2020届上海虹口区数学一模原卷板
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．5．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+ 【答案】C【解析】【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项. 【详解】 由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--， 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.6．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72D ．3 【答案】B【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】 过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B .【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -=【答案】B【解析】【分析】 根据所求双曲线的渐近线方程为y 2x =±，可设所求双曲线的标准方程为222x y-=k ．再把点()22,2-代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为y 2x,=±∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又()22,2-在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-= 故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．10．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】 作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 32206z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.11．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *=∈N ,利用12f T ωπ==可得12()n n ωω*=∈N ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*=∈N , 故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海市虹口区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)
（第10题图）2020年上海市虹口区高三一模数学试卷（含答案）（精校Word 版）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++则5________.a =8. 设1()fx -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角 板拼在一起，则OD AB ⋅=_________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.AA参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 33AA =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因 (10)分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC == ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π......4分 （2）由于1(0,0,2)OO =是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-, (6)分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111(1,sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅ 于是，直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为arcsin…… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故1212221,.44y y y y m m +=-=-++从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以3),OQ m=-于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而23()).F R m==-由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-故2.F R l⊥……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅= (12)分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-=或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=-- 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++ 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
2020年上海虹口区市级联考初中三年级一模数学试卷
2020届虹口区中考数学一模一、选择题1、如果1cos 2α=，那么锐角α的度数为（ ） A.30o B.45o C.60o D.90o2、在Rt ABC V 中，90C ∠=o ，如果2BC =，tan 2B =，那么AC =（ ）A.1B.4 D.3、抛物线()2311y x =++的顶点所在象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4、已知抛物线2y x =经过()12,A y -、()21,B y 两点，在下列关系式中，正确的是（ ）A.120y y >>B.210y y >>C.120y y >>D.210y y >>5、已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是（ ）A.a b =r rB.//a c r r ，//b c r rC.0a b +=r r rD.2a b c +=r r r ，3a b c -=r r r6、如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，BAD C ∠=∠，2AC AD =，如果ACD V 的面积为15，那么ABD V 的面积为（ ）A.15B.10C.7.5D.5二、填空题7、如果:2:3a b =，且10a b +=，那么a = . 8、如果向量a r 、b r 、x r 满足关系式()230b a x -+=r r r r ，那么用向量a r 、b r 表示向量x =r . 9、如果抛物线()211y a x =-+的开口向下，那么a 的取值范围是 . 10、沿着x 轴正方向看，抛物线()21y x =--在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）11、如果函数()212m m y m x -=++是二次函数，那么m = .12、如图，抛物线的对称轴为直线1x =，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为()4,0，那么点Q 的坐标为 .13、如图，点()2,A m 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，如果3tan 2α=，那么m = .14、已知111ABC A B C V :V ，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，12AC =、118AC =，ABC V 的高AD 为6，那么111A B C V 的高11A D 长为 .15、如图，在梯形AEFB 中，//AB EF ，6AB =，10EF =，点C 、D 分别在边AE 、BF 上且//CD AB ，如果3AC CE =，那么CD = .16、公元三世际，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是 .17、如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=o ，1AC =，2BC =，点D 为边AB 上一动点，正方形DEFG 的顶点E 、F 都在边BC 上，联结BG ，tan DGB ∠= .18、如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，sin 5C 4=，9AB =，6AD =，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将BEF V 沿着EF 所在直线翻折，使BF 的对应线段'B F 经过顶点A ，'B F 交对角线BD 于点P ，当'B F AB ⊥时，AP = .三、解答题19、计算：24sin 30tan 60cot 30tan 45--oo o o20、在平面直角坐标系中，将抛物线21:2C y x x =-向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线2C .（1）求新抛物线2C 的表达式；（2）如图，将OAB V 沿x 轴向左平移得到'''O A B V ，点()0,5A 的对应点'A 落在平移后的新抛物线2C 上，求点B 与其对应点'B 的距离.21、如图，在Rt ABC V 中，90ABC ∠=o ，点G 是Rt ABC V 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE BC ⊥交边BC 于点E .（1）如果AC a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r 、b r 表示向量BG u u u r ；（2）当12AB =时，求GE 的长.22、某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB （假定树干AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7o （即'7BAB ∠=o ）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处，测得37CDA ∠=o ，5AD =米，求这棵大树AB 的高度.（结果保留根号）（参考数据：sin 370.6≈o ，cos370.8=o ，tan 370.75≈o ）23、如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，点D 是边BC 的中点，联结AD .过点C 作CE AD ⊥于点E ，联结BE .（1）求证：2BD DE AD =⋅；（2）如果ABC DCE ∠=∠，求证：BD CE BE DE ⋅=⋅.24、在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为（1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”，①当D 在射线AP 上，如果DAB ∠为ABD V 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE EF ⊥，如果CEF ∠为ECF V 的特征角，求点E 的坐标.25、在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，4BC =，3sin 5ABC ∠=，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE AD ⊥分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ，过点A 作//AG BD ，交直线BE 于点G .（1）当点D 在BC 的延长线上时，如果2CD =，求tan FBC ∠； （2）当点D 在BC 的延长线上时，设AG x =，ADF S y =V ，求y 关于x 的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果8AG =，求DE 的长.参考答案1-6、CBBCAD7、4 8、23b a -r r 9、1a > 10、右 11、2 12、()2,0- 13、3 14、4 15、9 16、16917、13 18、24719220、（1）()214y x =+-；（2）4个单位 21、（1）1233BG a b =-u u u r r r ；（2）422、423、证明略24、（1）223y x x =-++，(1,P ；（2）①(，(；②⎝⎭25、（1）23；（2）()22724x y x =+；（32120.。
上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F,若AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ，则∠ACB 等于（ ）A ．∠EDB B ．∠BEDC ．∠EBD D ．2∠ABF2．在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是（ ） A ．圆锥 B ．圆柱 C ．球 D ．正方体3．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B ．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是64．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．5．如图所示：有理数,a b 在数轴上的对应点，则下列式子中错误．．的是（ ）A ．0ab >B ．0a b +<C ．1a b <D ．0a b -<6．在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38，52，47，46，50，50，61，72，45，48，则这10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.67．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，点CE=1，AC=4，则下列结论一定正确的个数是（ ）①∠CDE=∠DFB；②BD＞CE；③BC=2CD；④△DCE与△BDF的周长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8．cos45°的值是（）A．12B．32C．22D．19．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．如图所示的几何体的主视图是( )A．B．C．D．11．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-4 12．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．观察下列等式：第1个等式：a1=111(1) 1323=⨯-⨯；第2个等式：a 2=1111()35235=⨯-⨯； 第3个等式：a 3=1111()57257=⨯-⨯； …请按以上规律解答下列问题：（1）列出第5个等式：a 5=_____；（2）求a 1+a 2+a 3+…+a n =4999，那么n 的值为_____． 14．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．15．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为9m ，那么这栋建筑物的高度为_____m ．16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.17．一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____． 18．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC DF AE ⊥＝，，垂足为F.（1）求证：AF BE ＝；（2）如果21BE EC ：＝：，求CDF ∠的余切值. 20．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2，2)，B(﹣3，1)，C(﹣1，0)．(1)将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到△DEF ，画出△DEF ；(2)以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A 1B 1C 1，若P(x ，y)为△ABC 中的任意一点，这次变换后的对应点P 1的坐标为 .21．（6分）某水果店购进甲乙两种水果，销售过程中发现甲种水果比乙种水果销售量大，店主决定将乙种水果降价1元促销，降价后30元可购买乙种水果的斤数是原来购买乙种水果斤数的1.5倍．（1）求降价后乙种水果的售价是多少元/斤？（2）根据销售情况，水果店用不多于900元的资金再次购进两种水果共500斤，甲种水果进价为2元/斤，乙种水果进价为1.5元/斤，问至少购进乙种水果多少斤？22．（8分）如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．23．（8分）某生姜种植基地计划种植A,B两种生姜30亩.已知A,B两种生姜的年产量分别为2000千克/亩、2500千克/亩,收购单价分别是8元/千克、7元/千克.(1)若该基地收获两种生姜的年总产量为68000千克,求A,B两种生姜各种多少亩?(2)若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半,那么种植A,B两种生姜各多少亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多?最多是多少元?24．（10分）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x xx--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a ab -=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1 ∴42231x x x --+-+=222(1)(2)11x x x -+++-+=222(1)(2)1x x x -++-++211x -+=x 2+2+211x -+这样，分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x -+的和． 解答：将分式422681x x x --+-+ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明422681x x x --+-+的最小值为1．25．（10分）在“双十二”期间，,A B 两个超市开展促销活动，活动方式如下：A 超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；B 超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B 两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B 商场购买的数量比在A 商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案） 26．（12分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg ）分成五组（A ：39.5～46.5；B ：46.5～53.5；C ：53.5～60.5；D ：60.5～67.5；E ：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．27．（12分）如图，在ABC V 中，CD AB ⊥，垂足为D ，点E 在BC 上，EF AB ⊥，垂足为F.12∠∠=，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB=∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案.【详解】在△ABC和△DEB中，AC BDAB EDBC BE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以△ABC≅△BDE(SSS)，所以∠ACB=∠DBE.故本题正确答案为C.【点睛】.本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉掌握是关键.2．C【解析】【分析】根据各几何体的主视图可能出现的情况进行讨论即可作出判断.【详解】A. 圆锥的主视图可以是三角形也可能是圆，故不符合题意；B. 圆柱的主视图可能是长方形也可能是圆，故不符合题意；C. 球的主视图只能是圆，故符合题意；D. 正方体的主视图是正方形或长方形（中间有一竖），故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图——主视图，明确主视图是从物体正面看得到的图形是关键. 3．D【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为23≈0.67>0.16，故A 选项不符合题意， 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327≈0.48>0.16，故B 选项不符合题意， 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12=0.5>0.16，故C 选项不符合题意， 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是16≈0.16，故D 选项符合题意， 故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.4．C【解析】试题分析：观察可得，只有选项C 的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.考点：简单几何体的三视图.5．C【解析】【分析】从数轴上可以看出a 、b 都是负数，且a ＜b ，由此逐项分析得出结论即可．【详解】由数轴可知：a<b<0，A 、两数相乘，同号得正，ab ＞0是正确的；B 、同号相加，取相同的符号，a+b ＜0是正确的；C 、a ＜b ＜0，1a b＞，故选项是错误的； D 、a-b=a+（-b ）取a 的符号，a-b ＜0是正确的．故选：C ．【点睛】此题考查有理数的混合运算，数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.6．C【解析】【分析】用仰卧起坐个数不少于10个的频数除以女生总人数10计算即可得解．仰卧起坐个数不少于10个的有12、10、10、61、72共1个，所以，频率=510=0.1．故选C．【点睛】本题考查了频数与频率，频率=频数数据总和．7．D【解析】等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，由折叠可得，∠EDF=∠A=45°，∴∠CDE+∠BDF=135°，∠DFB+∠B=135°，∴∠CDE=∠DFB，故①正确；由折叠可得，DE=AE=3，∴=，∴BD=BC﹣DC=4﹣1，∴BD＞CE，故②正确；∵BC=4CD=4，∴CD，故③正确；∵AC=BC=4，∠C=90°，∴，∵△DCE的周长，由折叠可得，DF=AF，∴△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4+（4﹣），∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确；故选D．点睛：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．C【解析】本题主要是特殊角的三角函数值的问题，求解本题的关键是熟悉特殊角的三角函数值. 【详解】cos45°=2 2.故选：C.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.9．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．C【解析】【分析】主视图就是从正面看，看列数和每一列的个数.【详解】解：由图可知，主视图如下故选C．【点睛】考核知识点：组合体的三视图.11．D【详解】2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣1)，得： m+1x=x ﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D ．12．A【解析】【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．【详解】根据轴对称图形的概念，可知：选项A 中的图形不是轴对称图形．故选A ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1111()9112911=⨯-⨯ 49 【解析】【分析】（1）观察等式可得()()1111,212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 然后根据此规律就可解决问题； （2）只需运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题．【详解】(1)观察等式,可得以下规律：()()1111,212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴51111.9112911a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭(2)12311111111111(1)()()2323525722121n a a a a n n ⎛⎫+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+- ⎪-+⎝⎭ 1149(1)22199n =-=+， 解得：n=49. 故答案为：11119112911⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭49.属于规律型：数字的变化类，观察题目，找出题目中数字的变化规律是解题的关键. 14．1【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=1，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．15．1【解析】分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．详解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，2=19x，解得x=1，即这栋建筑物的高度为1m．故答案为1．点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．16．1【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：1，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【详解】如图：，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP=BD ：AC=1：3，∴DP ：DF=1：1，∴DP=PF=CF=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF==1，∵∠APD=∠BPF ，∴tan ∠APD=1．故答案为：1【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．17．120°【解析】【分析】设扇形的半径为r ，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r ，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为n°． 由题意：1816··233r ππ=, ∴r ＝4， ∴24163603n ππ= ∴n ＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.18．m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0解得：m≤3且m≠2.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）见解析；（2）25 cot CDF∠=.【解析】【分析】（1）矩形的性质得到AD BC AD BC＝，∥，得到AD AE DAF AEB∠∠＝，＝，根据AAS定理证明ABE DFAV V≌；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.【详解】解：（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，AD BC AD BC∴＝，∥，AD AE DAF AEB∴∠∠＝，＝，在ABE△和DFAV中，DAF AEBAFD EBAAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE DFA∴V V≌，AF BE∴＝；（2）ABE DFAQV V≌，AD AE DAF AEB∴∠∠＝，＝，设CE k＝，21BE ECQ：＝：，2BE k∴＝，3AD AE k∴＝＝，225AB AE BE k∴=-=，9090ADF CDF ADF DAF∠+∠︒∠+∠︒Q＝，＝，CDF DAE∴∠∠＝，CDF AEB∴∠∠＝，25cot cot55BECDF AEBAB k∴∠=∠===.本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.20．(1)见解析；(2)见解析，(﹣2x，﹣2y)．【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点D、E、F，即可得到△DEF；（2）先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点，再顺次连接各顶点，得到△A1B1C1，根据△A1B1C1结合位似的性质即可得P1的坐标.【详解】(1)如图所示，△DEF即为所求；(2)如图所示，△A1B1C1即为所求，这次变换后的对应点P1的坐标为(﹣2x，﹣2y)，故答案为(﹣2x，﹣2y)．【点睛】本题主要考查了位似变换与旋转变换，解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点，再连接各顶点得到新的图形．在画位似图形时需要注意，位似图形的位似中心可能在两个图形之间，也可能在两个图形的同侧.21．（1）降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）至少购进乙种水果200斤．【解析】【分析】（1）设降价后乙种水果的售价是x元，30元可购买乙种水果的斤数是30x，原来购买乙种水果斤数是30x1，根据题意即可列出等式；（2）设至少购进乙种水果y斤，甲种水果（500﹣y）斤，有甲乙的单价，总斤数≤900即可列出不等式，求解即可.解：（1）设降价后乙种水果的售价是x 元，根据题意可得：3030 1.51x x =⨯+， 解得：x ＝2，经检验x ＝2是原方程的解，答：降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）设至少购进乙种水果y 斤，根据题意可得：2（500﹣y ）+1.5y≤900，解得：y≥200，答：至少购进乙种水果200斤．【点睛】本题考查了分式的应用和一元一次不等式的应用，根据题意列出式子是解题的关键22．（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M 点坐标分别为：M 1（2，﹣、M 2（﹣2，﹣、M 3（﹣2，）、M 4（2，．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC 是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC ，因此OA=AC=AP ，即OP 边上的中线等于OP 的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC 与⊙O 的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO 、△OAC 的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M 点，即：C 点以及C 点关于x 轴、y 轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC ，∠OAC=60°，∴△OAC 是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA ，已知PA=OA ，即OA=PA=AC ；∴AC=12OP ，因此△OCP 是直角三角形，且∠OCP=90°， 而OC 是⊙O 的半径，故PC 与⊙O 的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3、M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3）、M4（2，3．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．23．（1）种植A种生姜14亩,种植B种生姜16亩；(2) 种植A种生姜10亩,种植B种生姜20亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多,最多为510000元.【解析】试题分析：（1）设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜（30-x）亩，根据：A种生姜的产量+B 种生姜的产量=总产量，列方程求解；（2）设A种生姜x亩，根据A种生姜的亩数不少于B种的一半，列不等式求x的取值范围，再根据（1）的等量关系列出函数关系式，在x的取值范围内求总产量的最大值．试题解析：(1)设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，根据题意，2000x+2500(30-x)=68000，解得x=14，∴30-x=16，答:种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；(2)由题意得，x≥(30-x)，解得x≥10，设全部收购该基地生姜的年总收入为y 元，则y=8×2000x+7×2500(30-x)=-1500x+525000，∵y 随x 的增大而减小，∴当x=10时，y 有最大值，此时，30-x=20，y 的最大值为510000元，答：种植A 种生姜10亩，种植B 种生姜20亩时，全部收购该基地生姜的年总收入最多，最多为510000元.【点睛】本题考查了一次函数的应用．关键是根据总产量=A 种生姜的产量+B 种生姜的产量，列方程或函数关系式．24． (1) =x 2+7+211x -+ (2) 见解析 【解析】【分析】（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可； （2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．【详解】（1）设﹣x 4﹣6x+1=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4+（1﹣a ）x 2+a+b ，可得168a ab -=-⎧⎨+=⎩ ， 解得：a=7，b=1， 则原式=x 2+7+211x -+；（2）由（1）可知，422681x x x --+-+=x 2+7+211x -+ ． ∵x 2≥0，∴x 2+7≥7；当x=0时，取得最小值0，∴当x=0时，x 2+7+211x -+最小值为1，即原式的最小值为1．25．（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析【解析】【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x 元，根据题意可知在B 超市可买篮球42000.8x个，在A 超市可买篮球42003000.9x+个，根据在B 商场比在A 商场多买5个列方程进行求解即可； （2）分情况，单独在A 超市买100个、单独在B 超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x 元， 依题意，得4200420030050.80.9x x+-=， 解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，单独在A 超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元， 在A 超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元， 单独在B 超市购买：100×50×0.8=4000元， 在A 、B 两个超市共买100个，根据A 超市的方案可知在A 超市一次购买：20000.950⨯=4449，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B 超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元， 综上可知最少费用的购买方案：在A 超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B 超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.26．576名【解析】试题分析：根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在B 组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．试题解析：本次调查的学生有：32÷16%=200（名），体重在B 组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），补全的条形统计图如右图所示，我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×64200=576（名），答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．27．DG∥BC，理由见解析【解析】【分析】由垂线的性质得出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2=∠DCE，再由已知条件得出∠1=∠DCE，即可得出结论．【详解】解：DG∥BC，理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE，∴DG∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明∠1=∠DCE是解题关键．。
2020年上海虹口区初三数学一模试卷与答案
虹口区 2019 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷（满分 150 分，考试时间100 分钟）2020.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共 25 题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6 题，每题 4 分，满分 24 分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上． ] 1．如果 cos=1，那么锐角 的度数为2A ． 30°；B ． 45°；C ． 60°；D ．90°．2．在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果 BC=2， tanB=2，那么 AC 长为A ． 1；B ． 4；C ． 5；D ．2 5．3．抛物线 y3(x 1)2 +1 的顶点所在象限是A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D . 第四象限．4．已知抛物线 y x 2经过 A( 2, y 1 ) 、 B(1, y 2 ) 两点，在下列关系式中，正确的是A ． y 1 0 y 2 ；B ． y 2 0 y 1 ；C ． y 1 y 2 0 ；D ． y 2 y 1 0 ．．已知 、 和 c 都是非零向量，在下列选项中，不能 判定 a ∥ b 的是5a b．．A ． a = b ；B ． a ∥ c ， b ∥ c ；C ． a+b 0 ；D ． a+b 2c ， a b 3c ．6．如图 1，点 D 是△ ABC 的边 BC 上一点， ∠ BAD= ∠ C ，AC=2AD ，如果△ ACD 的面积为15，那么△ ABD 的面积为AA ．；B ． ；C ． 7.5； B CD ．5．D图 1A二、填空题（本大题共12 题，每题 4 分，满分 48 分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置 ]7．如果 a: b 2:3 ，且 a+b 10 ，那么 a 的值为r ▲ ．r r rr r rr r r8．如果向量 a 、 b 、 x 满足关系式 2b 3(a+x)0 ，那么用向量 a 、b 表示向量 x = ▲．9．如果抛物线 y(1 a) x 21 的开口向下，那么 a 的取值范围是 ▲ ．10．沿着 x 轴正方向看，抛物线y(x1)2 在对称轴▲侧的部分是下降的（填“左”或“右”）．11．如果函数y （m1)x m 2m2 是二次函数，那么 m 的值为 ▲ ．12．如图 2，抛物线的对称轴为直线x 1 ，点 P 、 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，点 P 在点 Q 的右侧，如果点 P 的坐标为 （ 4， 0），那么点 Q 的坐标为▲ ．yyABAQ OPxCD图 2OxEA图 4F图 313．如图 3，点 A （ 2，m ）在第一象限， OA 与 x 轴所夹的锐角为3，那么 m，如果 tan =的值为▲．214．已知△ ABC ∽△ A 1B 1C 1，顶点 A 、B 、C 分别与 A 1、B 1、C 1 对应， AC =12，A 1C 1=8，△ ABC的高 AD 为 6，那么△ A 1B 1C 1 的高 A 1D 1 长为 ▲．15．如图 4，在梯形 AEFB 中， AB ∥ EF ， AB=6， EF=10 ，点 C 、D 分别在边 AE 、 BF 上且CD ∥AB ，如果 AC= 3CE ，那么 CD 长为▲．16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图” （如图 5），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面积是 49，直角三角形中较小锐角的正切为 5，那么大正方形的面积是▲．1217．如图 6，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=1，BC=2，点 D 为边 AB 上一动点， 正方形DEFG的顶点 E 、 F 都在边 BC 上，联结 BG ， tan ∠ DGB 的值为▲．18．如图 7，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，sinC= 4，AB= 9，AD =6，点 E 、F 分别在边 AB 、5BC 上，联结 EF ，将△ BEF 沿着 EF 翻折，使 BF 的对应线段 B ’F 经过顶点 A ， B ’F 交对角线 BD 于点 P ，当 B ’F⊥ AB 时， AP 的长为▲．AADGDC FE BBC图 5图 6图 7三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（本题满分 10 分）计算：4sin 30tan 2 60 ．cot 30 tan 4520．（本题满分 10 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 4 分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线C1：y x22x 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．（1）求新抛物线 C2的表达式；（2）如图 8，将△ OAB 沿 x 轴向左平移得到△ O’A’B，’点 A（ 0，5）的对应点 A’落在平移后的新抛物线C2上，求点 B 与其对应点B’的距离．yA’A C2B’BO’O x图 821．（本题满分 10 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 4 分）如图 9，在 Rt△ ABC 中，∠ ABC= 90°，点 G 是 Rt△ ABC 的重心，联结BG 并延长交 AC 于点 D，过点 G 作 GE⊥ BC 交边 BC 于点 E．（ 1）如果AC a，AB b，用a、b表示向量 BG ；A （ 2）当 AB= 12 时，求 GE 的长．DGC E B图 922．（本题满分 10 分）AB（假定树干 AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7°某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（即∠ BAB’ =7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面 D 处（如图10 所示），测得∠ CDA 为 37°， AD 为 5 米，求这棵大树AB 的高度．（结果保留根号）（参考数据： sin370.6 ， cos370.8 ， tan370.75）B B’C37°23．（本题满分12 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分A D6 分）图 10如图 11，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，点 D 是边 BC 的中点，联结 AD ，过点 C 作CE ⊥ AD 于点 E ，联结 BE ．A （ 1）求证： BD 2 DE AD ；（ 2）如果∠ ABC=∠ DCE ，求证： BD CE BE DE ．ECD B图 1124．（本题满分 12 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分8 分）如图 12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yx 2bx c 与 x 轴交于 A （ - 1， 0）、B两点，与 y 轴交于点 C （ 0， 3），点 P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为2 3 ．（ 1）求抛物线的表达式以及点 P 的坐标；（ 2） 当三角形中一个内角 α是另一个内角 β的两倍时，我们称 α为此三角形的 “特征角”．①点 D 在射线 AP 上，如果∠ DAB 为△ ABD 的特征角，求点 D 的坐标；②点 E 为第一象限内抛物线上一点， 点 F 在 x 轴上， CE ⊥ EF ，如果∠ CEF 为△ ECF 的特征角，求点 E 的坐标．yCA OBx图 1225．（本题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分 6 分，第（ 3）小题满分4 分）在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 °， BC=4， sin ∠ABC= 3，点 D 为射线 BC 上一点，联结 AD ，5过点 B 作 BE ⊥ AD 分别交射线 AD 、AC 于点 E 、F ，联结 DF ．过点 A 作 AG ∥ BD ，交直线 BE于点 G ．（ 1）当点 D 在 BC 的延长线上时（如图13），如果 CD =2，求 tan ∠FBC ； （ 2）当点 D 在 BC 的延长线上时（如图 13），设 AG x ， S ADFy ，求 y 关于 x 的函数关系式（不写函数的定义域） ；（ 3）如果 AG =8，求 DE 的长．GAAEFDCBCB图 13备用图虹口区 2019 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷评分参考建议2020.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5．评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位．一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24 分）1． C2． B3．B4．C5． A6． D二、填空题（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）7． 48．a 29． a＞110．右11． 2 b12． (－ 2,0)13． 3314． 415． 916． 16912417．18．37三、解答题（本大题共7 题，满分78 分）4122319．解：原式 =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8 分）312=331= 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）20 1 y x22x =x 1 2 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）．解：（）∵抛物线向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，∴新的抛物线C2的表达式为：y x 1 2 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）（ 2）∵将△ OAB 沿 x 轴向左平移得到△ O’A’B’∴设 A’（ x， 5）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∵点 A 的对应点 A’落在 C2上∴ 5x 1 24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）解得 x1 2 ， x2 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）x=2 不合题意，舍去∴点 B 与其对应点 B’的距离为 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）21．解：（ 1）∵点 G 是 Rt △ ABC 的重心∴点 D 为 AC 的中点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）∴ AD1AC1a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）22∴ BDBA AD b 1a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）2 2BD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（∵点 G 是 Rt △ABC 的重心∴ BG1 分）3∵ BG 与BD 同向∴ BG2BD2 b 1a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）333（ 2）在 Rt △ ABC 中，点 D 为 AC 的中点∴ CD=DB ∴∠ C=∠ DBC∵ GE ⊥ BC ∠ ABC= 90° ∴∠ ABC= ∠ GEB=90°∴△ GEB ∽△ ABC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∴GE BG⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（AB AC21 1 ∵ BGBD BDA C ∴ BGAC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（323∴ G E 1 12 3∴ GE=4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（22．解：过点 A 作 AE ⊥ CD ，垂足为点 E ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（在 Rt △ ADE 中， DE AD cos CDA5 0.8 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ AE AD sin CDA 5 0.6 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（在 Rt △ ADE 中，∠ DAE +∠ ADC =90° ∴∠ DAE =90° - 37° =53°∴∠ CAE =90°- 7° - 53° =30°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）2 分）1 分）1 分）在 Rt △ ACE 中， CEAE tan CAE 33 2 分）3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3A C 2CE 23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）由题得 AB AB ' ACB 'C AC CD AC CE DE 3 3 4 ⋯⋯⋯⋯（ 1分）答：这棵大树AB 原来的高度是（3 34 ）米． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）23．证明：（ 1）∵ CE ⊥ AD ，∠ ACB=90°∴∠ ACB=∠ CED=90 °∵∠ EDC =∠ CDA∴△ EDC ∽△ CDA ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3 分）DE CD∴ADCD2 分）∴CD 2 =DE · AD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∵点 D 是边 BC 的中点 ∴ CD=BD∴BD 2=DE · AD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）（ 2）由（ 1）得DEBD且∠ EDB =∠ BDABD AD∴△ BDE ∽△ ADB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分） ∴∠ ABC =∠BED ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∵∠ ABC =∠DCE ， ∴∠ BED =∠ DCE ∵∠ EBD =∠ CBE∴△ EBD ∽△ CBE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）∴ BDED 即BD CEBE DE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）BECE24．解：（ 1） ∵ yx 2 bxc 过 A(－ 1， 0)， C(0， 3)0= 1b c;b=2; 2 分） ∴c.解得：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3c3.∴ yx 22x 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）对称轴为直线x=1∵点 P 在对称轴上，且纵坐标为 2 3 ，∴点 P 的坐标为（1， 2 3 ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）（ 2）设直线 x= 1 交 x 轴于点 Q∵ A(－ 1，0)， P （ 1， 2 3 ） ∴ AQ=2PQ = 2 3∴ tanPAQ 3∴∠ PAQ=60° 即∠ DAB= 60°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∵点 D 在射线 AP 上，且∠ DAB 为△ ABD 的特征角，∴∠ ABD=30 °或∠ ADB =30 °，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（∴点 D 的坐标为（ 0， 3 ）或（ 3， 4 3 ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（（ 3）过点 E 作 EG ⊥ x 轴于点 G ，过点 C 作 CH ⊥ GE 的延长线于点 H .∵ CE ⊥ EF 且∠ CEF 为△ ECF 的特征角，∴∠ ECF =∠ CFE =45°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∴ CE=EF在 Rt △ CHE 中， ∠HCE+ ∠CEH =90° ∵∠ CEH+∠ FEG=90 °∴ ∠HCE =∠ FEG∵ ∠ H=∠EGF=90 °∴△ CHE ≌△ EGF∴ CH =EG ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（∵点 E 为第一象限内抛物线上一点 ∴设 E （ a ， a22a 3）∴ aa 2 2a 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（113 （舍负）解得 a2∴ E1+ 13 1+ 13 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（（，)2 225. （ 1）在 Rt △BED 中， ∠EDB+ ∠EBD =90° 同理 ∠ADC+ ∠DAC =90°∴∠ DAC=∠ EBD 即∠ DAC =∠ FBC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（由 sin ∠ ABC= 3可得 tan ∠ABC= 35 41 分）1 分）2 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）在 Rt △ ABC 中， AC= BC tan ABC 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）又∵ CD =2在 Rt △ ACD 中， tanDACDC 2AC32∴ tanFBCtan⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）DAC3（ 2）∵ AG ∥ BD∴ AGAFCBFC∴xAF ∴ AF =3x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）43 AFx 4∴ FC=12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）x 4∴ FCDC∵ tanFBCtanDAC∴ ACDCBCAC∴ tan ABCtanDFCBCFC∴ ABCDFC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）由 sin ∠ ABC= 3可得 tan ∠ABC= 35 4∴ DC3FC3 12 x 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）4 4 x 4 4 ∴ y1 3x 92 x 4 x 4即 y27x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）2 x 2 16x32（ 3） ① 当点 D 在 BC 的延长线上时，∵ AG ∥ CB ，∴AGAF ， 8 3 FCCBFC 4 FC∴ FC =1，∴ CDFC tan3DFC319 4∴ DB44，419 1 19∴ DEBD sinEBD17 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）41768② 当点D 在边 BC 上时，∵ AG ∥ CB ， ∴BCFC∴ 4FC，AG FA83 FC∴FC=3∴ CD FC tan9 ,DFC9747 3 21∴ DBDEBD sin2 分）4，EBD =5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4 44 20综上， DE 21或1917. 2068。
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019.12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. 设全集U =R ，若A ={1|21x x x ->}，则U A =______2. 若复数3i 1iz -=+(i 为虚数单位)，则|z |=______ 3. 设x ∈R +，则21x x ++的最小值为______ 4. 若sin2cos 0cos 1x xx =，则锐角x =______5. 设等差数列{n a }的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a =______6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为______7. 设()()6270127211...x x a a x a x a x --=++++，则5a =______8. 设()1f x -为函数()()2log 41x f x =-的反函数，则当()()12f x f x -=时，x 的值为______9. 已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：① m ⊥n ；② n //α；③ m ⊥a ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：______10. 如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=______11. 如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：2221x y a -=的左、右焦点，过2F ，的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若F A AB =2，20F A F B ⋅=1，则双曲线C 的焦距|12F F |为______12. 已知函数()f x 的定义域为R ，当x ∈(0,2]时，()()2f x x x =-，且对任意的x ∈R ，均有()()22f x f x +=，若不等式()152f x ≤在x ∈(-∞,a ]上恒成立，则实数a 的最大值为______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 设x ∈R ，则“11x -<”是“24x <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. 已知函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0,2π]. 上为增函数，则θ的一个值可以是( )A . 6πB . 3πC 23πD . 23π- 15. 已知函数()2f x x =+，()g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f x g x g g x F x x f x ≤>⎧⎪=⎨⎪⎩，若对任意的x ∈R ，都有()()2F x F x =-成立，则t 的取值为( )A . 4-B . 2-C . 0D . 216. 正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A . 13B . 12 C. 23 D . 34三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分) 17. 在△ABC 中，a =8，b =6，1cos 3A =-求： (1) 角B ；(2) BC 边上的高.18. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB ，的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求：(1)异面直线O C 与11A C 所成角的大小；(2)直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小；(3)三棱锥11C OA C -的体积.19. 某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1(单位：件)，已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k (2k ≥为正整数).(1) 设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间；(2) 假设这3种部件额生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20. 已知两点F (、F ，设圆O ：224x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F ，与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线O Q 与直线433x =相交于点R ，求证：2F R ⊥l ； (3) 记△ABM 、△ABN 面积分别为1S 、2S ，求|12S S -|的最大值及此时直线l 的方程.21. 在数列{n a }中，10a =，且对任意的m ∈N *，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列.(1) 求证：4a 、5a 、6a 成等比数列；(2) 求数列{n a }的通项公式；(3) 设2222323n n n S a a a =+++试问2n S n -是否存在极限? 若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析。
2020 学年第一学期初三数学期终教学质量监控测试 虹口区一模卷答案
3 ⎨⎩⎨ ⎩2020 学年第一学期初三数学期终教学质量监控测试参考答案一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B6.D二、填空题本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）1 27. -8.（0,3）9. y = ( x + 2) + 2 22 10. 811. 答案不唯一，如 0,1,2 等 12.5513. 7.5 14. 1 1- a + b15. 3 316. 317. 218. 2 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）319．解：原式= 3 + 2( 2 )2 1 22 =2 3 + = 5 33 320．解：（1）把（-2，3）、（-1，2）和（0,-1）分别代入 y = ax 2+ bx + c 中，得：⎧3 = 4a - 2b + c⎪2 = a - b + c ⎪-1 = c ⎧a = -1解得： ⎪b = -4⎪c = -1 ∴该二次函数的解析式为 y = -x 2- 4x -1 经检验，（1,-6）也满足该解析式. （2） y = -(x + 2)2+ 321. 证明：∵ AF = DFEF BF 该函数图像的顶点坐标为（-2,3） 对称轴为直线 x = -2∴BE ∥AD ∴∠1=∠E∵∠1=∠2∴∠2=∠E∵∠BFE =∠GFB ∴△BFE ∽△GFB∴即 BF 2= FG ⋅ EFBF = EFFG BF22. 解：过点 D 作 DE ⊥AC 交 AC 的延长线于点 E ，过点 D 作 DF ⊥AB 交 AB 于点 F由 i =1: 2.4 得DE= 1: 12 = 5 CE 5 12设 DE=5k ，CE =12k ，则 CD =13k ∴13k =5.2，解得 k =0.4∴DE=2，CE=4.8 ∴AE=15.2+4.8=20 可得四边形 AFDE 为矩形 ∴DF=AE =20 AF=DE =20 由题意得∠BDF =37°21 532 2 2 22 2 2 23⎩⎩ 3=由 sin37°=0.6，可得tan 37︒= 343在 Rt △BDF 中， BF = DF ⋅ tan ∠BDF = 20 ⨯ = 154∴AB=2+15=17（米）答：电线杆 AB 高为 17 米．23．（1）证明：∵∠CAB=∠CFE又∵∠FGC=∠AGE∴△FGC ∽△AGE ∴ FG = CG AG EG∴FG = AG CG EG 又∵∠AGF=∠EGC ∴△AGF ∽△EGC ∴∠CEG =∠FAG 即∠CEF =∠CAF（2）解：∵∠ACB=∠FCE=90° ∴∠ACF =∠BCE∵∠CAB=∠CFE ∴∠B =∠CEF ∵∠CEF =∠CAF ∴∠CAF =∠B∴△ACF ∽△BCE ∴ AC = AFBC BE在 Rt △CAB 中， BC =15，AC=20 ∴AB =25 又∵AE =7 ∴BE=18 ∴ 20 =AF15 18∴AF=2424. 解：（1）设抛物线C 的表达式为y = -x 2+ n 把 A （2，0）代入上式，得： 0 = -4 + n ∴抛物线C 的表达式为 y = -x 2+ 4 （2）设抛物线C 的表达式为 y = -(x + m )2+ k∴ n = 4 把 A （2，0）、B （3， -1）分别代入上式，得：⎧⎪0 = -(2 + m )2+ k ⎨⎪-1 = -(3 + m )2 + k ⎧m = -2解得⎨k = 0∴抛物线C 的表达式为 y = -(x - 2)2 ∴点 D （0，-4） （3）由题意知点 P 在 x 轴上方，可得∠BAP=∠AED =135°由题意，得ED AE 或APABED = AEAB AP又可求得： ED = 2 ， AB = ， AE = 2 ∴2= 或 2= ∴AP=1 或 2AP 2 AP ∴点 P 的坐标为（2，1）或（2，2）25. 解：（1）分别过点 A 、点 D 作 AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为点 M 、N可得 BM=CN=9由可得cos B = 35在 Rt △ABM 中， AB =BMcos B= 15 （2） 在等腰梯形 ABCD 中，AB ＝CD∴∠C ＝∠B ∵∠CPF ＋∠EPF ＝∠BEP ＋∠B ，∠EPF ＝∠B∴∠CPF ＝∠BEP ，∴△CPF ∽△BEP ∴∠BPE ＝∠CFP ∵PE ⊥BC ∴∠CFP ＝∠BPE =90°2在 Rt △CPF 中， PF = CP ⋅ sin C = 16 ⨯ 4 =645 5在 Rt △PFG 中， FG = PF ⋅ sin ∠EPF = 64 ⨯ 4 = 2565 5 25（3） 过点 E 作 EH ⊥BC ，垂足为点 H在 Rt △BEH 中，EH = BE ⋅ sin B = 4 x ， BH = BE ⋅ cos B = 3 x在 Rt △PEH 中， EP5 5=，BE EP∵△CPF ∽△BEP∴x= PF =∴ PF 16 PF 4 在 Rt △PFG 中， FG = PF ⋅sin ∠FPG =⨯5∴ y = （ 48 25x 5≤ x ≤ 15 ）。
2019-2020学年上海市虹口区初三数学一模(试卷+参考答案)
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2020.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．如果1cos =2α ，那么锐角α的度数为 A ．30°； B ．45°； C ．60°；D ．90°． 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果BC =2，tan B =2，那么AC 长为 A ．1；B ．4； CD．． 3．抛物线23(1)+1y x =+的顶点所在象限是 A ．第一象限； B ．第二象限；C ．第三象限；D . 第四象限．4．已知抛物线2y x =经过1(2,)A y - 、2(1,)B y 两点，在下列关系式中，正确的是 A ．120y y >>； B ．210y y >>；C ．120y y >>；D ．210y y >>．5．已知b a 、和c都是非零向量，在下列选项中，不能．．判定a ∥b 的是A ．=a b ；B ．a ∥c ，b ∥c ；C ．+0a b =；D ．+2a b c =，3a b c -=．6．如图1，点D 是△ABC 的边BC 上一点，∠BAD=∠C ，AC =2AD ，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为 A ．；B ．；C ．7.5；D ．5．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果:2:3a b =，且+10a b =，那么a 的值为 ▲ ．8．如果向量a r 、b r 、x r 满足关系式23(+)0b a x -=r r r r，那么用向量a r 、b r 表示向量x r = ▲ ．9．如果抛物线1)1(2+-=x a y 的开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ．10．沿着x 轴正方向看，抛物线2(1)y x =--在对称轴 ▲ 侧的部分是下降的（填“左”或“右”）．C AAB图111．如果函数21)2mmy m x -=++（是二次函数，那么m 的值为 ▲ ．12．如图2，抛物线的对称轴为直线 1x =，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为 （4，0），那么点Q 的坐标为 ▲ ．13．如图3，点A （2，m ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α ，如果tan 3=2α，那么m 的值为 ▲ ．14．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，AC =12，A 1C 1=8，△ABC的高AD 为6，那么△A 1B 1C 1的高A 1D 1长为 ▲ ．15．如图4，在梯形AEFB 中，AB ∥EF ，AB =6，EF =10，点C 、D 分别在边AE 、BF 上且CD ∥AB ，如果AC=3CE ，那么CD 长为 ▲ ．16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如图5），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是 ▲ ．17．如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，点D 为边AB 上一动点，正方形 DEFG的顶点E 、F 都在边BC 上，联结BG ，tan ∠DGB 的值为 ▲ ． 18．如图7，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，sin C =45，AB=9，AD =6，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将△BEF 沿着EF 翻折，使BF 的对应线段B’F 经过顶点A ，B’F 交对角线BD 于点P ，当B’F ⊥AB 时，AP 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：24sin 30tan 60cot 30tan 45︒-︒︒-︒．图6 D A BE CFG B C A D 图4EFA C图7ABD图5 θ图1020．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线C 1：22y x x =-向左平移2个单位，向下平移3 个单位得到新抛物线C 2．（1）求新抛物线C 2的表达式；（2）如图8，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O’A’B’，点A （0，5）的对应点A’ 落在平 移后的新抛物线C 2上，求点B 与其对应点B’的距离．21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图9，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点G 是Rt △ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE ⊥BC 交边BC 于点E ．（1）如果AC a =，AB b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AB=12时，求GE 的长．22．（本题满分10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB （假定树干AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7° （即∠BAB ’ =7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图10所示），测得∠CDA 为37°，AD 为5米，求这棵大树AB 的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin370.6︒≈ ，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）图8 图9 A B E C G D23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图11，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是边BC 的中点，联结AD ，过点C 作 CE ⊥AD 于点E ，联结BE ．（1）求证：2BD DE AD =⋅；（2）如果∠ABC =∠DCE ，求证：BD CE BE DE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0）、B两点，与y 轴交于点C （0，3），点P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为 （1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标； （2） 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”． ①点D 在射线AP 上，如果∠DAB 为△ABD 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE ⊥EF ，如果∠CEF 为△ECF 的特征角，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，sin ∠ABC =35，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE ⊥AD 分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ．过点A 作AG ∥BD ，交直线BE 于点G ．（1）当点D 在BC 的延长线上时（如图13），如果CD =2，求tan ∠FBC ； （2）当点D 在BC 的延长线上时（如图13），设AG x =，ADF S y =，求y 关于x 的函数 关系式（不写函数的定义域）；（3）如果AG =8，求DE 的长．D 图11 AE C BEA F G A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷评分参考建议2020.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4 8．b a32+- 9．a ＞1 10．右 11．212．(－2,0) 13．3 14．4 15．9 16．169 17．31 18．247三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=()2313214--⨯…………………………………………………………（8分） =3132-- =23-………………………………………………………………………（2分）20．解：（1）x x y 22-==()112--x ……………………………………………………（3分）∵抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，∴新的抛物线C 2的表达式为：()412-+=x y ………………………………（3分） （2）∵将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ’A ’B ’∴设A ’（x ，5）…………………………………………………………………（1分） ∵点A 的对应点A ’落在C 2上∴()4152-+=x ………………………………………………………………（1分）解得12x = ，24x =-…………………………………………………………（1分） x =2不合题意，舍去∴点B 与其对应点B’的距离为4 ………………………………………………（1分）21．解：（1）∵点G 是Rt △ABC 的重心∴点D 为AC 的中点…………………………………………………………（1分）∴1122AD AC a ==……………………………………………………………（1分） ∴12BD BA AD b a =+=-+……………………………………………………（2分）∵点G 是Rt △ABC 的重心 ∴23BG BD =…………………………………（1分）∵BG 与BD 同向∴221333BG BD b a ==-+………………………………………………………（1分）（2）在Rt △ABC 中，点D 为AC 的中点∴CD=DB ∴∠C =∠DBC ∵GE ⊥BC ∠ABC=90° ∴∠ABC=∠GEB =90°∴△GEB ∽△ABC …………………………………………………………………（1分） ∴GE BG AB AC= ………………………………………………………………………（1分） ∵23BG BD = 12B D A C= ∴13BG AC =……………………………………（1分） ∴1123GE = ∴GE =4 ……………………………………………………………………………（1分）22．解：过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E …………………………………………………（1分）在Rt △ADE 中，cos 50.84DE AD CDA =⋅∠=⨯= ……………………………（2分） sin 50.63AE AD CDA =⋅∠=⨯=…………………………………（1分）在Rt △ADE 中，∠DAE +∠ADC =90° ∴∠DAE =90°-37°=53°∴∠CAE =90°-7°-53°=30°………………………………………………………（1分）在Rt △ACE 中，tan 3CE AE CAE =⋅∠=………………………………（2分）2A C C E ==1分）由题得''4AB AB AC B C AC CD AC CE DE ==+=+=++= …………（1分）答：这棵大树AB 原来的高度是（4）米． ……………………………………（1分）23．证明：（1）∵CE ⊥AD ，∠ACB =90°∴∠ACB =∠CED =90°∵∠EDC =∠CDA∴△EDC ∽△CDA …………………………………………………………………（3分） ∴DE CDCD AD= ∴CD 2=DE ·AD ………………………………………………………………………（2分）∵点D 是边BC 的中点 ∴CD =BD∴BD 2=DE ·AD ………………………………………………………………………（1分） （2）由（1）得DE BDBD AD=且∠EDB =∠BDA ∴△BDE ∽△ADB ……………………………………………………………………（2分） ∴∠ABC =∠BED ……………………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =∠DCE ， ∴∠BED =∠DCE ∵∠EBD =∠CBE∴△EBD ∽△CBE ……………………………………………………………………（2分） ∴BD ED BE CE= 即BD CE BE DE ⋅=⋅………………………………………………（1分）24．解：（1） ∵c bx x y ++-=2过A (－1， 0)，C (0，3)∴0=1;3.b c c --+⎧⎨=⎩ 解得：=2;3.b c ⎧⎨=⎩……………………………………………（2分）∴322++-=x x y ………………………………………………………………（1分）对称轴为直线x =1∵点P 在对称轴上，且纵坐标为32，∴点P 的坐标为（1，32）……………………………………………………（1分）（2）设直线x=1交x 轴于点Q∵A (－1，0)，P （1，32）∴AQ =2 PQ =32 ∴tan PAQ ∠=∴∠P AQ =60° 即∠DAB=60°……………………………………………………（1分） ∵点D 在射线AP 上，且∠DAB 为△ABD 的特征角，∴∠ABD =30°或∠ADB =30°，…………………………………………………（1分）∴点D 的坐标为（0，3）或（3，）…………………………………（2分） （3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，过点C 作CH ⊥GE 的延长线于点H .∵CE ⊥EF 且∠CEF 为△ECF 的特征角， ∴∠ECF =∠CFE =45°……………………………………………………………（1分） ∴CE =EF在Rt △CHE 中，∠HCE+∠CEH =90° ∵∠CEH +∠FEG =90°∴∠HCE =∠FEG ∵∠H =∠EGF =90°∴△CHE ≌△EGF∴CH =EG …………………………………………………………………………（1分） ∵点E 为第一象限内抛物线上一点 ∴设E （a ，223a a -++）∴223a a a =-++ ……………………………………………………………（1分）解得a =（舍负）∴E ………………………………………………………………（1分）25. （1）在Rt △BED 中，∠EDB+∠EBD =90°同理∠ADC+∠DAC =90°∴∠DAC =∠EBD 即∠DAC =∠FBC ，…………………………………………（1分） 由sin ∠ABC =35可得tan ∠ABC =34在Rt △ABC 中，AC =tan 3BC ABC ⋅∠=………………………………………（1分） 又∵CD =2在Rt △ACD 中，2tan 3DC DAC AC ∠== ∴2tan tan 3FBC DAC ∠=∠=………………………………………………（2分） （2）∵AG ∥BD ∴AG AFCB FC=∴43x AF AF =- ∴ 3=4x AF x + ………………………………………（2分） ∴12=4FC x + ……………………………………………………………………（1分）∵tan tan FBC DAC ∠=∠ ∴FC DCBC AC=∴AC DC BC FC= ∴tan tan ABC DFC ∠=∠ ∴ABC DFC ∠=∠ ……………………………………………………………（1分）由sin ∠ABC =35可得tan ∠ABC =34∴331294444DC FC x x ==⋅=++ …………………………………………（1分） ∴441239x x x y ⋅+⋅+=即22721632xx y x ++= …………………………………………………………（1分）（3）①当点D 在BC 的延长线上时，∵AG ∥CB ，∴AG AF CB FC =，834FCFC-= ∴FC =1， ∴3tan 4CD FC DFC =⋅∠= ∴319444DB =+=，∴19sin4DE BD EBD =⋅∠==2分） ②当点D 在边BC 上时， ∵AG ∥CB ， ∴BC FC AG FA = ∴483FC FC=+，∴FC =3 ∴9tan 4CD FC DFC =⋅∠=, ∴47494=-=DB ，sin 732=14520BD EBD DE ⨯=⋅∠=……………………（2分）综上，2021=DE .。
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Q 4,0)(P Q P x Q P =x 1=m =++−y m x m m 122)(=−−y x 12)(x a =−+y a x 112)(=x b a −+=b a x 230)(x b a =a +=a b 10=a b :2:37.5ABD ACD =AC AD 2∠=∠BAD C BC ABC D −=a b c 3+=a b c 2+=a b 0b c //a c //
=a b a b //c b a >>y y 0
21>>y y 012>>y y 021>>y y 012B y 1,2)(−A y 2,1)(=y x 2=++y x 3112)(=AC =B tan 2=BC 2∠=C 90Rt ABC 90
604530α=
α2cos 12020届虹口区中考数学一模 一、选择题
1、如果，那么锐角的度数为（ ） A. B. C. D.
2、在中，，如果，，那么（ ）
A.1
B.4 D.3、抛物线的顶点所在象限是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限4、已知抛物线经过、两点，在下列关系式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.5、已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（ ）
A. B.， C. D.，
6、如图，点是的边上一点，，，如果的面积为15，那么的面积为（ ）
A.15
B.10
C.
D.5
二、填空题
7、如果，且，那么 .
8、如果向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量
.
9、如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 . 10、沿着轴正方向看，抛物线在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）
11、如果函数是二次函数，那么 .
12、如图，抛物线的对称轴为直线，点、是抛物线与轴的两个交点，点在点的右侧，如果点的坐标为，那么点的坐标为 .
=AP ⊥B F AB 'P BD B F 'A B F 'BF EF BEF EF BC AB F E =AD 6=AB 9=4C 5
sin AD BC //ABCD ∠=DGB tan BG BC F E DEFG AB D =BC 2=AC 1∠=C 90Rt ABC 12
5θ=
CD =AC CE 3CD AB //BF AE D C =EF 10=AB 6AB EF //AEFB A D 11A B C 111AD ABC =A C 811=AC 12C 1B 1A 1C B A ABC A B C 111=m =α2tan 3αx OA A m 2,)(13、如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，如果，那么.
14、已知，顶点、、分别与、、对应，、，的
高为6，那么的高长为
. 15、如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上且，
如果，那么. 16、公元三世际，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角的正切为，那么大正方形的面积是 . 17、如图，在中，，，，点为边上一动点，正方形的顶点、都在边上，联结，.
18、如图，在等腰梯形中，，，，，点、分别在边、上，联结，将沿着所在直线翻折，使的对应线段经过顶点，交对角线于点，当时， .
GE =AB 12BG b a =AB b =AC a E BC ⊥GE BC G D AC BG Rt ABC G ∠=ABC 90Rt ABC B 'B C 2A 'A 0,5)(O A B '''x OAB C 2C 2=−C y x x :212−−cot 30tan 45
tan 604sin 302三、解答题
19、计算：20、在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线.
（1）求新抛物线的表达式； （2）如图，将沿轴向左平移得到，点的对应点落在平移后的新抛物线上，求点与其对应点的距离. 21、如图，在中，，点是的重心，联结并延长交于点，过点作交边
于点.
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当时，求的长.
⋅=⋅BD CE BE DE ∠=∠ABC DCE =⋅BD DE AD 2BE E ⊥CE AD C AD BC D ∠=ACB 90Rt ABC ≈tan370.75=cos370.8≈sin370.6AB =AD 5∠=CDA 37D ∠=BAB '77AB AB 22、某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（假定树干垂直于水平地面）被刮倾斜（即）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，米，求这棵大树的高度.（结果保留根号） （参考数据：，，）
23、如图，在中，，点是边的中点，联结.过点作于点，联结.
（1）求证：；
（2）如果，求证：.
DE =AG 8x y =S
y ADF =AG x BC D ∠FBC tan =CD 2BC D G BE AG BD //A DF F E AC AD ⊥BE AD B AD BC D ∠=
ABC 5
sin 3=BC 4∠=ACB 90Rt ABC E ECF ∠CEF ⊥CE EF x F E D ABD ∠DAB AP D αβαP
P C 0,3)(y B −A 1,0)(x =−++y x bx c 2
24、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为
（1）求抛物线的表达式以及点的坐标；
（2）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称为此三角形的“特征角”，
①当在射线上，如果为的特征角，求点的坐标；
②点为第一象限内抛物线上一点，点在轴上，，如果为的特征角，求点的坐标.
25、在中，
，，，点为射线上一点，联结，过点作分别交射线、于点、，联结，过点作，交直线于点.
（1）当点在的延长线上时，如果，求； （2）当点在的延长线上时，设，，求关于的函数关系式（不需要写函数的
定义域）；
（3）如果，求的长.。