高中数学 2.1数列的概念与简单表示法 新人教A版必修5
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 阅读与思考 斐波那契数列》优质课教案_0
随风潜人夜,润物细无声《神奇的斐波那契数列》教学设计《普通高中数学课程标准(实验)》在前言中指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。
数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。
数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。
在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。
数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。
《普通高中数学课程标准(实验)》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一并在教学建议中明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野。
长期以来，在高考这根指挥棒下，学习逐渐服从于知识，服从于做题，服从于高考。
在数学教学上，老师教的许多内容既枯燥又抽象．大多数教师以做题为主要教学方法，以解题为主要目的，不关注数学问题的文化性; 学生在单一的数字、定义、定理、公理、公式的围攻下，对单纯的数学问题感到枯燥，厌倦，对数学的兴趣逐渐淡薄，认为数学毫无用处，数学问题被当成了获取分数的工具．因此如何将数学文化的内容有机地结合到日常的教学中,使学生在潜移默化中体会到数学的文化价值?这需要我们每位教师认真思考这个问题一、教材分析：本节课选自人教版《数学５》（必修）第二章《数列》第2.1节后的《阅读与思考》部分。
人教版高中数学必修5(A版) 2.1数列的概念与简单表示法 PPT课件
如图表示堆放的钢管，共堆放了6层。自上而下各 层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
自然数 1，2，3，4，5， …的倒数排列成一列数：
1
1
1
1
1 ，2 ， 3 ，4， 5， …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一 列数：
-1 ，1，-1，1，-1，1，…
一、定义
像前面的例子中，按一定次序排列的一列数 叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第 二项，…，第n项， …。 问：下面二列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5 5，4，3，2，1
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。
项数有限的数列叫做有穷数列。 项数无限的数列叫做无穷数列。
(2) 在通项公式中依次 n = 1, 2, 3, 4, 5,得到数 列{an} 的前5项为
-1,
2,
-3,
4,
-5.
例题2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数： （1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ； （2 ）
1 1 1 1 1 2 ， 2 3， 3 4， 4 5。
解：（1） an=2n-1; (2)
这告诉我们：无穷(有穷)数列可以看作一个定义 域为自然数集N（N的有限子集）的函数当自变量从 小到大依次取值时对应的一列函数值。
二、数列的三种表示方法 ⑴一般表示法 a1 , a2 , a3 , … an , …
其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上 面的数列简记为{an}. 例如：把数列
2，4，6，8，10， … ① 4，5，6，7， 8 ， … ② 分别简记为 {2n} {n+3}
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案 新人教A版必修5
随着对折数面积依次为 , , , ,…, ,….
生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了.
师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1，….
生一些分数排成的一列数： ， ， ， ， ，….
二、新课学习：折纸问题
师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试
生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？
生1，3，6，10，….
师图2.1-2中的正方形数呢？
生1，4，9，16，25，….
师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
4，5，6，7，8，9，10…;②1, , , ,…③的图象.
人教版A版高中数学必修5：数列的概念与简单表示法_课件7
【变式训练】
1．数列－1，85，－175，294，…的一个通项公式 an 是
A．(－1)n2nn＋2 1
B．(－1)nnnn＋＋12
C．(－1)nn2＋n2＋2－1 1
D．(－1)nn2nn＋＋12
解析 将数列中的各项变为
－1×3 3，2×5 4，－3×7 5，4×9 6，…，
故其通项公式 an＝(－1)nn2nn＋ ＋21.
解析 (1)由已知 an＞0，在递推关系式两边取对数． 有 lg an＋1＝2lg an＋lg 3， 令 bn＝lg an，则 bn＋1＝2bn＋lg 3， ∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)， ∴{bn＋lg 3}是等比数列，
∴bn＋lg 3＝2n－1·2lg 3＝2nlg 3， ∴bn＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg an， ∴an＝ 32n 1 . (2)将 an＋1＝2aan＋n 1取倒数得：an1＋1＝2＋a1n， ∵an1＋1－a1n＝2，
＝n＋1n＋＋ nn2＋＋112＋1＜1.(10 分)
∵an＜0，∴an＋1＞an.故数列{an}是一递增数列．(12 分)
【失分误区】 在解答本题时有两点容易造成失分： 一是在得到关于通项公式 an 的方程后，没有把 an 看做 未知数求方程的根的意识，不会求 an 导致题目无法继续完 成；二是在求出关于通项公式 an 的方程的根后，忽略了函 数的定义域从而导致求出的通项公式有两个． 除此外，解决数列的单调性问题有以下几点容易造成 失分： (1)不能对通项公式与我们熟知的函数相联系，借助函 数的单调性来解决数列的单调性而失分．
分类原则
按项数分类
按项与项间 的大小关系
分类
类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列
高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件(二) 新人教A版必修5
一、复习
5. 数列的表示法 以数列 2, 4, 6, 8, 10, 12, · · · 为例 以数列: 通项公式法: 通项公式法 an=2n 5 1 2 3 4 列表法 n …
an 2 a1= 2 an= an-1 +2 (n>1) 4 6 8 10
…
图象法 递推法
已知数列{a 的第 的第1项 或前几项）， ），且任意一项 已知数列 n}的第 项（或前几项），且任意一项 an与前一项 n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式 与前一项a 或前几项） 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式. 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式 递推公式
数列的概念与简单表示法
第二课时
一、复习
1. 定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列 定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列 a … … 简记为{a 2. 数列的一般形式： 1， a2， a3， ， an， 简记为 n} 数列的一般形式： 3. 数列的分类 4. 数列的实质 从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项 从映射的观点看，数列可以看作是： 的映射 从函数的观点看，数列项是序号的函数 的函数。 从函数的观点看，数列项是序号的函数。
第1层1+2+… …+n=n*(n+1)/2 个 层 第2层1+2+… …+（n-1）=n*(Байду номын сангаас-1)/2 个 层 （ ） ………… 第n层1个 层 个 堆共n层 第n堆共 层 堆共 共1+3+6+… …+ n*(n+1)/2 个
二、练习
1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别 是下列各数： 是下列各数： (1) 3, 5, 7, 9 · · · (2) 1, 0， 1 , 0， 1，0, − 1, 0， − L (3) 10, 100, 1000, 10000 · · · (4) 9, 99, 999, 9999 · · · (5) 5, 55, 555, 5555 · · · (6) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 · · · 1 (7) 0, lg 2, lg 3 , lg 2, · · · 2 (8) 3, 8, 15, 24， · · · (9) −1, 8 , − 15 , 24 , ⋅⋅⋅ 5 7 9
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5
数列的函数性质 数列是一种特殊的函数， 数列是一种特殊的函数，函数问题的解决方法同 样适用于数列问题，不过要注意n∈N*，否则易 样适用于数列问题，不过要注意 ∈ 出现错误． 出现错误．
n2 例3 已知数列 n}的通项公式为 an＝ 2 已知数列{a 的通项公式为 . n ＋1 求证：此数列为递增数列． 求证：此数列为递增数列．
2.1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1 1 1 1 1．前5个正整数的倒数排成一列：1，2，3，4，5. 个正整数的倒数排成一列： ， ． 个正整数的倒数排成一列 _____________
2．函数的基本表示方法有________、_______和 ．函数的基本表示方法有 解析法 、 列表法 和 图象法 _________. 3．集合的列举法的一般形式为{a，b，c，d，…}； ．集合的列举法的一般形式为 ， ， ， ， ； 集合的元素具有_________、 互异性 、 无序性 ． 集合的元素具有 确定性 、_______、_______．
(2)按项的变化趋势分类 按项的变化趋势分类 类别 递增 数列 递减 数列 常数 列 摆动 数列 含义 从第2项起 每一项都____它的前一项 项起， 从第 项起，每一项都大于 它的前一项 的数列 项起， 从第2项起 每一项都____它的前一项 从第2项起，每一项都____它的前一项 小于 的数列 各项_____的数列 各项 相等 的数列 从第2项起，有些项 大于 它的前一项 它的前一项， 从第 项起，有些项_____它的前一项， 项起 有些项小于它的前一项的数列
课堂互动讲练
考点突破 用观察法求数列的通项公式 根据数列的前几项写出它的一个通项公式， 根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键 在于观察、分析数列的前几项的特征， 在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列 的构成规律．为了发现数列的构成规律， 的构成规律．为了发现数列的构成规律，可把序 标在相应的项上， 号1,2,3，…标在相应的项上，这样便于突出第 ， 标在相应的项上 这样便于突出第n 与项数n的关系 即突出a 如何用n表示 的关系， 表示． 项an与项数 的关系，即突出 n如何用 表示．
（完整版）高中数学优秀说课稿
（完整版）⾼中数学优秀说课稿2.1数列的概念_说课稿1课题介绍课题《数列的概念与简单表⽰⽅法（⼀）》选⾃普通⾼中课程标准试验教科书⼈教版A版数学必修5第⼆章第⼀节的第⼀课时.我将从教材分析、学情分析、教学⽬标分析、教法分析、教学过程这五个⽅⾯来汇报我对这节课的教学设想。
⼀、教材分析1、教材的地位和作⽤数列是⾼中数学的重要内容之⼀，它的地位作⽤可以从三个⽅⾯来看：（1）数列有着⼴泛的实际应⽤.如堆放的物品的总数计算要⽤到数列的前n项和，⼜如分期储蓄、付款公式的有关计算也要⽤到数列的⼀些知识.（2）数列起着承前启后的作⽤.⼀⽅⾯，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运⽤，数列是前⾯函数知识的延伸及应⽤，可以使学⽣加深对函数概念的理解；另⼀⽅⾯，学习数列⼜为进⼀步学习数列的极限，等差数列、等⽐数列的前n项和以及通项公式打好了铺垫.因此就有必要讲好、学好数列.（3）数列是培养学⽣数学能⼒的良好题材.是进⾏计算，推理等基本训练，综合训练的重要教材.学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运⽤前⾯的知识解决数列中的⼀些问题，这些都有助于学⽣数学能⼒的提⾼.⼆、学情分析从学⽣知识层⾯看：学⽣对数列已有初步的认识，对⽅程、函数、数学公式的运⽤已有⼀定的基础，对⽅程、函数思想的体会也逐渐深刻。
从学⽣素质层⾯看：从⾼⼀新⽣⼊学开始，我就很注意学⽣⾃主探究习惯的养成。
现阶段我的学⽣思维活跃，课堂参与意识较强，⽽且已经具有⼀定的分析、推理能⼒。
三、教学⽬标分析根据上⾯的教材分析以及学情分析，确定了本节课的教学⽬标:(1) 知识⽬标：认识数列的特点,掌握数列的概念及表⽰⽅法，并明⽩数列与集合的不同点.了解数列通项公式的意义及数列分类.能由数列的通项公式求出数列的各项，反之,⼜能由数列的前⼏项写出数列的⼀个通项公式.(2) 能⼒⽬标：通过对数列概念以及通项公式的探究、推导、应⽤等过程，锻炼了学⽣的观察、归纳、类⽐等分析问题的能⼒.同时更深层次的理解了数学知识之间的相互渗透性思想．(3) 情感⽬标：在教学中使学⽣体会教学知识与现实世界的联系，并且利⽤各种有趣的，贴近学⽣⽣活的素材激发学⽣的学习兴趣，培养热爱⽣活的情感. ．3、教学重点与难点根据教学⽬标以及学⽣的理解能⼒与认知⽔平，我确定了如下的教学重难点重点：理解数列的概念，能由函数的观点去认识数列，以及对通项公式的理解．难点：根据数列的前⼏项的特点，通过多⾓度、多层次的观察分析归纳出数列的⼀个通项公式．四、教法分析根据本节课的内容和学⽣的实际情况，结合波利亚的先猜后证理论，本节课主要以讲解法为主，引导发现为辅，由⽼师带领同学们发现问题，分析问题，并解决问题．考虑到学⽣的认知过程，本节课会采⽤由易到难的教学进程以及实例给出与练习设置，让学⽣们充分体会到事物的发展规律.同时为了增⼤课堂容量，提⾼教学效率，更吸引同学们的眼光，提⾼学习热情，本节课还会采⽤常规⼿段与现代⼿段相结合的办法，充分利⽤多媒体，将引例、例题具体呈现．五、教学过程分析为了突出重点，突破难点，探究新知，强化认识，激发兴趣，把本节课的教学流程分为了创设情境，引⼊课题；师⽣互动，形成概念；启发引导，演绎结论；实践应⽤，开放思考；归纳⼩结，提炼精华；课后作业运⽤巩固。
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式(二)——利用Sn与an关系求通项公
1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 2n2 n 1，求 an 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 1 3n ，求 an
答案 第1题
4 n 1 an 4n 1 n 2
第2题
an 2 3n1, n N
隐藏 Sn ，求 an
【例 2】已知数列{an}中， a1 2a2 2n1an n2 n ，求 an
（2）由（1）
1 Sn
2n ，
Sn
1 2n
,nN
（又回到了类型一）
①当
n
1 时，
a1
S1
1 2
②当 n 2 时， an Sn Sn1
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的 通项公 式（二 ）—— 利用Sn 与an关 系求通 项公式 课件【精品】
1 1 2n 2n 2
1 2n2 2n
n2 n (n 1)2 (n 1) 2n 对于 bn 2n ，当 n 1 时， b1 2
所以： bn 2n, n N
又 bn 2n1 an , 则2n1 an 2n
所以： an
n 2n2
,n N
处理方法
换元转换为类型一
3. 已知数列{an}中， a1 3a2 (2n 1)an n(n 1)(n 2) ，求 an
（1）求 an ：与类型一的处理方法一样，消去 Sn ，
得到 an 与 an1 的递推关系，再求 an
（2）求 Sn ：消去 an ，得到 Sn 与 Sn1 的递推关系，
进而求出 Sn
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2．数列的分类 按数列中项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列，其中 项数是有限项的数列为有穷数列，其定义域为{1,2,3，…，n}； 项数为无限项的数列为无穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n，…}． 按数列中相邻两项间的大小关系可分为递增数列，递减数 列，常数列，摆动数列． 注意 判断一个数列属哪一类型的数列，要搞清概念，利 用各类数列的要求判断．
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4．根据数列的项数可以把数列分为____________和 __________．根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 ____________、____________、____________和 ____________．
5．数列与函数的关系：________________________.
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3．通项公式 如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中的n 就可以求出数列中的指定项，如果给出数列中的前几项，也可 发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归纳出的 通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立，并不知 道． 注意 一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数列 不存在通项公式．
常数列 摆动数列 我
5.数列可以看做是一个变量从 对
小到大依次取值时对应的一列函数值
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名师讲解 1.数列的概念 数列是指按一定顺序排列的一列数，数列中的数与顺序有 关系，每一项都对应着一个序号即项数，一般可表示为a1， a2，…或记为{an}． 注意 判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项 是否相同．
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1.按一定顺序排列的一列数 数列中的每一个数 都 自 我 2.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 校 一个函数式an＝f(n)来表示，这个公式 3.序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图 对 孤立的点 第一象限或第四象限或x轴的非负半 轴上
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4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 自
∴它的一个通项公式为an＝1－10－n. (4)这个数列前4项构成一个摆动数列，奇数项是5，偶数项
是4.
所以，它的一个通项公式为
an＝4＋1＋－2 1n－1
＝9＋－2 1n－1或an＝54， ，nn为 为奇 偶数 数，
.
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规律技巧 已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几 个方面来考虑：
第二章 数列
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§2.1 数列的概念与简单表示法
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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自学导引 1.通过实例，了解数列的概念． 2．理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模 型，了解数列的几种分类． 3．了解数列的表示方法，理解递推公式的含义，能够根据 递推公式写出数列前几项.
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4．递推公式 递推公式是给出数列的一种重要方法，是指已知数列{an} 的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式 来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出a1或a2， 然后用递推关系逐一写出数列中的各项． 注意 并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存在 递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几项寻 求递推关系，递推公式可能不止一个．
1负号用－1n与－1n＋1或－1n－1来调节，这是因为n和 n＋1奇偶交错.
2分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借 助分子、分母的关系.
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3对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数 列后面专门学习和其他方法解决.
4此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观 察观察规律、比较比较已知的数列、归纳、转化转化为等 差或等比数列等方法.
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【分析】 这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真 观察，深入分析内在规律，如：什么在变，什么不变，尤其是 变化的量与相应的项数n有何关系，有时也可以以一些简单的数 列为依据．
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【解】 (1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5，恰比 项数多1.
分子中的22,32,42,52恰是分母之平方，－1不变，故它的一个 通项公式为
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二 数列通项公式的应用 【例2】 已知数列 2， 5，2 2， 11，…. (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项； (2)问4 2是否是该数列的项？10呢？ 【分析】 先归纳出数列的通项公式，在理解数列的项与 项数的关系的情况下，求项和项数，即通项公式中用n＝20代 入求出a20，令an＝4 2 ，或an＝10解出n值，判断是否为该数列 的项．
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剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 一 探求数列的通项公式
【例1】 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4 项已给出．
(1)22－2 1，32－3 1，42－4 1，52－5 1，…； (2)－12，16，－112，210，…； (3)0.9,0.99,0.999,0.9999，…； (4)5,4,5,4，….
an＝n＋n＋121－1.
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(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因 子(－1)n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为 1×2,2×3,3×4,4×5，则它的一个通项公式为
an＝(－1)nnn1＋1.
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(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,0.9999＝1－ 0.0001，而0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，
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【解】 (1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发 现，“ ”下面的数值后一项比前一项大3，故通项公式可写 为an＝ 2＋n－1×3＝ 3n－1，即an＝ 3n－1.
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课前热身 1.数列、数列的项：____________叫做数列， ____________叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式：________________________就叫做 这个数列的通项公式． 3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以_________ 来表示一个数列，图象是一些____________，它们位于 ____________．