2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2020年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)
2020年福建省宁德市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数在复平面上对应的点的坐标A. B. C. D.2.已知集合，若，则A. B.C. D.3.已知向量，，则在上的投影为A. B. C. D.4.某校2名教师、4名学生分成2个小组，分别到两个不同的实验室做实验．每个小组由1名教师和2名学生组成，则教师A和学生B在同一个小组的概率为A. B. C. D.5.某数学小组在国际数学日每年3月14日开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得的近似值．现通过计算器随机获得500个点的坐标，其中有399个点的坐标满足，据此可估计的值约为A. B. C. D.6.已知双曲线的实轴长为4，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为A. B. 8 C. 4或 D. 8或7.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中，，，表示这些半音的频率，它们满足2，，若某一半音与的频率之比为，则该半音为频率八度半音C D E F G A BG A8.已知函数的最小正周期为，其图象过点，则其对称中心为A. B.C. D.9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.10.已知函数，则不等式的解集为A. B.C. ，D.11.若面积为1的满足，则边BC的最小值为A. 1B.C.D. 212.当时，函数恒成立，则的最大值为A. B. 2 C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若命题“，”为假命题，则实数a的最小值为______．14.执行图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的a，b，c分别为，，，则输出的结果为______结果用a，b，c表示．15.已知点，动点P满足且，则点P的轨迹方程为______．16.已知四棱锥，底面ABCD是边长为6的菱形，，底面ABCD且若此四棱锥的内切球的表面积为，则该四棱锥的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列中，且，，成等比数列．数列的前n项和为，满足．求数列，的通项公式；将数列，的公共项按原来的顺序组成新的数列，试求数列的通项公式，并求该数列的前n项和．18.如图，在中，，，，E，F分别为AC，AB的中点．是由绕直线EF旋转得到，连结AP，BP，CP．证明：平面BPC；若PC与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．19.某药业公司统计了年这10年某种疾病的患者人数，结论如下：该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有3年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有1年的患者人数不低于300万．药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组，实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为请完成如下的列联表，并根据列联表判断是否有把握认为该药品对该疾病有显著疗效；实验组对照组合计有显著疗效无显著疗效合计200药业公司最多能引进3条新药品的生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：该疾病患者人数单位：万最多可运行生产线数123每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元．根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立．欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线？附：参考公式：，其中．20.已知函数．讨论的单调性；若，求a的取值范围．21.在平面直角坐标系xOy中，动直线AB交抛物线：于A，B两点．若，证明直线AB过定点，并求出该定点；点M为AB的中点，过点M作与y轴垂直的直线交抛物线：于C点；点N为AC 的中点，过点N作与y轴垂直的直线交抛物线：于点设的面积，的面积为．若AB过定点，求使取最小值时，直线AB的方程；求的值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为，且直线l与曲线C相交于A，B两点．求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；若，点满足，求此时r的值．23.已知函数．当时，求不等式的解集A．设的解集为B，若，求实数a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数在复平面上对应的点的坐标．故选：B．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：，，且，，，．故选：B．可求出集合，然后根据即可得出，从而可得出集合B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：，，则，，则在上的投影为，故选：B．求出向量和的数量积和向量的模长，代入公式计算即可．本题考查向量的投影的定义，以及向量的数量积和模长的坐标表示，属于基础题．4.答案：D解析：解：某校2名教师、4名学生分成2个小组，分别到两个不同的实验室做实验．每个小组由1名教师和2名学生组成，基本事件总数，教师A和学生B在同一个小组包含的基本事件个数，则教师A和学生B在同一个小组的概率．故选：D．每个小组由1名教师和2名学生组成，基本事件总数，教师A和学生B在同一个小组包含的基本事件个数，由此能求出教师A和学生B在同一个小组的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：解：根据题意，有500对都小于l的正实数对，满足，其面积为1；有399对实数对x，y，满足、满足，其面积为，则有，变形可得；故选：A．根据题意，分析可得有500对都小于l的正实数对，满足，分析其面积，有399对实数对，满足，计算可得其面积，由几何概型公式可得答案．本题考查模拟方法估算概率，涉及几何概型的计算，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题可知，，，双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为，分两种情形：夹x轴的两条渐近线的夹角为，此时，，，，焦距；夹y轴的两条渐近线的夹角为，此时，，，，焦距．综上，该双曲线的焦距为或8．故选：D．由题可知，，双曲线的渐近线方程为，由于两条渐近线的夹角为，于是分两种情形：夹x轴的两条渐近线的夹角为，夹y轴的两条渐近线的夹角为，利用斜率与倾斜角的关系可分别得出的值，从而得到b的值，再结合求出c的值，进而得焦距2c．本题考查双曲线的性质，考查学生分类讨论的思想和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：由题意知：2，，，，故数列是公比的等比数列．，，．故选：B．先由题设条件，从而说明数列是等比数列，然后根据等比数列项之间的关系选出正确选项即可．本题主要考查等比数列项之间的关系的应用，属于基础题．8.答案：A解析：解：已知函数的最小正周期为，，函数即．其图象过点，，，函数即令，求得，则函数的图象的对称中心为，，故选：A．由题意利用正切函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．9.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：四棱锥体挖去一个半圆锥体．如图所示：所以该几何体的表面积为：．故选：C．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：A解析：解：根据题意，函数，在区间上，，则有，在区间和，，有，综合可得：恒成立，则为偶函数，则有，解可得：或，即x的取值范围为；故选：A．根据题意，由函数的解析式分析可得为偶函数，据此分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．11.答案：C解析：解：的面积，且，，，根据余弦定理，可得，，可得，解得．故选：C．由已知利用三角形的面积公式可得，由余弦定理可求，利用两角和的正弦函数公式，正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．12.答案：C解析：解：函数恒成立，即为恒成立，设，即，为最小正周期为2的函数，且，，设，可得，分别作出和的图象，可得它们有两个交点，，由题意可得当时，恒成立，此时取得最大值．故选：C．由题意可得恒成立，设，，求得它们的交点，画出它们的图象，即可得到所求区间和最大值．本题考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查三角函数和二次函数的图象和性质，属于中档题．13.答案：2解析：解：因为命题“，”为假命题，故“，”为真命题，即恒成立；须；故实数a的最小值为2；故答案为：2．把原命题转化为“，”为真命题，金额转化为不等式恒成立问题即可得到结论．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的关系，考查存在性命题成立问题，考查转化思想与思维运算能力，属于中档题．14.答案：b解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是比较输出，，三个数中的最大数，由于，，，可得三个数中的最大数为，故输出的结果为b．故答案为：b．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出三个数中的最大数，利用指数，对数函数的图象和性质即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，考查了指数对数函数的性质，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.答案：解析：解：由，，则，，所以，而在三角形ABP中，所以可得，而，所以可得，所以为定值且大于，所以可得P的轨迹为椭圆，且长轴长，焦距，焦点在x轴上，中心在原点的椭圆，即，，所以，所以P的轨迹方程为：，故答案为：．由半角公式和余弦定理可得的值为定值，且大于两个定点A，B的距离，由题意的定义可得P的轨迹为椭圆，且求出a，c，b的值，进而求出椭圆的方程．本题考查半角公式及余弦定理的应用和椭圆的定义求轨迹方程，属于中档题．16.答案：解析：解：如图，设四棱锥的内切球的球心为G，则GO为内切球的半径，由，得．再设内切球切侧面SBC于F，连接GF，则，连接SF并延长，交BC于E，由底面，得，由侧面SBC，得，又，平面SOE，则．设，则，再由∽，得，即，解得．．．故答案为：．由题意画出图形，由三角形相似求得底面中心O到边的距离，得到底面菱形的面积，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体内切球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．17.答案：解：设等差数列的公差为d，且，，成等比数列，，即，解得，．又当时，有；当时，由，由整理得：，数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；依题意得：，由得，，所以．解析：设等差数列的公差为d，由题设列出d的方程就，解出d即可求出；由当时，由，由整理得：，这说明为等比数列，进而求得；由题意得，进而求得，再利用分组求和的办法求．本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式及利用分组求和的办法求数列的前n项和，属于中档题．18.答案：解：证明：是绕EF旋转得到的，，又为AC的中点，，，即，同理，，得，又，平面BPC；由得，，，易得平面AEP，又EF在平面ABC内，故平面平面ACP，过点P作于点M，又平面平面，故平面ABC，为PC与平面ABC所成的角，，又，故为等边三角形，得M为EC的中点，由平面ACP可知，，分别以CA，CB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，易得平面CFB的一个法向量为，，设平面PCF的一个法向量为，则，则可取，，又二面角为钝角，个二面角的余弦值为．解析：依题意，可得，由此可知，同理可得，进而得证；建立空间直角坐标系，求出平面PCF及平面BCF的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．19.答案：解：列联表如下：实验组对照组合计有显著疗效7040110无显著疗效306090合计100100200由于，故有的把握认为该药品对该疾病有显著疗效；根据题意：，，，记药业公司年总利润为单位：万元引进1条生产线的情形，由于每年的患者人数都在100万以上，因此运行1条生产线的概率是1，对应的年利润，引进2条生产线的情形，当时，运行1条生产线，此时，因此，当时，运行2条生产线，此时，因此，500012000P故，引进3条生产线的情形，当时，运行1条生产线，此时，因此，当时，运行2条生产线，此时，因此，由此得到的分布列：当时，运行3条生产线，此时，因此，由此得到的分布列：40001100018000P故，，欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进2条生产线．解析：结合所给数据，补充列联表即可，求出得出结论；分别求出引进1，2，3条生产线时该药业公司年总利润的期望值，比较得出结论．本题考查了随机事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，线性回归，随机事件的概率分布及其均值等基础知识，考查运算求解能力，数据处理能力，应用意识，考查分类与整合思想，统计思想，化归与转化思想．20.答案：解：方法一：，由定义域为，所以，当时，，所以函数的单调递减区间为，递增区间为，当时，令，则或，当时，，恒成立，所以函数的递增区间为，无单递减区间，当时，，所以函数的单调递减区间为，递增区间为和当时，，所以函数的单调递减区间为，递增区间为和综上，当，函数的单调递减区间为，递增区间，当时，函数的递增区间为，无减区间，当时，函数的单调递减区间为，递增区间为和，当时，函数的单调减区间为，递增区间为和．依题意得，在恒成立，当时，不等式显然成立，当时，，即成立，设，则，设，则在单调递减，且，所以，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，所以，所以，解得，综上，当时，．方法二：同解法一，设，当时，不等式显然成立，当时，由不等式，对时恒成立，故，即，得，当时，得，设，显然在为增函数，又，，故必存在唯一的零点，使得，且当时，，时，，所以的单调递减区间为，递增区间为，所以，由得，设，则在上单调递增，故，又，所以，即当时不等式成立，综上，当时，．解析：方法一：求导得，由定义域，得，分五种情况：当时，当时，当时，当时，当时，讨论函数的单调性．依题意得，在恒成立，分两种情况：当时，当时，不等式是否成立，若成立a的取值范围．方法二：同解法一，设在恒成立，当时，不等式显然成立，当时，由不等式，对时恒成立，故，即，得，得，设，在为增函数，又，，故必存在唯一的零点，使得，则当时，，时，，所以的单调递减区间为，递增区间为，得，由得，设，，求导数分析单调性，得，又，所以，不等式进而得证．本题考查导数的综合应用，分类讨论思想，参数取值范围，属于中档题．21.答案：解：证明：由题意可设直线AB的方程为，代入抛物线的方程，可得，，即，设，，则，，由，所以，即，又，，所以，故，所以，即，因此直线AB的方程为，该直线恒过定点；因为AB过定点，所以由可得，即，恒成立，，，由题意可得，，所以，所以，因为，此时时，等号成立．所以，当取得最小值时，，，直线AB的方程为，即；由题意可得，，由可得此处可以理解为A，B两点处的纵向高度差，同理可得，由可得，此处可以理解为A，B两点的纵向高度差，由题意同理可得，所以，所以．解析：可设直线AB的方程为，联立抛物线的方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程可得m，即可得到直线AB恒过定点；由题意可得，运用韦达定理和中点坐标公式，以及三角形的面积公式可得，再由二次函数的最值求法，可得所求最小值；由题意可得，，求得，，计算可得所求值．本题主要考查直线、抛物线、直线和抛物线的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证能力，考查函数方程思想、化归与转化思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线1的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．点在直线l上，所以为参数，代入曲线C的直角坐标方程为，所以，，所以，解得．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，，即解不等式，由绝对值不等式知，，当且仅当时取等号，因此的解集；由，即，不等式恒成立，即，整理得，故在上恒成立，则在上恒成立，得，故．解析：将代入，则，再利用绝对值不等式的性质即可得解；问题等价于在上恒成立，由此建立关于a的不等式组，解出即可．本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的运用，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于基础题．。
2020届福建省宁德市普通高中高三毕业班5月质量检查数学(理)试题(解析版)
2020届福建省宁德市普通高中高三毕业班5月质量检查数学（理）试题一、单选题1．设集合{|ln 0}A x x =<，{|1}B x x =≤-，则R A B =I ð（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|01}x x << C ．{|11}x x -≤< D ．{|1}x x ≥【答案】B【解析】求解对数不等式，再求集合交集和补集即可容易求得. 【详解】因为集合{}|0{|01}A x lnx x x =<=<<，故{}1R C B x x =-， 则R A B =I ð{|01}x x <<. 故选：B. 【点睛】本题考查集合混合运算，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，713a =，则9S =（ ） A ．36 B ．70C ．72D ．144【答案】C【解析】利用等差数列下标和性质，求得5a ；再用等差数列前n 项和性质，即可容易求得. 【详解】根据等差数列的下标和性质，即可求得3752a a a +=，解得58a =； 又95972S a ==. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和的性质，属综合基础题.3．干支是天干(甲､乙､…､癸)和地支(子､丑､…､亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为（）A．己巳B．庚午C．壬戌D．癸亥【答案】A【解析】模拟执行程序框图，即可求得输出结果，再结合表格，即可容易求得. 【详解】模拟执行程序如下所示：====，不满足60429,1,366,2N i x ix≤，x i==，不满足60306,3x≤，==，不满足60246,4x ix≤，186,5==，不满足60x ix≤，==，不满足60126,6x ix≤，==，不满足60x i66,7x≤，x i==，满足606,8x≤，输出6.对照已知表格，故可得该年所对应的干支是己巳.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.4．()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是（ ）A ．50-B ．30-C ．50D ．30【答案】D【解析】根据3x 的产生，结合二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】对二项式()52x -，其通项公式()5152rrr r T C x -+=⋅-⋅，令1r =，可得4x 的系数为10-；令2r =，可得3x 的系数为40.则()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为104030-+=. 故选：D. 【点睛】本题考查通过二项式的通项公式求指定项的系数，属基础题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【答案】A【解析】根据题意还原几何体，根据圆锥的体积计算公式，即可容易求得. 【详解】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥.故其体积211343V r h ππ=⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥体积的求解，属综合基础题.6．已知,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭2cos21θθ=+，则cos θ=（ ）A ．0B ．12C D ．0【答案】A【解析】利用倍角公式，化简求得 【详解】2cos21θθ=+2cos cos θθθ=，即)0cos cos θθθ-=，因为,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故可得0cos θ=，或3tan θ=（舍）.故0cos θ=. 故选：A. 【点睛】本题考查正余弦的二倍角公式，涉及三角函数在每个象限的正负，属综合基础题.7．在复平面内O 为坐标原点，复数12),z i i z ==对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．512π B ．12πC ．712π D ．11π12【答案】B【解析】利用复数运算，化简复数12,z z ，再求得对应点的坐标，利用勾股定理即可判断. 【详解】因为)11z ii ==-+，故(1Z =-，12z =；因为2122z i ===+，故2122Z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.容易知12122,1,OZ OZ Z Z === 满足勾股定理，故可得122Z OZ π∠=.故选：B. 【点睛】本题考查向量运算法则，复数模长的求解，复数对应点的坐标，属综合基础题. 8．函数()ln 0()f x ax x a R =-≥∈恒成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．1,a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,a ∈+∞C ．[)1,a ∈+∞D ．(,]a e ∈-∞【答案】C【解析】利用导数研究恒成立问题对应参数的范围，再根据充分性的要求，选取结果. 【详解】若()ln 0()f x ax x a R =-≥∈恒成立，等价于lnxa x≥恒成立. 令()lnx h x x =，故可得()21lnx h x x-'=， 故()h x 在区间()0,e 单调递增，在区间(),e +∞单调递减； 故()()1max h x h e e==. 故要满足()0f x ≥恒成立，只需1a e≥即可. 则()0f x ≥恒成立的一个充分不必要条件是集合1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的非真子集. 故选：C . 【点睛】本题考查命题的充分不必要条件的判断，涉及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题. 9．已知O 为坐标原点，AB 是:C e 22(3)(4)1x y -+-=的直径.若点Q 满足2OQ =u u u r ，则QA QB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．15【答案】C【解析】求得点Q 的轨迹方程，利用向量运算，将问题转化为求圆外一定点到圆上一动点之间距离的最小值，则问题得解. 【详解】因为点Q 满足2OQ =u u u r，故Q 点是圆224x y +=上的一个动点； 故QA QB ⋅u u u r u u u r()()()2QC CA QC CB QC QC CA CB CA CB =+⋅+=+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21QC =-u u u r .又因为C 点坐标为()3,4是圆224x y +=外一点，而Q 为该圆上任意一点.故23minQC==u u u r .故21QC -u u u r 得最小值为8，即QA QB ⋅u u u r u u u r的最小值为8.故选：C . 【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求解，圆外一点到圆上任意一点距离的最值，向量的数量积运算，属综合中档题.10．方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】根据曲线的表达式，结合选项，研究其对称性，函数图像，则容易进行判断. 【详解】因为曲线方程为()222(1)(3)x x x x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点.事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质.故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性、函数图像的研究，属综合中档题11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直.若多面体ABCDEF的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．16πB．12πC．8πD．6π【答案】B【解析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得,a b等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.【详解】根据题意，连接,AC BD交于M点，过M作MN//DE交EF于N点，交BE于O，连接OC.因为四边形ABCD 是正方形，故可得AC BD ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面EFBD ，且交线为BD ，又AC ⊂平面ABCD ，故AC ⊥平面EFBD ，不妨设,CD a DE b ==， 故可得多面体ABCDEF 的体积211222333EFBD V S AC ab a a b =⨯==； 则221633a b =，解得28b a=； 又容易知多面体外接球的球心在四边形ABCD 外心的垂线上，且为MN 的中点O ，设外接球半径为R ，则222222221211224R OC OM MC b a b ⎫⎛⎫==+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 将28b a =代入可得2241162R a a=+，不妨令2,(0)a t t =>，则221162y R t t ==+，则31322y t=-'，容易知y '是关于t 的单调增函数，且当4t =时，0y '=，故可得221162y R t t==+在()0,4上单调递减，在()4,+∞单调递减.故211643216min min y R ==⨯+=. 则外接球表面积的最小值2412min min S R ππ==.故选：B. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.P 为曲线C 右支上的点，点M 在12F PF ∠外角平分线上，且20F M PM ⋅=uuuu r uuu r.若2OF M △恰为顶角为120o 的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．3【答案】D【解析】延长2F M 交1F P 的延长线于点Q ，根据几何关系，求得P 点坐标，代入双曲线方程可得,a c 齐次式，则问题得解. 【详解】延长2F M 交1F P 的延长线于点Q ，连接OM ，过P 作12PH F F ⊥，如下所示：不妨设12,PF m PF n ==，因为2PM MF ⊥，且PM 为2F PQ ∠的角平分线，故可得2F PM QPM ≅n n ， 故可得2PQ PF n ==，且M 为2F Q 的中点；因为2OF M n 为顶角120︒的等腰三角形，故可得22OF F M c ==， 由余弦定理可得22222221203OM OF F M OF F M cos c =+-⨯⨯⨯︒=， 在12F F Q n 中，因为,O M 分别为122,F F F Q 的中点，故1223FQ OM c ==； 根据双曲线定义可知：122PF PF a -=，即2m n a -=； 又121223PF PF PF PQ OM m n c +=+==+=； 联立可得3;3m a c n c a ==-； 因为2OF M n 为顶角120︒的等腰三角形故在直角三角形1PF H 中，1230PF H MOF ∠=∠=︒则11122PH PF m ==，由勾股定理可得1F H = 故可得P点坐标为1,2c m ⎫-⎪⎪⎝⎭，即⎝⎭，代入双曲线方程可得：())()()2222222244c a c aaa c a +-⨯-⨯=-，整理得：323250c a c +--=， 同除3a可得3250e e +--=，分解因式可得()240e e++=，解得e =e =（舍去负根），则e =故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义，属综合困难题.二、填空题13．若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】22x y =【解析】由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果. 【详解】因为抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，即抛物线经过第一、二象限， 故设抛物线方程为22,(0)x py p =>，代入点()2,2，可得44p =，即1p =， 则抛物线方程为：22x y =. 故答案为：22x y =. 【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.14．记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，212n n n a a a ++=⋅.若11a =，37S =，则5a =___________.【答案】16【解析】由等比数列的基本量，列出方程，求得首项和公比，则问题得解.【详解】因为212n n n a a a ++=⋅，故可得数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则由11a =，37S =可得：21117a a q a q ++=，解得3q =-（舍）或2q =；故可得45116a a q ==.故答案为：16.【点睛】本题考查等比中项的应用，等比数列基本量的计算，属基础题.15．宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染(分别用,m n 标注).目前得 知这组数据的平均值为58，则方差2S 最大时m n -的值为_________.【答案】8-【解析】根据平均数求得,m n 之间的关系，利用线性规划，即可容易求得最值.【详解】 由题可知()15853535556506064658m n =+++++++++， 解得8m n +=. 故其方程()()2222222221553282678S m n ⎡⎤=++++-++++⎣⎦， 故要使得其最大，只需()()2282z m n =-++最大即可.又因为8,,,08,08m n m n Z m n +=∈≤≤≤≤，故用线性规划的思路，求目标函数()()2282z m n =-++的最大值.而目标函数表示点(),m n 到点()8,2-距离的平方，数形结合可知，当且仅当目标函数过点()0,8时取得最大值.即当0,8m n ==时，2S 取得最大值.此时8m n -=-.故答案为：8-.【点睛】本题平均数和方差的计算，涉及非线性目标函数最值的求解，属综合中档题.16．已知函数12,0,()2,0.1x x e x f x x x x +⎧⋅⎪=⎨>⎪+⎩… 若关于x 的不等式2()2()20f x af x a -++≤的解集非空，且为有限集，则实数a 的取值集合为___________.【答案】{1,3}-【解析】利用导数，研究()f x 的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合()f x 的函数图像，即可分类讨论求得.【详解】当0x ≤时，1x y xe+=，则()11x y e x +'=+，令0y '=，解得1x =-， 容易得1x y xe +=在区间(),1-∞-单调递减，在区间()1,0-单调递增，且在1x =-时，取得极小值，即1y =-；且0x ≤时，0y ≤；当0x >时，221x y x =+，则()()()22111x x y x -+-'=+，令0y '=，解得1x =， 容易得221x y x =+在区间()0,1单调递增，在区间()1,+∞单调递减，且在1x =时，取得极大值，即1y =；且0x >时，0y >；故()f x 的模拟图像如下所示：综上所述：()f x 的值域为[]1,1-.令()f x t =，则2220t at a -++≤，其2448a a =--n ，对称轴为t a =： 当0<n 时，显然关于t 的二次不等式解集为空集，不满足题意；当0=n ，即2a =或1a =-时，若2a =，显然关于t 的二次不等式的解集为2t =，又()2f x t ==，数形结合可知，此时关于x 的原不等式解集为空集，不满足题意；若1a =-，关于t 的二次不等式的解集为1t =-，又()1f x t ==-，数形结合可知，此时关于x 的原不等式解集为{}1-，满足题意；当0>n ，即1a <-或2a >时，令2220t at a -++=，解得22122,2x a a a x a a a =--=--显然12x x <，故此时关于t 的不等式的解集为[]12,x x ，数形结合可知，要满足题意，只需11x =或21x =-. 即221a a a --=，解得3a =，满足1a <-或2a >； 或221a a a --=-，解得1a =-，不满足1a <-或2a >，舍去；综上所述，要满足题意，则1a =-或3a =.故答案为：{}1,3-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和图像，涉及二次不等式的求解，属压轴题.三、解答题 17．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，33AB =3CD =，1cos 7BDC ∠=-，3C π∠=.（1）求sin DBC ∠；（2）求AD 的长.【答案】（1）3314.（2）7 【解析】（1）利用sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠，结合已知，即可容易求得； （2）在BDC ∆中，由正弦定理求得BD ；再在ABD ∆，由余弦定理求解AD .【详解】（1）因为1cos 7BDC ∠=-，22sin cos 1BDC BDC ∠∠+=， 所以43sin BDC =∠在BDC ∆中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=，所以sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠sin cos cos sin BDC C BDC C =∠⋅+∠⋅431133327-= （2）在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C=∠， 333=，解得7BD = 因为2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 所以cos ABD ∠33=， 在ABD ∆中，33AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠2233(33)7233749=+-⋅= 解得7AD =【点睛】本小题主要考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想､函数与方程思想等.18．如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4,DD CD '== 2AD =，3BAD π∠=，且D ¢在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）过D H '作与BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由；（2）若点P 满足D P D C λ'''=u u u u r u u u u u r ，试求λ的值，使二面角P BH A --为34π. 【答案】（1）点N 为棱BC 的中点，理由见解析（2）1【解析】（1）根据题意，取BC 中点为N ，只需HN BC ⊥即可，结合已知，即可容易说明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角大小，从而求得λ的方程，解方程即可求得结果.【详解】（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，下面给出证明.分别连结NH ，ND '.在HNC ∆中，222cos 33NH NC CH NC CH π=+-⋅⋅=所以222HC NC HN =+，因此2HNC π∠=，即NH BC ⊥，因为'D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，所以D H '⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以D H BC '⊥，又NH BC ⊥，D H NH H '=I ，,D H NH '⊂平面D HN '，所以BC ⊥平面D HN '，因此，点N 即为所求，平面D HN '即为α（2）证明：由题（1）知可得HN BC ⊥，//HN DB ，//AD BC ，所以AD BD ⊥分别以,DA DB u u u r u u u r 为,x y 轴的正方向，以过D 点垂直于平面ABCD 的方向为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -， 23HD '=，(0,0,0)D ，(1,3,0)H -， (0,23,0)B ，(1,3,23)D '-，(2,23,0)C -，(3,33,23)C '-，所以 (2,23,0)(2,23,0)D P D C λλλλ'''==-=-u u u u r u u u u r易得平面AHB 的一个法向量为()0,0,1m =r3,0),3)HB HD u u u r u u u u r '==，(2,23,23)HP HD D P λλ''=+=-u u u r u u u u r u u u u r设n =r(,,)x y z 为平面PBH 的一个法向量，则： 00n HB n HP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即得30223230x x y z λλ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩， 令3x =3,1,2)n λ=-，因为二面角P BH A --为34π， 所以3|cos ,||cos |4m n π<>=u r r ，即||2||||||m n m n ⋅=⋅u r r u r r ，2=，又因为二面角P BH A--的大小为钝角，故1λ=【点睛】本题主要考查空间直线与直线､直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力，考查化归与转化思想等. 19．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，12,F F分别为椭圆的左､右焦点，点P为椭圆C上的一动点，12PF F△面积的最大值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）直线2PF与椭圆C的另一个交点为Q，点()A，证明：直线PA与直线QA 关于x轴对称.【答案】（1）22142x y+=.（2）证明见解析【解析】（1）根据离心率和12PF F△面积的最大值为2，即可列出,,a b c方程，即可求得结果；（2）设出直线2PF的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证PA QAk k=-，则问题得证.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，所以2cea==，即222c a=，又222a b c=+，所以b c=，因为12MF F∆面积的最大值为2，所以1222c b⋅⋅=，即2c b⋅=，又因为b c=，所以b c==24a=，故椭圆C的方程为22142x y+=（2）由（1）得2F，当直线l的斜率为0时，符合题意，当直线l 的斜率不为0时，设直线l的方程为x ty =+22142x y +=消去x 整理得：22(2)20t y ++-=，易得222)8(2)16160t t ∆=++=+>设1122(,),(,)P x y Q x y，则1212222y y y y t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩，记直线,PA QA 的斜率分别为,PA QA k k ，则2244()0PA QA k k t t +=---==所以PA QA k k =-，因此直线PA 与直线QA 关于x 轴对称.【点睛】本题主要考查直线椭圆､直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查函数与方程思想､化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力， 20．已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =-+-(a R ∈). （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证： 3226(1ln )23501x x x x x-+--<-. 【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，根据导数正负，即可判断函数单调性；（2）构造函数32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，利用导数判断其单调性和最值，即可容易证明.【详解】（1）定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x---+-'=-+-=-=- 当0a ≥时，10ax +>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞；当0a <时，令()0f x '=，得1x =或1x a=-， 当1a =-时，2(1)()0x f x x-=≥'恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；所以函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当10a -<<时，11a->， 所以函数()f x 的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞； 当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当10a -<<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）设32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，22()666ln 666(ln )h x x x x x x x '=--+-=--+，由（1）可知，当2a =时，2()ln f x x x x =-+， 且()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞，所以()h x '的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)，故()(1)0h x h ''≥=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增又(1)6(1ln1)2350h =-+--=，所以当01x <<时，()0h x <，1x >时，()0h x >；又当01x <<时，210x ->，1x >时，210x -<所以3226(1ln )23501x x x x x -+--<- 【点睛】本小题主要考查导数及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查函数与方程思想､化归与转化思想､分类与整合思想､数形结合思想等. 21．某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布2(,3.2)N μ，其中μ近似为样本平均数x (同一组数据用该组区间的中点值作代表). （1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；（2） 现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”.若n P 表示A 的概率，1231(3,,4n n n n P aP P bP n a b ---=++≥为常数)，且0121P P P ===. （ⅰ）求3P ，4P 及a ，b ；（ⅱ）判断并证明数列{}n P 从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义. (参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈【答案】（1）11.4万.（2）（ⅰ）378P =，41316P =，12a =，18=b .（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减，证明见解析，用概率统计知识解释其实际意义见解析【解析】（1）由直方图求得x 的平均数，结合正态分布的概率计算，即可容易求得旅游费用支出不低于1820元的概率，再乘以500即可；（2）（ⅰ）根据题意，即可容易求得34,P P ，再列出,a b 方程，即可求得；（ⅱ）根据递推公式计算1n n P P +-，即可判断数列的单调性；再结合实际问题，进行解释.【详解】（1）直方图可得()0.012540.0580.1375120.375160.12520411.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ∵11.8x μ==， 3.2σ=，218.2μσ+=∴旅游费用支出不低于1820元的概率为1(22)10.9544(2)0.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===， ∴5000.022811.4⨯=，估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元.（2）（ⅰ）317188P =-=， 4211311616P +=-=， 所以321043211,41,4P aP P bP P aP P bP ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩即71,841371,1684a b a b ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 解得1,21.8a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减123111(3)248n n n n P P P P n ---=++≥， 故1n n P P +-12123111111248248n n n n n n P P P P P P -----⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12311112488n n n n P P P P ---=---12312311111112248488n n n n n n P P P P P P ------⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭3116n P -=- 又0n P >，所以31016n P --<， 即从第三项起数列{}n P 单调递减.由此，可知随着抽查人数n 的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ” 的可能性会越来越小. （即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件)【点睛】本小题主要考查频率分布直方图､平均数､正态分布､随机事件的概率､数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力､数据处理能力､应用意识，考查分类与整合思想､统计思想､化归与转化思想.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩.(α为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=.（1）求A 的直角坐标和 l 的直角坐标方程；（2）把曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的2曲线2C ，B 为2C 上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）A 的直角坐标：()0,1，l 的直角坐标方程：280x y +-=.（2【解析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；（2）设出B 点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）因为点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得点A 的直角坐标为()0,1，直线l 的直角坐标方程为280x y +-=.（2）设(,)B x y ，则由条件知点(2x 在曲线1C 上，所以cos2sinxθθ⎧=⎪⎪⎨=，即2cosxyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为P为AB中点，所以cosθ⎛⎝⎭P，则点P到直线l72sinπθ⎛⎫-+⎪=当sin16πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭时，72sin6πθ⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值5，故AB中点P到直线l【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化､参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力.23．已知函数()1,f x x m x m N*=-++∈. 若存在实数x使得()3f x<成立.（1）求m的值；（2）若,0αβ>，()()411mαβ--=，求αβ+的最小值.【答案】（1）1.（2）94【解析】（1）利用绝对值三角不等式求得()f x的最小值，再解绝对值不等式即可求得；（2）利用,αβ的等量关系，结合均值不等式即可求得最小值.【详解】（1）存在实数x使得()3f x<成立等价于存在实数x使得12-++<x m x成立，而111x m x x m x m-++≥---=+，当且仅当()()10x m x-+≤时取得.故存在实数x使得()3f x<成立等价于13m+<，解得42m-<<，又因为*m N∈，则1m=（2）由（1）得1m=，故()()4111αβ--=，所以1141βα=+-，由,0αβ>， 故14104141αβαα=+=>--， 所以14α>，1β>111559141441444αβαααα+=++=-++≥=--， 当且仅当33,42αβ==时取最小值94【点睛】本小题考查含绝对值､参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想等.。
2020年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足1−z z=i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是( )A. (−12,12)B. (12,−12)C. (−1,1)D. (1,−1)2. 已知集合A ={x |x <1},B ={x |3x <1}，则( )A. B. A ∪B =R C.D. A ∩B =⌀3. 若a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−4,7)，则a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为( )A. √13B. √655C. 13D. √654. 将某校高一3班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活动，若每个学生被分到三个小组的概率都相等，则这个班的甲，乙两同学分到同一个小组的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 195. 设点(a,b)是区域{2x +y −4≤0x >0y >0内的随机点，函数f(x)=ax 2−4bx +1在区间[1,+∞)上是增函数的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 156. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( ) A. √3B. 2C. 43D. 2√33 7. 已知数列{a n }满足a n a n+1=a n −2a n+1，且a 1=1，则使a n <1120成立的n 的最小值为( )A. 121B. 119C. 7D. 68. 将函数f (x )的图象向左平移π2个单位长度后得到函数g (x )=sin [ωx +π4(2ω−1)]的图象，若函数f (x )的图象关于直线x =π2对称，则当ω取得最小正实数时，tan2ωx 的最小正周期为( )A. 2πB. 4π3C. 2π3D. π39. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 8+2πB. 16+2πC. 20+2πD. 16+π10. 已知函数f(x)=log 2(1|x|+1)+√1x2+3，则不等式f(lgx)>3的解集为( )A. (110,10) B. (−∞,110)∪(10,+∞) C. (1,10)D. (110,1)∪(1,10)11. 已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，AC =√7，BC =2，B =60°，则BC 边上的高为( )A. √32B. 3√32C. √3+√62D. √3+√394 12. 设函数f(x)=2sin(ωx +φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )A. ω=23，φ=π12 B. ω=23，φ=−11π12C. ω=13，φ=−11π24D. ω=13，φ=7π24二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，则实数m 的范围是______．14. 执行图所示的程序框图，若输出的y 为1，则输入的x 的值等于______．15.已知点A(0,1)，点B是圆C:x2+(y+1)2=16上的动点，线段AB的垂直平分线交线段BC于点P，则动点P的轨迹方程是________．16.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.()(3)若一个球的体积为4√3π，则它的表面积为12π.()(4)在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.()(5)将圆心角为2π，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.()3(6)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D−ABC的体积为√3a3.()12三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}为递增数列，且a2，a5是方程x2−12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和b n．T n=1−12(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式．(2)若C n=3n b n，求数列{c n}的前n项和S n．a n a n+118.如图，在直角△AOB中，OA=OB=2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到(∠BOC=120°).点D为斜边AB上一点．点M为线段BC上一点，且MB=4√3．3(Ⅰ)证明：OM⊥平面AOB；(Ⅱ)当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B−CD−O的正弦值．19.质检过后，某校为了解理科班学生的数学、物理学习情况，利用随机数表法从全年级600名理科生抽取100名学生的成绩进行统计分析．已知学生考号的后三位分别为000,001,002,⋯,599．(Ⅰ)若从随机数表的第5行第7列的数开始向右读，请依次写出抽取的前7人的后三位考号；(Ⅱ)如果题(Ⅰ)中随机抽取到的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：数学成绩9097105113127130135物理成绩105116120127135130140从这7名同学中随机抽取3名同学，记这3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望(规定成绩不低于120分的为优秀)．附：(下面是摘自随机数表的第4行到第6行)………162777943949544354821737932378873520964384263491641256859926969668273105037293155712101421882649817655595635643854824622316243099006184432532383013030………20.已知函数f(x)=−e x+a(x+1)．(Ⅰ)讨论函数f(x)单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值且最大值大于−a2+a时，求a的取值范围．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 在直线y =x −1上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(1,0)作互相垂直的两条直线l 1，l 2，l 1与曲线C 交于A ，B 两点，l 2与曲线C 交于E ，F 两点，线段AB 、EF 的中点分别为M ，N.求证：直线MN 过定点P ，并求出定点P 的坐标．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知f(x)=|x −1|+|ax +1|，g(x)=|x +1|+2．(1)若a =12，求不等式f(x)<2的解集；(2)设关于x 的不等式f(x)≤g(x)的解集为A ，若集合(0,1]⊆A ，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了复数的四则运算、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的四则运算求出z，再根据复数的几何意义确定对应点坐标，即可得出结果．解：复数z满足1−zz=i，则z=11+i =1−i(1+i)(1−i)=1−i2=12−12i，则复数z在复平面内对应的点的坐标是(12,−12)．故选B．2.答案：A解析：本题考查交集和并集的运算，属于基础题．解：因为集合A={x|x<1},B={x|3x<1}，所以A∩B={x丨x<0}，故A正确，D错误，A∪B={x丨x<1}，故B，C错误，故选A．3.答案：B解析：解：∵a⃗=(2,3)，b⃗ =(−4,7)，∴a⃗在b⃗ 上的投影为|a⃗|cos<a⃗，b⃗ >=|a⃗|×a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |×|b⃗|=a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=22=√655．故选：B．。
2020年福建省宁德市高三一模试题
数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B I = A.(2,1)- B.(1,2) C.(1,2)- D.(1,1)-2.已知复数1i z =-，其中i 是虚数单位，则21z z+=A.1i 2+B.1i 2- C.1i + D.1i - 3.已知双曲线222:14x yC b -=的焦距为5 A. 8 B. 6 C.2 D. 4 4.设向量,a b 满足15,7+=-=a b a b ?a bA.4B.3C.2D.15.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考。
“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是A.14B.13 C.12 D.236.已知公比为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的前n 项和为n T ,若有345610a b b a +++=，则88S T +=A.80B.40C.20D.10 7.若实数,,x y z 满足23log log 2z x y ==，则,,x y z 的大小关系是 A.z x y << B.x y z << C.x z y << D.z y x << 8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一 百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各 几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行右图的程 序框图，则输出n =A.20B.30C.75D.80 9.将函数31()cos 22f x x x ωω=+的图象向左平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是A.13 B.2 C.3 D.6 10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的表面积为A.16B.20C.16+D.20+11.已知12,F F 为椭圆:C 222164x y a +=的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等，且12PF F D 的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为A.17B.13C.12D.2312.已知函数33,0,(),0,x x x f x ax x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是 A.当0a >时，至少有2个零点 B.当0a >时，至多有9个零点C.当0a <时，至少有4个零点D.当0a <时，至多有4个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是 .15.在边长为2的菱形ABCD 中，π3ABC?，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B ¢的位置，且点B ¢在面ACD 内的正投影为ΔACD 的重心G ,则B ACD '-的外接球的球心O 到点G 的距离为 .16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n n a a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-= 则D 型数列{}n a 的序号为 .三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.(12分)ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，c =.（1）求角C ；E（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．18.(12分)如图，矩形ABCD ^平面BCE ，1,2AB BC BE ===且2π3EBC ?，,M N 分别为,AB CE 的中点.（1）证明：//MN 平面AED ；（2）求几何体A MND -的体积.19.(12分)某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i =的数据进行了统计，得到如下数表：（1）建立y 关于x 的回归直线方程；（2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为7元/件时，其月销售量达到14.8万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？ （3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时，公司月利润的预报值最大？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ni ii n i i x ynx yb x nx==-=-∑∑$，$ay bx =-$ 参考数据：51352i i i x y ==∑，521407.5i i x ==∑20. (12分)已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF =.（1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB MON S D D =，求直线l 的方程.21. (12分)已知函数2()1(0)x f x ax e a =-?． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅α的值. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知11212x x m ++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ； （2）若,a b 均为正数，且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围.参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. A 8. C 9. C 10. D 11. B 12. B二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．31y x =- 14．5 1516．②③④三、解答题：本大题 共6小题，共70分．17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）根据余弦定理得222222a c b a b cac+-+= 整理得222a b c ab +-=-，………………………………………………………3分2221cos 22a b c C ab +-∴==-，(0,)C π∈Q ，23C π∴=……………………………………………………………………………5分（2）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于2a b ++………………………………………………………………6分由正弦定理2sin sin sin a b c A B C===，所以,2sin 2sin b a A B ==，24sin 2sin a b A B +=+…………………………………………………………8分4sin 2sin()3A A π=+-)6A π=+………………………………………………………10分(0,)3A π∈Q ，(,)662A πππ∴+∈，1sin()(,1)62A π∴+∈，2a b \+?，……………………………………………………………11分所以ABD ∆的周长的取值范围是,．………………………………12分解法二：（1）根据正弦定理得2sin sin 2sin cos A B C B +=……………………………………………………2分 sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+Q ,………3分 2sin cos sin B C B \=-, sin 0B ≠Q ，1cos 2C ∴=-，…………………………………………………………………4分(0,)C π∈Q ，23C π∴=……………………………………………………………………………5分（2）同解法一．EE18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）证明：取ED 中点H ，连接,AH NH ……………………………………1分 ∵,N H 分别为,EC ED 的中点，∴NH 为ECD D 的中位线∴//NH CD 且12NH CD = ……………………2∵ABCD 为矩形，M 为AB 的中点∴//NH AM 且NH AM =……………………3分 ∴四边形AMNH 为平行四边形∴//MN AH ………………………………4分 MN EAD Ë平面,AH EAD Ì平面……………………………………………………5分 ∴//MN 平面AED …………………………………………………………………6分 （2）过N 作NF BC ^于F ………………………………………………………………7分 ∵平面ABCD ^平面EBC ， 平面ABCD Ç平面EBC BC =， 又NF Ì平面EBC ∴NF ^平面ABCD在CNF D 中， ∵23EBC π?且BE BC =∴6πECB ?12NF CN ==10分 1122AMD S AM AD D ==g ……………………………………………………………11分1132A MND D AMN V V --==创=12分 解法二：（1）取BE 中点G ，连接,MG NG ………………………………………………1分 在ABE D 中，MG 为中位线， ∴//MG AE ……………………………………∵MG Ë平面EAD ，AE Ì平面EAD∴//MG 平面EAD 同理，//GN BC ，∴//GN AD ∵GN Ë平面EAD ，AD Ì平面EAD ∴//GN 平面EAD ………………………4分又MG GN G =I∴平面//MNG 平面EAD ……………5分 ∵MN Ì平面MNG∴//MN 平面EAD …………………………………………………………………6分 （2）∵平面ABCD ^平面EBC ，平面ABCD Ç平面EBC BC =， 又 E∵CN BN ^，CN AB ^，AB BN B ? 则CN ^平面ABN即CN ^平面AMN …………………………9分 ∵//CD 平面AMN ，∴D 到平面AMN 的距离d CN =在CNF D 中，∵23EBC π?且2BE BC ==∴d CN ==……………………………………………………………………10分1124AMN S AM BN D ==g ……………………………………………………………11分∴1134A MND D AMN V V --==创……………………………………………12分19. 本小题主要考查了回归直线方程,函数等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想等.满分12分.解：（1）因为1(88.599.510)95x =++++=，……………………………………………1分1(1110865)85y =++++=…………………………………………………………2分所以2350598 3.2407559ˆb -创==--?．，则()8 3.2936.ˆ8a=--?，……………………4分 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.236.ˆ8yx =-+； ………………………………5分 （2）当7x =时， 3.2736 4.4ˆ.81y=-?=，则14.814.40.40.5y y Ù-=-=<，……………………………………………………7分所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；…………………………………8分 （3）令销售利润为M ，则()()5 3.236.8M x x =--+(511.5)x <<………………………9分 23.252.8184x x =-+-……………………………………10分所以8.25x =时，M 取最大值．………………………………………………………11分 所以该新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润.……………………………12分 20. 本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（1）313||,2222pQF =\+=Q ，………………………………………………………1分2=∴p …………………………………………………………………………………2分 抛物线C 的方程为：x y 42=.………………………………………………………3分将1(2Q 代入24y x =得2t =……………………………………………………4分（2）设),,(),,(2211y x B y x A 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：)0(2≠+=k kx y ，………………………………5分 联立⎩⎨⎧+==242kx y x y ，消去y 得04)1(422=+--x k x k ，……………………………………6分22Δ16(1)160k k =-->Q ，得21<k 且0≠k ，2212214,)1(4k x x k k x x =-=+∴，……………………………………………………………7分ΔΔ,|||AOB MON S AB MN =\=Q ，|0|13||102212-+=-+∴x k x x k ，即||3||021x x x =-，…………………………8分 N Θ是AB 的中点，2210xx x +=∴，………………………………………………………9分22121212()()434x x x x x x +\+-=?，整理得2122116)(x x x x =+，………………………10分 2224(1)64[]k k k-\=，解得31,121=-=k k ，………………………………………………11分 ∴直线l 的方程为：2+-=x y 或231+=x y ……………………………………………12分21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（1）2'()2x x f x ax e ax e =+g g(2)x ae x x =+ ………………………………………………………………1分 当0a >时，令'()0f x >得0x >或2x <-；令'()0f x <得20x -<<．∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-．……………………………………………………………3分 当0a <时，令'()0f x >得20x -<<；令'()0f x <得0x >或2x <-．∴函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.………………………………………………5分 综上所述,当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞. （2）函数()f x 在[1,)x ∈+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+?无解则2()x g x x e =与1y a =在[1,)+?无交点……………………………………………………6分2'()(2)xg x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+?上单调递增min ()g x e =，∴1e a<则1a e>………………………………………………………………………………………7分由（1）得()f x 在[1,)+?上单调递增()(1)10f x f ae ≥=->……………………………………………………………………8分 要证 2(1)(()1)ln x f x x x -+≥ 即证 22(1)ln x x ax e x x -≥即证 (1)ln x a x e x -≥即证 (1)ln 0x a x e x --≥…………………………………………………………………9分 令()(1)ln x g x a x e x =--1'()(1)x x g x ae a x e x=+--1x ae x x =-21x ax e x -=()0f x x=>()g x ∴在[1,)x ∈+∞时单调递增，………………………………………………………11分 ()(1)g x g ∴≥0=所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 解法二：（1）同解法一（2）函数()f x 在[1,)x ∈+∞时无零点，即210x ax e -=在[1,)+?无解则2()x g x x e =与1y a =在[1,)+?无交点……………………………………………………6分2'()(2)xg x x x e =+，2()x g x x e =在[1,)+?上单调递增min ()g x e =，∴1e a<则1a e>………………………………………………………………………………………7分要证2(1)(()1)ln x f x x x -+≥，即证22(1)ln x x ax e x x -≥，即证(1)ln x a x e x -≥，………………………………………………………………………8分因为11(1)(1)(1)(1)x x x a x e x e x e x e-->-=-≥-， 所以只需证 1ln x x -≥，即证 1ln 0x x --≥，………………………………………………………………………9分 令 ()1ln g x x x =--11'()10x g x x x-=-=≥，………………………………………………………………10分()g x ∴在[1,)x ∈+∞时单调递增，………………………………………………………11分 ()(1)0g x g ∴≥=，所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查 数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分． 解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=，………………………1分 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩，……………………………………………………………3分所以120sin cos 2ρρραα+==+，…………………………………………………………4分所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．…………………………5分（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅=……………6分|sin cos |αα=+|sin cos |αα=+=7分所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，………………………………8分又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=，……………………………………………………9分即12πα=或512πα=…………………………………………………………………………10分解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，…………………………………………………………………………1分 故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C e 的内部），………………………………………2分 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………3分即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．……………………………5分（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅=………………6分|sin cos |αα=+|sin cos |αα=+=7分令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，………………………………………………8分即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去），所以21sin 212t α=-=，又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈，所以26πα=或526πα=，……………………………………………………………………9分即12πα=或512πα=．………………………………………………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，Q 1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立，∴min 1()2f x m ≥-，…………………………………………………………………………1分- 11 - 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，………………………………………………………………3分 ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，……………………………………………………………………4分 ∴m 的最大值2M =．………………………………………………………………………5分（2）由（1）得2M =，故121a b +=-． 0,0a b >>Q ，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<．……………………………………………………………………6分 故112222(1)11a b b b b b-=--=-+--．……………………………………………7分 当01b <<时，011b <-<，2a b -? 当且仅当12(1)1b b-=-，即1b =-时取“=”；…………………………………8分 当32b >时，112b ->，122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =+=”．…………………………………9分 所以2a b -的取值范围是(,)-?+?U ．………………………………10分。
2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷理科数学答案
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2020年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13．22x y = 14．16 15．-8 16．{1,3}-
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换
等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、
函数与方程思想等．满分12分．
解：（1）因为1cos 7BDC ∠=-，22sin cos 1BDC BDC ∠∠+=， 所以43sin BDC =
∠.……………………………………2分 在BDC ∆中，,3C DBC C BDC π∠∠+∠+∠=π=， 所以sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠…………………………………………………………3分 sin cos cos sin BDC C BDC C =∠⋅+∠⋅……………………………………………………4分 431133327=
⋅-⋅=. …………………………………………………………5分 （2）在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C =∠，…………………………………6分 即33
3=，解得7BD =.…………………………………………………………8分 因为2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 所以cos ABD ∠33=，……………9分。
福建省宁德市2020年高考数学学业质量监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．202．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <3．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]4．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．436．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．54 B ．53C ．52D 57．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．328．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．79．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12πB ．3π C ．6π D ．9π 10．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．3y x =C ．2y x =±D ．2y x =12．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年5月福建省宁德市普通高中2020届高三毕业班质量检查数学(理)试题及答案
1绝密★启用前福建省宁德市普通高中2020届高三毕业班下学期5月质量检查数学(理)试题2020年5月4日本试卷共23题，共150分，共6页． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|ln 0}A x x =<,{|1}B x x =≤-,则A B R I ð=A ．{|11}x x -<< B. {|01}x x << C. {|11}x x -≤< D. {|1}x x ≥ 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若33a =,713a =,则9S =A ．36B ．70C ．72D ．1443．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合 称,“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图．例如公元1988年,即输入1988N =,执行 该程序框图,运行相应的程序,输出5x =,从干支表中查出对应 的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年,2则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥4． ()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中,3x 的系数是A ．50-B ．30-C ．50D ．305．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π 6．已知,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,2cos21θθ=+,则cos θ=A ．0B ．12CD ．07．在复平面内O 为坐标原点,复数1i)z =,2z =对应的点分别为1Z ,2Z ,则12Z OZ ∠的大小为 A ．512π B ．12π C ．712π D ．1112π 8．函数()ln 0f x ax x =-≥ ()a ÎR 恒成立的一个充分不必要条件是A ．1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,a ∈+∞C ．[)1,a ∈+∞D ．(,e]a ∈-∞9．已知O 为坐标原点,AB 是:C e 22(3)(4)1x y -+-=的直径．若点Q 满足2OQ u u u v=,则QA QB ⋅u u u v u u u v的最小值为A ．2B ．3C ．8D ．15 10．方程()22:2(1)(3)e e x x x x y ----=+的曲线有下列说法：六十干支表（部分）正视图侧视图俯视图。
2020届福建省宁德市高考理科数学5月模拟试题和答案详细解析及备考策略
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分
17．（12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB＝3 ，CD＝3，cos∠BDC＝﹣ ， ∠C＝ ． （1）求 sin∠DBC； （2）求 AD 的长．
18．（12 分）如图，在棱柱 ABCD﹣A'B'C'D'中，底面 ABCD 为平行四边形，DD'＝CD＝4，AD
A．2
B．3
C．8
D．15
10．（5 分）方程：2（x﹣1）（x﹣3）＝y（ex﹣2+e2﹣x）的曲线有下列说法：
①该曲线关于 x＝2 对称；
②该曲线关于点（2，﹣1）对称；
③该曲线不经过第三象限；
④该曲线上有无数个点ห้องสมุดไป่ตู้横、纵坐标都是整数．
其中正确的是（ ）
A．②③
B．①④
C．②④
D．①③
11．（5 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 EFBD 为矩形，且平面 ABCD 与平面 EFBD 互
即输入 N＝1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出 x＝5，从干支表中查出对应
的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元 429 年，则该年所对应的干支为
（）
六十干支表（部分）
5
6
7
戊辰
己巳
庚午
58
59
60
辛酉
戌壬
癸亥
A．己巳 4．（5 分）
B．庚午
C．壬戌
的展开式中，x3 的系数是（ ）
2．（5 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＝3，a7＝13，则 S9＝（ ）
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2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合{|0}A x lnx =<，{|1}B x x =-„，则(R A B =I ð ) A ．{|11}x x -<<
B ．{|01}x x <<
C ．{|11}x x -<„
D ．{|1}x x …
2．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，713a =，则9(S = ) A ．36
B ．70
C ．72
D ．144
3．（5分）干支是天干（甲、乙、⋯、癸）和地支（子、丑、⋯、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为(
)
六十干支表（部分）
5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉
戌壬
癸亥
A ．己巳
B ．庚午
C ．壬戌
D ．癸亥
4．（5分）51
(1)(2)x x
+-的展开式中，3x 的系数是( )
A ．50-
B ．30-
C ．50
D ．30
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．3π
B ．9π
C ．12π
D ．36π
6．（5分）已知[,0)2
πθ∈-3sin 2cos21θθ=+，则cos (θ= )
A ．0
B ．
12
C 3
D ．03 7．（5分）在复平面内O 为坐标原点，复数1(3)z i i =，123z i
=-对应的点分别为1Z ，2Z ，
则12Z OZ ∠的大小为( ) A ．
5
12
π B ．12
π
C ．
7
12
π D ．
1112
π 8．（5分）函数()0()f x ax lnx a R =-∈…恒成立的一个充分不必要条件是( ) A ．1
[,)a e
∈+∞
B ．[0a ∈，)+∞
C ．[1a ∈，)+∞
D ．(a ∈-∞，]e
9．（5分）已知O 为坐标原点，AB 是22
:(3)(4)1C x y -+-=e 的直径．若点Q 满足||2OQ =u u u r ，则QA QB u u u r u u u r
g
的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．15
10．（5分）方程：222(1)(3)()x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称； ③该曲线不经过第三象限；
④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数． 其中正确的是( )
A．②③B．①④C．②④D．①③
11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD
互相垂直．若多面体ABCDEF
的体积为
16
3
，则该多面体外接球表面积的最小值为()
A．16πB．12πC．8πD．6π
12．（5分）双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>的左、右焦点分别为
1
F，
2
F，O为坐标原点．P
为曲线C右支上的点，点M在
12
F PF
∠外角平分线上，且
2
F M PM=
u u u u u r u u u u r
g．若△
2
OF M恰为顶角为120︒的等腰三角形，则该双曲线的离心率为()
A．23B．
43
C．2D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）若抛物线经过点
1
(1,)
2
-，(2,2)，则该抛物线的标准方程为．
14．（5分）记
n
S为正项数列{}
n
a的前n项和，2
12
n n n
a a a
++
=g．若
1
1
a=，
3
7
S=，则
5
a=．15．（5分）宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用m，n标注）．目前得知这组数据的平均值为58，则方差2S最大时m n
-的值为．
16．（5分）已知函数
1
2
,0
()2
,0
1
x
x e x
f x x
x
x
+
⎧
⎪
=⎨
>
⎪+
⎩
g„
，若关于x的不等式2()2()20
f x af x a
-++„的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。