2004_math_1_note
2004年第45届国际数学奥林匹克试题
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2004年第45届国际数学奥林匹克试题
1．△ABC 为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N ．记BC中点为O．∠BAC和∠MON的角平分线交于R．求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在BC边上．
2．求所有的实系数多项式f，使得对所有满足ab + bc + ca = 0的实数a，b，c 有
f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c)．
3．定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3 的去掉中心块和一边上连
续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）．定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形．
4．设n ≥3．t_1，t_2，…，t_n > 0 满足
n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + …+ t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + …+ 1/t_n)
证明t_1，t_2，…，t_n中随便取3个数都能构成一个三角形．
5．凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA．ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠PDC = ∠BDA．求证：ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP．
6．称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同．求所有的正整数n，n的某个倍数是交替的．。
2004年考研数学二真题
♦♠ ♥< 2004 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析一. 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ）（1） 设 f (x ) = lim(n -1)x, 则 f (x ) 的间断点为 x =.n →∞ nx 2+1【答】 0【详解】显然当 x = 0 时, f (x ) = 0 ;(1- 1 )x当 x ≠ 0 时, f (x ) = lim (n -1)x = lim n = x= 1 ,♣0, 所以 f (x ) = ♠1 , ♥ xn →∞ nx 2 +1x = 0, x ≠ 0 n →∞ x 2 + 1 n x 2 x 因为 lim f (x ) = lim 1= ∞ ≠ f (0)x →0 x →0 x 故x = 0 为 f (x ) 的间断点.（2） 设函数 y (x ) 由参数方程的 x 取值范围为.♣♠x = t 3 + 3t +1♦♠ y = t 3 - 3t +1确定, 则曲线 y = y (x ) 向上凸【答】 （- ∞，1）（或（-∞，1] ）【详解】 由题意得：dydy dt3t 2 - 3t 2 -12dx = dx dt= = 3t 2+ 3 t 2 +1 = 1- t 2 +1 , d 2 y = d dy dt = - 2 ' ⋅ 1 = 4tdx 2 dt dx dx 1 t 2+ 13(t 2 + 1) 3(t 2 + 1)3 ,d 2 y 令dx2t < 0 .又 x = t 3 + 3t +1 单调增, 在 t < 0 时, x ∈(-∞ , 1) 。
(∵ t = 0 时， x = 1 ⇒ x ∈ (-∞ , 1] 时，曲线凸.)⇒1 0 0 （3） ⎰+∞ dx= 1 x 【答】 π2【详解】 方法一：+∞ dxπ sec t ⋅ tan t π π ⎰ ⎰ 2sec t ⋅ tan t dt = ⎰ 2 dt = 2 . 【详解】 方法二：⎰ +∞ dx x = 1 ⎰ t - 1 )dt = ⎰ 1 1 dt = arcsin t 1 = π 1 t 1 t 2 0 2（4）设函数 z = z (x , y ) 由方程 z = e 2x -3z + 2 y 确定, 则3 ∂z + ∂z=.∂x ∂y【答】 2【详解】 方法一：在 z = e 2 x -3 z + 2 y 的两边分别对 x , y 求偏导, z 为 x , y 的函数.∂z = e 2 x -3z (2 - 3 ∂z) ,∂x ∂x ∂z = e 2 x -3z (-3 ∂z) + 2 ,∂y ∂y∂z 2e 2 x -3z从 而 ∂x = 1 + 3e 2 x -3z,∂z =∂y 2 1 + 3e 2 x -3z∂z ∂z 1+ e 2 x -3z 所以方法二：3 ∂x + ∂y = 2 ⋅ 1+ 3e 2x -3z = 2令 F (x , y , z ) = e 2 x -3z + 2 y - z = 0则 ∂F = e 2 x -3z ⋅ 2 , ∂F = 2 , ∂F= e 2 x -3z (-3) -1∂x ∂y ∂z∂z e 2 x -3z ⋅ 2 2e2 x -3 z∴ ∂x =-=- (1+ 3e 2 x -3z ) = 1+ 3e 2 x -3 z ,0 -∂F ∂yF2 x∂z =- =- 2 = 2,∂y-(1+ 3e 2 x -3 z ) 1+ 3e 2 x -3z∂z ∂z 3e 2 x -3z1从而 3 ∂x + ∂y = 2 1+ 3e 2 x -3z + 1+ 3e 2 x -3z = 2方法三：利用全微分公式,得dz = e 2 x -3z (2dx - 3dz ) + 2dy= 2e 2 x -3z dx + 2dy - 3e 2 x -3z dz(1+ 3e 2 x -3 z )dz = 2e 2 x -3z dx + 2dy2e 2 x -3z 2∴ dz = 1+ 3e 2 x -3z dx + 1+ 3e 2 x -3 zdy即 ∂z = ∂x 2e 2 x -3z ∂z 1+ 3e2 x -3z , ∂y = 2 1+ 3e 2 x -3z从而 3 ∂z + ∂z= 2∂x ∂y（5）微分方程( y + x 3)dx - 2xdy = 0 满足 yx =1= 6 的特解为 .5【答】y = 1 x 3 + 5【详解】 方法一： 原方程变形为 dy - 1dx 2xy = 1 x 2 ,2 先求齐次方程 dy - 1dx 2xdy = 1 y 2xy = 0 的通解:dx 积 分 得 ln y = 1ln x + ln c ⇒2y = c 设 y = c (x ) 为非齐次方程的通解,代入方程得c '(x ) + c (x ) 1 - 1c (x )2x= 1 x 2 2从而 c '(x ) = 1 3 x 2,2x xx x xx x x x x ⎰ ⎰3 5 62积 分 得 c (x ) = ⎰ 1x 2 dx + C = 1x 2 + C ,2 5于是非齐次方程的通解为y = x (1 5 x 2 + C ) = C + 1 x 35 5y x =1 = 5 ⇒ C = 1,故所求通解为 y = + 1x 3 .5方法二： 原方程变形为 dy - 1dx 2xy = 1 x 2 ,2 由一阶线性方程通解公式得= ⎰1 dx ϒ 1-⎰ 1dx / y e 2 x ' x 2e ≤ 2 x dx + C ∞ƒ=1ln xϒ 1- 1 ln x/e 2' ≤ 2 ϒ 1 x 2e 23 dx + C ∞ƒ/ ϒ 1 5 /= '⎰ x 2 dx + C ∞ = ' x 2 + C ∞≤ 2y (1) = 6 ⇒ 5ƒ ≤ 5 ƒ C = 1 ,从而所求的解为 y = + 1x 3 .5 2 1 0（6）设矩阵 A = 1 2 0 , 矩阵 B 满足 ABA * = 2BA * + E , 其中 A * 为 A 的伴0 0 1 随矩阵, E 是单位矩阵, 则 B = .【答】19【详解】 方法一：ABA * = 2BA * + E⇔ ABA * - 2BA * = E ,⇔ ( A - 2E )BA * = E ,∴ A - 2E B A * = E = 1,A - 2E A* 010 1 00 00 -1A 22 xx 3B =1=1=1(-1) ⋅(-1)32=1.9【详解】方法二：由A*=A A-1 ,得ABA*= 2BA*+E ⇒AB A A-1= 2B A A-1+AA-1⇒ A AB = 2 A B +A⇒ A ( A- 2E)B =A ⇒ A 3A - 2E B =A∴B =1=1 A2 A - 2E 9二. 选择题（本题共8 小题，每小题 4 分，满分32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）+x 2 x2x 3（7）把x→0时的无穷小量α=⎰0 cos t dt , β=⎰0 tan t dt , γ=⎰0 sin t dt 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A）α, β, γ.（C）β, α, γ.【答】应选（B）γ（B）α, γ, β.（D）β, γ, α.【】⎰x sin t3dt【详解】∵limx→0+α = limx→0+xcos t 2dtsin x 2 ⋅13= lim 2 x = lim x 2= limx= 0 ,即 γ=o(α) .x→0+ cos x2x→0+2 x x→0+2又 lim β= lim2⎰0tan tdt = lim tan x ⋅ 2x3= lim 2x2= 0 ,x→0+γ x→0+ sin t3dt0x→0+sin x 2 ⋅1x→0+1 x2即 β=o(γ) .⎰x⎰♦ ♥♥从而按要求排列的顺序为α 、γ 、β , 故选（B ）.（8）设 f (x ) = x (1- x ) , 则（A ） x = 0 是 f (x ) 的极值点, 但(0 , 0) 不是曲线 y = f (x ) 的拐点.（B ） x = 0 不是 f (x ) 的极值点, 但(0 , 0) 是曲线 y = f (x ) 的拐点.（C ） x = 0 是 f (x ) 的极值点, 且(0 , 0) 是曲线 y = f (x ) 的拐点.（D ） x = 0 不是 f (x ) 的极值点, (0 , 0) 也不是曲线 y =【答】 应选（C ）f (x ) 的拐点.【 】♣-x (1 - x ), - 1 < x ≤ 0【详解】 f (x ) = ♦x (1 - x ), 0 < x < 1 ,f '(x ) = ♣-1 + 2x , - 1 < x < 0 ,♥1 - 2x , 0 < x < 1f ''(x ) = ♣ 2,- 1 < x < 0 ,从而-1 < x < 0 时, ♦-2, 0 < x < 1f (x ) 凹, 1 > x > 0 时, f (x ) 凸, 于是(0 , 0) 为拐点.又 f (0) = 0 , x ≠ 0、1时, f (x ) > 0 , 从而 x = 0 为极小值点.所以, x = 0 是极值点, (0 , 0) 是曲线 y = f (x ) 的拐点, 故选（C ）.（9） 等于n →∞（A ） ⎰ 2ln 2 xdx .（B ） 2⎰ 2ln xdx . 1 1（C ） 2⎰ 2ln(1+ x )dx .（D ） ⎰ 2ln 2(1+ x )dx11 【 】【答】 应选（B ）【详解】 lim lnn →∞2 = lim ln ϒ(1 + 1 )(1 + 2)…(1 + n )/ nn →∞ '≤ n n n ∞ƒ⎰ 2⎰= lim 2 ϒln(1+ 1 ) + ln(1+ 2) +… + (1+ n )/n →∞ n '≤= lim 2∑ n nn ∞ƒln(1+ i ) 1 n →∞ i =1 n n= 2 1ln(1+ x )dx故选（B ）.1+ x = t 2⎰1ln tdt = 2 2ln xdx1（10）设函数 f (x ) 连续, 且 f '(0) > 0 , 则存在δ > 0 , 使得（A ） f (x ) 在(0, δ ) 内单调增加.（B ） f (x ) 在(-δ , 0) 内单调减小.（C ）对任意的 x ∈(0, δ ) 有 f (x ) > f (0) .（D ）对任意的 x ∈(-δ , 0) 有 f (x ) >【答】 应选（C ）【详解】由导数的定义知f (0) .【 】f '(0) = lim x →0 f (x ) - f (0) > 0 ,x - 0 由极限的性质, ∃δ > 0 , 使 x < δ 时, 有f (x ) - f (0) > 0x即δ > x > 0 时, f (x ) > f (0) ，-δ < x < 0 时, 故选（C ）.f (x ) < f (0) , （11）微分方程 y '' + y = x 2 +1+ sin x 的特解形式可设为（A ） y *= ax 2 + bx + c + x ( A sin x + B cos x ) .（B ） y *= x (ax 2 + bx + c + A sin x + B cos x ) .（C ） y *= ax 2 + bx + c + A sin x .（D ） y *= ax 2 + bx + c + A c os xn1 2 ⎰ ⎰ ⎰ θ ⎰ ⎰ θ ⎰ ♥2【答】 应选（A ）【详解】对应齐次方程 y '' + y = 0 【 】的特征方程为特征根为 λ 2 +1 = 0 ,λ =± i ,对 y '' + y = x 2 +1 = e 0(x 2 +1) 而言, 因 0 不是特征根, 从而其特解形式可设为y * = ax 2 + bx + c对 y '' + y = sin x = I m (e ix ) , 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为y * = x ( A sin x + B cos x )从而 y '' + y = x 2 +1+ sin x 的特解形式可设为y * = ax 2 + bx + c + x ( A sin x + B cos x )（12）设函数 f (u ) 连续, 区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ 2 y }, 则⎰⎰ f (xy )dxdy 等于D1 （A ） -1dx- f (xy )dy . 2（B ） 2 0dy 0f (xy )dx .π 2sin θ（C ） 0d 0π2sin θ （D ） 0d 0【答】 应选（D ） f (r 2 sin θ cos θ )dr .f (r 2 sin θ cos θ ) rdr【 】【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,⎰⎰ f (xy )dxdy = ⎰0 dy ⎰-Df (xy )dx= ⎰ 11+ 1- x 2dx -1故应排除（A ）、（B ）.1- 1- x 2f (xy )dy♣x = r cos θ 在极坐标系下, ♦ y = r sin θ,⎰⎰⎰ ⎰ θ ⎰π 2sin θf (xy )dxdy = 0d 0f (r 2 sin θ cos θ )rdr ,D故应选（D ）.y（13）设 A 是 3 阶x 方阵, 将 A 的第 1 列与第 2列交换得 B , 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得C , 则满足 AQ = C 的可逆矩阵Q 为0 1 0 0 1 0 （A ）1 0 0 .（B ）1 0 1 .1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 （C ） 1 0 0 .（D ）1 0 0 .0 1 1【答】 应选（D ）0 1 0 0 0 1 【 】1 0 0 【详解】由题意 B = A 1 0 0 , C = B 0 1 1,0 0 1 0 0 10 1 0 1 0 0 0 1 1 ∴ C = A 1 0 0 0 1 1 = A 1 0 0= AQ ,0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 从而 Q = 1 0 0 ,故选（D ）.0 0 1 （14）设 A , B 为满足 AB = 0 的任意两个非零矩阵, 则必有（A ） A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. （B ） A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. （C ） A 的行向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. （D ） A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关.【 】【答】 应选（A ）【详解】 方法一：设 A = (a ij )l ⨯m , B = (b ij )m ⨯n , 记A = ( A 1 A 2 …A m )b 11 b 12… b 1n b b… bAB = 0 ⇒( A A … A ) 21 222n 1 2 m⋅ ⋅ … ⋅ b b … bm 1 m 2mn= (b 11 A 1 +… + b m 1A m … b 1n A 1 +… + b mn A m ) = 0（1）由于 B ≠ 0 , 所以至少有一 b ij ≠ 0 (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ),从而由（1）知, b 1 j A 1 + b 2 j A 2 +…+ b i j A i +… + b m 1A m = 0 ,于是 A 1 , A 2 ,… , A m 线性相关. B 1B 又 记 B = 2 , 则 # B m a 11 a 12… a 1m B 1a 11B 1 + a 12 B 2 +… + a 1m B m a a… a Ba B + a B +… + a B AB = 0 ⇒ 21 222m 2 = 21 1 22 2 2m m = 0⋅ ⋅ … ⋅ # …a a … a Ba B + a B +… + a B l 1 l 2l m m l 1 1l 2 2 l m m 由于 A ≠ 0 ,则至少存在一 a ij ≠ 0 (1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m ),使a i 1B 1 + a i 2B 2 + a i j B j +… + a im B m = 0 ,从而 B 1 , B 2 ,… , B m 线性相关,故应选（A ）.方法二：设A 为 m ×n 矩阵，B 为n ×s 矩阵，则由 AB ＝0 知，r (A)+r (B) < n.又A 、B 为非零矩阵，所以 r (A) > 0, r (B) > 0, 从而 r (A ) < n, r (B ) < n,即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选（A ）.三. 解答题（本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分 10 分）1 ϒ2 + cos x x/求极限lim 3 ' -1∞ .x →0 x '≤ 3 ∞ƒ【详解】 方法一：x ln 2+cos x 1 ϒ 2 + c os x x / e 3 -1lim 3 '-1∞ = lim 3x →0 x '≤3 ƒ∞ x →0 x ln 2 + c os x3= limx →0 x 2= limln （2 + cos x ）- ln 3 x →0 x 21（⋅ - si n x ）= lim 2 + cos xx →0 = - 1lim 2x 1 ⋅ sin x = - 1【详解】 方法二：2 x →0 2 + cos x x 6x ln 2+cos x1 ϒ2 + c os x x / e3 -1lim 3 '-1∞ = lim 3x →0 x '≤3 ƒ∞ x →0 x ln 2 + c os x3= lim x →0x 2ln （1 + cos x -1 ）= lim 3x →0 x 2= lim cos x -1 =-1 x →0 3x2 6（16）（本题满分 10 分）设函数 f (x ) 在（ -∞ , + ∞ ）上有定义, 在区间[0 , 2] 上,任意的 x 都满足 f (x ) = k f (x + 2) , 其中k 为常数.(Ⅰ)写出 f (x ) 在[-2 , 0] 上的表达式;f (x ) = x (x 2 - 4) , 若对(Ⅱ)问k 为何值时, f (x ) 在 x = 0 处可导.【详解】(Ⅰ)当-2 ≤ x < 0 ,即0 ≤ x + 2 < 2 时,f (x ) = k f (x + 2) = k (x + 2)[(x + 2)2 - 4] = kx (x + 2)(x + 4) .2 + ⎰ ⎰(Ⅱ)由题设知 f (0) = 0 .f '(0) = lim x →0+ f (x ) - f (0) x - 0= lim x →0+x (x 2- 4) x= -4 f '(0) = lim f (x ) - f (0) = lim kx (x + 2)(x + 4) = 8k . -x →0- x - 0 x →0- x 令 f '(0) = f '(0) , 得k =- 1.- +即当k =- 1时, 22 f (x ) 在 x = 0 处可导.（17）（本题满分 11 分） x +π设 f (x ) = ⎰x s in t dt ,2(Ⅰ)证明 f (x ) 是以π 为周期的周期函数; (Ⅱ)求 f (x ) 的值域.【详解】 (Ⅰ) 设t = u + π , 则有f (x + π ) = ⎰f (x + π ) = ⎰x + 3π2 x +πx +π2sin t dt ,sin(u + π ) du = ⎰x +π2sin u du =f (x ) ,xx故 f (x ) 是以π 为周期的周期函数.(Ⅱ)因为 sin x 在(-∞ , + ∞) 上连续且周期为π , 故只需在[0, π ] 上讨论其值域.因为f '(x ) = sin(x + π) - sin x 2= cos x - sin x ,令 f '(x ) =0 , 得 x = π , x = 3π, 且1 4 24π 3πf ( )=43π 4 sin t dt = ,45π π5π4⎰3π⎰ ⎰πf ( ) =π4 sin t dt = 43π3π sin t dt - 44 sin t dt = 2 -,又 f (0) = 2 sin t dt = 1 , 0f (π ) = 2 (-sin t ) dt = 1,π2 ⎰π2 1+ y '2 e 2 x - 2 + e -2 x 1+ 4 t∴ f (x ) 的最小值是2 - , 最大值是 , 故 f (x ) 的值域是[2 - 2 , 2].（18）（本题满分 12 分）e x + e - x 曲线 y = 与直线 x = 0, x = t (t > 0) 及 y = 0 围成一曲边梯形. 该曲边梯形2绕 x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V (t ) , 侧面积为S (t ) , 在 x = t 处的底面积为F (t ) .S (t )的值; V (t )(Ⅱ)计算极限 limS (t ).t →+∞ F (t )【详解】 (Ⅰ) S (t ) = ⎰02π y dx= t e x + e - x2π ⎰0 2 dxt e x + e - x 2= 2π ⎰0dx , 2t t e x + e - x2V (t ) = π ⎰ y 2dx =π ⎰dx ,∴ S (t ) = 2 . V (t ) 0 02e t + e -t 2(Ⅱ) F (t ) = π y 2= π ,x =t2te x + e - x 2S (t ) 2π ⎰0 2 dx lim = lim t →+∞ F (t ) t →+∞ e t + e -t 2π 2e t + e -t 22 2 = limt →+∞e t+ e -t e t- e -t22 2 2 (Ⅰ)求= lim e t + e -t1 t →+∞ e t - e -t（19）（本题满分 12 分） 设e < a < b < e 2, 证明ln 2b - ln 2a > 【详证】 方法一：4(b - a ) .e2设ϕ (x ) = ln 2 x - 4e 2x , 则ϕ'(x ) = 2 ln x - 4所以当 x > e 时, x e 2 ϕ''(x ) = 21- l n x,x2 ϕ '(x ) < 0 , 故ϕ'(x ) 单调减小, 从而当e < x < e 2时,即当e < x < e 2 时, ϕ'(x ) > ϕ'(e 2 ) =ϕ (x ) 单调增加.4 - 4e 2 e2= 0 ,因此, 当e < a < b < e 2 时, ϕ (b ) > ϕ (a ) , 即 ln 2b -4 b > ln 2 a - 4 a e 2 e2故方法二：设ϕ (x ) = ln 2 x - ln 2a - ln 2b - ln 2 a >4 (x - a ) , 则e2 4(b - a ) . e2 ϕ'(x ) = 2 ln x - 4∴ x > e 时,ϕ''(x ) < 0 x e 2 ϕ''(x ) = 21- l n x, x2⇒ ϕ '(x ) 5, 从而当e < x < e 2 时, ⇒ e < x < e 2 时, ϕ'(x ) > ϕ'(e 2 ) =ϕ (x ) 单调增加.4 - 4e 2 e2 = 0 ,⇒ e < a < b < e 2 时, ϕ (x ) > ϕ (a ) = 0 。
2004年加拿大数学奥林匹克
2. How many ways can 8 mutually non-attacking rooks be placed on the 9 × 9 chessboard (shown here) so that all 8 rooks are on squares of the same colour? [Two rooks are said to be attacking each other if they are placed in the same row or column of the board.]
Solution 2 Consider rooks on black squares first. We have 8 rooks and 9 rows, so exactly one row will be without rooks. There are two cases: either the empty row has 5 black squares or it has 4 black squares. By permutation these rows can be made either last or second last. In each case we’ll count the possible number of ways of placing the rooks on the board as we proceed row by row. In the first case we have 5 choices for the empty row, then we can place a rook on any of the black squares in row 1 (5 possibilities) and any of the black squares in row 2 (4 possibilities). When we attempt to place a rook in row 3, we must avoid the column containing the rook that was placed in row 1, so we have 4 possibilities. Using similar reasoning, we can place the rook on any of 3 possible black squares in row 4, etc. The total number of possibilities for the first case is 5 · 5 · 4 · 4 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 = (5!)2 . In the second case, we have 4 choices for the empty row (but assume it’s the second last row). We now place rooks as before and using similar logic, we get that the total number of possibilities for the second case is 4 · 5 · 4 · 4 · 3 · 3 · 2 · 1 · 1 = 4(5!4!). Now, do the same for the white squares. If a row with 4 white squares is empty (5 ways to choose it), then the total number of possibilities is (5!)2. It’s impossible to have a row with 5 white squares empty, so the total number of ways to place rooks is (5!)2 + 4(5!4!) + (5!)2 = (5 + 4 + 5)5!4! = 14(5!4!).
2004年全国初中数学竞赛试题-6
2004年全国初中数学竞赛试题-6D7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d （单位：km）有T=kmn的关系（k为常数）。
现测得A、B、C三个2d城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话次数为次（用t表示）。
8、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)= 。
9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=900，BC=CD=12，∠ABE=45，若AE=10，则CE的长度为。
10、实数x、y、z满足x+y+z=5 ，xy+yz+zx=3 ，则z的最大值是 .三、解答题:11、通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一端时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）。
当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。
（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题，需讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。
12、已知a 、b 是实数 ，关于x 、y 的方程组{bxax x y bax y --=+=23 有整数解 ，求a 、b 满足的关系式。
13、D 是△ABC 的边AB 上的一点 ， 使得AB=3AD ， P 是△ABC外接圆上一点 ， 使得 ∠ADP=∠ACB，求PD PB的值。
14、已知a＜0 , b≤0 ,c＞0 , 且ac2 =b-2ac , 求b2-4ac的最b4小值。
数学奥林匹克竞赛题：例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。
备考2004年硕士研究生入学考试数学考试大纲
备考2004年硕士研究生入学考试数学考试大纲一、考试性质全国硕士研究生入学数学考试是为招收工学、经济学、管理学硕士研究生而实施的具有选拔功能的水平考试。
它的指导思想是既有利于国家对高层次人才的选拔，也要有利于促进高等学校各类数学课程教学质量的提高。
考试对象为2004年参加全国研究生入学数学考试的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想像能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间全国硕士研究生入学数学考试采用闭卷、笔试形式，考试时间为180分钟。
四、试卷分类及适用专业根据工学、经济学、管理学各学科和专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的要求不同，将数学统考试卷分为数学一、数学二、数学三和数学四。
每种试卷适用的招生专业如下：数学一适用的招生专业1．工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。
2．工学的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业。
3．管理学门类中的管理科学与工程一级学科。
数学二适用的招生专业：1．工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。
2．工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较低的二级学科、专业。
数学三适用的招生专业1．经济学门类的应用经济学一级学科中统计学、数量经济学二级学科、专业。
2004年复旦大学保送生考试数学试题
复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21一、填空题（每题8分，共80分）1．)1)(12(124248++++=+ax x x x x ，则=a _________．2．已知74535=-++x x ，则x 的范围是___________．3．椭圆191622=+y x ，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法．5．已知等比数列{}n a 中31=a ，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______．6．0)1(2<++-a x a x 的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是___________．7．已知194)4(22=+-y x ，则9422y x +的最大值为____________． 8．设21,x x 是方程053cos53sin 2=+-ππx x 的两解，则21arctgx arctgx +=__________． 9．z z =3的非零解是___________．10．x xy +-=112的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分）1．解方程：1)3(log 5=--x x ．2．已知1312)sin(=+βα，54)sin(-=-βα，且2,0,0πβαβα<+>>，求α2tg ．3．已知过两抛物线C 1：2)1(1-=+y x ，C 2：2(1)41y x a -=--+的交点的各自的切线互相垂直，求a ．4．若存在M ，使任意D t ∈（D 为函数)(x f 的定义域），都有M x f ≤)(，则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)21,0(∈x 上是否有界？5．求证：3131211333<++++n ．6．已知E 为棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点，求点B 到平面A 1EC 的距离．7．比较25log 24与26log 25的大小并说明理由．8．已知数列{}n a 、{}n b 满足n n n b a a 21--=+，且n n n b a b 661+=+，又21=a ，41=b ，求 (1) n n b a ,； (2) nn b a lim ．【简答】：一、填空题：1.2- 2.)8.0,6.0(- 3.20 4.31二、解答题：5．证明1：111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m m m m m m m m m=（2111)1111-++⋅⋅+--m m m m m而 m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式<1+111141213111+--++-+-n n =3111222<+--+n n证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n 11)1(1121---=-+-<n n n n n n nn n n n n n n n 111)1(121--=---< 原式〈313)1113121211(21<-=--++-+-+n n n。
南开大学 2004年数学分析
2004年南开大学数学分析试题答案1. 1lim )()(lim)()(')()(ln1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→-→a f a f ax a f x f ax ax a x eea f x f2.y x f xyy f x z 2-=∂∂, yy yx y xy xx x f xy f x y f x f x y yxf f y x z 3221---++=∂∂∂=yy y xx x f x yf x yxf f 321--+3.即证明x x x ++<+111)1ln(2，即证xx x +-+<+111)1ln(2 设=)(x f xx x ++--+111)1ln(2，0)0(=f ，2)1(1112)('x x x f +--+=0)1(22<+-=x x ，0)0()(=<f x f ，证完。
4.⎰⎰+Ddxdy y x y x )ln(2222=⎰⎰1252022ln cos sin drr r d πθθθ=⎰⎰152022ln cos sin 8rdr r d πθθθ= 72π-5.设P=22y x -，Q=xy 2-，yPy x Q ∂∂=-=∂∂2，积分与路径无关，则 ⎰==ππ0323dx x J6.ααnen n nnn1ln 1-=-1ln +≈αn n ,又当0>α时，∑∞=+11ln n nn α收敛，当0≤α时，级数∑∞=+11ln n nn α发散，原题得证 7.由拉格朗日定理，nf n f n f n )(')()2(ξ=-，其中nn n 2<<ξ0)()2(lim)('lim =-=∞→∞→n n f n f f n n n ξ，原题得证8.（1）应用数学归纳法，当1=n 时命题成立，若当kn =时命题也成立，则当1+=k n 时，2)(},min{1111++++--+==k k k k k k k f F f F f F F ，由归纳假设1+k F 连续。
2004年亚太数学奥林匹克邀请赛(试题+详解)
Asia Pacific Mathematical Olympiad for Primary Schools 2004Invitation Round1、 ABCD is a quadrilateral (4 sided figure )AE and GC are perpendicular to BD.Given that BE=EF=FD ，GF=FC and thatthe total area of ABE and DFG is 212.9cm find the area of the quadrilateral ABCD.1、 ABCD 是四边形，AE 和GC 垂直与BD ，已知BE=EF=FD ，GF=FC ，且三角形ABE 和三角形DFC 的面积和为212.9cm ，四边形ABCD 的面积为多少？2、 Teams X and Y work separately on two different projects.On sunny days, team X can complete the work in 12 dayswhile team Y needs 15 days.On rainy days, team X ’s efficiency decreases by 50%while team Y ’s efficiency decreases by 25%Given that the two teams started and ended the projects at the same time.how many rainy days are there?2、甲队和乙队各自独立做两个不同的工程。
晴天时，甲队12天完成全部工程，而乙队需要量15天。
雨天时，甲队的工作效率下降50%，乙队的工作效率下降25%。
如果两队同时开始工作，且同时完成各自的工程。
问：工程期间雨天有多少天？3、2004 students arrange themselves in a row.In the first round of counting ,they number themselves1,2,3,1,2,3,1,2,3…from left to rightIn the second round of counting,they number themselves1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5…from right to left 。