高中数学选修2-3 (23)

解 ∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真.
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没 有实数根. 解 ∵p假，q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假.
解答
类型三
已知复合命题的真假求参数范围
例4
已知 p ：方程 x2 ＋ mx ＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的负根， q ：方程 4x2 ＋
真
假 假
假
真 假
真
真 假
命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.
[思考辨析 判断正误] 1.逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.( × ) 2.“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件.( × ) 3.当p，q都为假命题时，p且q才为假命题.( × ) 4.若p：sin x≥2，q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则p或q为假命题.( × )
解答
反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤 (1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B； (2)讨论p，q的真假； (3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算； (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.
跟踪训练4
已知p：(x＋2)(x－3)≤0，q：|x＋1|≥2，若“p且q”为真，
题型探究
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分 例1 指出下列命题的形式及构成它的命题. (1)向量既有大小又有方向； 解 是p且q形式命题. 其中p：向量有大小，q：向量有方向. (2)矩形有外接圆或有内切圆； 解 是p或q形式命题.
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.
解
∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真.
解答
反思与感悟 形如p或q，p且q命题的真假根据真值表判定.
跟踪训练3 命题的真假.
分别指出由下列各组命题构成的 “p或q”“p且q”形式的
(1)p： 3是无理数，q：π 不是无理数；
解 ∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假. (2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
第一章 §4
逻辑联结词“且”“或”“非”
4.1
逻辑联结词“且”
4.2
逻辑联结词“或”
学习目标
1.了解联结词“且”“或”的含义.
2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其
命题的真假.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
“且”
思考
观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图像开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假.
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解.
所以实数m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).
p且q 形式复合命题. 跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________
答案
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
解 p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
A.p为假命题
C.p或q为真命题 √
B.q为真命题
D.p且q为真命题
解析 由题意，知p为真命题，q为假命题.
1
2
3
4
5
解析
答案
2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是 A.p：4＋4＝9，q：7＞4 B.p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c} √ C.p：15是质数，q：8是12的约数 D.p：2是偶数，q：2不是质数
[1,3] 则实数x的取值范围是________. 解析 由(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3. 由|x＋1|≥2，解得x≥1或x≤－3.
－2≤x≤3， ∵“p 且 q”为真，∴ x≥1或x≤－3，
解得1≤x≤3，则实数x的取值范围是[1,3].
解析
答案
达标检测
1.已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则下列判断正确的是
跟踪训练2 指出下列命题的形式及构成它的简单命题.
(1)96是48与16的倍数；
解 p且q：p：96是48的倍数；q：96是16的倍数.
(2)不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1或x＞2}. 解 p或q：p：不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1}， q：不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＞2}.
1
2
3
4
5
答案
3.已知命题p，q，若p为真命题，则
A.p且q必为真
C.p或q必为真 √
B.p且q必为假
D.p或q必为假
解析 p或q，一真则真，故必有p或q为真.
1
2
3
4
5
解析
答案
π 4.已知p：函数y＝sin x的最小正周期为 2 ，q：函数y＝sin 2x的图像关于 假 命题.(填“真”或“假”) 直线x＝π对称，则p且q是____
1 2 3 4 5
解答
规律与方法
1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条
件、结论.
2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复
合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构
成形式判断复合命题的真假.
4(m－2)x＋1＝0无实数根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.
解答
引申探究 本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”，求实数m的取值范围. 解 同例得当p为真命题时，m＞2，当q为真命题时，1＜m＜3. 因为p或q为真，p且q为真，所以p，q均为真命题，
m＞2， 即 解得 2＜m＜3，所以 m 的取值范围为(2,3). 1＜m＜3，
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. 解 p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
p且q：－1和－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
解答
反思与感悟
用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不
引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.
真
真 假 假
真
假 真 假归纳为“同真则真”.
知识点二
“或”
思考
观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？
答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
梳理
(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，
就得到一个新命题“ p或q ”. (2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是 真 命题；当p，q两 个命题都是假命题时，p或q是 假 命题. 将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下： p 真 q 真 p 或q 真
解答
类型二
“p且q”和“p或q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p或q”“p且q”的真假. (1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增； 解 ∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假.
2 2
1 (2)p：直线 x＝1 与圆 x ＋y ＝1 相切；q：直线 x＝2与圆 x2＋y2＝1 相交.
解答
(3)2≥2.
解 是p或q形式命题. 其中p：2>2，q：2＝2.
解答
反思与感悟
不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑
联结词“或”“且”构成的命题是复合命题. 判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有 “或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词 联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且” 联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四 边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.
解析
由题意，知命题p为假命题，命题q也是假命题，故p且q是假命题.
1
2
3
4
5
解析
答案
5.已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－ 1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p且q为假，p或q为真， 求实数m的取值范围. 解 若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.
约数且是15的约数，它们之间有什么关系？ 答案 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题.
梳理
(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来， 就得到一个新命题“ p且q ”. (2)当p，q都是真命题时，p且q是 真 命题；当p，q两个命题中有一个命 题是假命题时，p且q是 假 命题. 将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下： p q p且q