2020届高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形19简单的三角恒等变换课时训练文含解析20190422235

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2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第4讲简单的三角恒等变换分层演练文

第 4 讲简单的三角恒等变换1．已知 cosπ－ x ＝ 3，则 sin 2 ＝ ( )4 5x18 7 A ．25B ． 25716C ．－D ．－2525π －π π 23分析：选 C ．由于 cos4 x ＝ cos 4 cos x ＋sin 4 sinx ＝ 2 (cos x ＋ sin x ) ＝5，因此 sin 3 2 1＋ 2sin x cos x ＝ 18x ＋ cos x ＝ 5 ，因此，2518 7即 sin 2 x ＝ 25－ 1＝－ 25.ππ2．已知 sin6 － α ＝ cos 6 ＋ α ，则 cos 2 α＝ ()A ． 1B ．－ 11C ． 2D ． 0ππ分析：选 D. 由于 sin6 － α ＝ cos 6 ＋ α ，133 1因此 2cos α－ 2 sin α＝ 2 cos α－ 2sinα，即 1－3 sin α＝－ 1－ 3 cos α，222 2αsin α因此 tan＝cos α＝－ 1，22cos 2α－ sin2α 1－ tan 2α 因此 cos 2α＝cos α － sinα＝sin 2α＋ cos 2α＝ tan 2α＋ 1 ＝0.3 π1 3．已知 sin2 α＝ 5(2 ＜ 2α＜π ) ， tan( α－ β) ＝ 2，则 tan( α＋ β ) 等于 ()A ．－ 2B ．－ 122C ．－ 11D ． 114分析：选 A ．由题意，可得cos 2 α＝－ 5，则 tan 2 α＝－3，tan( α＋β) ＝ tan[2α－(α－β)]＝ tan 2 α－tan( α－β)＝－41＋ tan 2 αtan( α－β)2.4.2cos 10 °－ sin 20 °的值是()sin 70 °13A．2B．2C． 3D． 22cos( 30°－ 20° ) － sin 20 °分析：选 C．原式＝sin 70 °2(cos 30 ° cos 20 °＋ sin 30° sin 20° ) － sin 20 °3cos 20 °＝sin 70°＝cos 20 °＝3.5．在斜三角形ABC 中， sin＝－ 2cos cos，且 tan· tan＝ 1－2，则角AA B C B C的值为()ππA．4B．3π3πC．D．24分析：选 A．由题意知， sin A＝－2cos B cos C＝sin( B＋ C)＝sin B cos C＋cos B sin C，在等式－2cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C两边同除以cos B cos C得 tan B＋tan C＝－2，tan B＋tan C又 tan( B＋C) ＝1－tan B tan C＝－1＝－tan A，π即 tan A＝ 1，因此A＝4 .11αtanβ 的值为________．6．已知 cos( α＋β ) ＝， cos( α－β) ＝，则 tan631分析：由于 cos( α＋β) ＝6，1因此 cosα cosβ－sinα sinβ＝6.①αβ1由于 cos(－)＝3，因此 cosα cosβ＋sinα sinβ＝1. ②31①＋②得 cosαcosβ＝4.1②－①得 sin αsinβ＝12.sinα sinβ1因此 tanα tan β＝ cos α cos β ＝ 3.1 答案：3π7．若 tan α＝3，则 sin2α＋ 4 的值为 ________．分析：由于 sin 2 α ＝ 2sinαcos2sinαcos αα＝sin 2α＋ cos 2α2tan α 322cos 2α－ sin 2α 1－ tan 2α 4＝ tan 2α＋ 1＝ 5，cos 2 α ＝cos α－sin α＝ cos 2α＋ sin 2α＝ 1＋ tan 2α＝－ 5，π 2 2 2 3 4 2因此 sin 2α＋ 4 ＝ 2 sin 2 α＋ 2 cos 2 α＝ 2 × 5＋－＝－ 10 .52答案：－ 108．已知方程x 2＋ 3ax ＋ 3a ＋ 1＝ 0( a ＞ 1) 的两根分别为 tan α ， tan β，且 α， β ∈π π－ 2 ， 2 ，则 α ＋β＝ ________．分析：由已知得 tan α＋tanβ＝－ 3a ，tan αtan β ＝3a ＋ 1，因此 tan( α ＋ β) ＝1.π π又由于 α， β∈ － 2 ， 2 ， tanα＋ tan β ＝－ 3a ＜ 0，tan αtanβ ＝3a ＋ 1＞ 0，因此 tan α ＜ 0， tan β＜ 0，π因此 α， β ∈ － 2 ， 0 ，因此 α＋ β ∈( －π， 0) ，3π因此 α＋ β ＝－ 4 .3π答案：－415 ππ9．已知 tan α＝－ 3， cos β＝5 ， α∈，π， β ∈0，，求 tan( α＋β) 的22 值，并求出 α＋ β 的值．解：由 cos β＝5， β∈ 0， π，522 5得 sin β＝ 5 ， tan β＝ 2.1tan α＋ tanβ －3＋ 2因此 tan(α ＋β) ＝ 1－ tanαtanβ＝2 ＝1.1＋3ππ由于 α∈ 2 ，π ， β∈ 0， 2 ，π 3π5π 因此 2 <α＋ β< 2 ，因此 α＋ β＝4 .x ππ10．已知函数 f ( x ) ＝ A cos( 4＋ 6 ) ， x ∈ R ，且 f 3 ＝ 2.(1) 求 A 的值；π4π302π 8(2) 设 α， β∈ 0， 2 ， f4α＋3 ＝－ 17，f 4β－ 3＝ 5，求 cos( α＋ β) 的值．ππ π π 2 解： (1)由于 f 3 ＝ A cos 12＋6 ＝ A cos 4 ＝ 2 A ＝ 2，因此 A ＝ 2.由 f4π π π π30(2) 4α ＋ 3 ＝ 2cos( α＋ 3 ＋ 6 ) ＝ 2cos α＋ 2 ＝－ 2sin α＝－ 17，15 π 8得 sin α＝ 17，又 α ∈ 0， 2 ，因此 cos α＝ 17.由 f42π π π8β－＝ 2cos( β－ 6 ＋ 6 ) ＝ 2cos β＝ 5，34π3得 cosβ＝ 5，又 β∈ 0， 2 ，因此 sinβ＝ 5，84 15 3 13因此 cos( α ＋β) ＝ cos αcos β －sin αsinβ ＝ 17×5－ 17×5＝－ 85.1． cos π · cos 2π · cos 23π＝()9 9 － 91 1A ．－ 8B ．－ 1611 C ． 16D ． 8分析：选 A ． cos π· cos2π· cos － 23π ＝ cos 20 °· cos 40 °· cos 100 °999sin 20 °· cos 20 °· cos 40 °· cos 80 °＝－ cos 20 °· cos 40 °· cos 80 °＝－sin 20 °112sin 40°· cos 40 °· cos 80 ° 4sin 80 °· cos 80 °＝－sin 20 ° ＝－sin 20 °118sin 160 °8sin 20 °1＝－sin 20 °＝－sin 20 °＝－8.ππ1＋ sin β2．设 α∈0，， β∈ 0，，且 tanα＝cosβ ，则 ()2 2πB ． 2α － β＝πA ． 3α－ β＝22ππC ． 3α＋ β＝ 2D ． 2α＋ β＝ 21＋ sin βsin α1＋sin β分析：选 B ．由于 tan α＝ cosβ ，因此 cos α ＝ cos β ，即 sinαcos β ＝cos α＋ cosαsin β，因此sin αcos β－ cos αsinβ＝ cos α，即 sin( α－β) ＝π，均为锐角，且 y ＝ sin x π， π上单一递加，因此－πsin － α ，又在－ α β ＝2α β2 22π－α ，即 2α－ β＝ 2 ，应选 B ．3．已知 cos x －π＝－3π ＝()6，则 cosx ＋ cos x －332 32 3A ．－ 3B ．± 3C ．－ 1D ．± 1π3分析：选 C ．由于 cos x － 6 ＝－ 3 ，因此 cos x ＋ cos x －π ＝ cos x ＋ cos x cosπ π3＋ sin x sin33333 1＝ 2cos x ＋ 2 sin x ＝3 2 cos x ＋2sin x＝ 3cos xπ3 ＝－ 1.－6＝ 3×－3cos α－ sin α4．已知 α、 β 均为锐角，且 tanβ＝cos α＋ sinα，则 tan( α＋ β) ＝ ________．cos α － sin α分析：由于 tan β＝ cos α ＋ sinα，1－ tan απ －因此 tanβ ＝1＋ tanα＝ tan4 α .ππ 又 α、 β 均为锐角，因此 β＝4 － α，即 α＋ β＝4 ，因此 tan( α ＋β) ＝ tan π＝ 1.4答案： 1ππ 145．已知 0<α< 2 <β <π， cos β－ 4 ＝ 3，sin( α＋β) ＝ 5.(1) 求 sin 2 β 的值；(2) 求 cosπα＋ 4 的值．π ππ 22解： (1) 法一：由于 cos β－ 4 ＝cos 4 cos β＋ sin4 sin β ＝ 2 cos β ＋ 2 sin β1 ＝ 3，因此 cos β ＋ sin β＝2，327因此 1＋ sin 2 β＝ 9，因此 sin 2β＝－ 9.法二： sin 2π－ 22β－π7β＝ cos 2β ＝ 2cos4 － 1＝－ 9.π(2) 由于 0<α< 2 <β <π，π βπ 3π α ＋β 3π因此 4<－ 4 <4π， 2 < < 2 .因此 sinβ π>0， cos( α＋ β)<0 ，－ 4π 1 4由于 cos β－＝ 3， sin(α ＋ β) ＝ 5，4π 2 23因此 sin β － 4 ＝ 3 ， cos( α＋ β) ＝－ 5.π π 因此 cos α ＋ 4 ＝ cos ( α＋ β) － β－ 4ππ＝ cos( α＋ β )cos β－ 4＋ sin( α＋ β)sinβ－ 43 142282－3＝－ 5× 3＋5× 3 ＝ 15 .6．已知角 α 的极点在座标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P ( － 3， 3) ．(1) 求 sin 2 α－ tan α 的值；π－ 2x(2) 若函数 f ( x ) ＝ cos( x －α )cosα － sin(x － α)sin α，求函数 g ( x ) ＝ 3f 2－2f 2( x ) 在区间 2π 上的值域．0，3解： (1) 由于角 α 的终边经过点P (－3，3) ，133因此 sinα ＝2， cos α＝－ 2 ， tanα＝－ 3 .333因此 sin 2 α－tan α＝2sin αcos α－ tan α＝－2＋3 ＝－ 6.(2) 由于 f ( x ) ＝cos( x － α)cosα－ sin( x －α)sin α＝ cosx ， x ∈ R ，π因此 g ( x ) ＝ 3cos2 －2x － 2cos 2xπ＝ 3sin 2x －1－ cos 2 x ＝ 2sin 2x － 6－1，由于 0≤ x ≤2π，3π π 7π1π因此－ 6 ≤ 2x － 6 ≤6 . 因此－ 2≤sin2x － 6 ≤ 1，π因此－ 2≤2sin 2x － 6 －1≤1，故函数( x) ＝ 3π－2x － 2f 2(x ) 在区间 0，2π上的值域是 [ － 2， 1] ．g f23。

2020高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形-3

第四章第三节
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[解析] ∵0<x≤3π， ∴π3<x＋3π≤23π，又 y＝cosx 在[0，π]上是减少的， ∴cos23π≤cos(x＋π3)<cos3π，即－12≤y<12.
第四章第三节
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6．函数 y＝lgsinx＋ cosx－12的定义域为________． [答案] {x|2kπ<x≤π3＋2kπ，k∈Z}
[思路分析]
(1)第(1)小题实际就是求使
2sinx－1>0 1－2cosx≥0
的 x 值，可用图像或三角函数线解决；
(2)第(2)小题解不等式组2＋log12x≥0 ，然后利用数轴求 tanx≥0
解．
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[规范解答] (1)要使原函数有意义，必须有：
第四章第三节
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[答案] 1.(0,0) 2π，1 (π，0) 32π，－1 (2π，0)
2
．
x
＝
kπ
＋
π 2
(k
∈
Z)
(kπ ， 0)(k ∈ Z)
x ＝ kπ(k ∈ Z)
kπ＋π2，0(k∈Z) k2π，0(k∈Z) 2kπ－π2 ， 2kπ＋π2(k∈Z)
∴该函数值域为－1，12＋

2.

第四章第三节
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[方法总结] 求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：
1．y＝asinx＋bcosx 型可引用辅助角化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 tanφ＝ba)． 2．y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x 型可通过降次整理化为 y ＝Asin2x＋Bcos2x. 3．y＝asin2x＋bcosx＋c 型可利用公式转化为二次函数．

2020高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形-7

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∴AB＝BEtan30°＝130(3－ 3)(m)．故所求的塔高为130(3－ 3)m.
第四章第七节
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[方法总结] (1)处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角 (视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．
第四章第七节
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[解析] 在△ABC 中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC ＝4002＋6002－2×400×600×cos60°＝280 000， ∴AB＝200 7，∴DE＝200 7－120(m)．
第四章第七节
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2
第四章第七节
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4．(教材改编题)有一长为 1 的斜坡，它的倾斜角为 20°，
现高不变，将倾斜角改为 10°，则斜坡长为( )
A．1
B．2sin10°
C．2cos10° D．cos20°
[答案] C
第四章第七节
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2．方位角指从____方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． 3．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)
第四章第七节
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①北偏东 α°：指北方向顺时针旋转 α°到达目标方向． ②东北方向：指北偏东 45°或东偏北 45°. ③其他方向角类似．
6．海上有 A，B，C 三个小岛，测得 A，B 两岛相距 10 海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则 B，C 间的距离是________ 海里．

2020高考数学一轮复习：第四章三角函数、解三角形第3讲第2课时简单的三角恒等变换(讲义)

第2课时简单的三角恒等变换三角函数式的化简(师生共研)(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________；(2)(一题多解)化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________．【解析】 (1)原式＝12（4cos 4x －4cos 2x ＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝（2cos 2x －1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(2)法一：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2αcos 2β＝1－cos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β4＋1＋cos 2β＋cos 2α＋cos 2αcos 2β4－12cos 2αcos 2β＝12＋12cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝12. 法二：原式＝(1－cos 2α)(1－cos 2β)＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝1－cos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝1－cos 2β－cos 2α＋2cos 2αcos 2β－2cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝12.法三：原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(cos 2α－sin 2α)·(cos 2β－sin 2β)＝12(2sin 2αsin 2β＋2cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β－sin 2αsin 2β) ＝12[sin 2α(sin 2β＋cos 2β)＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β)] ＝12(sin 2α＋cos 2α)＝12. 【答案】 (1)12cos 2x (2)12(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．1．化简：2sin （π－α）＋sin 2αcos 2α2＝________．解析：2sin （π－α）＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12（1＋cos α）＝2sin α（1＋cos α）12（1＋cos α）＝4sin α.答案：4sin α2．化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α＝________(其中0<α<π)．解析：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2·cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2，因为0<α<π，所以0<α2<π2，故cos α2>0，所以原式＝cos α. 答案：cos α三角函数的求值(多维探究) 角度一给角求值求值：(1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°；(2)3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）. 【解】 (1)原式＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.(2)原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°（2cos 212°－1）＝23（12sin 12°－32cos 12°）sin 24°cos 24°＝23sin （12°－60°）12sin 48°＝－4 3.角度二给值求值(一题多解)已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若1712π<x <74π，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值为________．【解析】法一：由1712π<x <74π，得53π<x ＋π4<2π.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，所以cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4＝35×22－45×22＝－210，从而sin x ＝－7210，tan x ＝7.则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2⎝⎛⎭⎫－7210×⎝⎛⎭⎫－210＋2⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875.法二：由法一得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋1＝－1825＋1＝725.则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝sin 2x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝sin 2x cos x ＋2sin 2x cos x cos x －sin x ＝sin 2x （sin x ＋cos x ）cos x －sin x ＝sin 2x ·1＋tan x 1－tan x ＝sin 2x ·tan(x ＋π4)＝725×(－43)＝－2875.【答案】－2875角度三给值求角(1)(2019·湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π，且1＋cos θ2＋1－cos θ2＝62，则θ＝( ) A.10π3或11π3B.37π12或47π12 C.13π4或15π4D.19π6或23π6(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．【解析】 (1)因为3π≤θ≤4π，所以3π2≤θ2≤2π，所以cos θ2≥0，sin θ2≤0，则1＋cos θ2＋1－cos θ2＝cos 2θ2＋sin 2θ2＝cos θ2－sin θ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝62，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝32，所以θ2＋π4＝π6＋2k π或θ2＋π4＝－π6＋2k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋4k π或θ＝－5π6＋4k π，k∈Z .因为3π≤θ≤4π，所以θ＝19π6或23π6，故选D.(2)因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β ＝12－171＋12×17＝13>0，所以0<α<π2.又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，所以0<2α<π2，所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为tan β＝－17<0，所以π2<β<π，－π<2α－β<0，所以2α－β＝－34π.【答案】 (1)D (2)－34π(1)“给值求值”即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(2)“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦函数．(3)解决上述两类问题时，常会用到角的变形，如：α＝2·α2，α＝β－(β－α)，α＝(α＋β)－β，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等．[提醒] 对角的范围的限定是求角问题中的难点，一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行：(1)题目给定的角的范围；(2)利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘出角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，注意应尽量使角的范围精准，避免增根．1．[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6.答案： 62．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________．解析：因为2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α>0，所以2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝213，sin α＝313，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos 2α＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）＝24cos α＝268.答案：268三角恒等变换的综合应用(师生共研)已知函数f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值．【解】 (1)由题意得f (x )＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋64cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，11π12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－22，64，即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22. (2)因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1625－925＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－7π12＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4 ＝－12(sin 2θ－cos 2θ)＝12(cos 2θ－sin 2θ) ＝12⎝⎛⎭⎫725＋2425＝3150.三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形应用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24.解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22(12sin α＋32cos α)．又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝⎛⎭⎫12×35－32×45＝10＋32－4620.三角恒等变换在实际问题中的应用如图，在矩形OABC 中，AB ＝1，OA ＝2，以B 为圆心，BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM ⊥OA ，垂足为M ，PN ⊥OC ，垂足为N ，求四边形OMPN 的周长的最小值．【解】连接BP ，设∠CBP ＝α，其中0≤α<π2，则PM ＝1－sin α，PN ＝2－cos α，则周长C ＝6－2(sin α＋cos α)＝6－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，因为0≤α<π2，所以π4≤α＋π4<3π4，故当α＋π4＝π2，即α＝π4时，周长C 有最小值6－2 2.本例结合具体图形引进角为参数，建立三角模型，利用三角恒等变换的有关公式进行化简及运算，从而求得最小值．如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS 是半圆的内接矩形，设∠SOP ＝α，求α为何值时矩形的面积最大，并求出最大值．解：因为∠SOP ＝α，0<α<π2，所以PS ＝sin α，SR ＝2cos α，故S 矩形PQRS ＝SR ·PS ＝2cosα·sin α＝sin 2α，故当α＝π4时，矩形的面积有最大值1.[基础题组练]1．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( ) A ．－35B.335C.319D.37解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan （α＋80°）－tan 60°1＋tan （α＋80°）tan 60°＝23－31＋23×3＝37.故选D.2．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.16B.13C.12D.23解析：选A.cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，又sin 2α＝23，所以原式＝1－232＝16，故选A.3．(2019·郑州模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32B. 3C.12D.33解析：选D.cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos π6＝33，故选D. 4．(2019·临川模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( )A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫332－1＝－13.故选B.5．(2019·安徽淮南一模)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且tan α＝1＋sin 2βcos 2β，则下列结论中正确的是( )A ．α－β＝π4B ．α＋β＝π4C ．2α－β＝π4D ．2α＋β＝π4解析：选 A.tan α＝1＋sin 2βcos 2β＝（sin β＋cos β）2cos 2β－sin 2β＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＝β＋π4，即α－β＝π4.6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118B.118 C ．－1718D.1718解析：选C.由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin α·cos α＝118，故sin 2α＝－1718.故选C.7．(2019·平顶山模拟)已知sin α＝－45⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin （α＋β）cos β＝2，则tan(α＋β)＝( )A.613 B.136 C ．－613D ．－136解析：选A.因为sin α＝－45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，所以cos α＝35.由sin （α＋β）cos β＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝613.8.cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°的值为________．解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 29．设α是第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．解析：sin 3αsin α＝sin （α＋2α）sin α＝sin αcos 2α＋cos αsin 2αsin α＝cos 2α＋2cos 2α＝4cos 2α－1＝135，解得cos 2α＝910.因为α是第四象限角，所以cos α＝31010，sin α＝－1010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－35，cos 2α＝2cos 2α－1＝45，所以tan 2α＝－34.答案：－3410．若sin αcos β＝34，则cos αsin β的取值范围为________．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝34＋cos αsin β∈[－1，1]，所以－74≤cos αsin β≤14. 同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝34－cos αsin β∈[－1，1]，所以－14≤cos αsin β≤74.综上可得，－14≤cos αsin β≤14.答案：⎣⎡⎦⎤－14，14 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求：(1)cos α的值； (2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解：(1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，即sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，化简得sin α＋cos α＝15，①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②解得cos α＝－35或cos α＝45，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.所以cos α＝－35.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝45，则cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250.12．(一题多解)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)法一：因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.法二：因为f (α)＝22，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.所以4α＋π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以α＝π16＋k π2，k ∈Z .又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以当k ＝1，即α＝9π16时，符合题意．故α＝9π16.[综合题组练]1．(2019·六安模拟)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：选A.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.又0<sin 2α＝55<12，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，π2，所以β－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π12，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－255.又sin(β－α)＝1010，所以cos(β－α)＝－1－sin 2（β－α）＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫5π12，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫17π12，2π，所以α＋β＝7π4，故选A.2．(创新型)(2019·河南中原名校质检)已知a 24＋b 2＝1，则|a cos θ＋2b sin θ|的最大值为( )A ．1 B.233C ．2D ．2 3解析：选C.由a 24＋b 2＝1得a 2＋4b 2＝4.由辅助角公式可得|a cos θ＋2b sin θ|＝a 2＋4b 2|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.3．(应用型)在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为________．解析：由题意知cos A ，cos B ，cos C 均不为0，由sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，得tan A ＝tan B tan C ．又因为cos A ＝13cos B cos C ，且cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ，所以sin B sin C ＝14cos B cos C ，所以tan B tan C ＝14.又tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B tan C )＝－tan A (1－tan B tan C )，所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196.答案：1964．(应用型)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36.(2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，所以g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤76π，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域为[－2，1]．。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变换教案理(含解析)

第六节简单的三角恒等变换1．常用的公式变形(1)由(sin α±cos α)2＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝1±sin 2α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α ⇒⎩⎨⎧1＋sin 2α＝|sin α＋cos α|，1－sin 2α＝|sin α－cos α|.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(4)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.2．几个常用的恒等变换(1)万能代换：sin α＝2tanα21＋tan 2α2；cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tan α21－tan 2α2.(2)恒等式：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.[小题体验] 1．计算：cos2π8－12＝________. 解析：原式＝2cos 2π8－12＝cosπ42＝24.答案：242．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，则tan x ＝________.解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，两式展开相加得2sin x cos π4＝75， ①两式相减得2cos x sin π4＝－15， ②①②两式相除得tan x ＝－7. 答案：－71．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错． 2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用． [小题纠偏]1．(2019·镇江调研)已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin 2x ＝13，则sin x －cos x ＝________.解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin x ＜cos x ，又sin 2x ＝13，∴sin x －cos x ＝－sin x －cos x2＝－1－sin 2x ＝－63. 答案：－632．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.解析：已知等式两边平方得sin α＝45，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－35，所以tan α2＝1－cos αsin α＝2.答案：2考点一三角函数式的化简基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.答案：22cos α2．化简：1＋sin θ＋cos θ·⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．解：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.[谨记通法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．考点二三角函数式的求值题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有： (1)给值求值； (2)给角求值；(3)给值求角．[题点全练]角度一：给值求值1．(2018·启东中学高三测试)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，若f (α)＝26，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2α＝________.解析：法一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为f (α)＝26，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13. 法二：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝ 12sin 2x ＋12cos 2x ，因为f (α)＝26，所以sin 2α＋cos 2α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos π4cos 2α＋sin π4sin 2α＝22(cos 2α＋sin 2α)＝22×23＝13. 答案：13角度二：给角求值2．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 答案：1角度三：给值求角 3．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β＝________.解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，因为sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos 2α＝－255，又因为sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.答案：7π4[通法在握]三角函数求值的类型及解题策略(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．[演练冲关]1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：782.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°＝________.解析：原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.答案：－123．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17，所以tan 2α＝－34.因为2α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2α＝35，cos 2α＝－45.所以sin 2α＋cos 2α＝－15.答案：－15考点三三角恒等变换的综合应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1. (2019·睢宁模拟)已知函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，f (x )＝33，求cos 2x 的值．解：(1)函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12＝3sin x cos x ＋1－cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，又f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 sin π6＝63×32－33×12＝32－36. 2．已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R)，求：(1)函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )图象的对称轴和对称中心．解：(1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)．(2)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[由题悟法]三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．[即时应用](2019·南通中学检测)已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (2x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解：(1)f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62， ∵x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，∴2x 0＝k π－π6(k ∈Z)，∴g (2x 0)＝1＋12sin 4x 0＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝4－34.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1＋12sin 2x＝32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＝32＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴h (x )＝32＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.即函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________. 解析：由α∈(0，π)，tan α＝2＝sin αcos α，得α为锐角，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝255，cos α＝55，∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×15－1＋55＝5－35.答案：5－352．(2018·苏州高三期中调研)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则cos 2α＝________. 解析：cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αtan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋1＝－45.答案：－453．(2018·通州期末)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案：－794．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝________.解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.答案： 25．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2，故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－36．(2019·宜兴检测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足4cos 2A2－cos 2(B ＋C )＝72，则角A 的大小为________．解析：由4cos 2A 2－cos 2(B ＋C )＝72，得2(1＋cos A )－cos 2(π－A )＝72，化简得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，∵0＜A ＜π，故A ＝π3.答案：π3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金陵中学检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝________. 解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，所以tan α＝sin αcos α＝－1，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：02．(2019·苏州中学模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，则tan 2α＝________. 解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35，可得cos α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2473．(2018·通州期中)计算：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________. 解析：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案： 34．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.解析：由题意得tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3.答案：－2π35．(2019·如东中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α≤3π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________.解析：∵π2≤α≤3π2，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35＞0，∴3π2＜α＋π4≤7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－7210，cos α＝－1－sin 2α＝－210， ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－2425，sin 2α＝2sin αcos α＝725，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝－31250.答案：－312506．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：137．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 解析：由tan α＋1tan α＝103，得sin αcos α＋cos αsin α＝103，所以1sin αcos α＝103，所以sin 2α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. 答案：－2108．(2019·南京模拟)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．解析：∵tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3或tan α＝13(舍去)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2·1＋cos 2α2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22 ＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22 ＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0. 答案：09．(2018·南通调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求：(1)cos α的值； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝－7210. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22＝－35. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 10．(2019·扬州调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin α的值；(2)若cos β＝13，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值．解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝7210×22－210×22＝35. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝45，∵cos β＝13，β∈(0，π)，∴sin β＝1－cos 2β＝223，∴cos 2β＝2cos 2β－1＝－79，sin 2β＝2sin βcos β＝2×223×13＝429，∴cos(α－2β)＝cos αcos 2β＋sin αsin 2β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＋35×429＝122－2845.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东高三测试)若sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝________.解析：因为sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，所以sin 22α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，即sin 22α＝4×1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2，所以sin 22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±3，显然sin 2α＝1＋3不成立，所以sin 2α＝1－ 3.答案：1－ 32．化简：cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11＝________.解析：原式＝－cos π11cos 2π11cos 8π11cos 4π11cos 5π11＝－2sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos5π112sinπ11＝－18·si n 16π11cos 5π112sin π11＝sin 5π11cos 5π1116sin π11＝12sin 10π1116sinπ11＝132.答案：1323．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，所以g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

(湖南专用)2020届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5三角恒等变换教学案理

4.5 三角恒等变换考纲要求1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．公式名公式两角和与差的正弦 sin (α±β)＝__________ 两角和与差的余弦 cos(α±β)＝__________ 两角和与差的正切 tan(α±β)＝__________ 公式名公式二倍角的正弦 sin 2α＝______二倍角的余弦 cos 2α＝______＝______＝______ 二倍角的正切 tan 2α＝______4．形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝__________，sin φ＝__________，即tan φ＝b a.1．(2012重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )．A ．－32B ．－12C.12D.32 2．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )．A ．－cos 1B ．cos 1 C.3cos 1D ．－3cos 13．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4等于( )． A ．－a B ．a C ．1－a D ．1＋a4．函数f (x )＝2sin x －2cos x 的值域是__________．5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则tan 2α＋1cos 2α＝__________.一、两角和与差的三角函数公式的应用【例1－1】在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )． A.14 B.13 C.12 D.53【例1－2】化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .方法提炼1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．请做演练巩固提升2 二、角的变换【例2－1】已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－34，则sin 2x ＝__________.【例2－2】已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．方法提炼1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.注意：特殊的角也看成已知角，如α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.请做演练巩固提升3三、三角函数式的化简、求值【例3－1】化简：1＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π＜α＜2π)．【例3－2】已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103，求5sin2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值．方法提炼1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则．(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的．请做演练巩固提升5 四、三角恒等式的证明【例4】求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.方法提炼1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证．2．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．请做演练巩固提升6不能挖掘隐含条件而增解【典例】若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．错解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425.∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)．∴cos 2θ＝±1－2sin 22θ＝±725.正解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425，即2sin θcos θ＝－2425＜0.则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4.∴π＜2θ＜3π2. 故cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答题指导：涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．1．(2012辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )．A ．－1B ．－22 C.22D ．12．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )． A ．－a 2B.a2 C ．－a D ．a 3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )．A.2941B.129C.141 D ．1 4.sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°·1－cos 20°＝__________.5．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β.6．已知sin β＝m sin(2α＋β)(m ≠1)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α.参考答案基础梳理自测知识梳理1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－11－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 3．2α α 1－2sin 2α22cos2α2－1±1－cos α2±1＋cos α2 sin α1＋cos α 1－cos αsin α4.a a 2＋b2b a 2＋b2基础自测1．C 解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12，故选C.2．C 解析：2＋cos 2－sin 21＝1－sin 21＋1＋cos 2＝cos 21＋2cos 21＝3cos 1.3．B 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ＝22(sin θ＋cos θ)，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(sin θ＋cos θ)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a . 4．[－22，22]解析：f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，又－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，∴－22≤f (x )≤2 2.5．2 013 解析：tan 2α＋1cos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 考点探究突破【例1－1】 B 解析：由题意得tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，又tan A ＋tan B ＝233，解得tan A tan B ＝13.故选B.【例1－2】解：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 【例2－1】 18 解析：sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－1＝18.【例2－2】解：∵π4＜α＜3π4，∴－3π4＜－α＜－π4，－π2＜π4－α＜0.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝3665＋2065＝5665.【例3－1】解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2·(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π.∴cos α2＜0.∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.【例3－2】解：∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝－13.又∵3π4＜α＜π，∴tan α＝－13.∵5sin2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526.【例4】证明：∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．演练巩固提升1．A 解析：将sin α－cos α＝2两端同时平方得，(sin α－cos α)2＝2，整理得1－2sin αcos α＝2，于是sin 2α＝2sin αcos α＝－1，故选A. 2．C 解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a . 3．D 解析：tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝29352935＝1，故选D.4． 2 解析：∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1，cos 80°·1－cos 20°＝sin 10°·2sin 210°＝2sin 210°.∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 5．解：解法一：原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.解法二：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝12＋12cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝12.6．证明：由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m ·sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，即(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α. 两边同除以(1－m )cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α(m ≠1)，即等式成立．。

2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5简单的三角恒等变换(第1课时)教案理(含解析)

§4.5简单的三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))2．倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.3．半角公式 cos α2＝±1＋cos α2，2C α⎛⎫ ⎪⎝⎭sin α2＝±1－cos α2，2S α⎛⎫ ⎪⎝⎭tan α2＝±1－cos α1＋cos α，2T α⎛⎫ ⎪⎝⎭概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形．2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 函数的性质？提示先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( √ ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × ) 题组二教材改编2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－210B.210C ．－7210D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝. 答案22解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58° ＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58° ＝sin58°cos77°＋cos58°sin77° ＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22. 4．tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝. 答案3解析 ∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°) ＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝ 3. 题组三易错自纠5．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝.答案2解析原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝ 2.6．(2018·抚顺模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝.答案－247解析方法一 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，。

2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第3节简单的三角恒等变换课时跟踪检测理含解

第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( )A ．5665 B ．－3365C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sinA ＝513，所以B>A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( )A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ． 4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15B ．－15C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35B ．5－35C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin (α＋β)sin (α－β)等于( ) A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a.故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ． 9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．解析：易知tan (2α－β)＝tan [2(α－β)＋β]．因为tan (α－β)＝12，所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43，故tan (2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan [(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x∈R，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝Asin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32，所以cos θ＝64. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos (α＋β)＝－55，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos Bcos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝－2cos Bcos C ，两边同时除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2.又∵tan Btan C ＝1－2，∴tan(B ＋C)＝tan B ＋tan C1－tan Btan C ＝－1.又∵B＋C∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π，∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos (α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2，可得cos α－sin α＝23，① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos (α－β)＝1－cos (α－β)，解得cos (α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f(x)＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f(x)＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x)－sin(2x ＋x)＝－2cos 2xsin x ，令f(x)＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x＝5π2或2x ＝7π2，∴x＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C ． 16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f(x)max ＝2，f(x)的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，所以f(x 2)＝f(x)max ，f(x 1)＝f(x)min ，故A|x 1－x 2|的最小值为A×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a⊥b，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第二课时简单的三角恒等变换A 级·基础过关 |固根基|1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019届成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m＝－6或1，故选A ．3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A ．3π4B ．π4或3π4C ．π4D ．2k π＋π4(k∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.5．(2019届福州市高三期末)若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C ．79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C ．6．若α是第二象限角，且sin α＝35，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )A ．－65B ．－45C ．45D ．65解析：选C 因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α2＝－cos α，又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以1－2sin π＋α2sin π－α2＝45.故选C ．7．(2019届兰州模拟)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.答案：439．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin 2x ＋2cos x 在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos 2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x －1)＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π时，f′(x)>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6时，f′(x)<0，∴x ＝π6是f(x)的极大值点，x ＝5π6是f(x)的极小值点．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－332，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 10．(2019届四省八校联考)f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)的最小正周期为________．解析：f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)＝sin 2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin x cos x ＝2sin xcos x sin x ×cos x ＋3sin x cos x ＝2(cos x ＋3sin x)＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f(x)的最小正周期T ＝2π. 答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]． 12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝43cos 2ωx ＋2sin 2ωx －3(ω>0)的部分图象如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y ＝3的交点，且EH →·EF →＝EH →2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x 0)＝335，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，求f(x 0＋2)－3的值．解：(1)函数化简得f(x)＝23cos 2ωx ＋2sin 2ωx ＋3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ 3.由题意可知|EF|＝T2.因为EH →·EF →＝EH →2，所以EH →·(EH →＋HF →)＝EH →2，所以EH →·HF →＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH 是等腰直角三角形．又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T ＝16.所以2ω＝2π16，即ω＝π16，函数f(x)的值域是[－4＋3，4＋ 3 ]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π3＋3，因为f(x 0)＝335，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝－310. 因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，所以π8x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝9710，所以f(x 0＋2)－3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π4＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3cos π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3sin π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－310×22＋4×9710×22＝194－65.B 级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sin x ＋3cos x 的最大值为() A ． 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选C 由题意，可知f(x)＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为23，故选C ．14．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)sin 2x (x∈R)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos 22x)＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x)，∴f(－x)＝18[1－cos (－4x)]＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，故选D ． 15．已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，∴tan α＝－3，∴sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A ． 16．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：∵a＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13。

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【课时训练】简单的三角恒等变换一、选择题1．(2018青岛模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4【答案】C【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝t a n α－11＋t a n α＝14，所以tan α＝53.故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝t a n α＋11－t a n α＝－4，故选C. 2．(2018福州模拟)已知tan α＝3，则sin 2αc os 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】D【解析】sin 2αc os 2α＝2sin αc os αc os 2α＝2tan α＝2×3＝6.3．(2018山东青岛八中期末)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 【答案】A【解析】cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋c os2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.故选A.4．(2018东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A ．118 B ．1718 C ．89 D ．29 【答案】B【解析】由sin α＋cos α＝13，两边平方，得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.5．(2018湛江模拟)函数f (x )＝3sin x 2cos x2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5B ．92 C ．52 D ．2【答案】B【解析】由题意，知f (x )＝32sin x ＋4×1＋c os x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B. 6．(2019上海闸北调研)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αc os ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255【答案】A【解析】由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝t a n α＋11－t a n α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αc os ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αα＋c os α22α＋c os α＝22sin α＝－255.7．(2018广东广州模拟)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βc os β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【答案】B【解析】由tan α＝1＋sin βc os β，得sin αc os α＝1＋sin βc os β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.8．(2018河北衡水模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝( )A ．－45B ．－35C ．45D ．35【答案】C【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435.∴32sin α＋12cos α＝－45. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.故选C.9．(2018成都一诊)若sin 2α＝55，sin(β －α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A ．7π4B ．9π4C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4【答案】A 【解析】∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.又sin 2α＝55，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴cos 2α＝－255，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2.故β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π.故α＋β＝7π4. 10．(2018江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC ．π4<α<βD ．π4<β<α【答案】B【解析】∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝t a n α＋t a n β1－t a n αt a n β＝ 3.∴α＋β＝π3.又α>π4，∴β<π4<α.二、填空题11．(2018广东六校联考)化简2t a－α1－t a n 2－α·sin αc os αc os 2α－sin 2α＝________.【答案】12【解析】原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αc os 2α＝－2αc－2α·12·sin 2αc os 2α＝c os 2αsin 2α·12·sin 2αc os 2α＝12.12．(2018保定高三调研) [2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.【答案】 6【解析】原式＝( 2sin 50°＋sin 10°·⎭⎪⎫c os 10°＋3sin 10°c os 10°·2sin 80°＝2sin 50°＋2sin 10°·⎭⎪⎪⎫12c os 10°＋32sin 10°c os 10°·2cos 10°＝22[sin50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. 13．(2018湖北七市模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________. 【答案】7210【解析】依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 14．(2018四川内江模拟)若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2c osx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________．【答案】8【解析】∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin2x212sin x ＝2tan x ＋2c os x sin x ＝2sin xc os x ＝4sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.15．(2018宝鸡模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．【答案】58【解析】因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22c os θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22c os θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14，所以cos 2θ＝12. 故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－c os 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c os 2θ22＝116＋916＝58.16．(2018内蒙古鄂尔多斯模拟)函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤3π4的最小值是________．【答案】3－1【解析】f (x )＝3sin 23x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c os 23x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1，又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤23π.∴f (x )m in ＝2sin 23π－1＝3－1.。