人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 3.1.3 复数的几何意义
人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 复数的几何意义
选修2-2 第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3[答案] C[解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C.2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2| D ．|z 1|<|z 2|[答案] D[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A ，B. 又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，∴|z 1|<|z 2|. 故选D.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i[答案] B[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i.故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，∴4cos 2α2＝－2cos α2.6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．[答案] 5[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. [答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．一、选择题11．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 D ．－1和6[答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.[点评] 复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．12．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|[答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 13．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.14．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3)[答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1.由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5. ∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C. 二、填空题15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________________．[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4. ∴x ＋y ＝5.16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.三、解答题17．(2014·山东鱼台一中高二期中)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． [解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.*18.已知复数z 1＝1＋cos θ＋isin θ，z 2＝1－sin θ＋icos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．[解析] 由已知得，|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ，|z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ. |z 1|2＋|z 2|2≥2，即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2， cos θ－sin θ≥－1， cos(θ＋π4)≥－22，所以2k π－π≤θ≤2kπ＋π2，k ∈Z .所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π2]，k ∈Z .。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.3 复数的几何意义》3
（教学设计）§复数的几何意义授课类型：新授课授课时间：2021年05月12日复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。
然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。
1知识与技能目标理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模2过程与方法目标通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力3情感与态度价值观目标通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣重点：复数的几何意义以及复数的模；难点：复数的几何意义及模的综合应用教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式共轭复数的定义及性质学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式，共轭复数的定义教学环节教师活动学生活动设计意图创设情境1复数的代数形式为z a bi=+，a为实部，b为虚部。
2复数),(Rbabiaz∈+=是实数、虚数、纯虚数所满足的条件分别是？针对上述问题，学生进行讨论。
并回答所问2个问题学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。
新知探究一：复数的几何意义思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？问：你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关系吗？思考2：平面向量OZ的坐标为),(ba,由此你能得出复数的另一个几何意义吗？教师提出问题学生思考，进行小组讨论。
学生回答，并总结通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。
人教版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 复数的几何意义
第三章 §3.1 课时作业23一、选择题1．若32<m <2，则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：∵32<m <2，∴2m －2>0,3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限． 答案：D2．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i 解析：因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0. 由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1.故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i. 答案：A3．复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i解析：∵OA →表示复数1＋i ， ∴点A (1,1)，将OA →向右平移一个单位， 将O ′A ′→对应1＋i ，A ′(2,1)， ∴点A ′对应复数2＋i.故选C. 答案：C4．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)解析：∵|z |＝a 2＋1，a ∈(0,2)，∴|z |∈(1，5)．故选B. 答案：B 二、填空题5．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，如果点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．解析：∵点B 的坐标为(3，－4)， ∴点A 的坐标为(－3,4)． ∴点C 的坐标为(3,4)． ∴向量OC →对应的复数为3＋4i. 答案：3＋4i6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α，∵π<α<2π，∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4.∴|z |∈(0,2)． 答案：(0,2)7．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－3－2i ，z 4＝3－2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.答案：180° 三、解答题8．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点： (1)位于第二象限；(2)位于直线y ＝x 上．解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.9．已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解：解题时，应先判断a 2－2a ＋4与－(a 2－2a ＋2)的符号，设出z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等的充要条件转化为动点(x ，y )关于a 的参数方程．由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， ∴复数z 的实部为正数，虚部为负数． ∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。
人教B版高中数学选修2-2 第三章3.1.3复数的几何意义-教案
3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.3 复数的几何意义【提出问题】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．这说明了我们研究问题时要学会从代数和几何两个方面考虑问题。
我们知道，z=a+bi （a ，b ∈R ）这种代数形式表示复数。
那么，从几何的角度怎样表示复数呢？【解决问题】根据复数相等的定义，复数z=a+bi 被一个有序实数对（a ，b ）所唯一确定，而每一个有序实数对（a ，b ），在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z （a ，b ）（或一个向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ）。
这就是说每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对。
【获得新知】这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi 和点Z （a ，b ）（或向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ）之间的一一对应关系。
点Z （a ，b ）或向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 是复数z 的几何表示（图一）。
复数z=a+bi 一一对应↔ 有序实数对（a ，b ）一一对应↔ 点Z （a ，b ）图一建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。
在复平面内x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点（0，0）对应复数0。
设复数z=a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度叫做复数a+bi 的模（或绝对值），记作|a+bi|，如果b=0，则|a+bi|=|a|，这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广。
由向量长度的计算公式，|a+bi|=√a 2+b 2.如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。
复数z 的共轭复数z̅表示。
当z=a+bi 时，则z̅=a-bi 。
当复数z=a+bi 的虚部b=0时有z=z̅。
也就是说，任意实数的共轭复数仍是它本身。
人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义课时目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之 间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方 法．1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除了________外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数与点、向量间的对应如图，在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点__________或向量__________表 示．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )与点Z (a ，b )和向量OZ →的一一对应关系如下：3．复数的模复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ __________.一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i2．若点P 对应的复数z 满足|z |≤1，则P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．线段C ．圆D ．单位圆以及圆内3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆5．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3)6．在复平面内，若z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取 值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)7．复数z ＝3＋4i 对应的点Z 关于原点的对称点为Z 1，则向量OZ 1→对应的复数为________． 8．在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，将P 向左平移一个单位后得向量P 0，则点P 0对应的复数是________．9．已知复数3＋i 、2－i 在复平面内对应的点为A 、B ，则直线AB 的斜率为________． 三、解答题10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点 (1)在虚轴上； (2)实轴负半轴上；(3)在直线y ＝x 上，分别求出复数z .11.(1)求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小；(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．能力提升12．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．已知复数z 表示的点在直线y ＝12x 上，且|z |＝35，求复数z .1．复数与复平面上点一一对应，与以原点为起点的向量一一对应．2．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模为非负实数，利用模的定义，可以将复数问题实数化．答案知识梳理1．实轴 虚轴 原点 2．Z (a ，b ) OZ → 3.a 2＋b 2 作业设计1．C [复数6＋5i 对应A 点坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点坐标为(－2,3)．由中点坐标 公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.] 2．D3．D [∵23<m <1，则3m －2>0，m －1<0，∴点在第四象限．]4．A [由|z |2－2|z |－3＝0解得： |z |＝3或|z |＝－1(舍)，故选A.] 5．C [∵|z |＝a 2＋1，而0<a <2，∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.]6．D [z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.]7．－3－4i解析 由题意Z 点的坐标为(3,4)， 点Z 关于原点的对称点Z 1(－3，－4)， 所以向量OZ 1→对应的复数为－3－4i. 8．－i解析 P (1，－1)向左平移一个单位至P 0(0，－1)，对应复数为－i. 9．2解析 ∵A (3,1)，B (2，－1)，∴k AB ＝－1－12－3＝2.10．解 (1)若复数z 对应的点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.此时z ＝ 6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.(3)若复数z 对应的点在直线y ＝x 上时， m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2， ∴复数z ＝0. 11．解 (1)|z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32，∵5>32，∴|z 1|>|z 2|.(2)∵z ＝3＋a i (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)． 12．D [∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．] 13．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则b ＝12a 且a 2＋b 2＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝－3.因此z ＝6＋3i 或z ＝－6－3i.。
人教B版选修22高中数学3.1.3复数的几何意义word教案
复数的几何意义【教学目标】明白得复数与从原点动身的向量的对应关系，把握复数的向量表示 ，复数模的概念及求法，复数模的几何意义；体会数形结合的思想在数学中的重要意义；体会事物间的普遍联系.【教学重点】复数的几何意义 【教学难点】复数的模一、课前预习：（阅读教材86--87页，完成知识点填空）1.试探：实数与数轴上的点是一一对应的，实数能够用数轴上的点来表示，那么复数可否也能用点来表示呢？2.复平面、实轴、虚轴．．．．．．．．．：复数),(R b a bi a z ∈+=与有序实数对),(b a 是 对应关系这是因为关于任何一个复数),(R b a bi a z ∈+=，由复数相等的概念可知，能够由一个有序实数对),(b a 惟一确信，如i z 23+=能够由有序实数对 （ ） 确信，又如i z +=2能够由有序实数对( )来确信；又因为有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，成立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间能够成立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数),(R b a bi a z ∈+=可用点),(b a Z 表示，那个成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，也叫高斯平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 .实轴上的点都表示 ，关于虚轴上的点要除 外，因为原点对应的有序实数对为 ，它确信的复数是 ，表示是实数.故除原点外，虚轴上的点都表示 .在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数 ，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数 ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是 ，i z 35--=对应的点( )在第 象限.3.复数的模．．．．：设复数),(R b a bi a z ∈+=对应的点为Z ，那么复数z 对应的向量为 ， 向量的 叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模（或 ），记作 .则=+||bi a .当0=b 时=||z ，为实数意义上的绝对值，4.共轭复数．．．．： . ),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数记作复平面中，两个互为共轭复数对应的点关于 对称.二、课上学习：（参照教材87页例题，探讨完成）例1.已知复数z 1=3+4i,z 2=-1+5i,求它们的模和共轭复数.例2.设C Z ∈，知足以下条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z|=1 ； (2)2||≥z ； （3） 2<|z |<3三、课后练习：页练习A,89页练习B2.以下命题中的假命题是（ ）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。
人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 3-1 复数的几何意义
§3.1.2 复数的几何意义学习目标学习过程一、学情调查，情景导入（预习教材P 52~ P 53，找出疑惑之处）复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、问题展示，合作探究探究任务一：复平面问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或有序实数一一对应新知：1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ .注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数3复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？三、达标训练，巩固提升1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（ ）A ．a bi +是实数B ．a bi +是虚数C ．a bi +是复数D ．0a bi +≠3. 复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4. 若1z =+，则||z =5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点，分别指出下列条件下点P 的位置：（1）0,0a b >> （2）0,0a b <>（3）0,0a b =≤ （4）0b >四、知识梳理，归纳总结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义； 3．复数的模.五、预习指导，新课链接1．实数取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？。
高中数学选修2-2课时作业13：3.1.2 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] B[解析] ∵π2<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0， 故复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] A [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1. 3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] B[解析] 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0或a ＝2D ．a ＝0考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] C[解析] ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.5．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系[答案] B[解析] ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数[答案] A[解析] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 考点 复数模的定义与应用题点 利用模的定义求复数[答案] D[解析] 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] 5[解析] 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形[答案] (x －2)2＋y 2＝8[解析] 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8.10．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系[答案] 3＋4i[解析] 因为点B 的坐标为(3，－4)，所以点A 的坐标为(－3,4)，所以点C 的坐标为(3,4)，所以向量OC →对应的复数为3＋4i.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模[答案] ⎣⎡⎭⎫322，3 [解析] 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝ 2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92＝ 2⎝⎛⎭⎫a －122＋92. 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎡⎭⎫322，3. 三、解答题 12．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数解 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝a i(a ≠0，且a ∈R )，则|z－1|＝|a i－1|＝a2＋1.又|－1＋i|＝2，所以a2＋1＝2，解得a＝±1，所以z＝±i.13．已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．考点复数的几何意义题点复数的模及其应用解方法一∵z＝3＋a i(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－7，7)．方法二利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋a i知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知－7<a<7.四、探究与拓展14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系[答案] B[解析] 因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.15．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系解 根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)，∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.。
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一、选择题
1．在复平面内，复数z＝i＋i2表示的点在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】∵z＝i＋i2＝－1＋i，显然点(－1,1)在第二象限．
【答案】 B
2．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于()对称．A．实轴
B．一、三象限的角平分线
C．虚轴
D．二、四象限的角平分线
【解析】复数z1＝1＋3i在复平面内的对应点为z1(1，3)．
复数z2＝1－3i在复平面内的对应点为z2(1，－3)．
点z1与z2关于实轴对称，故选A.
【答案】 A
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
【解析】因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C为线段AB的中点，所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.
【答案】 C
4．(2013·徐州高二检测)实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有() A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】 设z ＝5＋b i(b ∈R )，则|z |＝
25＋b 2， 又|4－3i|＝
42＋(－3)2＝5， ∴25＋b 2＝5，∴b ＝0，故选A.
【答案】 A
5．(2013·石家庄高二检测)复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )
A ．a ≠2或a ≠1
B ．a ≠2且a ≠1
C ．a ＝0
D ．a ＝2或a ＝0
【解析】 由复数z 的对应点在虚轴上知a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2，故选
D.
【答案】 D
二、填空题
6．复数z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点在直线x ＋y －4＝0上，则实数m 的值为________．
【解析】 由题意知点(m ＋1，m －1)在直线x ＋y －4＝0上，
∴(m ＋1)＋(m －1)－4＝0，∴m ＝2.
【答案】 2
7．(2013·开封高二检测)已知△ABC 中，AB →，AC →
对应的复数分别为－1＋2i ，
－2－3i ，则BC →
对应的复数为________．
【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →
＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →
＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.
【答案】 －1－5i
8．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________．
【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
得x ＝3，y ＝－4.
而|1－5i|＝1＋52＝26，
|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，
|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝
(－4)2＋22＝20， ∵20<5<26，
∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.
【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|
三、解答题
9．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点
(1)位于虚轴上；
(2)位于第三象限．
【解】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面上对应点的坐标为(2m,4－m 2)．
(1)若点(2m,4－m 2)在虚轴上，则有2m ＝0，即m ＝0.
(2)若点(2m,4－m 2)在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧
2m <0，4－m 2<0
∴m <－2.
10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →
，其中O
是原点，求向量OA →＋OB →，BA →
对应的复数及A ，B 两点之间的距离．
【解】 因为复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →
，其中O 是原
点，所以OA →＝(－3，－1)，OB →＝(5,1)，所以OA →＋OB →＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，
所以向量OA →＋OB →对应的复数是2，又BA →＝OA →－OB →＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，所以BA →对应的复数是－8－2i ，A ，B 两点之间的距离为
|BA →
|＝(－8)2＋(－2)2＝217.
11．求复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模．
【解】 |z |＝
(1＋cos α)2＋(sin α)2＝2＋2cos α＝2|cos α2|，因为π<α<2π， 所以π2<α2<π，
所以cos α2<0，所以|z |＝－2cos α2.。