2001年全国初中数学竞赛试题
12.列方程解应用题 情境应用题(含答案)-
12.社会、生活、经济──情境应用题知识纵横用方程的观点能解决许多实际问题，如我们熟悉的行程问题、工程问题、数字问题等。
然而，社会是不断发展的，现实生活是丰富多彩的，我们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的相关常识，并学会用方程的观点去解有关问题。
随着改革开放以来我国社会主义市场经济的蓬勃发展，许多应用题也烙上了时代的印迹，以丰富的生产、生活实践生活、多彩的市场经济为背景，具有鲜明的时代特色，常见的问题有储蓄利息、商品利润、股票交易、税收缴纳、价格控制、企业决策、人口环境等。
了解相关常识、理解相关词语的意义，熟悉基本关系式是解这类问题的基础；而善于理顺数量关系、具有较强的用数学的意识是解这类问题的关键。
例题求解【例1】某种商品的进价是400元,标价为600元,打折销售时的利润率为5%,那么,此商品是按______折销售的. (2003年宁夏中考题)思路点拨略解:设打x折销售,由60040010400x⨯-=5%,得x=7.【例2•】某服装厂生产某种定型冬装,•9•月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%(每件冬装的利润=出厂价-成本),10月份将每件冬装的出厂价调低10%(每件冬装的成本不变),销售件数比9月份增加80%,那么该厂10•月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长( ).A.2%B.8%C.40.5%D.62% (2002年广西竞赛题)思路点拨把出厂价、销售价用相关字母表示.解:选B提示:设9月份每件冬装的出厂价为x元,则每件成本为0.75x元,10月份每件冬装的利润为(1-10%)x-0.75x=0.15x元, 又设9月份销售冬装m件,则10月份销售冬装(1+80%)m=1.8m件,故10月份的利润总额与9月份相比,增长0.15 1.80.250.25x m xmxm⨯-=8%.【例3】一牛奶制品厂现有鲜奶9吨.若将这批鲜奶制成酸奶销售,则加工1•吨鲜奶可获利1200元;若制成奶粉销售,则加工1吨鲜奶可获利2000元.该厂的生产能力是:若专门生产酸奶,则每天可用去鲜奶3吨;若专门生产奶粉,则每天可用去鲜奶1吨.•由于受人员和设备的限制,酸奶和奶粉两种产品不可能同时生产,为保证产品的质量,这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕.假如你是厂长,你将如何设计生产方案,才能使工厂获利最大,最大利润是多少? (2003年襄樊市中考题)思路点拨生产方案有如下设计:将9吨鲜奶全部制成酸奶;4天内全部生产奶粉;4天中既生产酸奶又生产奶粉,通过计算确定生产方案,使工厂获利最大.解:生产方案设计如下:(1)将9吨鲜奶全部制成酸奶,则可获利1200×9=10800(元).(2)4天内全部生产奶粉,则有5吨鲜奶得不到加工而浪费,且利润仅为2000•×4=8000(元).(3)4天中,用x天生产酸奶,用4-x天生产奶粉,并保证9吨鲜奶如期加工完毕.由题意,得3x+(4-x)×1=9.解得 x=2.5.∴ 4-x=1.5(天).故在4天中,用2.5天生产酸奶,用1.5天生产奶粉,则利润为2.5×3×1200+1.5×1×2000=12000(元)答:按第三种方案组织生产能使工厂获利最大,最大利润是12000元.【例4】在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的３倍与四环路车流量的差是二环路车流量的２倍”。
初中数学 一元二次方程根与系数的关系
内容 基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <中考要求一元二次方程根与系数的关系及其应用特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：①若有理系数一元二次方程有一根aa a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【例 1】 ⑴若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为 ，c = ．⑵已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．⑶已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ． ⑷已知α、β是方程2520x x ++=+【巩固】 已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值.【例 2】 已知方程22350x x --=的两根为12x x ，，求：⑴2212x x +； ⑵3312x x + ⑶5512x x +【巩固】1x 、2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2212x x + （2）12x x - （3）2212233x x x +-【例 3】 已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则2212x x += ,12(2)(2)x x -⋅-= ,221122x x x x +⋅+= ,2112x xx x += ,12x x -= ，2212x x -= ,1211x x -= ,2112x x x x -= .【巩固】 (2005年温州市中考试题)已知1x ，2x 方程2310x x -+=两个实数根，则1211x x += .【例 4】 关于x 的方程22410x kx +-=的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。
2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案(完整版)
2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
一元二次方程根的判别式
第二讲一元二次方程根的判别式【趣题引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺。
一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝━━“△”，出去闯荡一下吧！”小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人！”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程堡见识见识。
”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！”说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x2+2xy+7y2-10x-18y+19=0，并且问道：“你能说出实数x、y的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y看成已知数，把它整理成关于x的一元二次方程2x2+(2y-10)x+(7y2-18y+19)=0。
好哇！因为x是实数，上面的方程必有实数根，所以△≥0,即(2y-10)2-4×2(7y2-18y+19)≥0,可得(y-1)2≤0，一下子便得到了y=•1，再将y=1代入原方程就可得x=2.小精灵这里用的法宝“△”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当△〉0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△〈0时，没有实数根，反过来也成立。
【知识延伸】例1已知关于x的二次方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0,求证:当p1p2=2(q1+q2)时,这两个方程中至少有一个方程有实根.证明设这两个方程的判别式为△1,△2,则△1+△2=p12+p22-4(q1+q2).∵p1p2=2(q1+q2),∴△1+△2=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0.∴△1≥0与△2≥0中至少有一个成立,即两个方程中必有一个方程有实根.点评两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明△1+△2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设△1<0且△2<0，则△1+△2<0，但△1+△2=(p1-p2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论还成立。
历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案
“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
98年至06年全国数学竞赛试题及答案详解
1998年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=__________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于_______。
8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =_____。
10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。
2001年第16届江苏省初中数学竞赛试卷(初三C卷)
2001年第16届江苏省初中数学竞赛试卷（初三C卷）一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（2005•菏泽）已知，则的值为（）A．5 B．6 C．3 D．42．若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=﹣13．下列给出的4个命题：命题1 若|a|=|b|，则a|a|=b|b|；命题2 若a2﹣5a+5=0，则；命题3 若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m＜﹣3；命题4 若方程x2+mx﹣1=0中m＞0，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．其中正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2，AC=6，AD=3，则CD的长为（）A．4 B．4C．3D．35．已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A．6 B．7 C．5 D．96．12块规格完全相同的巧克力，每块至多被分为两小块（可以不相等），如果这12块巧克力可以平均分给n名同学，则n可以为（）A．26 B．23 C．17 D．15二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）7．若=3，=2，且ab＜0，则a﹣b=_________．8．如图，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，且DE∥BA，DF∥CA，（1）要使四边形AFDE是菱形，则要增加条件：_________；（2）要使四边形AFDE是矩形，则要增加条件：_________．9．方程的解是_________．10．要使26+210+2x为完全平方数，那么非负整数x可以是_________．（要求写出x的3个值）11．如图，直线y=﹣2x+6与x轴、y轴分别交于P、Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是_________．12．如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积=_________平方单位．13．如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是_________．14．如图，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有_________种栽种方案．三、解答题（共4小题，满分64分）15．某商店有A种练习本出售，每本零售价为0.30元，1打（12本）售价为3.00元，买10打以上的，每打还可以按2.70付款．（1）初三（1）班共57人，每人需要1本A种练习本，则该班集体去买时，最少需付多少元？（2）初三年级共227人，每人需要1本A种练习本，则该年级集体去买时，最少需付多少元？16．设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．17．（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞；（2）已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断（AC+BC）2与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．18．编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠？2001年第16届江苏省初中数学竞赛试卷（初三C卷）参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（2005•菏泽）已知，则的值为（）A．5 B．6 C．3 D．4考点：二次根式的化简求值。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
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2001年TI 杯全国初中数学竞赛试题B 卷
一、
选择题（30分）
1、 化简)
2(2)
2(223
4++-n n n ，得（ C ） （A ）8
121-
+n (B) 12+-n (C) 87 (D)47
2、 如果c b a ,,是三个任意整数，那么
2
,
2,2a
c c b b a +++ （ C ） （A ）都不是整数 （B ）至少有两个整数 （C ）至少有一个整数 （D ）都是整数 3、 如果b a ,是质数，且,013,0132
2
=+-=+-m b b m a a 那么
b
a
a b +的值为（ B ） （A ）
22123 （B ）222125或 （C ）22
125
（D ）222123或
4、 如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为（ B ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12
5、 如图，若PB PA =，ACB APB ∠=∠2，AC 与PB 交于点D ,且3,4==PD PB 则DC AD .等
于（ B ）
（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）16
A
C
6、 若b a ,是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是（ A ） （A ）b a > （B ）b a = （C ）b a < （D ）不能确定 三、
填空题（30分）
7、 已知：2
32
3,232
3-+=
+-=
y x 。
那么
=+2
2y x x y 970 8、 若,28,142
2=++=++x xy y y xy x 则y x +
9、 用长为5,4,4,110、
销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少
150
m。
为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为 25 11、
在直角坐标系xOy 中，轴上的动点()0,x M 到定点()5,5P 、()1,2Q 的距离分别为MP 和
MQ ，那么当MQ MP +取最小值时，点M 的横坐标=x
2
5
12、
已知实数b a ,满足12
2
=++b ab a 且2
2
,b a ab t --=，那么t 的取值范围是3
13-
≤≤-t 三、 解答题（60分）
13、 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。
在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了0.9环、4.8环、1.8环、3.9环。
他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。
如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。
那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环） 解：∵第6到第9次平均数=
7.84
3
.91.84.80.9=+++环
又∵前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数 ∴前5次环数总和最多为=-⨯1.057.84.43环 又∵10次射击平均环数超过8.8环，即总环数超过88环 ∴第10次射击至少要超过8.94.4347.888=-⨯-环 ∴第10次射击至少要得8.9环
14、 如图，已知点P 是⊙O 外一点，PT PS 、是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于B A ,两点，并交PT 于T 点。
求证：
)11(211PB
PA PC +=.
证明：过点O 作BP OH ⊥,连结OP ，交ST 于G 点，连结OT ; ∵PTO ∆∽PGT ∆ ∴PO PG PT .2
= 又∵POH ∆∽PCG ∆ ∴PO PG PH PC ..= ∴PH PC PT .2= 又∵PB PA PT .2= ∴PB PA PH PC ..= ∴
PB
PA PH
PC .1=
又∵()PB PA PH +=
2
1
∴
PB
PA PB PA PC ..211+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=PB PA 11
.21
15、
已知：关于x 的方程 01)1
)(72()1)(
1(22=+-+---x x a x x a 有实根。
（1） 求a 取值范围；
（2） 若原方程的两个实数根为21,x x ，且
11
3
112211=-+-x x x x ，求a 的值。
解：（1）①当1=a 时，81-=x ；当1-=a 时，4
1
=x 。
②当1±≠a 时：
设,1
-=
x x
y 原方程变形为()
().0172122=++--y a y a ()()
1147222
⨯-⨯-+=∆a a 0≥
解得：28
53-
≥a ∵1
1
11-+
=-=
x x x y ∴当,1≠x 即1≠y
∴017212
≠+---a a ，221±≠a 。
∴综上可知，28
53
-
≥a 且221±≠a 时，原方程有实数解。
（2）由题设可知，
1
12211--x x
x x 、是方程()
()0172122=++--t a t a 的两个根，可得： ()⎪⎩⎪
⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-≥=-+舍去38
102853113
172212a a a a a ∴10=a。