1.1不等式关系导学案

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高中数学《不等式的基本性质》导学案

1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

2. 实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：与．三、典例分析【例1】判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )．【例2】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。

一元一次不等式导学案2

课题：不等式的基本性质（2）
快乐高效实用
永州陶铸中学初中部八年级数学导学案
总课时：第 60 课时第四章：第 3 课时主备人：罗林林审核人：八年级数学备课组班级：姓名：类别：学习目标：理解并能灵活应用不等式的性质 2 与 3，正确区分等式的性质与不等式的性质的区别学习重点：不等式的性质 2 与 3 学习难点：不等式性质 2 与 3 的灵活应用一、情节导入复习不等式的性质 1 二、自主学习阅读书本 P135-136 完成下列问题： 1、完成书本 P135 中探究的问题; 2、不等式基本性质 2：不等式基本性质 3： �� 3、若a > ��，则 5a 5b ； 33 �� 若x < ��，则−2x − 2y； −7 −7 三、合作探究 ab b 1、若 a＜0，则－ ____－ 2 2 2、根据不等式的性质，把下列不等式表示为 x＞a 或 x＜a 的形式：
（1）10x－１＞9x （3）5－6x≥2 （2）2x＋2＜3 （4）8 − 3y ≤ 2y − 7
四、当堂检测书本 P137 中练习第 1、2 题五、拓展提升
1、某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件，后来又到深圳以每件 12.5 元的价格购进同一种商品 40 件。如果商店销售这些商品时，每件定价为 x 元，可获得大于 12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验 x＝14（元）是否使不等式成立？
一个工程队原定在 10 天内至少要挖掘 600m 的土方，在前两天共完成了 120m 后，又要求提前 2 天完成掘土任务，问以后每天至少要挖多少土方？（只列关系式）
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六、课堂小结这节课你学到了什么？还有什么疑惑吗？七、课后作业八、课后反思Leabharlann 课题：不等式的基本性质（1）

不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1不等式的基本性质导学案新人教B版

1.1.1 不等式的基本性质1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.自学导引1.对于任何两个实数a ，b ，a >b ⇔a －b >0； a b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)加(减)：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； (4)乘(除)：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)乘方：a >b >0⇒a n>b n，n ∈N *且n ≥2；(6)开方：a >b >0n ∈N *且n ≥2；(7)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (8)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .基础自测1.如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A.a 2>a >－a 2>－a B.－a >a 2>－a 2>a C.－a >a 2>a >－a 2D.a 2>－a >a >－a 2解析由a 2＋a <0知a ≠0，故有a <－a 2<0，0<a 2<－a .故选B. 答案 B2.若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b cB.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <bc ，故选B.答案 B3.设x ∈R ，则x 21＋x 4与12的大小关系是________. 解析当x ＝0时，x 21＋x 4＝0<12，当x ≠0时，x 21＋x 4＝11x 2＋x2，∴1x 2＋x 2≥2，∴x 21＋x 4≤12(当x ＝±1时取等号)，综上所述x 21＋x 4≤12.答案x 21＋x 4≤12知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错 (1)c a <c b且c >0⇒a >b ( ) (2)a >b 且c >d ⇒ac >bd ( ) (3)a >b >0且c >d >0⇒ a d > bc( ) (4)a c 2>b c2⇒a >b ( )解析 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立.∴(2)错. (3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >bc>0⇒ ad> bc成立.∴(3)对. (4)显然c 2>0，∴两边同乘以c 2得a >b .∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√●反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.有以下四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 其中能使1a <1b成立的有________个条件.解析 ①b >0>a ，∴1a <0<1b，结论成立；②0>a >b ，∴1a <1b ，结论成立；③a >0>b ，∴1a >1b ，结论不成立； ④a >b >0，∴1a <1b，结论成立. 答案 3知识点2 实数大小的比较【例2】实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小. 解 x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z ≥y ；x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋34>0⇒y >x ，故z ≥y >x . ●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是： (1)作差.(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法. (3)定号，即确定差的符号. (4)下结论.2.已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，试比较A ，B ，C ，D 的大小.解 ∵－12<a <0，∴1＋a 2>1－a 2，即A >B ，11＋a >11－a，即C >D ，又∵A －C ＝1＋a 2－11＋a ＝a （1＋a ＋a 2）1＋a<0，∴A <C ，∵B －D ＝1－a 2－11－a ＝a （a 2－a －1）1－a>0，∴C >A >B >D .知识点3 不等式的证明【例3】如果a >b >0，c <d <0，f <0，证明：fa －c >fb －d.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0，又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.不等式的两边同乘1（a －c ）（b －d ）>0，得：1b －d >1a －c >0，又∵f <0，∴fb －d <fa －c，即fa －c >fb －d.●反思感悟：利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知a 0 ⇒ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz 同理ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋czax ＋by ＋cz >cx ＋by ＋az 故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a >b ”、“a b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可推得a >c ；而a ≥b ，b ≥c 不一定可以推得a >c ，可能是a >c ，也可能是a ＝c .随堂演练1.已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C2.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由⎩⎪⎨⎪⎧a －c >b －d c >d ⇒a >b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >bc >d，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要而不充分条件，选B. 答案 B3.已知不等式：①x 2＋3>2x ；②a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)，其中正确的不等式有__________.(填上正确的序号) 答案 ①③4.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d c ，a ＋d |b |；③a bc . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 A2.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB.a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1D.a |c |>b |c |解析本题只提供了“a ，b ，c ∈R ，a >b ”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A ，还需有ab >0这个前提条件；选项B ，当a ，b 都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2>－3，但22>(－3)2不正确；选项C ，1c 2＋1>0，因而正确；选项D ，当c ＝0时不正确. 答案 C3.设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A.b －a >0 B.a 3＋b 3>0 C.a 2－b 2<0D.b ＋a >0解析 ∵a －|b |>0，∴a >|b |>0. ∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0. 答案 D4.已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________. 解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的范围. ∵28<y <33，∴－33<－y <－28，133<1y <128.又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <8428，即2011<x y<3.答案 27<x －y <562011<x y<3 5.设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a 、b 满足的条件是________________. 答案 ab ≠1或a ≠－26.已知a 、b ∈{正实数}且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a＝（a 2－b 2）（a －b ）ab，∴当a >b >0时，a 2>b 2，∴（a 2－b 2）（a －b ）ab>0.当0<a 0.∴只要a ≠b ，总有a 2b ＋b 2a>a ＋b .综合提高7.已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C.sin x >sin yD.x 3>y 3解析先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0<a <1，a x<a y，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立.B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立.C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立.D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D. 答案 D8.若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0是⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，y >b 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，y >b 可得⎩⎪⎨⎪⎧x －a >0，y －b >0，x ＋y >a ＋b ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，x －a >0，y －b >0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，x －a <0，y －b <0，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0，所以应选C.答案 C9.设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的范围是________.解析 ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜－β＜－α＜π2.∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.答案－π＜α＜－β＜0 10.有以下四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0. 其中能使1a ＜1b成立的有________个条件.解析 ①∵b ＞0，∴1b ＞0.∵a ＜0，∴1a ＜0.∴1a ＜1b.②∵b ＜a ＜0，∴1b ＞1a .③∵a ＞0＞b ，∴1a＞0，1b ＜0.∴1a ＞1b.④∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b.综上知，①②④均能使1a ＜1b成立.答案 311.若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明 ∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0. ∴（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 12.已知α、β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1 ①1≤α＋2β≤3 ②试求α＋3β的取值范围.解设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β) ＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α、β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解出λ＝－1，v ＝2.分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. 另解由①，∴－1≤－(α＋β)≤1 ③由③②可得，0≤β≤4④由④②可得，1≤α＋2β＋β≤4＋3，即：1≤α＋3β≤7.。

一元一次不等式全章导学案

鸡西市第十九中学学案要求:任意的有理数，在“”上填“＞”、“＜”或“＝”号；（３）在实验中注意观察不等号方向．．．．．的变化，并总结自己的发现。

5＞３5＞３5＞３5＞３我们发现：不等式两边同一个数（无论正负），不等号方向5＞３5＞３5＞３5＞３我们发现：不等式两边乘以或除以同一个数，不等号方向但是：不等式两边乘以或除以同一个数，不等号方向鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案-2x+3 >-3x+1 2x > 1 –≤ 1 2x > -1 3152x x->+；2x-19＜7x+31．5343y y+>+；25453x x x-+<-；鸡西市第十九中学学案班级姓名：《解一元一次不等式》专题班级姓名在数轴上表示为：我未曾见过一个早起勤奋谨慎诚实的人抱怨命运不好。

解下列不等式,并在数轴上表示出它们的解集.1. 8223-<+x x2. x x 4923+≥-3. )1(5)32(2+<+x x4. 0)7(319≤+-x5.31222+≥+x x 6. 223125+<-+x x7. 5223-<+x x 8. 234->-x9. )1(281)2(3--≥-+y y 10. 1213<--m m11. 31222-≥+x x 12. )2(3)]2(2[3-->--x x x x 13. 41128)1(3--<++x x 14. )1(52)]1(21[21-≤+-x x x15.22416->--x x 16. x x x 212416-≤--17. 7)1(68)2(5+-<+-x x 18. 46)3(25->--x x（1） 41328)1(3--<++x x 20. 215329323+≤---x x x21. 1215312≤+--x x 22. 31222-≥+x x23. 22416->--x x 24. x x x 232416-≤--25.31221+≥+x x 26. 223123+<-+x x27. 5213-<+x x 28.234->-x29. )1(251)2(3--≥-+y y 30.1223<--m m鸡西市第十九中学学案一元一次不等式组解集的规律：练习.利用数轴表示下列不等式13x -<⎧13x ->⎧210x ->⎧313x -->⎧314,x ->⎧21,x x >-⎧⎧+>+321x x 512,x x ->+⎧⎪⎧≥--4)2(3x x 《解一元一次不等式组》专题班级姓名打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.4基本不等式2课堂导学案新人教A版选修4_52

1.1.4 基本不等式（2）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )A.2∈M,0∈MB.2M,0MC.2∈M,0MD.2M,0∈M解析:M={x|x≤k4k241},∵k4k241k4151k2=k2-1+k5=(k2+1)+215k21-2≥25-2>2,∴2∈M,0∈M.答案:A温馨提示本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表达式k44k12经过变形化为“x+ax(a>0)”型的式子,然后利用基本不等式求得最小值.在求最值时,形如“x+ax(a>0)”的最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型,有很多最值问题可转化为该类型,因此,在解题时应给予高度重视.各个击破类题演练1已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA OB的最小值.解析:(1)由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a= 2.又半焦距c=2,故b= c2a22.所以W的方程为x =1(x≥2).2y222(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x i2-y i2=(x i+y i)(x i-y i)=2(i=1,2).令s i=x i+y i,t i=x i-y i,1则 s i t i =2,且 s i >0,t i >0(i=1,2), 所以OAOB =x1x 2+y 1y 2= =1 4 12 1 (s 1+t 1)(s 2+t 2)+ (s 1-t 1)(s 2-t 2)41 s 1s 2+t 1t 2≥ s 1s 2t 1t 2 =2.2x 1, x2当且仅当 s 1s 2=t 1t 2,即yy12时“=”成立,所以OA OB 的最小值是 2.变式提升 1若对任意正数 x,y,都有 a≤xx2y 2xy,则实数 a 的最大值是( )A.1 2B.2C.2 2 2 1D.2 1 21解析:由 x x 2y 2xy ≥ x x y x 2y= 12,故选 A.答案:A二、利用基本不等式求条件等式的最值【例 2】已知 x>0,y>0,且1 x + 9 y=1,求 x+y 的最小值.解法一:∵x>0,y>0,1 x + 9 y=1,∴x+y=(x+y)(1 x + 9 y)=10+y 9 ≥10+6=16,当且仅当 xxyy 9x . x y又∵ 1 x + 9 y=1,∴x=4,y=12时，上式等号成立.故当 x=4,y=12时，x+y 取最小值 16. 解法二:∵1 x + 9 y=1,x>0,y>0,∴y=9xx1且x>1.故x+y=x+ 9xx1=x+x91+9=(x-1)+9+10≥6+10=16.x 12当且仅当x-1=x 91，∵x>1,∴x=4时上式等号成立.解法三:∵1x+9y=1,∴y+9x=xy,得(x-1)(y-9)=9.又由条件知x>1,y>9,∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2(x 1)(y 9)+10=16.当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，x+y取最小值16.温馨提示解法一、解法三的技巧性较强,解法二是把目标函数化为一元函数,一元函数再变形,“求积造定和或求和造定积”,难度明显降低,思路也自然些,这是解此类问题的通法.类题演练2若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为( )A. 3-1B. 3+1C.23+2D.23-2解析:由a(a+b+c)+bc=4-23a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-23.而2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2(a b)(a c)2423=23-2.当且仅当a+b=a+c,即b=c时等号成立.答案:D变式提升2已知x,y∈R+,且x+y=1,求2x+1y的最小值.x 0,解法一:y 1x 00<x<1.记f(x)= 2x+1y=2x1+12xx x (1x).令t=2-x,∵x∈(0,1),∴-x∈(-1,0),t∈(1,2).则f(x)=t(2t)(1)t 2t t3t231(t2)t,3∵t∈(1,2),22 ∴t+2 t2 2tt. ∴-(t+ 2 t)≤2 2 ,0<3-(t+ 2 t)≤3 2 2 .∴f(x)=3 1 (t 2 ) t3 1 2 2=3+2 2 . ∴f(x)max =3+2 2 .此时 t=2 t= 2 2-x= 2 x=2- 2 .tx 解法二:由 y0, 1x得 0<x<1.∴21 =(x+y)( x y2 1 )=3+ 23 2 2 3 2 2x y x yx y y x y xx.当且仅当x 2y (又 x+y=1)时“=”成立,即 x=2- 2 ,y= 2 -1时,y x21 的最小值为x y3+2 2 .三、利用基本不等式解决实际应用问题【例 3】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2m 的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长为 a m ，高为 b m ，已知流出的水中杂质的质量分数与乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 m 2，问当 a,b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A 、B 孔的面积忽略不计)思路分析:要抓住本题的主要条件及要求:①流出的杂质与 ab 成反比，若设 y 为流出的杂质的质量分数，那么 y= 为最大.k ab,其中 k 为反比例系数;②题目要求流出的杂质质量分数最小，就是积 ab解法一:设 y 为流出的杂质的质量分数，则 y=k ab,k>0,k 为比例系数，依题意，即所求的 a,b 的值，使 y 最小. 依题设，有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 得 b=30 a2 a(0<a<30).①4于是y= kabk30aa22aak3264a 234(ak264)a 2342k64(a 2)a 2k18当a+2=64a 2时取等号，y达到最小值.这时a=6,a=-10(舍去)，将a=6代入①得b=3.∴当a为6 m,b为3 m时，沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.解法二:设流出的水中杂质的质量分数为y,依题意y= k ab.其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求解ab的最大值.依题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a>0,b>0).∵a+2b≥22ab(当且仅当a=2b时取“=”),∴ab+22ab≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小.类题演练3甲,乙两个同学同时到同一个商店分别买了两次糖,甲同学每次买一元钱的,乙同学每次买一斤, 如果两次糖的价格不同,问甲,乙两同学谁买的更便宜?解析:甲同学乙同学设糖的价格第一次1元1斤a元/斤第二次1元1斤b元/斤共花钱2元(a+b)元共买糖( 1a+1b)斤2斤平均价格1a 2a12bb甲的平均价格-乙的平均价格=1a 21b-a2b= 2ab a b4ab (a b)2(ab)2a b22(a b)2(a<0.(∵a≠b)b)答:甲同学买的糖比乙同学便宜.5变式提升3某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元.使用规定，不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元，若使每个同学游8次，每人最少得交多少钱?解析:设分n批去游泳，活动总开支为y元，则包车费为40n元，每批去那么需购卡488n张.488n人,∴y=40n+488n×240=40(n+482n).∵n+482n≥25n·482n·=2×48,n∴y≥80×48=3840.当且仅当n= 482n,即n=48时，y min=3 840.384 0÷48=80(元).答:每人至少交80元.6。

人教版第九章不等式与不等式组导学案[1]

（1）（2第九章不等式与不等式组9.1.1 不等式及其解集学习目标： 1、了解不等式及一元一次不等式的概念。

2.、理解不等式的解、不等式的解集的概念。

3、能在数轴上正确表示不等式的解集。

学习重点、难点：理解不等式的解集，会在数轴上表示解集.学习过程：一、学前准备：1.等式：用“=”连接的表示相等关系的式子叫做等式.2.一元一次方程：含有_____个未知数,并且未知数的次数是_____的方程叫做一元一次方程.3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解二、新课探究:（一）、不等式、一元一次不等式的概念1. 你能列出下列式子吗？（1）5小于7;（2）x与1的和是正数（3）m的2倍大于或等于-1;（4）x-3不等于2（5）a不大于1 ;（6）y的2倍与1的和不等于3（7）c与4的和的30﹪不大于-2不等式：像上面的这些式子，用符号“”，“”，“”“”或“”表示不等关系的式子叫做不等式。

一元一次不等式：含有且未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．巩固练习2：下列式子中哪些是不等式？哪些是一元一次不等式？（1）a＋b=b+a （2）－3＞－5 （3）x≠l(4)3＞2 (5) 2a+1≥0 (6)32x+2x(7)x＜2x+1 (8)x=2x-5 (9)2x +4x＜3x+1 (10)a+b≠c（11）x十3≥6 （12） 2m< n（二）、不等式的解、不等式的解集总结1：1、不等式的解：使不等式的的值叫做不等式的解．2、不等式的解有个。

由上题我们可以发现，当x＞3时，不等式x＋3 > 6总成立；而当x≤3时,不等式x＋3 > 6总不成立.这就是说,任何一个大于3的数都是不等式x＋3 > 6的解,因此x＞3表示了能使不等式x＋3 > 6成立的x的取值范围,叫做不等式x＋3 > 6的解的集合,简称解集总结2: 1.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的组成这个不等式的解集。

9_1_1 不等式及其解集(优质学案)

学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学七年级下册 9.1.1 不等式及其解集导学案一、学习目标：1. 了解不等式及其解的概念；2. 学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透数形结合的思想；3. 理解不等式的解集及解不等式的意义．重点：会用不等式表示简单问题的数量关系，把不等式的解集正确的表示到数轴上.难点：理解不等式解集的意义. 二、学习过程：自主学习一问题一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50km ，要在12:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？分析：设车速是 x km/h.从时间上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶50km 所用的时间不到____h ，即 _______ ①从路程上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶32h 的路程要超过____km ，即 __________ ②【归纳】________________________________________________________，叫做不等式.(1)像a+2≠a-2这样用符号“______”表示不等关系的式子也是不等式. (2)不等式中可以含未知数，也可以不含未知数.例如：a+2＞5，4b ＜6；3＜4，-1＞-2.(3)“_____”读作“大于或等于”或“不小于”“______”读作“小于或等于”或“不大于” 用不等号填空：大于( ) 小于( ) 不大于( ) 不小于( )学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________不超过( ) 至多( ) 至少( ) 正数( ) 负数( ) 非负数( ) 非正数( ) …… 典例解析例1.下列式子：①3>0；②4x +5>0；③x <3；④x 2+x ；⑤x =−4；⑥x +2>x +1，其中不等式有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【针对练习】判断下列式子是不是不等式：（1）-3>0; （2）4x+3y<0；（3）x=3; （4） x 2+xy+y 2；（5）x ≠5; （6）x+2>y+5.例2.根据下列数量关系列不等式： (1)x 的7倍减去1是正数． (2)y 的13与13的和不大于0．(3)正数a 与1的和的算术平方根大于1． (4)y 的20%不小于1与y 的和．【针对练习】用不等式表示：(1) a 是正数；______ (2) a 是负数；______(3) a 与5的和小于7；_________ (4) a 与2的差大于-1；_________ (5) a 的4倍大于8；_________ (6) a 的一半小于3. _________ 自主学习二对于不等式5032>x ，当x ＝80时，5032>x ；当x ＝78时，5032>x ；当x＝75时，5032=x ；当x ＝72时，5032<x .当x 取某些值(如80，78)时，不等式5032>x 成立；当x 取某些值(如75，72)时不等式5032>x 不成立.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【归纳】____________________________________________叫做不等式的解. 思考：除了80和78，不等式5032 x 还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？【归纳】____________________________________________________，组成这个不等式的解集.________________________________叫做解不等式. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系典例解析例3.下列各数中，哪些是不等式x ＋2＜4的解？哪些不是？－3，－1，0，1，32，2，52，3，4.【针对练习】下列数中哪些是不等式x +3＞6的解，哪些不是？-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例4.把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x ≥－3； (2)x ＞－1； (3)x ≤3； (4)x<－32.【针对练习】将下列不等式的解集在数轴上表示出来：① x ＜－1； ②x ＜－2； ③x ＞0； ④x ＜－52.【总结提升】解集的表示方法：第一种:___________________________________________________________.第二种: ___________________________________________________________. 用数轴表示不等式的解集的步骤:第一步:____________；第二步:____________；第三步:____________. 达标检测1.在下列式子中:①5<7；②2x>3；③a ≠0；④x ≥-5；⑤3x-1；⑥x2≤3；⑦x=3，其中是不等式的有( )A.3个B.4个C.5个D. 6个 2. x 与3的和的一半是负数，用不等式表示为( )A.12x+3>0 B. 12x+3<0 C. 12(x+3)>0 D. 12(x+3)<0 3.在数值-2，-1，0，1，2中，能使不等式x+3>2成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 4.下列说法错误的是( )A.1不是x ≥2的解B.不等式x+3>3的解集是x>0C.0是x<13的一个解 D. x=6是x-7<0的解集学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5.如图表示不等式的解集为________.6.方程2x=10的解有____个，不等式2x<10的解有______个，不等式2x<10的解集是_______.7.满足x ≤3.5的非负整数解是_____________.8.某种药品的说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是__________mg.9.用不等式表示下列关系:(1) x 的2倍与6的差小于3; __________ (2) x 的平方不小于5; _________(3) x 的13与x 的2倍的和是非负数; ___________ (4) a 与4的和的30%小于7; ______________ (5) x 除以2的商加上2，至多为5; __________ (6) a 与b 两数和的平方大于10. ______________ 10.把下列不等式的解集在数轴上表示出来.(1) x>-3； (2) x ≤4； (3) x<3.5.11.根据下列语句写出不等式:(1)火车提速后，时速(v)最高可达300km/h; ______________ (2)某班学生中身高(h)最高的为1.84m; ______________(3)小明今天锻炼身体花了tmin,他每天锻炼身体的时间不少于30min; (4)某校男子跳高纪录是1.75m ，在今年的校田径运动会上，小明的跳高成绩是hm,打破了该校男子跳高纪录. ______________学习笔记记录区___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________。

广东省佛山市顺德区文田中学八年级数学下册 1.1不等关系导学案(无答案) 北师大版

1.1不等关系（导学案）【学习目标】理解不等式的意义；能根据条件列出不等式。

【学习重点】通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。

【学习难点】实际问题中怎样建立量与量之间的不等关系。

【课前自学】（方法提示：带着以下问题——什么是不等式？列出不等式的关键是什么？自学P1-6，然后完成以下填空。

）1．已知正方形的边长为a ，则该正方形的面积为。

2．已知圆的半径为r ，则该圆的面积为。

3．已知正方形的周长为l ，则该正方形的边长为_______；面积为。

4．已知圆的周长为l ，则该圆的半径为_______；面积为。

【新课学习与探究】1．（先独立完成，再小组合作交流）如图，用两根长度均为l cm 的绳子，分别围成一个正方形和圆 ○1如果要使正方形的面积不大于252cm ，那么绳长l 应满足怎样的关系式？解：绳长l 是正方形的周长，∴正方形的边长为__________，∴面积为__________∴要使正方形的面积不大于252cm ，则有关系式__________________________。

○2如果要使圆的面积不小于100 2cm ,那么绳长l 应满足怎样的关系式？解：则有关系式__________________________。

○4通过完成上表，你能得到什么猜想？解：我猜想，用长度均为l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，则有圆正方形S S ___。

2．做一做：通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm ，以后树围每年增加约为 3 cm.，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m ？解：设这棵树至少生长x 年其树围才能超过2.4 m ，则有关系式____________________。

☆3．观察以上所列的关系式有什么特点？一般地，用符号________________________________________连接的关系式叫做不等式。

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x 的 3 倍与－2 的差是负数：
－1 且不大于 2 的数：____________________. 3. 用不等式表示下列数量之间的关系: (1) 小明某天骑车上学花了 x 分钟,他每天骑车上学的时间不少于 25 分钟： (2) 亮亮每天做作业的时间在 2 h 以上，昨天他做作业花了 t h ： (3) 设有 500 个座位的礼堂坐了 y 人：（ 4 ）长方形的长为 x cm ，宽为 10cm ，其面积不小于 200cm ：
贞元中学八年级数学（下）导学方案
课题设计人学习目标 §1.1 不等关系主备 :许雨玲审批: 李战会审核:张鸿授课时间班级姓名学习重点学习难点序号不等式的意义以及会用不等式表示不等关系；在实际问题中用不等式表示不等关系.
1．在现实情境中认识数量间的不等关系，理解不等式的意义； 2．会用不等式表示不等关系. 3．在对实际问题的数量关系进行比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣；学生自主学习
3 4 ___
2
(2) 5____ 8 ； (5)
x
2
(3) 4 ( 5 ) ___ 3 ( 6 ) ；
2
5 6
； 0
0 (6) x 1 ___ 0 .
2
(7) - x
（8） x
-1什么是不等式？一般地，用符号“ ” （或“ ”，）“ ” （或“ “ ”连接的式子叫做不等式。 4. 认识不等号：＞；＜； ≠ ≤ 二、合作探究： 1、用不等式表示：（1） x 小于-6 （2） x +1 大于 0 （3） x 大于或等于 5 （） ≥ ；（
3、不等关系所包含的关键字有：等。三、精讲点拨例 1、用不等式表示： ⑴a 是正数； ⑵b 是非负数 ⑶x 与 3 的差不大于 2； ⑷y 的一半与 7 的和不小于－5。例 2、用适当的符号表示下列关系: （1）x 的 5 倍与 3 的差比 x 的 4 倍大（2）a 的
1 4
的相反数是非负数
（3）x 的 3 倍不小于 y 的 8 倍
例 3、用“＞”或“＜”号填空：（1）－6＋4 －1＋3；（3）6×2 3×2 4）. 四、课堂小结：这节课我学会了：五、当堂检测: 1、用不等式表示
（2）5－2 0－2；（4）－6×（－4）－2×（－
1）某种客车坐有 x 人，它的最大载客量为 40 人． 2。小明每天跑步 x 分钟，学校规定每位学生每天跑步时间不少于 30 分钟． 3）某校男子跳高记录是 1.75 米，小强在今年的运动会上打破了校纪录． 4）我班一位学生的身高为 x 米，我班学生最高是 1.70 米． 5）快车火车时速不超过 150 km/h，某快车的速度为 x km/h． 6）某品牌奶粉规定每千克奶粉中蛋白质的含量 x 不小于 2.9 克. 2、用不等式表示：（1）a 与 b 的和大于 3：非负数：；（2）x 的平方是；（4）；（5）m 是大于；（3）不大于 b： a
”，或）；）
（4） x 小于或等于-8 （7） x 是正数
（5） x 不大于 6
（6） x 不小于-2
（8） x 是负数
（9） x 是非负数
(10) x 与 5 的和大于 2
（11） x 与 a 的差小于 2
（12） x 与 y 的差是负数 2、用数学式子表示下面数量之间的关系：某种袋装牛奶中，每 100 克牛奶 y 含 x 克蛋白质，克脂肪、 y 该牛奶的营养成分含量如下表。x 营养成分含量蛋白质 ≥2.9 克脂肪 ≥3.1 克非脂乳固体 ≥8.1 克
2
.
课堂同步导学
一、自主学习： 1.下列式子中，是不等式. 不是不等式. 2 (1) –2 < 0 ； (2) 2a > 3-a ； (3)3x+5； (4) ( a -1 ) ≥0； 2 (5) s = vt； (6) x 2 x 3 ； (7) 3 x > 5； (8) 5x≤4x-1. 2. 用“<，>，≤，≥”填空： (1) －0.3___0； (4)－