE △∽△∴AD AF AG AE= AD AF =AG AE ∴=EF DG =12DG CD = 12EF CD ∴=∴2CD EF =EG BD ∥ CEG CBD ∽△△∴EG CG BD CD= G CD BC ∴12EG CG BD CD ==设，则，，，，，，即，，，，，，，，，即，解得：或，，，，【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．EG x =2BD x = 2DF =22BF x ∴=- ADF AGE △∽△2AD DF AG EG x∴==2AD AD DG x∴=+2AD DG x AD +∴=22DG x AD -=∴22AD DG x =-DG CG = 122AD AD CD DG x ∴==- AD AF =12AF CD x ∴=- ABF CBD ∽AF BF CD BD∴=12222x x x -∴=-2420x x -+=2x =+2x =-2EG DF >= 2EG ∴=24BD EG ∴==+2BF BD DF ∴=-=+。
2021年中考一模考试《数学卷》附答案解析
中考全真模拟测试数学试卷一、选择题:1. 我市南水北调配套工程建设进展顺利，工程运行调度有序．截止2015年12月底，已累计接收南水北调来水812000000立方米．使1100余万市民喝上了南水；通过“存水”增加了约550公顷水面，密云水库蓄水量稳定在10亿立方米左右，有效减缓了地下水位下降速率．将812000000用科学记数法表示应为A. 812×106B. 81．2×107C. 8．12×108D. 8．12×1092. 下列运算正确的是（）A. 3a2+5a2=8a4B. a6•a2=a12C. （a+b）2=a2+b2D. （a2+1）0=13. 如图所示的标志中，是轴对称图形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A. 15mB. 17mC. 20mD. 28m5. 如图,已知AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1的度数是( )A. 80°B. 85°C. 90°D. 95°6. 估计7+1的值（ ） A. 在1和2之间B. 在2和3之间C. 3和4之间D. 在4和5之间7. 在平面直角坐标系中，点（－1，2）在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，则该函数的图像不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 计算8－2的结果是( )A. 6B. 6C. 2D. 210. 一个暗箱里装有10个黑球,8个红球,12个白球,每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是（ ）A . 415B. 13C. 25D. 35 11. 如图，1l ∥2l ∥3l ，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知32AB BC ，则DE DF 的值为（ ）A. 32B. 23C. 25D. 3512. 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD 最大面积是（ ）A. 60 m2B. 63 m2C. 64 m2D. 66 m2二、填空题:13. 分解因式：x3y﹣2x2y+xy=______．14. 函数y=12 -x的自变量x的取值范围是_____．15. 化简221(1)11x x-÷+-的结果是．16. 某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为．17. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为．18. 已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为____．三、计算题：19. 解方程组:3(1)4(4)05(1)3(5)x yy x---=⎧⎨-=+⎩20. 解不等式组2102323xx x+>⎧⎪-+⎨≥⎪⎩．四、解答题:21. 如图，四边形ABCD中，90,1,3A ABC AD BC︒∠=∠===,E是边CD中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．22. 如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．23. 为了更好的治理西流湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10 台污水处理设备．现有A、B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：A 型B 型价格（万元/台） a b处理污水量（吨／月）240 200经调查：购买一台A 型设备比购买一台B 型设备多2 万元，购买2 台A 型设备比购买3 台B 型设备少6 万元．（1）求a，b 值；（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105 万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理西流湖的污水量不低于2040 吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．24. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；(2)函数y=2x2-bx.①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；(3) 记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为 .答案与解析一、选择题:1. 我市南水北调配套工程建设进展顺利，工程运行调度有序．截止2015年12月底，已累计接收南水北调来水812000000立方米．使1100余万市民喝上了南水；通过“存水”增加了约550公顷水面，密云水库蓄水量稳定在10亿立方米左右，有效减缓了地下水位下降速率．将812000000用科学记数法表示应为A. 812×106B. 81．2×107C. 8．12×108D. 8．12×109【答案】C【解析】试题解析：将812000000用科学记数法表示为：8．12×108．故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．2. 下列运算正确的是（）A. 3a2+5a2=8a4B. a6•a2=a12C. （a+b）2=a2+b2D. （a2+1）0=1【答案】D【解析】试题分析：A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；D、原式利用零指数幂法则计算得到结果，即可做出判断．解：A、原式=8a2，故A选项错误；B、原式=a8，故B选项错误；C、原式=a2+b2+2ab，故C选项错误；D、原式=1，故D选项正确．故选D．点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及零指数幂，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3. 如图所示的标志中，是轴对称图形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【详解】试题分析：四个标志中是轴对称图形的有：，所以共有3个.故应选C.考点：轴对称图形4. 为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A. 15mB. 17mC. 20mD. 28m【答案】D【解析】试题分析：根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可．解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，故选D．考点：三角形三边关系．5. 如图,已知AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1的度数是( )A. 80°B. 85°C. 90°D. 95°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠A=∠C=40°，∵∠1=∠D+∠C，∵∠D=45°，∴∠1=∠D+∠C=45°+40°=85°，故选B．考点：平行线的性质．6. 7+1的值（）A. 在1和2之间B. 在2和3之间C. 在3和4之间D. 在4和5之间【答案】C【解析】∵7，∴7，7在在3和4之间．故选C.7. 在平面直角坐标系中，点（－1，2）在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】∵点（-1，2）的横坐标为负数，纵坐标为正数，∴点（-1，2）在第二象限．故选B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．8. 已知一次函数y＝kx－k，y随x的增大而减小，则该函数的图像不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：∵一次函数y=kx﹣k的图象y随x的增大而减小，∴k＜0．即该函数图象经过第二、四象限，∵k＜0，∴﹣k＞0，即该函数图象与y轴交于正半轴．综上所述：该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．点睛：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．9. 的结果是( )A. 6 C. 2【答案】D【解析】-==D．考点：二次根式的加减法．10. 一个暗箱里装有10个黑球,8个红球,12个白球,每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是（）A.415B.13C.25D.35【答案】D【解析】1231305-=，故选D.11. 如图，1l∥2l∥3l，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知32ABBC=，则DEDF的值为（）A. 32B.23C.25D.35【答案】D 【解析】试题分析：∵1l∥2l∥3l，32ABBC=，∴DEDF=ABAC=332+=35，故选D．考点：平行线分线段成比例．12. 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（）A. 60 m2B. 63 m2C. 64 m2D. 66 m2【答案】C【解析】试题分析：设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式为y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m时，y max=64m2，即所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故答案选C．考点：二次函数的应用．二、填空题:13. 分解因式：x3y﹣2x2y+xy=______．【答案】xy（x﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．故答案为：xy （x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 函数y=12-x x 的自变量x 的取值范围是_____． 【答案】x≤12且x≠0 【解析】【详解】根据题意得x≠0且1﹣2x≥0，所以12x ≤且0x ≠． 故答案为12x ≤且0x ≠． 15. 化简221(1)11x x -÷+-的结果是 ． 【答案】（x-1）2．【解析】试题解析：原式=11x x -+•（x+1）（x-1） =（x-1）2．考点：分式的混合运算．16. 某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为 ．【答案】10．【解析】解：∵一个直角三角形的三边长的平方和为200，∴斜边长的平方为100，则斜边长为：10．故答案为10． 17. 如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为 ．【答案】14．【解析】试题解析：∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=12BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=12AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．18. 已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为____．【答案】5．【解析】解：连接OC，BC．∵AB是圆O的直径，DC是圆O的切线，C是切点，∴∠ACB=∠OCD=90°．∵∠CAB=30°，∴∠COD=2∠A=60°，∴OD=2OC=10，∴BD=OD-OB=10-5=5．故答案为5．三、计算题：19. 解方程组:3(1)4(4)0 5(1)3(5)x yy x---=⎧⎨-=+⎩【答案】x=5,y=7.【解析】试题分析：先把组中的方程化简后，再求方程组的解．试题解析：解：原方程化简得：3413 5320x yy x-=-⎧⎨-=⎩①②①+②，得：y=7，把y=7代入①，得：x=5，所以原方程组的解为：57 xy=⎧⎨=⎩．20. 解不等式组210 23 23xx x+>⎧⎪-+⎨≥⎪⎩．【答案】﹣0.5＜x≤0．【解析】【分析】先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解：2102323xx x+>⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①②由①得：x＞﹣0.5，由②得：x≤0，则不等式组的解集是﹣0.5＜x≤0．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、解答题:21. 如图，四边形ABCD中，90,1,3A ABC AD BC︒∠=∠===,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．（1）求证：四边形BDFC平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．【答案】（1）见解析；（2）2或35【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．【详解】解：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°∴AF∥BC∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE∵E是边CD的中点∴CE=DE∴△BCE≌△FDE（AAS）∴BE=EF∴四边形BDFC是平行四边形（2）若△BCD是等腰三角形①若BD=BC=3 在Rt△ABD中，AB=229122BD AD-=-=∴四边形BDFC的面积为S=22×3=62；②若BC=DC=3 过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG-AD=3-1=2，在Rt△CDG中，由勾股定理得，2222325CG CD DG=-=-=∴四边形BDFC的面积为S=35③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是2或35【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．22. 如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6 5 .【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴CG FCOE FO=，即2323CG=+，解得：CG=65．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．23. 为了更好的治理西流湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10 台污水处理设备．现有A、B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：A 型B 型价格（万元/台） a b处理污水量（吨／月）240 200经调查：购买一台A 型设备比购买一台B 型设备多2 万元，购买2 台A 型设备比购买3 台B 型设备少6 万元．（1）求a，b 的值；（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105 万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理西流湖的污水量不低于2040 吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．【答案】（1）1210ab==⎧⎨⎩；（2）①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台. ；（3）为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台.【解析】【分析】（1）根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；（2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10-x）台，则有12x+10（10-x）≤105，解之确定x 的值，即可确定方案；（3）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有240x+200（10-x）≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．【详解】(1)根据题意得：2326a bb a-=-=⎧⎨⎩，∴1210ab==⎧⎨⎩；(2)设购买污水处理设备A型设备x台,B型设备(10−x)台，则：12x+10(10−x)⩽105，∴x⩽2.5，∵x取非负整数，∴x=0，1，2，∴有三种购买方案：①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台.(3)由题意：240x+200(10−x)⩾2040，∴x⩾1，又∵x⩽2.5，x取非负整数，∴x为1，2.当x=1时,购买资金为：12×1+10×9=102(万元)，当x=2时,购买资金为：12×2+10×8=104(万元)，∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台.【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解题关键在于理解题意列出方程.24. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；(2)函数y=2x2-bx.①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3,求其不变长度q取值范围；(3) 记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为 .【答案】详见解析.【解析】试题分析：（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）①首先由函数y=2x2﹣bx=x，求得x（2x﹣b﹣1）=0，然后由其不变长度为零，求得答案；②由①，利用1≤b≤3，可求得其不变长度q的取值范围；（3）由记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，可得函数G的图象关于x=m对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．试题解析：解：（1）∵函数y=x﹣1，令y=x，则x﹣1=x，无解；∴函数y=x﹣1没有不变值；∵y=x-1 =1x，令y=x，则1xx=，解得：x=±1，∴函数1yx=的不变值为±1，q=1﹣（﹣1）=2．∵函数y=x2，令y=x，则x=x2，解得：x1=0，x2=1，∴函数y=x2的不变值为：0或1，q=1﹣0=1；（2）①函数y=2x2﹣bx，令y=x，则x=2x2﹣bx，整理得：x（2x﹣b﹣1）=0．∵q=0，∴x=0且2x﹣b﹣1=0，解得：b=﹣1；②由①知：x（2x﹣b﹣1）=0，∴x=0或2x﹣b﹣1=0，解得：x 1=0，x 2=12b +．∵1≤b ≤3，∴1≤x 2≤2，∴1﹣0≤q ≤2﹣0，∴1≤q ≤2； （3）∵记函数y =x 2﹣2x （x ≥m ）的图象为G 1，将G 1沿x =m 翻折后得到的函数图象记为G 2，∴函数G 的图象关于x =m 对称，∴G ：y =22)22()(2(2)()m x x x x m m x x m -⎧-≥⎨--<⎩ ．∵当x 2﹣2x =x 时，x 3=0，x 4=3； 当（2m ﹣x ）2﹣2（2m ﹣x ）=x 时，△=1+8m ，当△＜0，即m ＜﹣18时，q =x 4﹣x 3=3；当△≥0，即m ≥﹣18时，x 5x 6 ①当﹣18≤m ≤0时，x 3=0，x 4=3，∴x 6＜0，∴x 4﹣x 6＞3（不符合题意，舍去）； ②∵当x 5=x 4时，m =1，当x 6=x 3时，m =3；当0＜m ＜1时，x 3=0（舍去），x 4=3，此时0＜x 5＜x 4，x 6＜0，q =x 4﹣x 6＞3（舍去）；当1≤m ≤3时，x 3=0（舍去），x 4=3，此时0＜x 5＜x 4，x 6＞0，q =x 4﹣x 6＜3；当m ＞3时，x 3=0（舍去），x 4=3（舍去），此时x 5＞3，x 6＜0，q =x 5﹣x 6＞3（舍去）；综上所述：m 的取值范围为1≤m ≤3或m ＜﹣18． 点睛：本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．注意掌握分类讨论思想的应用是解答此题的关键．。
2021年安徽省合肥四十五中中考数学一模试卷(含解析)
2021年安徽省合肥四十五中中考数学一模试卷一.选择题（共10小题）.1．比﹣3小的数是（）A．﹣4B．﹣2C．1D．32．计算：﹣（x3）5＝（）A．x8B．﹣x8C．x15D．﹣x153．如图，从左面看三棱柱得到的图形是（）A．B．C．D．4．2020年我国粮食总产量为13390亿斤，数13390亿用科学记数法表示为（）A．0.1339×105B．1.339×104C．1.339×108D．1.339×1012 5．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0B．x2﹣2x﹣1＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2﹣2x+3＝0 6．某中学九（7）班8名同学一分钟跳绳成绩（单位：个）如下：175，196，218，203，196，186，217，178．这组数据的众数和中位数分别是（）A．196，196B．196，190C．186，190D．178，1967．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（）A．y随x的增大而增大B．与y轴交于点（0，﹣2）C．函数图象不经过第一象限D．与x轴交于点（﹣3，0）8．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（）A．50m B．40m C．30m D．25m9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）A．B．C．D．10．如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E′，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'的长为（）A．﹣B．+C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．计算：+＝．12．因式分解：4a2﹣4＝．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为5，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，菱形ABCD的周长为20，则k的值为．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝10，D在边AC上，且CD＝2AD．（1）D点到AB的距离为；（2）若M、N两点都在边AB上，△DMN是等腰三角形，且∠DMN＝∠BDC，则MN 长为．三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程：+1＝．16．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB先向右平移三个单位长度再向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．18．观察下列等式：①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，…（1）请按以上规律写出第⑥个等式：；（2）猜想并写出第n个等式：；并证明猜想的正确性．（3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果：+++…+＝．五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．图①是某车站的一组智能通道闸机，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝20°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．20．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120°，BD＝10．（1）求证：CA＝CD；（2）求⊙O的半径．六.（本题满分12分）21．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为，并补全条形统计图；（2）该校共有学生4000人，请你估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，其中A1是七年级学生，A2是八年级学生；B1，B2两名女生，其中B1是八年级，B2是九年级．若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请求出恰好抽到不同年级、不同性别的学生的概率．七.（本题满分12分）22．长丰草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）由于种植不当，某草莓种植户的一个大棚今年共采摘草莓1200千克，该品种草莓的保质期为15天，请问如何定价该农户可获得最大利润，并求出该批全部售出的最大利润．八．23．如图1，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，延长BE交CD的延长线于点F，点P 是线段EF上的一点，延长PD交BC的延长线于点Q．（1）①如图1，若P是线段EF的中点，求证：DE＝CQ；②如图2，若AB＝4，BC＝8，PF＝CQ，求CQ的长；（2）如图3，连接AP、AQ，求证：AD平分∠PAQ．参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．比﹣3小的数是（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3解：选项A、∵﹣4＜0，﹣3＜0，|﹣4|＞|﹣3|，∴﹣4＜﹣3，符合题意；选项B、∵﹣2＜0，﹣3＜0，|﹣2|＜|﹣3|，∴﹣2＞﹣3，不符合题意；选项C、∵0＜1，﹣3＜0，∴﹣3＜1，不符合题意；选项D、∵0＜3，﹣3＜0，∴﹣3＜3，不符合题意；故选：A．2．计算：﹣（x3）5＝（）A．x8B．﹣x8C．x15D．﹣x15解：﹣（x3）5＝﹣x3×5＝﹣x15．故选：D．3．如图，从左面看三棱柱得到的图形是（）A．B．C．D．解：从左边看是一个矩形．故选：B．4．2020年我国粮食总产量为13390亿斤，数13390亿用科学记数法表示为（）A．0.1339×105B．1.339×104C．1.339×108D．1.339×1012解：13390亿＝1339000000000＝1.339×1012．故选：D．5．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0B．x2﹣2x﹣1＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2﹣2x+3＝0解：A．此方程根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B．此方程根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；C．此方程根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根，不符合题意；D．此方程根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根，符合题意；故选：D．6．某中学九（7）班8名同学一分钟跳绳成绩（单位：个）如下：175，196，218，203，196，186，217，178．这组数据的众数和中位数分别是（）A．196，196B．196，190C．186，190D．178，196解：将这组数据重新排列为175，178，186，196，196，203，217，218，所以这组数据的众数为196、中位数为＝196，故选：A．7．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（）A．y随x的增大而增大B．与y轴交于点（0，﹣2）C．函数图象不经过第一象限D．与x轴交于点（﹣3，0）解：∵一次函数y＝﹣2x﹣3，∴该函数y随x的增大而减小，故选项A错误；与y轴交于点（0，﹣3），故选项B错误；该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项C正确；与x轴交于点（﹣，0），故选项D错误；故选：C．8．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（）A．50m B．40m C．30m D．25m解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝×250＝125（m），AC＝BC＝AB＝×150＝75（m），∴OC＝＝＝100（m），∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），即这些钢索中最长的一根为25m，故选：D．9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）A．B．C．D．解：取格点E，连接AE、BE，如图：设网格中的小正方形的边长为1，则BE＝，AE＝，AB．∵BE2+AE2＝2+8＝10，AB2＝10，∴BE2+AE2＝AB2．∴∠AEB＝90°．由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45+∠PBD，∴∠ABD＝∠ABE．在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．∴cos∠APD＝．故选：C．10．如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E′，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'的长为（）A．﹣B．+C．D．解：过A点作AH⊥BE′于E′，如图，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×4＝2，BE＝BD＝DE＝×2＝2，∠BED＝45°，∵△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E′，∴∠BE′D′＝∠BED＝45°，∠E′BD′＝∠EBD＝90°，E′D′＝ED＝2，BD′＝BD＝BE′＝2，∵∠AE′H＝∠BE′D＝45°，∴AH＝E′H，设AH＝x，则HE′＝x，AE′＝x，在Rt△AHB中，x2+（x+2）2＝（2）2，解得x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（舍去），∴AE′＝x＝（﹣1）＝﹣，∴AD′＝AE′+E′D′＝﹣+2＝+，在△BAD′和△BCE′中，，∴△BAD′≌△BCE′（SAS），∴CE′＝AD′＝+．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．计算：+＝3．解：原式＝2+＝3．12．因式分解：4a2﹣4＝4（a+1）（a﹣1）．解：原式＝4（a2﹣1）＝4（a+1）（a﹣1）．故答案为：4（a+1）（a﹣1）．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为5，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，菱形ABCD的周长为20，则k的值为．解：过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E，∵菱形ABCD的周长为20，∴AB＝5，在Rt△ABE中，AE＝5﹣1＝4，AB＝5，则BE＝3，设点A（m，5），则点B（m+3，1），将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝5m＝m+3，解得：m＝，k＝，故答案为．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝10，D在边AC上，且CD＝2AD．（1）D点到AB的距离为1；（2）若M、N两点都在边AB上，△DMN是等腰三角形，且∠DMN＝∠BDC，则MN 长为 1.25或4或．解：（1）过D作DF⊥AB于F，∴D到AB的距离为DF，∵∠C＝90°，BC＝，AB＝10，∴，sin∠A＝，∵CD＝2AD，∴CD＝2，AD＝，∴DF•sin∠A＝1，故答案为：1；（2）①若以DM，DN为腰，∵∠DMN＝∠BDC，∴tan∠BDC＝，∴MF＝，∵△DMN是等腰三角形，DF⊥MN，∴DF平分MN，∴MN＝2MF＝4，②若以DM，MN为腰，同理可得，tan∠DMN＝tan∠BDC＝，sin∠DMN＝sin∠BDC＝，∴BD＝，∴sin∠DMN＝，∵DF⊥MN，∴DM＝，∴MN＝DM＝，③当ND＝NM时，MN＝DM＝1.25，综上所述，MN长为1.25或4或．故答案为：（1）1；（2）1.25或4或．三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程：+1＝．解：方程的两边同乘x﹣1，得x+（x﹣1）＝2，解这个一元一次方程，得，经检验，是原方程的解．16．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？解：设好田买了x亩，坏田买了y亩，依题意，得：，解得：．答：好田买了20亩，坏田买了80亩．四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB先向右平移三个单位长度再向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．解：（1）如图，线段A1B1即可．（2）如图，线段A1B2即可．（3）＝3×5﹣×2×5﹣×1×3﹣×1×4＝．18．观察下列等式：①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，…（1）请按以上规律写出第⑥个等式：＝7+；（2）猜想并写出第n个等式：＝（n+1）+；并证明猜想的正确性．（3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果：+++…+＝4753．解：（1）第⑥个式子为：＝7+；故答案为：＝7+；（2）猜想第n个等式为：＝（n+1）+，证明：∵左边＝＝＝（n+1）+＝右边，故答案为：＝（n+1）+；（3）原式＝1+2+3+…+97＝＝4753．故答案为：4753．五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．图①是某车站的一组智能通道闸机，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝20°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．解：连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，由点A，D在同一条水平线上，BC，EF均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM＝DN，在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝20°，AB＝60cm，∵sin∠ABM＝，∴AM＝AB•sin∠ABM＝60•sin20°≈60×0.34＝20.4，∴MN＝AM+DN+AD＝2AM+AD＝20.4×2+10＝50.8，∴BC与EF之间的距离为50.8cm．20．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120°，BD＝10．（1）求证：CA＝CD；（2）求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC．∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°．又∵∠ACD＝120°，∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝120°﹣90°＝30°．∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝60°．∴∠D＝30°，∴CA＝DC．（2）解：∵sin∠D＝＝＝，sin∠D＝sin30°＝，∴＝．解得OB＝10．即⊙O的半径为10．六.（本题满分12分）21．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为18°，并补全条形统计图；（2）该校共有学生4000人，请你估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，其中A1是七年级学生，A2是八年级学生；B1，B2两名女生，其中B1是八年级，B2是九年级．若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请求出恰好抽到不同年级、不同性别的学生的概率．解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），∴“非常重视”所占的圆心角的度数为360°×＝18°，故答案为：18°，“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：（2）由题意得：4000×＝1800（人），即估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数为1800人；（3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有6个，∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．七.（本题满分12分）22．长丰草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）由于种植不当，某草莓种植户的一个大棚今年共采摘草莓1200千克，该品种草莓的保质期为15天，请问如何定价该农户可获得最大利润，并求出该批全部售出的最大利润．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（10，200）、（15，150）代入，得：，解得：，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300，由﹣10x+300≥0得x≤30，所以x的取值范围为10≤x≤30；（2）设每天销售获得的利润为w，则w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10（x﹣20）2+1000，∵10≤x≤30，a＝﹣10＜0，∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为1000；答：该品种的草莓定价为20元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1000元；（3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为20元/千克，则每天的销售量为y＝﹣10×20+300＝100千克，∵保质期为15天，∴总销售量为15×100＝1500，又∵1200＜1500，∴在保质期内能销售完这批草莓，由（2）定销售价为20元时，能获得最大利润w＝﹣10（x﹣20）2+1000，∵在15天内能销售完这批草莓，∴15（﹣10x+300）≥1200，解得：x≤22，∴定销售价为20元时，能获得最大利润1000×12＝12000（元）．答：定销售价为20元时，能获得最大利润12000元．八．23．如图1，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，延长BE交CD的延长线于点F，点P 是线段EF上的一点，延长PD交BC的延长线于点Q．（1）①如图1，若P是线段EF的中点，求证：DE＝CQ；②如图2，若AB＝4，BC＝8，PF＝CQ，求CQ的长；（2）如图3，连接AP、AQ，求证：AD平分∠PAQ．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠EDF＝90°，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴AD＝BC＝2DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（ASA），∴BE＝FE，∵P是线段EF的中点，∴BE＝EF＝2PE，∴PB＝3PE，∵AD∥BC，∴，∴BQ＝3DE，∵BC＝2DE，∴DE＝CQ；②设PF＝CQ＝x，则BQ＝8+x，∵AB＝4，BC＝8，E是边AD的中点，四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AE＝DE＝4，∠A＝90°，∴BE＝4，由①知△ABE≌△DFE，∴BE＝EF＝4，∴PE＝4﹣x，PB＝8﹣x，∵AD∥BC，∴，即，解得：x＝4﹣4，∴CQ＝4﹣4；（2）过点P作PH⊥AD于H，设AB＝m，BC＝n，PE＝x，∵AD∥BC，∴，∵AE＝DE＝AD＝BC＝，∴BE＝＝，∴PB＝PE+BE＝x+，∴BQ＝，∴tan∠AQB＝＝，∵PH⊥AD，∴PH∥AB，∴，∴＝，∴PH＝，EH＝，∴tan∠PAH＝＝＝，∴tan∠AQB＝tan∠PAH，∴∠AQB＝∠PAH，∵AD∥BC，∴∠DAQ＝∠AQB，∴∠DAQ＝∠PAH，∴AD平分∠PAQ．。
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2021年安徽省初中学业水平考试数学模拟试卷（合肥45）
评分标准
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 33 12.4（
a+1）(a-1) 13. 415
14. （1）1 （2） 4或1.25
三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.
解：方程的两边同乘1x -，得(1)2x x +-=，
解这个一元一次方程，得3
2
x =，..................................................6分 经检验，3
2
x =
是原方程的解． ..................................................8分
16. 解：设好田买了x 亩，坏田买了y 亩，
依题意，得：100
3005010000x y x y +=⎧⎨+=⎩，..................................................4分
解得：20
80x y =⎧⎨=⎩
．
..................................................7分
答：好田买了20亩，坏田买了80亩．..................................................8分
四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 解：（1）如图所示； ..................................................2分
（2）如图所示；
..................................................5分
（3）S △ABB2=15-5-2-1.5=6.5 ..................................................8分
18.（1）
21
766922+=- ….….….….….….….….…….2分 （2）
2
1
16)322++=-+n n n （； ….….….….….….….….…….4分 证明略 ….….….….….….….….…….6分
（3）4850 ….….….….….….….….…….8分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
D
B
D
D
A
C
D
C
B
五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 解：（1）连接AD ，并向两方延长，分别交BC ，EF 于M ，N ，由点A ，D 在同一条水平线上，BC ，EF 均垂直于地面可知MN BC ⊥，MN EF ⊥，所以MN 的长度就是BC 与EF 之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得AM DN =....................2分 在Rt ABM ∆中，90AMB ∠=︒，20ABM ∠=︒，60AB =
sin AM
ABM AB
∠=
sin 60sin 20600.3420.4AM AB ABM ∴=∠=︒≈⨯=..................................................6分 220.421050.8MN AM DN AD AM AD ∴=++=+=⨯+=..................................................9分 BC ∴与EF 之间的距离约为50.8cm ；..................................................10分
20.（1）证明：连接OC ，如图，
CD 切O 于点C ， OC CD ∴⊥， 90OCD ∴∠=︒， 120ACD ∠=︒，
30ACO ACD OCD ∴∠=∠-∠=︒，
而OC OA =，
30A ACO ∴∠=∠=︒，
18030D ACD A ∠=︒-∠-∠=︒，
A D ∴∠=∠，
AC CD ∴=；..................................................6分
（2）解：在Rt OCD ∆中，30D ∠=︒，
2OD OC ∴=，
而OC OB =，
102OB OB ∴+=，解得10OB =，..................................................10分
六．（本题满分12分）
21.解：（1）调查的学生人数为1620%80÷=（人)， ∴ “比较重视”所占的圆心角的度数为3601884
︒⨯
=︒， 故答案为：18︒..................................................2分
“重视”的人数为804361624---=（人)，补全条形统计图如图：
..................................................4分
（2）由题意得：32001440830
6
⨯
=（人)， 即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为1440人..................................................6分 （3）画树状图如图：
..................................................9分
共有12个等可能的结果，恰好抽到不同年级不同性别学生的结果有6个， ∴恰好抽到不同年级不同性别学生的概率为
6122
1
=．..................................................12分
七．（本题满分12分）
22.解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+， 将(10,200)、(15,150)代入，得：1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，
解得：10
300
k b =-⎧⎨=⎩，
y ∴与x 的函数关系式为10300y x =-+，
由103000x -+得30x ，所以x 的取值范围为1030x ；..................................................4分
（2）设每天销售获得的利润为w元，
则(10)
=-
w x y
=--+
x x
(10)(10300)
2
=--+，
10(20)1000
x
x，
1030
x=时，w取得最大值，最大值为1000；
∴当20
所以当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1000元．..................................................9分
（3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为20元/千克，
则每天的销售量为1020300100
y=-⨯+=千克，
保质期为15天，
⨯=，
∴总销售量为151001500
又15001200
>，
∴可调高定价
÷
120015=80
x+
-10300=80
解得22
x=
w=-⨯
(2210)1200=14400
答：定价22元时利润最高，最大利润为14400元。
八．（本题满分14分）
23.证明：（1）∵点P为EF中点
∴PD=PF
∴∠F=∠PDF
易得∠CDQ=∠F
易证△ABE≌△DFE
可得AB=DF=CD
可得△CDQ≌△DFE Array∴DE=CQ..................................................4分
（2）如图过点C作CG∥BF交PQ于点G
∴∠CGQ=∠F
∴∠CGQ=∠Q
∴CQ=CG=PF
∵CG∥BF
BQ
CQ
BP CG =
设CQ=x,则
x
x
x
x
+=
-828
解得：
424-=x .................................................8分
（3）如图，过点E 作MN ⊥AD ，连接MD 、ND ，则MA=MD , NA=ND ∵MN ∥AB ；DE ∥BQ
∴ PQ PD
PB PE PB PE PA PM ==; ∴ PQ PD PA PM =
∴ MD ∥AN
∴ 四边形MAND 是菱形；
∴ AD 平分∠PAQ .................................................14分 其他方法酌情给分。