苏北四市2011届高三年级第二次调研考试数学
江苏省苏北四市高三数学第二次质量检测(扫描版, 苏北四市二模)
江苏省苏北四市2012届高三数学第二次质量检测（扫描版， 2012苏北四市二模）徐州市2011—2012学年度高三第二次质量检测数学Ⅰ卷答案及评分标准一、填空题：1．0 2．40 4．25 5．1 6．32 71 8．28π 9210．201111．[7,8) 12．15 13．9(3,)8- 14． 二、解答题：15．⑴ππ()sin()sin()cos 44f x x x x x =+-1cos 222x x =…………2分 πsin(2)6x =+， ……………………………………………………………4分所以π()6f =1 ．………………………………………………………………………………6分⑵由()12A f =，有π()s i n ()126A f A =+=， 因为0πA <<，所以ππ62A +=，即π3A =. 8分2πsin sin sin sin()3B C B B +=+-=3πsin )23B B B =+. ……12分因为2π03B <<，所以πππ33B <+<，π0sin()13B <+≤，所以sin sin B C +14分16．⑴设AC BD O =，连结FO ． 因为ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，因为2BD EF =，所以DO EF∥，所以四边形DOFE 是平行四边形， 所以DEOF ．……………………………………5分因为DE ⊄平面ACF ， OF ⊂平面AFC ，所以DE 平面ACF ．…………………7分⑵因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为平面ABCD ⊥平面BDEF ， 平面ABCD平面BDEF BD =，所以AC ⊥平面BDEF ，因为BE ⊂平面BDEF ，所以BE ⊥AC ． ……………………………………………10分 因为12BF BD =，所以BF BO =，所以四边形BOEF 是正方形，所以BE OF ⊥． 12分 因为OFAC O =，,OF AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF ． ………14分17．⑴因为AOC △的面积与BOC △的面积之和等于AOB △的面积，所以11145(26)sin30sin75222x y xy ++=，……………………………4分12x y +=，所以2)y x =>． …………6分 ⑵AOB △的面积16sin 75S xy ==22x x - ………………………8分424)2x x -++-84(31)=+． ……………12分 当且仅当4x =时取等号，此时y =故4km OA =，OB =时，△OAB 面积的最小值为21)km ． …………14分 18．⑴易求(21)A ，,(21)B -，. ………………………………………………………2分 设00()P x y ，,则220014x y +=.由OP mOA nOB =+,得002()x m n y m n =-⎧⎨=+⎩,……………………5分 所以224()()14m n m n -++=,即2212m n +=.故点()Q m n ，在定圆2212x y +=上. …8分 ⑵设11()M x y ，，22()N x y ，,则121214y y x x =-. 平方得22222212121216(4)(4)x x y y x x ==--,即22124x x +=. ………………………10分E A第16题图BD COF因为直线MN 的方程为21211221()()0x x x y y y x y x y ---+-= , 所以O 到直线MN的距离为d =………………………12分所以OMN △的面积122111||22S MN d xy x y ==-1=. 故OMN △的面积为定值1. ………………………………………16分 19．⑴因为()2g x x '=，所以222()()2(1)10x g x g x xxx '-=--=+>在(0,)+∞上恒成立，即()()xg x g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以2()1g x x =-是A 型函数．………………2分⑵211()(0)a h x a x x x -'=-+>，由()()xh x h x '>，得1113ln ---+>---a aax ax x x x， 因为0>x ，所以可化为2(1)2ln -<+a x x x ，令()2ln p x x x x =+，()3ln p x x '=+，令()0p x '=，得3e -=x ，当3(0,e )-∈x 时，()0p x '<，()p x 是减函数； 当3(e ,)-∈+∞x 时，()0p x '>，()p x 是增函数，所以33min ()(e )e p x p --==-，所以32(1)e --<-a ，311e 2a -<-．………………4分 ①当0=a 时，由21()0xh x x-'=>，得1<x ，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；②当0<a 时，由21()(1)()0a a x x a h x x ---'=>，得01x <<， 所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞； ③当102a <<时，得1x <，或1a x a ->，所以增区间为(0,1)，1(,)a a -+∞，减区间为1(,1)aa-； ④当12a =时，()0h x '≥，所以，函数增区间为(0,)+∞； ⑤3111e 22a -<<-时，由21()(1)()0a a x x a h x x---'=>，得1a x a -<，或1x >， 所以增区间为(1,)+∞，1(0,)a a -，减区间为1(,1)aa-． …………………………10分 ⑶证明：函数()f x 是(0,)+∞上的每一点处都有导数，且()()xf x f x '>在(0,)+∞上恒成立，设()()f x F x x =，2()()()0xf x f x F x x '-'=>在(0,)+∞时恒成立，所以函数()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数， ………………………………………12分 因为120,0x x >>，所以1211220,0x x x x x x +>>+>>，所以121122()(),()()F x x F x F xx F x +>+>，即121122121122()()()(),f x x f x f x x f x x x x x x x ++>>++，14分所以112212121212()()(),()x f x x x f x x f x f x x x x x ++<<++，两式相加，得1212()()()f x f x f xx +<+，16分20．⑴当3k =，1236a a a =则1236a a a ++=．设32313n n n n c a a a --=++，由33n n a a +=+，得19n n c c +=+，所以数列{}n c 是公差为9的等差数列，故361212121112696662S c c c ⨯=+++=⨯+⨯=．………………………………4分 ⑵若2k =时，1212a a a a +=⋅，又12a a <， 所以1222a a a ⋅<，所以11a =，此时221a a +=，矛盾． ………………………………6分 若3k =时，123123a a a a a a ++=⋅⋅，所以12333a a a a ⋅⋅<，123a a ⋅<，所以1231,2,3a a a ===，满足题意． ……………………………………………………8分 若4k ≥时，1212k k a a a a a a +++=⋅⋅⋅，所以12k k a a a ka ⋅⋅⋅<，即121k a a a k -⋅⋅⋅<，又因为12112(1)22k a a a k k k -⋅⋅⋅>⨯⨯⨯-->≥，所以4k ≥不满足题意．……10分所以，11a =，22a =，33a =，且33n n a a +=+，所以3213(1)32n a a n n -=+-=-，3123(1)31n a a n n -=+-=-，333(1)3n a a n n =+-=， 故n a n =． ………………………………………………………………………………12分 ⑶又81121()2n a n n b b -+⋅=-⋅ 所以1812121()2n a n n b b +-++⋅=-⋅所以212n n b b +=，所以{}{}221,n n b b -都是以12为公比的等比数列,所以16212132(), 1,2114(), 2,2n n nn n b n n --⎧⋅⋅⎪⎪=⎨⎪-⋅⎪⎩≥为奇数,≥为偶数. …………………………………………14分 令11n n b b +⋅<，即8121()12n --⋅<，811()221n -<，所以13n ≥n 为奇数时有,12341112131415161,11,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<，，， 从而24121214,T T T T T <<<>>，n 为偶数时，有23451213141516171,1,,1,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<，从而13131315,T T T T T <<<>>，注意到12130,0T T >>，且131********T b T T T =⋅=>，所以数列{}n b 的前n 项积n T 最大时n 的值为13． ………………………………………16分徐州市2011—2012学年度高三第二次质量检测 数学Ⅱ卷答案及评分标准21．【选做题】A ．如图，连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥．因为OC 是圆的半径， 所以AB 是圆的切线．……………3分 因为ED 是直径，所以90ECD ︒∠=，所以90E EDC ︒∠+∠=， 又90,BCD OCD OCD ODC ︒∠+∠=∠=∠，所以BCD E ∠=∠，又因为CBD EBC ∠=∠，所以BCD ∆∽BEC ∆，所以2BC BD BC BD BE BE BC=⇒=⋅， …………………5分21tan ==∠EC CD CED ，BCD ∆∽BEC ∆，21==EC CD BC BD ． …………………7分设BD x =，则2BC x =，因为2BC BD BE =⋅，所以2(2)(6)x x x =+，所以2BD =．9分 所以235OA OB BD OD ==+=+=． ………………………………10分B ．设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故3,3a b c d =⎧⎨=⎩++． ……………4分 19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故29,215a b c d -=⎧⎨-=⎩++． ………………………………………………7分 联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ………………10分 C ．椭圆的普通方程为221259x y +=，左焦点为(4,0)-，…………………………………4分 直线1,42x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的普通方程为260x y --=，……………………………8分所求直线方程为1(4)2y x =-+，即240x y ++=． …………………………………10分D ．原式等价于212||a b||a b||x ||x |a |++--+-≥，设t ab =， 则原式变为|1||21||1||2|t t x x ++--+-≥对任意t 恒成立． ………………………2分ABCDEO第21—A 题图因为13,,21|1||21|2,1,23,1,t t t t t t t t ⎧⎪⎪⎪++-=-+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩≥≤最小值为21=t 时取到，其最小值为23． …6分所以有232,3121122321x ,x x x ,x ,x,x -⎧⎪-+-=<<⎨⎪-⎩．≥≥≤解得39[,]44x ∈． ……………………10分22．⑴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(002)D ，，，(210)E ，，，(020)C ，，． 设(2)P x y ，，，则1(0)D P x y =，，，(212)EP x y =--，，(210)EC =-，，． …………………………2分 因为1D P ⊥平面PCE ，所以1D P EP ⊥， 1D P EC ⊥，所以10D P EP =，10D P EC =，故(2)(1)020x x y y x y -+-=⎧⎨-+=⎩，．解得0,0x y =⎧⎨=⎩． (舍去)或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． …4分即48(,2)55P ，， 所以148(,0)55D P =，，所以1D P =6分 ⑵由⑴知，1148(2,1,0),(,,0),55DE D P D P ==⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则11164sin cos 5D P DED P DEθα⋅====所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45． ………………………………………10分 23．⑴由二项式定理,得02233C C C C C (2)n n n n n n n a =++++，所以02244224C C C 12C 2C n n n n n a =+++=+++，因为2242C 2C n n ++为偶数，所以a 是奇数．……………………………………………4分⑵由⑴设(1)n n a a a b ==+∈Z ，,则(1n a =-…………………5分 所以222((1(1(12)n n n a b a a -=+-==-，……………………6分当n 为偶数时, 2221a b =+,存在2k a =，使得n a a =+… 8分 当n 为奇数时，2221a b =-,存在22k b =，使得n a a =+=9分综上，对于任意n*∈N，都存在正整数k，使得a=．………………10分n徐州市2011—2012学年度高三第二次质量检测数学Ⅰ卷答案及评分标准一、填空题：1．0 2．40 4．25 5．1 6．32 71 8．28π 9210．201111．[7,8) 12．15 13．9(3,)8- 14． 二、解答题：15．⑴ππ()sin()sin()cos 44f x x x x x =+-1cos 222x x =…………2分 πsin(2)6x =+， ……………………………………………………………4分所以π()6f =1 ．………………………………………………………………………………6分⑵由()12A f =，有π()s i n ()126A f A =+=， 因为0πA <<，所以ππ62A +=，即π3A =. 8分2πsin sin sin sin()3B C B B +=+-=3πsin )23B B B =+. ……12分因为2π03B <<，所以πππ33B <+<，π0sin()13B <+≤，所以sin sin B C +14分16．⑴设AC BD O =，连结FO ． 因为ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，因为2BD EF =，所以DO EF∥，所以四边形DOFE 是平行四边形， 所以DEOF ．……………………………………5分因为DE ⊄平面ACF ， OF ⊂平面AFC ，所以DE 平面ACF ．…………………7分⑵因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为平面ABCD ⊥平面BDEF ， 平面ABCD平面BDEF BD =，所以AC ⊥平面BDEF ，因为BE ⊂平面BDEF ，所以BE ⊥AC ． ……………………………………………10分 因为12BF BD =，所以BF BO =，所以四边形BOEF 是正方形，所以BE OF ⊥． 12分 因为OFAC O =，,OF AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF ． ………14分17．⑴因为AOC △的面积与BOC △的面积之和等于AOB △的面积，所以11145(26)sin30sin75222x y xy ++=，……………………………4分12x y +=，所以2)y x =>． …………6分 ⑵AOB △的面积16sin 75S xy ==22x x - ………………………8分424)2x x -++-84(31)=+． ……………12分 当且仅当4x =时取等号，此时y =故4km OA =，OB =时，△OAB 面积的最小值为21)km ． …………14分 18．⑴易求(21)A ，,(21)B -，. ………………………………………………………2分 设00()P x y ，,则220014x y +=.由OP mOA nOB =+,得002()x m n y m n =-⎧⎨=+⎩,……………………5分 所以224()()14m n m n -++=,即2212m n +=.故点()Q m n ，在定圆2212x y +=上. …8分 ⑵设11()M x y ，，22()N x y ，,则121214y y x x =-. 平方得22222212121216(4)(4)x x y y x x ==--,即22124x x +=. ………………………10分E A第16题图BD COF因为直线MN 的方程为21211221()()0x x x y y y x y x y ---+-= , 所以O 到直线MN的距离为d =………………………12分所以OMN △的面积122111||22S MN d xy x y ==-1=. 故OMN △的面积为定值1. ………………………………………16分 19．⑴因为()2g x x '=，所以222()()2(1)10x g x g x xxx '-=--=+>在(0,)+∞上恒成立，即()()xg x g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以2()1g x x =-是A 型函数．………………2分⑵211()(0)a h x a x x x -'=-+>，由()()xh x h x '>，得1113ln ---+>---a aax ax x x x， 因为0>x ，所以可化为2(1)2ln -<+a x x x ，令()2ln p x x x x =+，()3ln p x x '=+，令()0p x '=，得3e -=x ，当3(0,e )-∈x 时，()0p x '<，()p x 是减函数； 当3(e ,)-∈+∞x 时，()0p x '>，()p x 是增函数，所以33min ()(e )e p x p --==-，所以32(1)e --<-a ，311e 2a -<-．………………4分 ①当0=a 时，由21()0xh x x-'=>，得1<x ，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；②当0<a 时，由21()(1)()0a a x x a h x x ---'=>，得01x <<， 所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞； ③当102a <<时，得1x <，或1a x a ->，所以增区间为(0,1)，1(,)a a -+∞，减区间为1(,1)aa-； ④当12a =时，()0h x '≥，所以，函数增区间为(0,)+∞； ⑤3111e 22a -<<-时，由21()(1)()0a a x x a h x x---'=>，得1a x a -<，或1x >， 所以增区间为(1,)+∞，1(0,)a a -，减区间为1(,1)aa-． …………………………10分 ⑶证明：函数()f x 是(0,)+∞上的每一点处都有导数，且()()xf x f x '>在(0,)+∞上恒成立，设()()f x F x x =，2()()()0xf x f x F x x '-'=>在(0,)+∞时恒成立，所以函数()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数， ………………………………………12分 因为120,0x x >>，所以1211220,0x x x x x x +>>+>>，所以121122()(),()()F x x F x F xx F x +>+>，即121122121122()()()(),f x x f x f x x f x x x x x x x ++>>++，14分所以112212121212()()(),()x f x x x f x x f x f x x x x x ++<<++，两式相加，得1212()()()f x f x f xx +<+，16分20．⑴当3k =，1236a a a =则1236a a a ++=．设32313n n n n c a a a --=++，由33n n a a +=+，得19n n c c +=+，所以数列{}n c 是公差为9的等差数列，故361212121112696662S c c c ⨯=+++=⨯+⨯=．………………………………4分 ⑵若2k =时，1212a a a a +=⋅，又12a a <， 所以1222a a a ⋅<，所以11a =，此时221a a +=，矛盾． ………………………………6分 若3k =时，123123a a a a a a ++=⋅⋅，所以12333a a a a ⋅⋅<，123a a ⋅<，所以1231,2,3a a a ===，满足题意． ……………………………………………………8分 若4k ≥时，1212k k a a a a a a +++=⋅⋅⋅，所以12k k a a a ka ⋅⋅⋅<，即121k a a a k -⋅⋅⋅<，又因为12112(1)22k a a a k k k -⋅⋅⋅>⨯⨯⨯-->≥，所以4k ≥不满足题意．……10分所以，11a =，22a =，33a =，且33n n a a +=+，所以3213(1)32n a a n n -=+-=-，3123(1)31n a a n n -=+-=-，333(1)3n a a n n =+-=， 故n a n =． ………………………………………………………………………………12分 ⑶又81121()2n a n n b b -+⋅=-⋅ 所以1812121()2n a n n b b +-++⋅=-⋅所以212n n b b +=，所以{}{}221,n n b b -都是以12为公比的等比数列,所以16212132(), 1,2114(), 2,2n n nn n b n n --⎧⋅⋅⎪⎪=⎨⎪-⋅⎪⎩≥为奇数,≥为偶数. …………………………………………14分 令11n n b b +⋅<，即8121()12n --⋅<，811()221n -<，所以13n ≥n 为奇数时有,12341112131415161,11,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<，，， 从而24121214,T T T T T <<<>>，n 为偶数时，有23451213141516171,1,,1,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<，从而13131315,T T T T T <<<>>，注意到12130,0T T >>，且131********T b T T T =⋅=>，所以数列{}n b 的前n 项积n T 最大时n 的值为13． ………………………………………16分徐州市2011—2012学年度高三第二次质量检测 数学Ⅱ卷答案及评分标准21．【选做题】A ．如图，连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥．因为OC 是圆的半径， 所以AB 是圆的切线．……………3分 因为ED 是直径，所以90ECD ︒∠=，所以90E EDC ︒∠+∠=， 又90,BCD OCD OCD ODC ︒∠+∠=∠=∠，所以BCD E ∠=∠，又因为CBD EBC ∠=∠，所以BCD ∆∽BEC ∆，所以2BC BD BC BD BE BE BC=⇒=⋅， …………………5分21tan ==∠EC CD CED ，BCD ∆∽BEC ∆，21==EC CD BC BD ． …………………7分设BD x =，则2BC x =，因为2BC BD BE =⋅，所以2(2)(6)x x x =+，所以2BD =．9分 所以235OA OB BD OD ==+=+=． ………………………………10分B ．设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故3,3a b c d =⎧⎨=⎩++． ……………4分 19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故29,215a b c d -=⎧⎨-=⎩++． ………………………………………………7分 联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ………………10分 C ．椭圆的普通方程为221259x y +=，左焦点为(4,0)-，…………………………………4分 直线1,42x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的普通方程为260x y --=，……………………………8分所求直线方程为1(4)2y x =-+，即240x y ++=． …………………………………10分D ．原式等价于212||a b||a b||x ||x |a |++--+-≥，设t ab =， 则原式变为|1||21||1||2|t t x x ++--+-≥对任意t 恒成立． ………………………2分ABCDEO第21—A 题图因为13,,21|1||21|2,1,23,1,t t t t t t t t ⎧⎪⎪⎪++-=-+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩≥≤最小值为21=t 时取到，其最小值为23． …6分所以有232,3121122321x ,x x x ,x ,x,x -⎧⎪-+-=<<⎨⎪-⎩．≥≥≤解得39[,]44x ∈． ……………………10分22．⑴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(002)D ，，，(210)E ，，，(020)C ，，． 设(2)P x y ，，，则1(0)D P x y =，，，(212)EP x y =--，，(210)EC =-，，． …………………………2分 因为1D P ⊥平面PCE ，所以1D P EP ⊥， 1D P EC ⊥，所以10D P EP =，10D P EC =，故(2)(1)020x x y y x y -+-=⎧⎨-+=⎩，．解得0,0x y =⎧⎨=⎩． (舍去)或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． …4分即48(,2)55P ，， 所以148(,0)55D P =，，所以1D P =6分 ⑵由⑴知，1148(2,1,0),(,,0),55DE D P D P ==⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则11164sin cos 5D P DED P DEθα⋅====所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45． ………………………………………10分 23．⑴由二项式定理,得02233C C C C C (2)n n n n n n n a =++++，所以02244224C C C 12C 2C n n n n n a =+++=+++，因为2242C 2C n n ++为偶数，所以a 是奇数．……………………………………………4分⑵由⑴设(1)n n a a a b ==+∈Z ，,则(1n a =-…………………5分 所以222((1(1(12)n n n a b a a -=+-==-，……………………6分当n 为偶数时, 2221a b =+,存在2k a =，使得n a a =+… 8分 当n 为奇数时，2221a b =-,存在22k b =，使得n a a =+=9分综上，对于任意n*∈N，都存在正整数k，使得a=．………………10分n徐州市2011—2012学年度高三第二次质量检测数学Ⅰ卷答案及评分标准一、填空题：1．0 2．40 4．25 5．1 6．32 71 8．28π 9210．201111．[7,8) 12．15 13．9(3,)8- 14． 二、解答题：15．⑴ππ()sin()sin()cos 44f x x x x x =+-1cos 222x x =…………2分 πsin(2)6x =+， ……………………………………………………………4分所以π()6f =1 ．………………………………………………………………………………6分⑵由()12A f =，有π()s i n ()126A f A =+=， 因为0πA <<，所以ππ62A +=，即π3A =. 8分2πsin sin sin sin()3B C B B +=+-=3πsin )23B B B =+. ……12分因为2π03B <<，所以πππ33B <+<，π0sin()13B <+≤，所以sin sin B C +14分16．⑴设AC BD O =，连结FO ． 因为ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，因为2BD EF =，所以DO EF∥，所以四边形DOFE 是平行四边形， 所以DEOF ．……………………………………5分因为DE ⊄平面ACF ， OF ⊂平面AFC ，所以DE 平面ACF ．…………………7分⑵因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为平面ABCD ⊥平面BDEF ， 平面ABCD平面BDEF BD =，所以AC ⊥平面BDEF ，因为BE ⊂平面BDEF ，所以BE ⊥AC ． ……………………………………………10分 因为12BF BD =，所以BF BO =，所以四边形BOEF 是正方形，所以BE OF ⊥． 12分 因为OFAC O =，,OF AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF ． ………14分17．⑴因为AOC △的面积与BOC △的面积之和等于AOB △的面积，所以11145(26)sin30sin75222x y xy ++=，……………………………4分12x y +=，所以2)y x =>． …………6分 ⑵AOB △的面积16sin 75S xy ==22x x - ………………………8分424)2x x -++-84(31)=+． ……………12分 当且仅当4x =时取等号，此时y =故4km OA =，OB =时，△OAB 面积的最小值为21)km ． …………14分 18．⑴易求(21)A ，,(21)B -，. ………………………………………………………2分 设00()P x y ，,则220014x y +=.由OP mOA nOB =+,得002()x m n y m n =-⎧⎨=+⎩,……………………5分 所以224()()14m n m n -++=,即2212m n +=.故点()Q m n ，在定圆2212x y +=上. …8分 ⑵设11()M x y ，，22()N x y ，,则121214y y x x =-. 平方得22222212121216(4)(4)x x y y x x ==--,即22124x x +=. ………………………10分E A第16题图BD COF因为直线MN 的方程为21211221()()0x x x y y y x y x y ---+-= , 所以O 到直线MN的距离为d =………………………12分所以OMN △的面积122111||22S MN d xy x y ==-1=. 故OMN △的面积为定值1. ………………………………………16分 19．⑴因为()2g x x '=，所以222()()2(1)10x g x g x xxx '-=--=+>在(0,)+∞上恒成立，即()()xg x g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以2()1g x x =-是A 型函数．………………2分⑵211()(0)a h x a x x x -'=-+>，由()()xh x h x '>，得1113ln ---+>---a aax ax x x x， 因为0>x ，所以可化为2(1)2ln -<+a x x x ，令()2ln p x x x x =+，()3ln p x x '=+，令()0p x '=，得3e -=x ，当3(0,e )-∈x 时，()0p x '<，()p x 是减函数； 当3(e ,)-∈+∞x 时，()0p x '>，()p x 是增函数，所以33min ()(e )e p x p --==-，所以32(1)e --<-a ，311e 2a -<-．………………4分 ①当0=a 时，由21()0xh x x-'=>，得1<x ，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；②当0<a 时，由21()(1)()0a a x x a h x x ---'=>，得01x <<， 所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞； ③当102a <<时，得1x <，或1a x a ->，所以增区间为(0,1)，1(,)a a -+∞，减区间为1(,1)aa-； ④当12a =时，()0h x '≥，所以，函数增区间为(0,)+∞； ⑤3111e 22a -<<-时，由21()(1)()0a a x x a h x x---'=>，得1a x a -<，或1x >， 所以增区间为(1,)+∞，1(0,)a a -，减区间为1(,1)aa-． …………………………10分 ⑶证明：函数()f x 是(0,)+∞上的每一点处都有导数，且()()xf x f x '>在(0,)+∞上恒成立，设()()f x F x x =，2()()()0xf x f x F x x '-'=>在(0,)+∞时恒成立，所以函数()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数， ………………………………………12分 因为120,0x x >>，所以1211220,0x x x x x x +>>+>>，所以121122()(),()()F x x F x F xx F x +>+>，即121122121122()()()(),f x x f x f x x f x x x x x x x ++>>++，14分所以112212121212()()(),()x f x x x f x x f x f x x x x x ++<<++，两式相加，得1212()()()f x f x f xx +<+，16分20．⑴当3k =，1236a a a =则1236a a a ++=．设32313n n n n c a a a --=++，由33n n a a +=+，得19n n c c +=+，所以数列{}n c 是公差为9的等差数列，故361212121112696662S c c c ⨯=+++=⨯+⨯=．………………………………4分 ⑵若2k =时，1212a a a a +=⋅，又12a a <， 所以1222a a a ⋅<，所以11a =，此时221a a +=，矛盾． ………………………………6分 若3k =时，123123a a a a a a ++=⋅⋅，所以12333a a a a ⋅⋅<，123a a ⋅<，所以1231,2,3a a a ===，满足题意． ……………………………………………………8分 若4k ≥时，1212k k a a a a a a +++=⋅⋅⋅，所以12k k a a a ka ⋅⋅⋅<，即121k a a a k -⋅⋅⋅<，又因为12112(1)22k a a a k k k -⋅⋅⋅>⨯⨯⨯-->≥，所以4k ≥不满足题意．……10分所以，11a =，22a =，33a =，且33n n a a +=+，所以3213(1)32n a a n n -=+-=-，3123(1)31n a a n n -=+-=-，333(1)3n a a n n =+-=， 故n a n =． ………………………………………………………………………………12分 ⑶又81121()2n a n n b b -+⋅=-⋅ 所以1812121()2n a n n b b +-++⋅=-⋅所以212n n b b +=，所以{}{}221,n n b b -都是以12为公比的等比数列,所以16212132(), 1,2114(), 2,2n n nn n b n n --⎧⋅⋅⎪⎪=⎨⎪-⋅⎪⎩≥为奇数,≥为偶数. …………………………………………14分 令11n n b b +⋅<，即8121()12n --⋅<，811()221n -<，所以13n ≥n 为奇数时有,12341112131415161,11,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<，，， 从而24121214,T T T T T <<<>>，n 为偶数时，有23451213141516171,1,,1,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<，从而13131315,T T T T T <<<>>，注意到12130,0T T >>，且131********T b T T T =⋅=>，所以数列{}n b 的前n 项积n T 最大时n 的值为13． ………………………………………16分徐州市2011—2012学年度高三第二次质量检测 数学Ⅱ卷答案及评分标准21．【选做题】A ．如图，连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥．因为OC 是圆的半径， 所以AB 是圆的切线．……………3分 因为ED 是直径，所以90ECD ︒∠=，所以90E EDC ︒∠+∠=， 又90,BCD OCD OCD ODC ︒∠+∠=∠=∠，所以BCD E ∠=∠，又因为CBD EBC ∠=∠，所以BCD ∆∽BEC ∆，所以2BC BD BC BD BE BE BC=⇒=⋅， …………………5分21tan ==∠EC CD CED ，BCD ∆∽BEC ∆，21==EC CD BC BD ． …………………7分设BD x =，则2BC x =，因为2BC BD BE =⋅，所以2(2)(6)x x x =+，所以2BD =．9分 所以235OA OB BD OD ==+=+=． ………………………………10分B ．设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故3,3a b c d =⎧⎨=⎩++． ……………4分 19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故29,215a b c d -=⎧⎨-=⎩++． ………………………………………………7分 联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ………………10分 C ．椭圆的普通方程为221259x y +=，左焦点为(4,0)-，…………………………………4分 直线1,42x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的普通方程为260x y --=，……………………………8分所求直线方程为1(4)2y x =-+，即240x y ++=． …………………………………10分D ．原式等价于212||a b||a b||x ||x |a |++--+-≥，设t ab =， 则原式变为|1||21||1||2|t t x x ++--+-≥对任意t 恒成立． ………………………2分ABCDEO第21—A 题图因为13,,21|1||21|2,1,23,1,t t t t t t t t ⎧⎪⎪⎪++-=-+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩≥≤最小值为21=t 时取到，其最小值为23． …6分所以有232,3121122321x ,x x x ,x ,x,x -⎧⎪-+-=<<⎨⎪-⎩．≥≥≤解得39[,]44x ∈． ……………………10分22．⑴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(002)D ，，，(210)E ，，，(020)C ，，． 设(2)P x y ，，，则1(0)D P x y =，，，(212)EP x y =--，，(210)EC =-，，． …………………………2分 因为1D P ⊥平面PCE ，所以1D P EP ⊥， 1D P EC ⊥，所以10D P EP =，10D P EC =，故(2)(1)020x x y y x y -+-=⎧⎨-+=⎩，．解得0,0x y =⎧⎨=⎩． (舍去)或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． …4分即48(,2)55P ，， 所以148(,0)55D P =，，所以1D P =6分 ⑵由⑴知，1148(2,1,0),(,,0),55DE D P D P ==⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则11164sin cos 5D P DED P DEθα⋅====所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45． ………………………………………10分 23．⑴由二项式定理,得02233C C C C C (2)n n n n n n n a =++++，所以02244224C C C 12C 2C n n n n n a =+++=+++，因为2242C 2C n n ++为偶数，所以a 是奇数．……………………………………………4分⑵由⑴设(1)n n a a a b ==+∈Z ，,则(1n a =-…………………5分 所以222((1(1(12)n n n a b a a -=+-==-，……………………6分当n 为偶数时, 2221a b =+,存在2k a =，使得n a a =+… 8分 当n 为奇数时，2221a b =-,存在22k b =，使得n a a =+=9分综上，对于任意n*∈N，都存在正整数k，使得na=．………………10分用心爱心专心- 31 -。
2011江苏各地调研试卷试题汇编 . 导数2
盐城市2011届高三二模数学13、已知函数，若存在121,[,](1)a a aξξ∈>，使得，则a 的取值范围是 ▲ ．13．(]1,4盐城市2011届高三二模数学19．已知函数是定义在R 上的奇函数，其值域为11[,]44-． ⑴．试求a ，b 的值；⑵．函数满足：①当时，g(x)=f(x)；②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1) ①求函数g(x)在上的解析式；②若函数g(x)在上的值域是闭区间，试探求m 的取值范围，并说明理由．【解】⑴．()f x 定义域为R ，0b ∴>．又()f x 为奇函数，由()()f x f x -=-对x R ∈恒成立，得0a =，()f x 的值域为111[,],()444f x -∴≤得2400x x b -+≥∴∆=得4b =(或用均值不等式求解)⑵．①当[3,6)x ∈时2(3)ln ()(3)ln (3)4x mg x g x m x -=-=-+，当[6,9)x ∈时222(6)(ln )()(6)(ln )(6)4x m g x g x m x -=-=-+，222(3)ln ,[3,6)(3)4()(6)(ln ),[6,9)(6)4x mx x g x x m x x -⎧∈⎪-+⎪∴=⎨-⎪∈⎪-+⎩ ②当3n x 3n+3(n 0,n Z)≤≤≥∈时，2(3)(ln )()(3)4nx n m g x x n -=-+的值域为(ln )[0,]4n m ，其中当32x n =+时(ln )(324nm f n +=）(1)当|ln |1m >时2(ln )(624n m f n +=）的值趋向无穷大，从而()f x 的值域不为闭区间(2)当ln 1m =时由(3)()g x g x +=得()g x 是3为周期的函数，从而()f x 的值域为闭区间1[0,]4(3)当ln 1m =-时由(3)()g x g x +=-得(6)()g x g x +=得()g x 是6为周期的函数，且当[3,6)x ∈2(3)()(3)4x g x x --=-+值域为1[,0]4-，从而()f x 的值域为闭区间11[,]44- 12)(,1)(332++-=++=a a x x g a x x x f 9|)()(|21≤-ξξf f bx a x x f ++=2)())((R x x g y ∈=[)3,0∈x [)9,3[)+∞∈,0x(4)当0ln 1m <<时由(ln )1(3244n m f n +=<），从而()f x 的值域为闭区间1[0,]4 (5)当1ln 0m -<<时由ln (ln )1(32444n m m f n ≤+=<），从而()f x 的值域为闭区间ln 1[,]44m -， 综上，当1ln 1m -≤≤即1[,1)(1,]m e e∈⋃时()g x 的值域为闭区间 江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届调研考试（2011-02-24） 20．已知函数1)(+=x ax ϕ，a 为正常数． ⑴．若)(ln )(x x x f ϕ+=，且92a =，求函数)(x f 的单调增区间； ⑵．在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>． ⑶．若()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)()(1212-<--x x x g x g ，求a的取值范围．【解】⑴．22(2)1()(1)x a x f x x x +-+'=+，因92a =，令0)(>'x f 得2>x 或210<<x ，故函数)(x f 的单调增区间为),2(),21,0(+∞⑵．当0=a 时x x f ln )(=，故x x f 1)(='，故210021)(x x x x f +=='，又121212121212lnln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--=，不妨设12x x >，要比较k 与)(0x f '的大小，即比较1212lnx x x x -与212x x +的大小，又12x x >，故 即比较12ln x x 与1)1(2)(212122112+-=+-x x x xx x x x 的大小．令2(1)()ln (1)1x h x x x x -=-≥+，则22(1)()0(1)x h x x x -'=≥+，故)(x h 在[1,)+∞上位增函数．又112>x x ，故0)1()(12=>h x x h ，故1)1(2ln 121212+->x x x x x x，即)(0x f k '>，⑶．因1)()(1212-<--x x x g x g ，故221121()[()]0g x x g x x x x +-+<-，由题意得x x g x F +=)()(在区间(0,2]上是减函数．︒1当x x ax x F x +++=≤≤1ln )(,21，故1)1(1)(++-='x a x x F ，由313)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'x x x x x x a x F 在[1,2]x ∈恒成立．设=)(x m 3132+++xx x ，[1,2]x ∈，则0312)(2>+-='xx x m ，故)(x m 在[1,2]上为增函数，故227)2(=≥m a ， ︒2 当x x ax x F x +++-=<<1ln )(,10，故 1)1(1)(2++--='x a x x F ，由11)1()1(0)(222--+=+++-≥⇒≤'x x x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立，设=)(x t 112--+xx x ，)1,0(∈x 为增函数，故0)1(=≥t a ，综上：a 的取值范围为227≥a宿迁市2011届高三数学高考押题试卷（二）19．已知曲线21:x C y e e=+（e 为自然对数的底数， 2.72e ≈），曲线2:2ln C y e x =． ⑴．求证：曲线1C 和2C 均与同一条直线l 相切于同一点，并求出该切线l 的方程； ⑵．设直线(0)x t t =>与曲线1C 、2C 及直线l 分别相交于点M 、N 、P ，记()f t PM PN =-，求函数()f t 在区间12[,]e e -上的最大值；⑶．设直线()nx e n N =∈与曲线1C 和2C 的交点分别为n A 和n B ，是否存在正整数m ，使得00m m A B A B =，若存在，求出正整数m 的值；若不存在，请说明理由．【解】⑴．由2x y e e=+，得 2x y e '=，由2ln y e x =，得 2e y x '=，令22x ee x =，得x e=（x e =-舍去），2y '=，把x e =代入2x y e e=+，得2y e =；把x e =代入2ln y e x =得2y e =，故曲线1C 和2C 均与同一条直线l 相切于同一点(,2)e e ，且切线l 方程为：22()y e x e -=-，即2y x =；⑵．因直线(0)x t t =>与曲线12,C C 及直线l 分别相交于点,,M N P ，则它们的坐标分别为：2(,)t M t e e +，(,2ln )N t e t ，(,2)P t t ，由（1）得222ln x e x e x e +≥≥在()0,+∞恒成立，故：22t PM e t e =+-；22ln PN t e t =-，故()h t PM PN =-=2(2)t e t e+--()22ln t e t -=22ln 4t e t t e e +-+，由于22()4t eh t e t '=+-，且0t >，故()40h t '≥=，故函数()h t PM PN =-在区间(0,)+∞上为增函数，故()h t 在区间12[,]e e -上的最大值为232()45h e e e e =-+；⑶．由直线()nx e n N =∈与曲线1C 和2C 的交点分别为n A 和n B 知：2()(,)n nn e A e e e+，(,2)nn B e en ，线段2()n n n e A B e e =+-2en 2()2n e e en e =+-，设2()()2n e g n e en e =+-，（0n >），则()g n '=222()n e e e-，故当](0,1n ∈时，()0g n '≤，当[)1,n ∈+∞时，()0g n '≥，故()g n 在(]0,1上单调递减；在[)1,+∞上单调递增，又001(0)g A B e e==+，(1)220g e e =-=，33(2)43g e e e e e =+-=-，由于3211(3)()(5)()0e e e e e e e e --+=-+->，故313e e e e->+，故不存在正整数m ，使得()(0)g m g =，故不存在正整数m ，使得00m m A B A B =．无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(二)20．已知函数)(ln )21()(2R a x x a x f ∈+-=．⑴．当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；⑵．若[1,3]x ∃∈，使x x x f ln )1()(+<成立，求实数a 的取值范围；⑶．若函数()f x 的图象在区间(1,)+∞内恒在直线2y ax =下方，求实数a 的取值范围．【解】⑴．)(ln )21()(2R a x x a x f ∈+-=的定义域为(0,)+∞．当0a =时，21()ln 2f x x x =-+，2'1()x f x x-=．由'()0f x >，结合定义域，解得01x <<，故得函数()f x 的单调递增区间为(0,1)．⑵．x x x f ln )1()(+<，即21()ln ()2a x x x a R -<∈，因[1,3]x ∈，故ln 12x a x <+．令ln 1()2x g x x =+，则[1,3]x ∃∈，使x x x f ln )1()(+<成立，等价于max ()a g x <．因'21ln ()x g x x-=．由'()0g x =，结合[1,3]x ∈，解得：x e =．当1x e ≤<时，/()0g x >；当3e x <≤时，'()0g x <．故得max 11()()2g x g e e ==+．故实数a 的取值范围是11(,)2e -∞+．⑶．令21()()2()2ln 2h x f x ax a x ax x =-=--+，()h x 的定义域为(0,)+∞．函数()f x 的图象在区间(1,)+∞内恒在直线2y ax =下方，等价于()0h x <在(1,)+∞上恒成立，即max ()0h x <，'(1)[(21)1]()x a x h x x---=．①若12a >，令'()0h x =，得1211,21x x a ==-．当211x x >=，即112a <<时，在2(1,)x 上，'()0h x <，()h x 为减函数，在(1,)+∞上，'()0h x >，()h x 为增函数，故()h x 的值域为2((),)g x +∞，不合题意．当211x x ≤=，即1a ≥时，同理可得在(1,)+∞上，/()0h x >，()h x 为增函数，故()h x 的值域为1((),)g x +∞，也不合题意．②若12a ≤，则有210a -≤，此时，在区间(1,)+∞上，恒有'()0h x <，从而()h x 为减函数，max 1()(1)02h x h a ==--≤，结合12a ≤，解得1122a -≤≤． 综合①②可得：实数a 的取值范围1122a -≤≤． 2011年南京师范大学附属中学高考模拟 20．已知函数21()22ln 2f x ax x x =-++，a ∈R ． ⑴．当0a =时，求()f x 的单调增区间；⑵．若()f x 在(1,)+∞上只有一个极值点，求实数a 的取值范围；⑶．对于任意12,(0,1]x x ∈，都有1212|||()()|x x f x f x -≤-，求实数a 的取值范围．【解】⑴．当0a =时，()22ln f x x x =-++，令'12()0x f x x -=>，解出：102x <<，故()f x 的单调增区间为1(0,)2或1(0,]2．⑵．令2'21()0ax x f x x-+==，()f x 在(1,)+∞上只有一个极值点⇔'()0f x =在(1,)+∞上只有一个根且不是重根．令2()21g x ax x =-+，(1,)x ∈+∞，①当0a =时，()21g x x =-+，不在(1,)+∞上有一个根，舍去．②当0a >时，2()21g x ax x =-+，在(1,)+∞上只有一个根且不是重根⇔(1)0g <⇔01a <<；③当0a <时，2()21g x ax x =-+，在(1,)+∞上只有一个根且不是重根⇔(1)0g >⇔1a >；矛盾！综上所述，实数a 的取值范围是：01a <<． 注：②③可以合并为：(1)0ag <⇔01a <<． ⑶．当12x x =，显然满足，以下讨论12x x ≠的情况．⑴ 当1a ≥时，2'11()1()a x a a f x x--+=，1(0,1],(0,1]x a ∈∈∴2111()110a x a a a --+≥-≥，得到'()0f x ≥，即()f x 在(0,1]上单调递增．对于任意12,(0,1]x x ∈，不放设12x x <，则有12()()f x f x <，且21x x >代入不等式1212|||()()|x x f x f x -≤-⇔2121()()f x f x x x -≥-⇔2211()()f x x f x x -≥-，引入新函数：21()()()32ln 2h x f x x f x ax x x =-==-++，2'31()ax x h x x-+=，故问题转化为'()0,(0,1]h x x ≥∈上恒成立，⇔2310ax x -+≥⇔231x a x -≥⇔max 231()x a x -≥，令231()x l x x -=，通过求导或不等式判断都可以：'323()x l x x-=，当'20,()03x l x <<>；'21,()03x l x <<<，故当max 229,()()334x l x l ===，故94a ≥；⑵当1a <且0a ≠时，2'21()ax x f x x-+=，令2()210k x ax x =-+=，方程判别式440a ∆=->且(1)10k a =-<；故()f x 在(0,1)上只有一个极大值．不妨设极大值点为1x ，记11(,())A x f x ，在A 点处的切线的斜率为0；过A 点作一条割线AB ，肯定存在点22(,())B x f x 使的||1AB k <，因||AB k 慢慢变成0．这样存在存在12,x x ，使得1212|()()|1||f x f x x x -<-与1212|||()()|x x f x f x -≤-矛盾！当0a =时，()f x 在(0,1)上只有一个极大值，同样得出矛盾！ 综上所述，求实数a 的取值范围为94a ≥． 镇江市2011年高三期末考试试卷2011．0120．函数y ＝e x (e 为自然对数的底数)的图象向下平移b (0＜b ，b ≠1)个单位后得到的图象记为C b ，C b 与x 轴交于A b 点，与y 轴交于B b 点，O 为坐标系原点．⑴．写出C b 的解析式和A b 、B b 两点的坐标；⑵．判断线段OA b 、OB b 长度大小，并证明你的结论；⑶．是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m 、n ，使得Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n 相似，如果相似，能否全等？证明你的结论．【解】⑴． 由题意得y ＝e x －b ，令y ＝0，A b (ln b,0)；令x ＝0，B b (0,1－b )．⑵．OA b ＝|ln b |，OB b ＝|1－b |，① 当0＜b ＜1时，OA b ＝－ln b ，OB b ＝1－b ，设函数f (x )＝1－x ＋ln x (0＜x ＜1)，f ′(x )＝1x－1＞0，故 f (x )＝1－x ＋ln x 在x ∈(0,1)上单调递增，故 f (x )＜f (1)＝0，故 －ln x ＞－x ＋1，故 OA b ＞OB b ．② b ＞1时，同理可得OA b ＜OB b ．⑶．① 当三角形同在第二象限时，0＜m ＜1,0＜n ＜1，OA b ＞OB b ，若Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n相似，只有1－m －ln m ＝1－n －ln n，故1－m ln m ＝1－n ln n ．设函数g (x )＝1－x ln x (0＜x ＜1)，g ′(x )＝x －x ln x －1x ln 2x (0＜x ＜1)．设函数h (x )＝x －1－x ln x ，h ′(x )＝－ln x ＞0在x ∈(0,1)上恒成立，故 h (x )在x ∈(0,1)上单调递增，故 h (x )＜h (1)＝0在x ∈(0,1)上恒成立，故 g ′(x )＜0在x ∈(0,1)上恒成立，g (x )在x ∈(0,1)上单调递减．故当0＜m ＜1,0＜n ＜1时，不存在；② 当三角形同在第四象限时，m ＞1，n ＞1，同理可得m 、n 不存在；③ 当三角形在不同象限时，不妨设0＜m ＜1，n ＞1时，若Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n 相似，OA m ＞OB m ，OA n ＜OB n ，则有ln m m －1＝n －1ln n ，设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫f 1m f 1m ＝ln m m －1＜m ＜，N＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫f 2n f 2n ＝n －1ln n n ＞．由g (x )性质可得：取m ∈(1e 3，1e )，f 1(m )＝ln m m －1在(1e 3，1e )上单调递减，故f 1(m )∈⎣⎡⎦⎤e e －1，3e 3e 3－1，2∈⎣⎡⎦⎤e e －1，3e 3e 3－1；取n ∈[e ，e 2]，则f 2(n )＝n －1ln n 在[e ，e 2]上递增，f 2(n )＝n －1ln n ∈⎣⎡⎦⎤e －1，e 2－12，2∈⎣⎡⎦⎤e －1，e 2－12，可得：M ∩N ≠∅，因此存在正实数0＜m ＜1，n ＞1，使得Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n 相似．如果全等，则有⎩⎪⎨⎪⎧ OA m ＝OB n OB m ＝OA n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－ln m ＝n －11－m ＝ln n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ln m ＝1－n ，ln n ＝1－m .由ln m ＝1－n ，得m ＝e 1－n 代入ln n ＝1－m ，ln n ＝1－e 1－n ⇒e n ln n ＝e n －e ．设函数F (x )＝e x ln x －e x ＋e(x ＞1)，F ′(x )＝e xln x ＋e x x －e x ＝e x (ln x ＋1x －1)＝e x x(x ln x －x ＋1)．设函数H (x )＝x ln x－x ＋1(x ＞1)，H ′(x )＝ln x ＋1－1＝ln x ＞0，故H (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，故 H (x )＞H (1)＝0．故 F ′(x )＞0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，F (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，故 F (x )＞F (1)＝0．因此不存在n ＞1使得e n ln n ＝e n －e ．故不存在两个互不相等且都不等于1的正实数0＜m ＜1，n ＞1，使得Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n 全等．无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(四)20．如果实数x ，y ，t 满足|x —t |≤|y —t |，则称x 比y 接近t ．⑴．设a 为实数，若a |a | 比a 更接近1，求a 的取值范围；⑵．1()ln 1x f x x -=+，证明：2()nk f k =∑2更接近0（k ∈Z ）．【解】⑴．|a |a |—1|≤|a —1|，①．当0<a<1时， |a 2—1|≤|a—1|，1-a 2≤1—a ，得a≥1或a≤0(舍) ②．当a≥1时，a 2—1≤a—1，得a= 1； ③．当 a≤0时， a 2+1≤1—a ，—1≤a≤0． 综上，a 的取值范围是{a|—1≤a ≤0或a=1}；⑵．因+=∑=31ln )(2nk k f 42ln +53ln +…+11ln +-n n =)1(2ln +n n ，故2|()0|nk f k =--∑2220|ln (1)n n -=-+．令n （n +1）=t ，2≥n 故t ∈),6[+∞，且t ∈Z ，则()ln 2ln F t t =-+．'()0F x =< ，故F （x ）在),2[+∞单调递减，故F （t ）≤f （6）<F(2)=—ln 1—0=0．故0222ln ≤---t t t，即22ln 0(1)n n -≤+．故2()nk f k =∑2更接近0．盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试20．对于函数(),(0,)y f x x =∈+∞，如果,,a b c 是一个三角形的三边长，那么(),(),()f a f b f c 也是一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“保三角形函数”．对于函数(),[0,)y g x x =∈+∞，如果,,a b c 是任意的非负实数，都有(),(),()g a g b g c 是一个三角形的三边长，则称函数()g x 为“恒三角形函数”．⑴．判断三个函数“2123(),()()3f x x f x f x x ==（定义域均为(0,)x ∈+∞）”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；⑵．若函数221(),[0,)1x kx g x x x x ++=∈+∞-+是“恒三角形函数”，试求实数k 的取值范围； ⑶．如果函数()h x 是定义在(0,)+∞上的周期函数，且值域也为(0,)+∞，试证明：()h x 既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．【解】⑴．对于1()f x x =，它在(0,)+∞上是增函数，不妨设a b c ≤≤，则111()()()f a f b f c ≤≤，因a b c +>，故111()()()f a f b a b c f c +=+>=，故1()f x 是“保三角形函数”，对于2()f x =(0,)+∞上是增函数，不妨设a b c ≤≤，则222()()()f a f b f c ≤≤，因a b c +>，故22()()f a f b +==>>2()f c =，故2()f x 是“保三角形函数”，对于23()3f x x =，取3,3,5a b c ===，显然,,a b c 是一个三角形的三边长，但因222333()()3(33)35()f a f b f c +=⨯+<⨯=，故(),(),()f a f b f c 不是三角形的三边长，故3()f x 不是“保三角形函数” ⑵．法一：因2(1)()11k xg x x x +=+-+，故当0x =时，()1g x =；当0x >时，1()111k g x x x+=++-． ① 当1k =-时，因()1g x =，适合题意 ②当1k >-时，因1()11211k g x k x x +=+≤=++-，故(]()1,2g x k ∈+， 从而当1k >-时，()[1,2]g x k ∈+，由112k +>+，得0k <，故10k -<<；③ 当1k <-时，因1()11211k g x k x x +=+≥=++-，故[)()2,1g x k ∈+， 从而当1k <-时，()[2,1]g x k ∈+，由20(2)(2)1k k k +>⎧⎨+++>⎩，得32k >-，故312k -<<-，综上所述，所求k 的取值范围是302k -<< 法二:因22(1)(1)(1)()(1)k x x g x x x ++-'=--+， ① 当1k =-时，因()1g x =，适合题意；②当1k >-时，可知()g x 在[)0,1上递增，在(1,)+∞上递减，而(0)1g =，(1)2g k =+，且当1x >时，()1g x >，故此时()[1,2g x k ∈+；③当1k <-时，可知()g x 在[)0,1上递减，在(1,)+∞上递增，而(0)1g =，(1)2g k =+，且当1x >时， ()1g x <，故此时()[2,1]g x k ∈+．（以下同法一． 按此方法求解的，类似给分．）⑶．①因()h x 的值域为(0,)+∞，故存在正实数,,a b c ，使得()1,()1,()2h a h b h c ===，显然这样的(),(),()h a h b h c 不是一个三角形的三边长，故()h x 不是“恒三角形函数”②因()h x 是值域为(0,)+∞的周期函数，故存在0n m >>，使得()1,()2h m h n ==，设()h x 的最小正周期为(0)T T >，令,a b m kT c n ==+=，其中*k N ∈，且22n mk T->，则a b c +>，又显然,b c a c a b +>+>，故,,a b c 是一个三角形的三边长，但因()()()1,()()2h a h b h m h c h n =====，故(),(),()h a h b h c 不是一个三角形的三边长，故()h x 也不是“保三角形函数”(说明：也可以先证()h x 不是“保三角形函数”，然后据此知()h x 也不是“恒三角形函数”) 江苏省盐城中学2010—2011学年度第一学期期中考试（2010．11） 20．已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=,()ln g x x =． ⑴．当1=a 时，求)(x f 在区间[2,2]-上的最小值；⑵．若在区间[1,2]上()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求a 的取值范围； ⑶．设()|()|,[1,1]h x f x x =∈-，求()h x 的最大值)(a F 的解析式． 【解】⑴．2()330f x x '=-=1x ∴=±，列表得min ()2f x =-⑵．在区间[1,2]上()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，33ln x ax x ∴-≥在[1,2]上恒成立得2ln 3x a x x ≤-在[1,2]上恒成立，设()h x =2ln x x x -则3221ln ()x x h x x-+'=，3210,ln 0()0x x h x '-≥≥∴≥min ()(1)1h x h ∴==，13a ∴≤分⑶．因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3--==ax x fx x g 最大值①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)('x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在.31)1()(a f a F -==②当0>a 时，),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-=（ⅰ）当1,1≥≥a a 即13)1()(,]1,0[)(),(|)(|)(-=-=--==a f a F x f x f x f x g 此时上单调递增在 （ⅱ）当10,10<<<<a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增；1°当131,031)1(<≤≤-=a a f 即时， ,]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --==a a a f a F 2)()(=-=； 2°当310,031)1(<<>-=a a f 即 （ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,410,31)1()(-==≤<-=≤-时即 （ⅱ）当a a a f a F a a f a f 2)()(,3141,31)1()(=-=<<-=>-时即综上 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F扬州市2010—2011学年度第二学期第三次调研测试2011．0520．已知定义在实数集上的函数*(),n n f x x n N =∈，其导函数记为'()n f x ，且满足2221212121()()'[()]f x f x f x a x x x x -+-=-，12,,a x x 为常数，12x x ≠．⑴．试求a 的值；⑵．记函数13()()ln ()F x b f x f x =⋅-，(0,]x e ∈，若()F x 的最小值为6，求实数b 的值；⑶．对于⑵中的b ，设函数()()3xb g x =，1122(,),(,)A x y B x y （12x x <）是函数()g x 图象上两点，若21021'()y y g x x x -=-，试判断012,,x x x 的大小，并加以证明．【解】⑴．22()f x x =，'2()2f x x =，依题意，2221121212[()]x x x a x x x x -⋅+-=-，得，12a =．⑵．()3ln ,F x bx x =-3'()F x b x=-,(0,]x e ∈， ①若3b e≤，3'()0F x a x =-≤，()F x 在(0,]e 上单调递减，()F x 的最小值是()F e ，由()6F e =得，9b e=（舍去）；②若3b e >，3'()()b F x x x b =-，令'()0F x =得3x b =，当3(0,)x b ∈时,'()0F x < ，()F x 在3(0,)b 上单调递减；当3(,]x e b ∈时,'()0F x >，()F x 在3(,]e b上单调递增；故()F x 的最小值是3()F b ，由3()6F b=得，3b e =．⑶．()x g x e =，结合图象猜测102x x x <<．只需证012xxxe e e <<，因2102102121'()x x x y y e e g x e x x x x --===--，故只需证211221x x x x e e e e x x -<<-，即证：11221()0x x x e e x x e +--<，且22121()0x x x e e x x e ---<，设22()()x x x h x e e x x e =+--，2'()()x h x e x x =--，当2x x ≤时，'()0h x ≥，故()h x 在2(,]x -∞上是增函数，12x x <，故12()()h x h x <，即11221()0x x x e e x x e +--<，设11()()x x x x e e x x e ϕ=---，则1'()()x x e x x ϕ=--，当1x x ≥时，'()0x ϕ≤，故()x ϕ在1[,)x +∞上是减函数，12x x <，故12()()x x ϕϕ>，即22121()0x x x e e x x e ---<．综上所述，102x x x <<． 2011届高三数学综合题19．已知函数2()(1)f x x =-，()ln g x a x =．⑴．若两曲线()y f x =，()y g x =在2x =处的切线互相垂直，求a 的值，并判断函数()()()F x f x g x =-的单调性并写出其单调区间；⑵．若函数1()()()x af x g x aϕ=+的图象与直线y x =至少有一个交点，求实数a 的取值范围；⑶．证明：对任意*n N ∈，都有211ln(1)ni i n i=-+>∑成立． 【解】⑴．由题意得，''(2)(2)1f g =-，即212a =-，故1a =-，故2'112()22()0x F x x-+=>，故函数()y F x =为增函数，单调增区间为(0,)+∞．⑵．设2()(1)ln x a x x ϕ=-+，令2()()(1)ln h x x x a x x x ϕ=-=--+，由题意得，方程()0h x =在区间(0,)+∞上至少有一解，①若0a =时，'1()xh x x-=，故()y h x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故max ()(1)10h x h ==-<，故方程()0h x =无解，若0a ≠，'(21)(1)()ax x h x x--=，令'()0h x =得，112x a =，21x =． ②当0a <时，由'()0h x >得，1(,1)2x a ∈，由'()0h x <得，1(,)2x a∈-∞或(1,)x ∈+∞，故()y h x =的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，故max ()(1)10h x h ==-<，故方程()0h x =无解；③当102a <<时，可得()y h x =的单调增区间为(0,1)与1(,)2a +∞，减区间为1(1)2a，，故()y h x =的极大值为(1)10h =-<，极小值为1()02h a<，又21111(1)(1)(1)ln(1)0h e a e e e a a a a++=++-+++++>，故方程()0h x =恰好有一解；④当12a =时，'()0h x ≥，故函数()y h x =为增函数，由上得方程()0h x =也恰好有一解； ⑤当12a >时，函数()y h x =单调增区间为1(0,)2a ，(1,)+∞，减区间为1(1)2a，，同上得方程()0h x =在(0,)+∞至少有一解；综上得所求的取值范围为(0,)+∞．⑶．(法一)由⑵可得：当1a =时，函数2()(1)ln h x a x x x =--+在(1,)+∞上单调递增，2(1)ln (1)1x x x h --+≥=-，即2ln 32x x x ≥-+-，令*11,x n N n=+∈，故2111ln(1)n n n +≥-，故2111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12311n ++++++⋅⋅⋅++≥-+2221111112233n n -+-+⋅⋅⋅+-，即2111111ln[(1)(1)(1)]()12ni n ii =+++≥-∑，即211ln(1)ni i n i=-+>∑，故所证结论成立．(法二)令211()ln(1)ni i g n n i=-=+-∑，则2111()(1)ln(1)g n g n n n n --=+-+，令11x n +=，则*11,,(1,2]x n N x n=-∈∈，记22()(1)(1)ln 32ln h x x x x x x x =---+=-++，则'(21)(1)()0x x h x x--=>，故()y h x =单调递增，又(1)0h =，故()0h x >，故当(1,2]x ∈时，即()(1)0g n g n -->，故()g n 单调递增，又(1)ln 20g =>，故()0g n >，故所证结论成立．2011届高三数学综合题18．已知a R ∈，函数2()()f x x x a =-．⑴．求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值()h a ；⑵．对⑴中的()h a ，若关于a 的方程1()()2h a k a =+有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围；⑶．若点11(,())A a h a ，22(,())B a h a ，33(,())C a h a 从左至右依次是函数()y h a =的图像时的三点，且这三点不共线，求证：ABC ∆是钝角三角形．【解】⑴．因2()()f x x x a =-，故'2()3()3a f x x x =-，令'()0f x =得，0x =或23a = a①若23a <，即2013a<<时，则当12x ≤≤时，'()0f x >，故()f x 在区间[1,2]上为增函数，故()(1)1h a f a ==-；②若332a ≤<，即2123a ≤<时，则当213a x ≤<时，'()0f x <，当223a x <≤时，'()0f x >，故()f x 在区间2[1,]3a 上为减函数，在区间2[,2]3a上为增函数，故324()()327a a h a f ==-； ③若3a ≥，即223a≥时，则当12x ≤≤时，'()0f x ≤，故()f x 在区间[1,2]上为减函数，故()(2)84h a f a ==-；综上所述，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值331,,243(),3,27284,3a a a h a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；⑵．因方程1()()2h a k a =+有两个不同的实数解，令1()2y k a =+，可得()y h a =的图像与直线1()2y k a =+有两个不同的交点，而直线1()2y k a =+恒过定点1(,0)2-，由图像可得k 的取值范围是(4,1)--；⑶证：不妨设123a a a <<，由⑵知，123()()()h a h a h a >>，1212(,()())BA a a h a h a =--，3232(,()())BC a a h a h a =--，故12321232()()[()())][()())]BA BC a a a a h a h a h a h a ⋅=--+--，因120a a -<，320a a ->，12()()0h a h a ->，32()()0h a h a -<，故0BA BC ⋅<，由A ，B ，C 三点不共线，故(,)2B ππ∈，即ABC ∆是钝角三角形．2011届江苏省苏锡常镇扬五市高三调研测试2011.3 19．设函数2()(1)f x x x =-，0x >． ⑴．求()f x 的极值；⑵．设0a <≤1，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，求函数()()F a G a a=的最小值； ⑶．设函数2()ln 24g x x x x t =-++（t 为常数），若使()g x ≤x m +≤()f x 在(0,)+∞上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．【解】⑴．f′（x ）=（x ﹣1）2+2x （x ﹣1）=3x 2﹣4x+1=（3x ﹣1）（x ﹣1），x ＞0．令f′（x ）=0，得x=或x=1，f （x ），f′（x ）随x 的变化情况如下表故当x=时，有极大值f （）=，当x=1时，有极小值f （1）=0．⑵．由⑴知：f （x ）在（0]，[1，+∞）上是增函数，在[，1]上是减函数，①0＜a≤时，F （a ）=a （a ﹣1）2，G （a ）=（a ﹣1）2≥，特别的，当a=时，有G （a ）=，②当＜a≤1时，F （a ）=f （）=，G （a ）=≥，特别的，当a=1时，有G （a ）=，由①②0＜a≤1时，函数的最小值为．⑶．由已知得h 1（x ）=x+m ﹣g （x ）=2x 2﹣3x ﹣lnx+m ﹣t≥0在（0，+∞）上恒成立，因，故x ∈（0，1）时，h′1（x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，h 1（x ）＞0，故x=1时，h′1（x ）取极小值，也是最小值，故当h 1（1）=m ﹣t ﹣1≥0，m≥t+1时，h 1（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，同样，h 2（x ）=f （x ）﹣x ﹣m=x 3﹣2x 2﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，因h′2（x ）=3x （x ﹣），故x ∈（0，）时，h′2（x ）＜0，x ∈（，+∞），h′2（x ）＞0，故x=时，h 2（x ）取极小值，也是最小值，故=﹣﹣m≥0，m≤﹣时，h 2（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，故t+1≤m≤﹣，因实数m 有且只有一个，故m=﹣，t=．苏州大学2011届高考数学考前指导卷（1）20．已知函数2(2),0,()1, 0x x ax e x f x x x b⎧->⎪=⎨≤⎪⎩ 当1x =时()y f x =取得极值．⑴．求实数a 的值；⑵．若()y f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围； ⑶．设ln ()()xg x b f x =+-，若对于13[0,]2x ∀∈，总21[,]x e e∃∈ (e =2.71828…)，使得12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．【解】⑴．0x >时，2()(2)x f x x ax e =-，2()e ((22)2)x f x x a x a '=+--．由条件知(1)0f '=，故34a =．⑵．0x >时，23()()e 2x f x x x =-，故1()e (1)(23)2x f x x x '=-+．则(1)2ef =-．① 若b > 0，当m = 0或e2m =-时，()y f x m =-有两个零点；② 若b < 0，当e2m >-时，()y f x m =-有两个零点．⑶．由题意，即要f (x )min ≥g (x )min （*）．当0x >时，23()()e 2x f x x x =-，由⑵知min e()(1)2f x f ==-．当0x >时，0x -<，故ln ln ()(1)()x x g x b b f x x =+=--．2ln 1()x g x b x -'=⋅．因x 2∈1[,e]e ，故2ln 10x x-≤． ① 若b > 0，g (x )在1[,e]e上是减函数，g (x )min =1(e)(1)e g b =-．因min min ()()f x g x <，故（*）不成立．② 若b < 0，g (x )在1[,e]e上是增函数，g (x )min =1()(1e)e g b =+．要使f (x )min ≥g (x )min ，只要e(1e)2b -+≥．则2(1)e b e ≤-+． 江苏省淮安市2011届高三第一次学情调研考试数学试题 2011．119．已知函数32,1,()ln ,1x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩的图象过坐标原点O ，且在点(1,(1))f --处的切线斜率为5-．⑴．求实数b ，c 的值；⑵．求函数()y f x =在[1,2]-上的最大值；⑶．对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形的斜边中点在y 轴上？说明理由．【解】⑴．当1x <时，'2()32f x x x b =-++，由题意得：'(0)0,(1)5f f =⎧⎨-=-⎩，即0,55c b =⎧⎨-+=-⎩，解得：0b c ==；⑵．由⑴知，32,1,()ln ,1x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩．①．当11x -≤<时，'2()3()3f x x x =--，令'()0f x =得，0x =或23x =，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：又(1)2f -=，()327f =，(0)0f =．故函数()y f x =在[1,1)-上的最大值为2； ②．当12x ≤≤时，()ln f x a x =．当0a ≤时，()0f x ≤，函数()y f x =的最大值为0； 当0a >时，函数()y f x =在[1,2]上单调递增．故函数()y f x =在[1,2]最大值为ln 2a ． 综上，当ln 22a ≤时，即2ln 2a ≤时，函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值为2；当ln 22a >时，即2ln 2a >时，函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值为ln 2a ． ⑶．假设曲线()y f x =上存在两点P ，Q 满足题设要求，则点P ，Q 只能在y 轴两侧． 不妨设(,())(0)P t f t t >，则32(,)Q t t t -+，显然1t ≠，因POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，故0OP OQ ⋅=，即232()()0(*)t f t t t -++=，若方程(*)有解，存在满足题设要求的两点P ，Q ；若方程(*)无解，不存在满足题设要求的两点P ，Q ．若01t <<，则32()f t t t =-+代入(*)式得：23232()()0t t t t t -+-++=，即4210t t -+=，而此方程无解，因此1t >．此时()ln f t a t =，代入(*)式得：232(ln )()0t a t t t -++=，即1(1)ln (**)t t a =+，令()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则'1()1ln h x x x=++，故()h x 在[1,)+∞上单调递增，因1t >，故()(1)0h t h >=，故()h t 的取值范围是(0,)+∞．故对于0a >，方程(**)总有解，即方程(*)总有解．因此，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 泰州中学10---11学年度第二学期第四次模拟考试20．已知函数3()y f x x ax b ==++的图象记为曲线C ，若其关于坐标原点对称，且与x 轴相切． ⑴．求a ，b 的值；⑵．若曲线G ：'()()sin f x y h x x xλ==+上存在相互垂直的两条切线，求实数λ的取值范围； ⑶．是否存在实数m ，n ，使得函数()3|()|g x f x =-的定义域与值域均为区间[,]m n ？试证明你的结论．【解】⑴．由()()f x f x -=-可得，0b =，设曲线C 与x 轴切于(,0)T t ，则'()0,()0f t f t =⎧⎨=⎩，即320,30t at t a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故0a t ==，故3()f x x =； ⑵．'()()sin 3sin f x h x x x x xλλ=+=+，则'()3cos (0)h x x x λ=+≠，设切点11(,())t h t ，22(,())t h t ，则''12()()1h t h t =-，则12(3cos )(3cos )1t t λλ++=-，即2121293(cos cos )cos cos 10t t t t λ++++=．故212129(cos cos )36(cos cos 1)0t t t t ∆=+-+≥，即212(cos cos )4t t -≥，又121cos cos 1t t -≤≤，故212(cos cos )4t t -≤，故212(cos cos )4t t -=，此时1cos 1t =，2cos 1t =-或者1cos 1t =-，2cos 1t =，可得0λ=；⑶．333,0,()3,0x x g x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，假设存在m ，n 符合题意： (A)．当0m <时，可得(),()g m m g n n=⎧⎨=⎩，即m ，n 是方程()g x x =的两个相异负根得，330x x -+=，令3()3(3)p x x x x =-+<，则'2()310p x x =-=，则x =x ，'()p x ，()p x 的变化情况如下表：由于(0)30p => (B)．当0m ≥时，因3()3g x x =-在区间[,]m n 上是减函数，故(),()g m n g n m =⎧⎨=⎩，即333,3m n n m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得，221m mn n ++=，即2()1m n mn +-=，由于2()4m n mn +<，即22()()14m n m n ++-<，故m n +<，由0m n ≤<，m <，n <，则33m n +<<，与条件矛盾，此时m ，n 不存在；(C)．当0m n <≤时，因max ()(0)3g x g ==,故3n =，若min ()(3)24g x g ==-，故24m =-，而min (24)3243()g g x -=-<，矛盾，若3min ()()3g x g m m ==+，即33(*)m m +=，因min (3)24()g g x =-≥，故24m ≤-，根据情况(A)知，3()3p x x x =-+在(,24]-∞-上递增，又(24)0p -<，从而方程(*)无满足24m ≤-的解，故不存在．综上所述，不存在实数m ，n ，使函数的定义域与值域均为[,]m n ． 南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011．01 20．已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈．⑴．若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值； ⑵．求证：0)(≥x f 恒成立的充要条件是1a =；⑶．若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有121211|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围． 【解】⑴．因'()1af x x=-，故'(1)1f a =-．故曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1a -．又曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，故13a -=，解得2a =-；⑵．①．充分性：当1a =时，()1ln f x x x =--，故'1(1)x f x-=，故当1x >时，'()0f x >，即函数()y f x =在(1,)+∞上为增函数，当01x <<时，'()0f x <，即函数()y f x =在(0,1)上为增函数．故()(1)0f x f ≥=．②．必要性：(法一)'()x af x x-=，其中0x >． (i)．当0a ≤时，'()0f x >恒成立，故函数()y f x =在(0,)+∞上为增函数，而(1)0f =，故当(0,1)x ∈时，()0f x <，与()0f x ≥恒成立矛盾，故0a ≤不满足题意．(ii)．当0a >时，因当x a >时，'()0f x >，则函数()y f x =在(,)a +∞上为增函数；当0x a <<时，'()0f x <，则函数()y f x =在(0,)a 上为减函数．故()()1ln f x f a a a a ≥=--．因(1)0f =，故当1a ≠时，()(1)0f a f <=，此时与()0f x ≥恒成立矛盾，故1a =．综上所述，()0f x ≥恒成立的充要条件为1a =．(法二)'()x af x x-=，其中0x >． (i)．当0a ≤时，'()0f x >恒成立，故函数()y f x =在(0,)+∞上为增函数，而(1)0f =，故当(0,1)x ∈时，()0f x <，与()0f x ≥恒成立矛盾，故0a ≤不满足题意．(ii)．当0a >时，因当x a >时，'()0f x >，则函数()y f x =在(,)a +∞上为增函数；当0x a <<时，'()0f x <，则函数()y f x =在(0,)a 上为减函数．故()()1ln f x f a a a a ≥=--．于是由()0f x ≥恒成立可知，存在0a >，使得()1ln 0f a a a a =--≥．记()1ln x x x x ϕ=--，则'()ln x x ϕ=-，当01x <<时，'()0x ϕ>，故函数()x ϕ在(0,1)上为增函数，当1x >时，'()0x ϕ<，故函数()x ϕ在(1,)+∞上为减函数，即()(1)0x ϕϕ≤=，故1a =．综上所述，()0f x ≥恒成立的充要条件为1a =．⑶．由⑵知，当0a <时，函数()y f x =在(0,1]上为增函数．又函数1y x =在(0,1]上为减函数．不妨设1201x x <≤≤，则1221|()()|()()f x f x f x f x -=-，12121111||x x x x -=-，故12|()()|f x f x -≤ 12114||x x -等价于211244()()f x f x x x -≤-，即212144()()f x f x x x +≤+，设4()()h x f x x =+= 41ln x a x x +--，则121211|()()|4||f x f x x x -≤-等价于函数()h x 在区间(0,1]上是减函数．因2'24()x ax h x x --=，故240x ax --≤在(0,1]上恒成立，即4a x x ≥-在(0,1]上恒成立，而4x x-的最大值为3-．故3a ≥-．又0a <，即[3,0)a ∈-．另解：042≤--ax x 在(0,1]x ∈上恒成立，设4)(2--=ax x x g ，只需(0)40(1)1400g g a a =-<⎧⎪=--≤⎨⎪<⎩，故[3,0)a ∈-．盐城市、南京市2010-2011学年度高三年级第三次调研考试 20．已知函数)()(23R a ax x x x f ∈-+=．⑴．当0a =时，求与直线100x y --=平行，且与曲线()y f x =相切的直线的方程； ⑵．求函数)1(ln )()(>-=x x a xx f x g 的单调递减区间； ⑶．如果存在[3,9]a ∈，使函数]),3[)(()()(b x x f x f x h -∈'+=在3x =-处取得最大值，试求b 的最大值．【解】⑴．设切点为32000(,)T x x x +，由'2()32f x x x =+及题意得，200321x x +=．解得01x =-或013x =．故(1,0)T -或14(,)327T ．故切线方程为10x y -+=或272750x y --=；⑵．因2()ln (1)g x x x a a x x =+-->，故由'()210ag x x x=+->得，220x x a +->．令2()2(1)x x x a x ϕ=+->，因()x ϕ在(1,)+∞上递增，故()(1)3x a ϕϕ>=-．当30a -≥，即3a ≤时，()g x 的增区间为(1,)+∞；当30a -<，即3a >时，因(1)30a ϕ=-<，故()x ϕ的一个零点小于1、另一个零点大于1．由()0x ϕ=得，零点1114x -=<，2114x -+=>，从而()0(1)x x ϕ>>的解集为1()4-++∞，即()g x的增区间为)+∞；⑶．法一：设32()4(2)h x x x a x a =++--，则'2()382h x x x a =++-．因存在[3,9]a ∈，令'()0h x =得，1x =2x =．当1x x <或2x x >时，'()0h x >；当12x x x <<时，'()0h x <．故要使()([3,])h x x b ∈-在3x =-处取得最大值，必有123,3x x ≤-⎧⎨>-⎩，解得5a ≥，即[5,9]a ∈．故存在[5,9]a ∈使()([3,])h x x b ∈-在3x =-处取得最大值的充要条件为(3)()h h b -≥，即存在[5,9]a ∈使32(3)(423)0b a b b b +-++-≥成立．因30b +>，故329(3)(423)0b b b b +-++-≥，即2(3)(10)0b b b ++-≤．解得1122b --≤≤，故b 的最大值为12-+． 法二：32()4(2)h x x x a x a =++--，据题意知，()(3)h x h ≤-在区间[3,]b -上恒成立．即32(27)4(9)(2)(3)0x x a x ++-+-+≤，即2(3)(1)0x x x a ++--≤①．若3x =-时，不等式①成立；若3x b -<≤时，不等式①可化为210x x a +--≤，即21x x a +≤+②．令2()x x x ϕ=+．当32b -<≤时，()x ϕ在区间[3,]b -上的最大值为(3)6ϕ-=，不等式②恒成立等价于61a ≤+，即5a ≥，符合题意；当2b ≥时，()x ϕ的最大值为2()b b b ϕ=+，不等式②恒成立等价于21b b a +≤+．由题意知这个关于a 的不等式在区间[3,9]上有解．故2max (1)b b a +≤+，即210b b +≤，解得，122b -+<≤．综上所述，b ，此时唯有9a =符合题意．。
江苏省南通市2011届高三第二次调研考试数学试卷(含参考答案和评分标准)
江苏省南通市2011届高三第二次调研测试数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 3”4． 的27 ▲ ．5． 0 ▲ 分．6．设{N =b 7． n = 38若123123a +则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从 “①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为 结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）． 10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()sin cos 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos 2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点，C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：(d 1314正实数λ15．点G （1（216．（本小题满分14分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值；(第15题)（2）在△ABC 中，AB =1，()1f C ，且△ABC 求sin A +sin B的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，段2OA （1（2（318．围成，圆（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．（第17题甲） （第17题乙）19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA=()()11x f x ，，()()22OB x f x = ，，OM=(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“（1围；（2似．20．(（1（2 （3123,,n n n a a a ．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答．．．．．．．．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ， 切点为A ，M 为P A 的中点，过点M 引 圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°，∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．（第21—A 题）C 1【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应 写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .（1（223．得2分.（1（2江苏省南通市2011届高三第二次调研考试数学试卷试题I 参考答案和评分标准一、填空题（每小题5分，共70分） 1. x －y －2=0 2. 825-3. 真4. 26275. 26. (){}20，7. 128. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 15014. ()2+∞，二、解答题 15．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂又BO （2）连因为E 、所以AO OG=于是AQQF =因为FG ⊄EBO ．【注】16.【解】（1）()f x由(2cos x ()πcos 6x +于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分 因为△ABC 1πsin 26ab =，于是ab = ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .由余弦定理得2222π12cos 66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=+ ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C ab===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=+． ………………14分（e =（故d（12k =， …………………………10分 设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：20x -+=的对称点为()m n , ， 则1,12022n m n ⎧=-⎪⎨+⎪-+=⎩． …………………………12分解得13m n =, ．所以，圆C 的方程为()(22113x y -+=．…………………14分18.【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，S △RST =RT SH ⋅21．……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离； ……………………4分 RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．（2）同ADABCD S 四边形分令sin =y cos θ='y 若0='y 又(0θ∈函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为km 2）． …………………16分19.【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN=λBA ，所以B ，N ，A 三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)，则有()221124MN x x x =-=--+，故10MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分 （2）对于1e e mm +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p ra a a ，，成等差数列，则1213221r p kpa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112xzy+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设. …………………10分 （3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项，由k ∈ 2. 公比q 21或23数学II 参考答案和评分标准21.选答题。
数学_2011年江苏省苏东三市高三调研数学试卷(含答案)
2011年江苏省苏东三市高三调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 命题“对任意的X ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是：________．2. 已知集合M ={x|x <3}，N ={x|log 2x >1}，则M ∩N =________．3. 将复数1+2i 3+i 3表示为a +bi （a ，b ∈R ，i 为虚数单位）的形式为________．4. 若平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|=3，|BC →|=4，|CA →|=5，则AB →⋅BC →+BC →⋅CA →+CA →⋅AB →的值等于________．5. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________人．6. （文）若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 26+y 22=1的右焦点重合，则实数p 的值是________．7. 设a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题： ①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b // α； ②若a // α，α⊥β，则a ⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a // α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则α⊥β．其中正确的命题是________（请把所有正确命题的序号都填上）． 8. 若f(x)=asin(x +π4)+3sin(x −π4)是偶函数，则a =________．9. 已知数列{a n }中，a 1=2，a n+1=3a n +4．则数列{a n }的通项公式是________．10. 直线y =2x +m 和圆x 2+y 2=1交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若|AB|=√3，那么sin(α−β)的值是________．11. 如图所示，在单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 最短，则AP +D 1P 的最小值为________．12. 设实数x ，y 满足{x −y −2≤0x +2y −5≥0y −2≤0 则u =y 2−x 2xy 的取值范围是________．13. 已知椭圆方程x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，当a 2+16b(a−b)的最小值时，椭圆的离心率e =________．14. 设a ，b 为互不相等的正整数，方程ax 2+8x +b =0的两个实根为x 1，x 2(x 1≠x 2)，且|x 1|<|x 2|<1，则a +b 的最小值为________．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若m=(−cos A2，sin A2)，n=(cos A2，sin A2)，a=2√3，且m⋅n=12．（1）求角A的值．（2）求b+c的取值范围．16. 设函数f(x)=(x+1)2−2klnx．（1）当k=2时，求函数f(x)的增区间；（2）当k<0时，求函数g(x)=f′(x)在区间(0, 2]上的最小值．17. 如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN // 平面DAE．18. 已知圆M:x2+(y−2)2=1，设点B，C是直线l:x−2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4(t∈R)，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．（1）若t=0，MP=√5，求直线PA的方程；（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L(t)．19. 将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{b n}，b1=a1=1．S n为数列{b n}的前n项和，且满足2b nb n S n−S n2=1(n≥2)．（1）证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=−491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．20. f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数α∈(0, 1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，则称f(x)为定义在D上的C函数．（1）试判断函数f1(x)=x2，f2(x)=1x(x<0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；（2）已知f(x)是R上的C函数，m是给定的正整数，设a n=f(n)，n=0，1，2，…，m，且a0=0，a m=2m，记S f=a1+a2+...+a m．对于满足条件的任意函数f(x)，试求S f的最大值．2011年江苏省苏东三市高三调研数学试卷答案1. 存在x0∈R，x03−x02+1>02. {x|2<x<3}3. 110+710i4. −255. 106. 47. ①③④8. −39. a n=4.3n−1−210. ±√3211. √2+√212. [−83, 3 2 ]13. √32 14. 915. 解：（1）m=(−cos A2，sin A2)，n=(cos A2，sin A2)，且m⋅n=12．∴ −cos2A2+sin2A2=12，即−cosA=12，又A∈(0, π)，∴ A=2π3；（2）由正弦定理得：bsinB =csinC=asinA=2√3sin2π3=4，又B+C=π−A=π3，∴ b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(π3−B)=4sin(B+π3)∵ 0<B<π3，则π3<B+π3<2π3．则√32<sin(B+π3)≤1，即b+c的取值范围是(2√3，4].16. 解（1）k=2，f(x)=(x+1)2−4lnx．则f′(x)=2x+2−4x =2x(x−1)(x+2)>0，（此处用“≥”同样给分）注意到x>0，故x>1，于是函数的增区间为(1, +∞)．（写为[1, +∞）同样给分）（2）当k<0时，g(x)=f′(x)=2x+2−2kx．g(x)=2(x+−kx)+2≥4√−k+2，当且仅当x=√−k时，上述“≥”中取“=”．①若√−k∈(0, 2]，即当k∈[−4, 0)时, 函数g(x)在区间(0, 2]上的最小值为4√−k+2；②若k<−4，则g′(x)=2(1+kx2)在(0, 2]上为负恒成立，故g(x)在区间(0, 2]上为减函数，，于是g(x)在区间(0, 2]上的最小值为g(2)=6−k．综上所述，当k∈[−4, 0)时, 函数g(x)在区间(0, 2]上的最小值为4√−k+2；当k<−4时，函数g(x)在区间(0, 2]上的最小值为6−k．17. (1)证明：∵ AD⊥平面ABE，AD // BC，∴ BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.又∵ BF⊥平面ACE，∴ AE⊥BF.∵ BC∩BF=B，∴ AE⊥平面BCE，且BE⊂平面BCE，∴ AE⊥BE.(2)在△ABE中，过M点作MG // AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN // BC交EC于N点，连接MN.∵ AM=2MB，∴ CN=13CE.∵ MG // AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴ MG // 平面ADE.同理可证，GN // 平面ADE，∵ MG∩GN=G，∴ 平面MGN // 平面ADE.又∵ MN⊂平面MGN，∴ MN // 平面ADE，∴ N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.18. 解：（1）由圆M:x2+(y−2)2=1，得到圆心M(0, 2)，半径r=1，设P(2a, a)(0≤a≤2)．∵ M(0,2),MP=√5，∴ √(2a)2+(a−2)2=√5．解得a=1或a=−15（舍去）．∴ P(2, 1)．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．所以直线PA的方程为y−1=k(x−2)，即kx−y−2k+1=0．∵ 直线PA与圆M相切，∴√1+k2=1，解得k =0或k =−43．∴ 直线PA 的方程是y =1或4x +3y −11=0；（2）设f(a)min =f(t2+2)=54(t2+2)2+(t2+2)+1=1516t 2+3t +8 ∵ PA 与圆M 相切于点A ，∴ PA ⊥MA ．∴ 经过A ，P ，M 三点的圆的圆心D 是线段MP 的中点． ∵ M(0, 2)，∴ D 的坐标是(a,a2+1)． 设DO 2=f(a)．∴ f(a)=a 2+(a2+1)2=54a 2+a +1=54(a +25)2+45．当t 2>−25，即t >−45时，f(a)min =f(t 2)=516t 2+t2+1； 当t2≤−25≤t2+2，即−245≤t ≤−45时，f(a)min =f(−25)=45；当t2+2<−25，即t <−245时，f(a)min =f(t2+2)=54(t2+2)2+(t2+2)+1=1516t 2+3t +8则L(t)={14√5t 2+8t +16，t >−452√55，−245≤t ≤−4514√5t 2+48t +128，t <−245．19. 解：（1）证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n −S n2=1，又S n =b 1+b 2+...+b n ， 所以2(S n −S n−1)(S n −S n−1)S n −S n2=1⇒2(S n −S n−1)−S n−1S n=1⇒1S n−1S n−1=12，又S 1=b 1=a 1=1．所以数列{1S n}是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n=1+12(n −1)=n+12，⇒S n =2n+1．所以当n ≥2时，b n =S n −S n−1=2n+1−2n=−2n(n+1)．因此b n ={1,n =1−2n(n+1)，n ≥2（2）设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0． 因为1+2+⋯+12=12×132=78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项，故a 81在表中第13行第三列， 因此a 81=b 13⋅q 2=−491．又b 13=−213×14，所以q =2． 记表中第k(k ≥3)行所有项的和为S ， 则S =b k (1−q k )1−q=−2k(k+1)⋅(1−2k )1−2=2k(k+1)(1−2k )(k ≥3)．20. 解：（1）f1(x)=x2是C函数，证明如下：对任意实数x1，x2及α∈(0, 1)，有f(αx1+(1−α)x2)−αf(x1)−(1−α)f(x2)=(αx1+(1−α)x2)2−αx12−(1−α)x22=−α(1−α)x12−α(1−α)x22+2α(1−α)x1x2=−α(1−α)(x1−x2)2≤0．即f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)．∴ f1(x)=x2是C函数．f2(x)=1x(x<0)不是C函数，证明如下：取x1=−3，x2=−1，α=12，则f(αx1+(1−α)x2)−αf(x1)−(1−α)f(x2)=f(−2)−12f(−3)−12f(−1)=−12+16+12>0．即f(αx1+(1−α)x2)>αf(x1)+(1−α)f(x2)．∴ f2(x)=1x(x<0)不是C函数．（2）对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=nm∈[0,1]，∵ f(x)是R上的C函数，a n=f(n)，且a0=0，a m=2m，∴ a n=f(n)=f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)=nm×2m=2n；那么S f=a1+a2+...+a m≤2×(1+2+...+m)=m2+m．可证f(x)=2x是C函数，且使得a n=2n(n=0, 1, 2,…,m)都成立，此时S f=m2+m．综上所述，S f的最大值为m2+m．。
江苏省南通市2011届高三第二次调研测试试题(数学)
江苏省南通市2011届高三第二次调研测试试题（数学）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()s i nc o s 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段P A 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，PABCOEFG(第15题)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边P A 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△P AB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABC ，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x ++． (3)分由()π2cos 16x ++=，得()π1co s 62x +=， ………………5分 于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 1πsin 26ab =，于是ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .PABCOE FGQ由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b += ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1s i 2A B a b +=+=． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为1313=，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e …………4分（2）由e =可设()40a k k =>，c，则b =， 于是11A B的方程为：40x k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B：20x -+=的对称点为()m n , ，则1,112022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩． …………………………12分解得13m n =, ．所以，圆C 的方程为()(22113x y -+=．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分（第17题甲）（第17题乙）TQPNMSR甲乙RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为（km 2）． …………………16分 19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541） 【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B，N，A三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)， 则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分 令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下：MN =(h x 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =； 当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <<因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为P A 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为B M ∠=∠，所以B M∆∆∽． ………………5分 于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得321328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得232， ，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos sinϕϕ==…………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DECD DE CD ⋅⋅＝. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为. ……………………5分 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分 （2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分 即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分。
苏州中学2011届高三年级阶段测试二(数学)
江苏省苏州中学2011届高三年级阶段测试二（数学）2010、12本试卷分A,B 两部分,文科只做A 部分,满分160分,考试时间120分钟;理科做A,B 两部分,满分160分+40分,考试时间150分钟。
答案直接做在答案专页上。
A 正题部分（文理必做）（满分160分，考试用时120分钟）一、填空题(本大题共有14道小题,每小题5分,计70分)1．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,1,2)A -，点(2,1,3)B ，则线段A B 长为 ★ . 2．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 ★ .3．若直线1l ：062=++y ax 与直线2l：01)1(2=-+-+a y a x 垂直，则=a ★ .4．双曲线225204y x -=的焦点坐标为 ★ .5．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ★ ． 6．已知点(1,5)A --和向量(2,3)a =，若3AB a =，则点B 的坐标为 ★ .7．若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则实数a 的取值范围是 ★ .8．设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则整数a 的值为 ★ .9. 在平面直角坐标系xOy 中，平面区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y ，则能覆盖平面区域D 的最小的圆的方程为 ★ ．10．已知F 是抛物线C :24y x =的焦点, P 是抛物线C 上任意一点，点(2,1)A ，则当P F P A +取得最小值时，点P 的坐标为 ★ .11．设()322()log 1f x x x x =+++，则不等式2()(2)0f m f m+-≥（m R ∈）成立的充要条件是 ★ .（注：填写m 的取值范围）.12. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是 ★ .13．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 ★ cm3．14．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ★ ．二、解答题(本大题共有6道题,计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分14分）△ABC 的三个内角,,A B C 的对边边长分别是,,a b c ，且满足cos cos 2Bb C ac =-+.(1)求角B 的值； （2）若19b =，5a c +=，求,a c 的值.16. （本小题满分14分）如图所示，一辆载着重危病人的火车从O 地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角）,其中1tan 3α=，在距离O 地5a km （a为正数）北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3sin 5β=.现110指挥部紧急征调离O 地正东p km 的B 处的救护车赶往N 处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C 处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时. （1）求S 关于p 的函数关系； （2）当p 为何值时，抢救最及时？17. （本小题满分15分）OBA NC北东 第16题α已知椭圆22221xy ab+=(0)a b >>的两准线间距离为6，离心率33e =.过椭圆上任意一点P ，作右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得(>0)PH H Q λλ=．2F 为该椭圆的右焦点，设点P 的坐标为00(,)x y .（1）求椭圆方程；（2）求证：0233x PF -=；（3）当点P 在椭圆上运动时，试探究是否存在实数λ，使得点Q 在同一个定圆上，若存在，求出λ的值及定圆方程；否则,请说明理由.18. （本小题满分15分） 一个公差不为0的等差数列{}n a ，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{}n b 的第1、3、5项. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为nS 与nT ,试求正整数m ，使得12m S T =；（3）求证：数列{}n b 中任意三项都不能构成等差数列.19. （本小题满分16分） 已知函数2()f x x=，()2ln (0)g x e x x =>（e 为自然对数的底数），它们的导数分别为()f x '、()g x '.（1）当0x >时，求证：()()4f x g x e''+≥；（2）求()()()(0)F x f x g x x =->的单调区间及最小值；（3）试探究是否存在一次函数(,)y kx b k b R =+∈，使得()f x kx b ≥+且()g x kx b ≤+对一切0x >恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数2()4(0,,)f x a x x b a a b R =++∈且<.设关于x 的不等式()0f x >的解集为12,),x x （且方程()f x x =的两实根为,αβ.（1）若1αβ-=，求,a b 的关系式；（2）若,a b 都是负整数，且1αβ-=，求()f x 的解析式；（3）若12αβ<<<，求证：12(1)(1)7x x ++<.高三数学理科附加题(B)本试卷满分40分，考试时间30分钟.解答直接做在试卷上,请在规定区域内答题．题号 21 22 23 总分 复核 得分 批阅21. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xo y 上，动点P 到定直线:2l x =与到定点(1,0)F 的距离之和为3，求动点P 的轨迹方程.22. （本小题满分10分）已知111()123f n n =++++，1,2,3,n = .求证：100(1)(2)(3)(99)100(100)f f f f f +++++= .23. （本小题满分10分）已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，满足两个条件：①对任意实数,x y 都有()()()2f x y f x f y xy +=++成立；②(0)2f '=.（1）求函数的()f x 的表达式； （2）对任意12,[1,1]x x ∈-，求证：1212|()()|4||f x f x x x -≤-.24. （本小题满分10分）已知数列{}n a ，前n 项和为n S，若231n n S a n n +=+-，n N *∈.（1）求1234,,,a a a a ；（2）是否存在常数,p q，使得数列{}n a pn q ++为等比数列，若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由。
江苏南京市2011届高三第二次模拟考试数学
9的最大正整数n 的值为 。
江苏南京市2011届高三第二次模拟考试数学一、填空题（每题 5分，共70分）1、 已知复数 乙=3-4i , Z 2= 4 + bi （b € R , i 为虚数单位），若复数Z i *Z 2是纯虚数，则b 的 值为___________ 。
2 __________________________________________________2、 已知全集U = R , Z 是整数集，集合 A ={ x | x-x-6 > 0,x € R },则ZA QA 中元素的个数 为 。
3、 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形（第3题）4、某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重（单位kg ）。
所得数据都在区间［50,75］中，其频率分布直方图如图所示。
若图中从左到右的前 3个小组的频率之比为1 : 2: 3,则体重小于60 kg 的高三男生人数为 ____________ 。
（第 4题）5、 已知向量a,b 的夹角为120°，且| a | =3, | a | =1,则| a-2b | = _______________6、 下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是 __________ 。
（第 6 题）7、若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为 3，则M 到该抛物线焦点的距离为& 若直线y=kx-3与y=2Inx 曲线相切，则实数 K= ________________ 。
9、 已知函数 f （x ）=2sin （3 x+Y ）（ co >0）,若 f （ — ）=0, f （ — ）=2,则实数3 的最小值为 _ 。
3 2110、已知各项都为正数的等比数列 {a n }中，a 2*a 4=4, a 1+a 2+a 3=14,则满足a n +a n+1+a n+2>一动点，则当 AM+MC i 最小时，△ AMC i 的面积为11、3x 已知集合P= (x, y) | 4x 4y3y3 0 6, Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2< r 2(r>0),若“点 M12、€ P 堤“点M € Q”的必要条件, 则当 r 最大时ab 的值是如图，直三棱柱 ABC-AB i C i 中, AB=1, BC=2, AC= . 5，AA 1=3，M 为线段 BBi 上的13、14、(第12题)定义：若函数f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应的函数与 f(x)的值域相同，则称变换T 是f(x)的同值变换。
资料：高2011届数学第二次模拟试题参考答案
高2011届数学第二次题库库参考答案一、选择题：BBCDA DBCCB二、填空题：11．331,2⎛⎤⎥⎝⎦15．(1)52；(2)9；(3)103．三、解答题：16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图象可知，.162,2==ωπA.()2sin().88,2,()2,2sin()2,.84()2sin()84∴=∴=+==∴+==∴=+f x x x f x x f x x ππωϕππϕϕππ又知当时所求函数的解析式为（Ⅱ）]4)(8sin[221)48sin(2ππππ+-⨯++=x x M 2max 2sin()sin[()]842842sin()cos()848421 5.x x x x M πππππππππ=++-+=+++∴=+=17．（本小题满分12分） 解．（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；252(6)0.63400P ξ===，100(2)0.25400P ξ===， 40(1)0.1400P ξ===， 8(2)0.02400P ξ=-==故ξ的分布列为：ξ621-2 P0.63 0.25 0.10.02ABCDPE F（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=（3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)=⨯+⨯---++-⨯=-≤≤E x x x x x依题意，() 4.75≥E x ，即4.76 4.75x -≥，解得0.01x ≤ 所以三等品率最多为1% 18．（本小题满分12分）解：(I) ∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ，∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ．(II) 过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PAF ∠为异面直线PA 与BC 所成的角． 由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF ． 由三垂线定理，得PF ⊥AF ．则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠PAF=26AF PF ==3， ∴异面直线PA 与BC 所成的角为3π．（III ）取AP 的中点E ，连结CE 、DE ． ∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2．∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得 DE ⊥PA ． ∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角．由(I) AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得BC=2．在PCB Rt ∆中，PB=6BC PC 22=+，2263PC BC CD PB ⋅⨯===．在Rt CDE ∆中， sin ∠CED=632CD CE ==．∴二面角C-PA-B 619．（本小题满分12分）解：（I ）①当k =0时， f (x )=－3x 2+1 ∴f (x )的单调增区间为(－∞，0]， 单调减区间[0，+∞)．②当k >0时 ，'()f x =3kx 2－6x =3kx (x －2k ),于是2()00f x x k '<⇔<<;2()00f x x x k'>⇔<>或 ∴当k >0时, f (x )的单调增区间为(－∞，0] ， [2k ， +∞)，单调减区间为[0， 2k]．(Ⅱ) 有题知0k >,且题设等价于函数f (x )的极小值为正,即f (2k)= 8k2 － 12k2 +1>0 ， 即k 2>4 ，结合0k >， 知k 的取值范围为(2,)+∞.所以,实数k 的取值范围为(2,)+∞. 20. （本小题满分13分） 解：（I ）1111,2;112a b ===-故22718,718382a b ===-故3331,4;31442===-a b 故解二：（Ⅰ）由11111,816250,122++=∴=+-++=-n n n n n n n n b a a a a a b a 代入 整理得11146340,2,3n n n n n n b b b b b b +++-+==-即 112381,2,,43a b b b ====由有所以 （Ⅱ）由111444422,2(),0,33333n n n n b b b b b ++=--=--=≠ 所以42{},233n b q -=是首项为公比的等比数列故41142,2(1).3333n n n n b b n -=⋅=⋅+≥即由112n n b a =-得112n n n a b b =+ 故1122n n n S a b a b a b =+++121(12)153()2123n n b b b n n -=++++=+-1(251)3n n =+-21．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)设M 为动圆圆心，设F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，过点M 作直线l :2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，l :2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px p =>.（Ⅱ）设1122(,),(,)B x y C x y ，则2211222,2y px y px ==，于是121212()()2()y y y y p x x +-=-，∴1212122BC y y p k x x y y -==-+.所以，直线BC 的方程为11122()py y x x y y -=-+，即12122()0px y y y y y -++=.21020102022220012102010204()()2222AB ACy y y y y y y y p k k c y y y y x x x x y y y y p p p p----=⋅=⋅==--++--所以，21201204()2p y y y y y px c=-+-. 所以，直线BC 的方程为212012042()()20p px y y y y y y px c -++-+-=. 即012022()()()0pp x x y y y y c-+-++=. 于是，直线BC 经过定点002(,)px y c--.（以上答案仅供参考）。
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苏北四市2011届高三年级第二次调研考试
数学I
一、填空题：
1． 若（i是虚数单位）是实数，则实数a 的值是_________
2． 已知集合，则=_________
3． 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名
授课教师中随机抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进
行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学
期200名教师中使用多媒体进行教学次数在【15,30】内的人数
是_________
4． 在如图所示的流程图中，输出的结果是_________
5． 若以连续两次骰子得到的点数m，n分别作为点P的横坐标和纵
坐标，则点P在圆内的概率是
6． 在约束条件下，则的最小值是_________
7． 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，
最高点距地面18米，Ｐ是摩天轮轮周上一定点，从Ｐ在最低点
时开始计时，则１６分钟后Ｐ点距地面的高度是_________
8． 已知集合若点（ｘ，ｙ）Ａ是点（ｘ，ｙ）Ｂ的必要条件，则
ｒ 的最大值是_________
9． 已知点Ａ（０，２）抛物线的焦点为F，准线为l，线段FA交抛
物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则
p=_________
10． 若函数，则函数的值域是_________
11． 如图所示，在直三棱柱中，AC⊥BC，AC=4,BC=CC1=2,若用平行
于三棱柱A1B1C1-ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到
的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值
为 。
12． 已知椭圆，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交
椭圆与点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆
经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为_________
13． 在三角形ABC中，过中中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC
与M、N两点，设则4x+y的最小值是_________
14． 如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把
每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数
表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，
第10个数为_________
1 2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13…
8 12 16 20 24…
… … …
二、解答题
15． 如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴正半轴上,直线AB的倾斜角
为,OB=2，设
B
A
(1) 用表示OA
(2) 求的最小值.
16．如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，EFGH分别是
边AB，BC，CD，DA上的点，BD||平面EFGH，且EH=FG。
（1） 求证：HG||平面ABC
（2） 请在平面ABD内过点E做一条线段垂直于AC，并给出证
明。
17．如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0,1）且被x轴分成
的两段圆弧长之比为1:2，过点H（0，t）的直线l于圆C相切于MN两
点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O。
（1） 求圆C的方程；
（2） 当t=1时，求出直线l的方程；
（3） 求直线OM的斜率k的取值范围。
18．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识
存留量为1，则x 天后的存留量；若在t（t>0）天时进行第一次复习，则
此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），
其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留
量随时间变化的曲线如图所示。当进行第一次复习后的存留量与不复习
的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”
（1）若a=-1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；
（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围。
Y
1
t
y
2
19．已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等
比数列的前三项，
（1）若k=7，
（i）求数列的前n项和Tn；
（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其
前n项和为Sn，求的值
（2）若存在m>k,使得成等比数列，求证k为奇数。
20．已知函数
（1）求证：函数在点处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若在区间上恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个。
连云港市2011届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
1、 填空题：
1．； 2．； 3．100； 4. ； 5．； 6．
7．14； 8．； 9．； 10． ； 11．24； 12．；
13．； 14．（或者65536）．
二、解答题:
15. (1)在△中，因为，，，
由正弦定理，得，……………………………………3分
即，所以 . ……………6分
注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线方程求得或也得分.
(2)由(1)得，…………………8分
， …………………10分
因为所以，
所以当，即时，的最小值为．…14分
16. （1）因为//平面，，所以//．
同理//，又因为，
所以四边形为平行四边形，
所以//，又，
所以． ……………………………………………………6分
（2）在内过点作，且交于P点，
在内过点作，且交于Q点，
连结，则即为所求线段．
………………………………………………10分
证明如下：
…………………………………14分
17解：（1）因为位于轴左侧的圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
设圆与轴的交点分别为、，
由圆被轴分成的两段弧长之比为，得，
所以，圆心的坐标为，
所以圆的方程为：． ………………………………4分
（2）当时，由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，
由得或，
不妨令，
因为以为直径的圆恰好经过，
所以，
解得，所以所求直线方程为或．
………………………………
分
（3）设直线的方程为，
由题意知，，解之得，
同理得，，解之得或． 由（2）知，也满足题意．
所以的取值范围是． ………………………………………14分
18. 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为，
由题意知， ………………………………2分
所以 ……………………4分
(1) 当时，
≤，
当且仅当 时取等号，
所以“二次复习最佳时机点”为第14天．
………………10分
(2)
≤， …………………………………………14分
当且仅当 时取等号，
由题意，所以 ． ………………16分
注：使用求导方法可以得到相应得分.
19．⑴ 因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，
所以，整理得，
又，所以，
，，
所以， ……………………………4分
①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为； ………6分
② 因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，
所以.
所以． ………………………10分
⑵ 由，整理得，
因为，所以，所以.
因为存在m＞k,m∈N*使得成等比数列，
所以， ………………………………………………12分
又在正项等差数列{an}中，， ……13分
所以，又因为，
所以有， …………………………………14分
因为是偶数，所以也是偶数，
即为偶数，所以k为奇数.
……………………………………16分
20. (1)因为 ，所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线方程为 ，……2分
整理得，所以切线恒过定点 ． ………4分
(2) 令<0，对恒成立，
因为 （*）
………………………………………………………………6分
令，得极值点，，
①当时，有，即时，在（，+∞）上有，
此时在区间上是增函数，并且在该区间上有∈，不合题意；
②当时，有，同理可知，在区间上，有∈，也不合题意；
…………………………………………… 8分
③当时，有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
所以．
综上可知的范围是．
……………………………………………12分
(3)当时，
记．
因为，所以在上为增函数，
所以， ………………………………14分
设, 则,
所以在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．
………………………………………………………………16分