第二章2《概率论与数理统计教程》课件

§2.9 二维随机变量的联合分布
一. 二维随机变量的概念 二. 二维随机变量的分布 函数 三. 二维离散随机变量的 概率分布 四. 二维连续随机变量的 概率密度
4-1
二维随机变量的概念
定义: 定义
是一随机试验， 是其样本空间.设 设 E 是一随机试验，Ω = {ω } 是其样本空间 设
X = X (ω ), Y = Y (ω ) (ω ∈ Ω)
4 - 10
§2.10 二维随机变量的边缘分布 二维随机变量的边缘分布
一. 二维离散随机变量的 边缘分布 二. 边缘分布函数 三. 边缘分布与联合分布 的关系 四. 二维连续随机变量的 边缘概率密度
4 - 11
一、二维离散r.v.的边缘 二维离散 的边缘 概率函数
设二维随机变量（ ， ） 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
4 - 12
i
Y X
y1 y2 … j … p . y . i
p11 p12⋯p1j ⋯ p21 p22⋯p2 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
p1. p2.
x 1 x2 ⋮ xi ⋮ p. j
4 - 13
⋮ pi1 pi2 ⋯pij ⋯ pi.
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ p.1 p.2 ⋯p. j ⋯
二、边缘分布函数
二维随机变量的分布函数
定义: 定义 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数 ，y，称 ， ）是二维随机变量，对于任意实数x， ，
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y )
为二维随机变量（X，Y） 分布函数， 为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为二维随机 y 变量（ ， ） 联合分布函数. 变量（X，Y）的联合分布函数 注：若将二维随机变量（X，Y） 若将二维随机变量（ ， ） 看作是平面上的随机点的坐标， 看作是平面上的随机点的坐标， 则分布函数在点（ ， ） 则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（ ， ） 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 如图所示的以点（ ， ） 而位于该点左下方的无穷矩形区 4-3 域内的概率
f ( x, y ) = f X ( x ) f Y ( y )
则称连续随机变量 则称连续随机变量 X 与 Y 相互独立 4 - 19
的联合概率分布为: 例1. (X,Y)的联合概率分布为 的联合概率分布为 Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 0 0.5 1 0.5 (1)求X,Y的边缘分布 求 的边缘分布; 的边缘分布 (2)判断 判断X,Y是否独立 是否独立. 判断 是否独立
上的随机变量， 是定义在 Ω 上的随机变量，则由它们构成的一个向量 二维随机向量或 （X，Y）称为二维随机向量或二维随机变量 ， ）称为二维随机向量 注:
4-2
二维r.v. (X, Y)的性质不仅与 和Y有关 而且还 的性质不仅与X和 有关 有关, 二维 的性质不仅与 依赖于这两个r.v.的相互关系 的相互关系. 依赖于这两个 的相互关系
FX (x) = F(x,+∞ ) =
∫ [∫
-∞
x
+∞
-∞
f(x, y)dy]dx
对x求导，得 f X ( x ) = ∫ f(x, y)dy ,
-∞
+∞
同理,
f Y ( y ) = ∫ f(x, y)dx,
-∞
+∞
分别称为 (X, Y)关于 X , Y的边缘概率密度 .
4 - 16
设随机向量(X,Y)服从区域 上的均匀分布 其中 服从区域D上的均匀分布 例2. 设随机向量 服从区域 上的均匀分布,其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数 1(x)和f2(y). 的边缘密度函数f 求 的边缘密度函数 和 由题意得: 解:(1)由题意得 由题意得
F ( x , −∞ ) = 0 F ( +∞ ,+∞ ) = 1
< x2 , y1 < y2 有
P ( x 1 < X ≤ x 2 , y1 < Y ≤ y 2 )
= F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 1 , y 2 ) − F ( x 2 , y1 ) + F ( x 1 , y1 )
若此极限存在， 若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（ ， ）的联合概率密度。 机变量（X，Y）的联合概率密度。
4-8
二维连续随机变量联合概率 密度函数的性质
1 ) f ( x, y ) ≥ 0;
2) ∫
+∞ -∞
∫
+∞
-∞
f(x, y)dxdy = F ( +∞,+∞) = 1;
3 ) 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y )点连续 , 则有 ∂ 2 F ( x, y ) = f ( x, y ); ∂ x∂ y
+ ∞
f1( x) = ∫ f ( x, y )dy
−∞
1 f ( x, y ) = π 0
x2 + y2 ≤1 其 它
y = 1− x2
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以 1(x)=0 所以,f 时 所以 当|x|≤1时, f1( x) = [ ∫ 时
− 1−x2 −∞
+∫
1−x2
p( x i , y j ) 知道， 知道，则
F(x,y) = ∑
4-6
xi ≤x yj ≤y
∑p(x , y )
i j
将一枚均匀的硬币抛掷4次 表示正面向上的 例1. 将一枚均匀的硬币抛掷 次, X表示正面向上的 次数, 表示反面朝上次数 表示反面朝上次数, 的联合概率分布. 次数 Y表示反面朝上次数 求(X,Y)的联合概率分布 的联合概率分布 设随机变量Y~U（0，1），令 ），令 例2. 设随机变量 （ ， ），
4-7
0 0.05 0.1 a
1 0.1 0.2 0.2
2 0.1 0.1 0.05
常数a的取值 求:(1)常数 的取值 常数 的取值; (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1)
1
二维连续随机变量的联合概率密度
定义: 定义
P ( x < X < x + ∆x , y < Y < y + ∆y ) f ( x , y ) = lim ∆x → 0 ∆x∆y ∆y → 0
4-4
二维离散随机变量的概率分布
1. 若二维 r.v. (X,Y)的所有可能取值是有限 对 或可列多对则称 (X, Y)为离散型 r.v. 2. 记P(X = x i , Y = y j ) = p(x i , y j ) i, j = 1 , 2 , 3 ,⋯ 则称P(X = x i , Y = y j ) = p(x i , y j ) i, j = 1 , 2 , 3, ⋯
定义: 定义
二维随机变量（ ， ） 个整体， 二维随机变量（X，Y）作为一 个整体，具有联合分布 函数，但由于 ， 都是随机变量， 函数，但由于X，Y 都是随机变量，因而也有分布函数
FX ( x ), FY ( y ) 分别称为二维随机变量（X，Y）关于 分别称为二维随机变量（ ， ）
X以及 的边缘分布函数 以及Y的 以及
（x，y） ）
O
x
联合分布函数的性质
1)
0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1
2）F（x，y）分别是变量 ，y的单调不减函数； ） （ ， ）分别是变量x， 的单调不减函数 的单调不减函数； 3）对任意x，y，有 ）对任意 ， ，
F ( −∞ , y ) = 0 F ( −∞ ,−∞ ) = 0
4）对于任意的实数 x1 ）
为离散型 r.v. (X, Y)的联合概率函数 .
4-5
联合概率函数的性质
1) 2) 3) p(x i , y j ) ≥ 0,
∑ ∑ p(x , y
i i j
j
)= 1;
P{( X , Y ) ∈ D} =
( x i , y j )∈ D
∑ p( x , y
i
j
);
若二维随机r.v.的联合概率函数 若二维随机 的联合概率函数 联合概率分布函数为
y +∞ ∫ 6dx = 6( y − y ), 0 ≤ y ≤ 1, f Y (y) = ∫ f(x, y)dx = y -∞ 0, 其它,
4 - 18
§2.11 随机变量的独立性
1）若（X，Y）为离散型随机变量，如果对于任意的 i，j ） ， ）为离散型随机变量， ， ），有 （i，j=1，2，…），有 ， ， ， ），
2
− 1−x
+∫
+∞
1−x
-1 ] f ( x, y )dy 2
1
X
=∫
1−x2
2
1
− 1−x
π
dy=
2
π
1− x2
所以, 所以 同理, 同理
y = − 1− x2
2 2 2 2 1− y | y|≤1 1− x | x|≤1 f2( y ) = π f1( x) = π 0 | y|>1 | x|>1 4 - 17 0注意 均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布
4) F ( x, y ) =
∫ ∫
−∞
x
y
−∞
f ( u , v ) dudv ;
5) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 随机点 (X, Y) 落
4-9
在 G 内的概率为 :
P{(X, Y ) ∈ G} =
∫∫ f(x, y)dxdy.
G
课 堂 练 习