2016高考解答题的8个解答模板

规范——解答题的8个解题模板题型概述解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点.解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化.模板1 三角变换与三角函数图象性质问题【例1】 (满分13分)(2014·天津卷)已知函数f (x )＝cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2 x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值与最小值.[规范解答] (1)f (x )＝cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋ 342分＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x 4分＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.7分(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数， 10分f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，12分 所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.13分[解题模板] 第一步 三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式； 第二步 由T ＝2π|ω|求最小正周期； 第三步 确定f (x )的单调性；第四步 确定各单调区间端点处的函数值； 第五步 明确规范地表达结论.【训练1】 (2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.模板2 三角变换与解三角形问题【例2】 (满分12分)(2015·太原模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值. [规范解答] (1)由已知及正弦定理，得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，① 2分又A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 3分由①②得，sin C sin B ＝cos B sin C ， ∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0，∴sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. 5分 (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac ， 7分由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4＝a 2＋c 2－2ac ， 9分 又a 2＋c 2≥2ac ， 故ac ≤42－2＝2()2＋2，当且仅当a ＝c 时，取等号.所以△ABC 面积的最大值为2＋1.12分[解题模板] 第一步 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为边之间的关系或角之间的关系第二步 求待求角的某一三角函数值； 第三步 指明角的范围，并求角；第四步 利用面积公式表示所求三角形的面积或利用余弦定理表示边角关系； 第五步 反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤.【训练2】 (2015·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长. 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 模板3 数列的通项及求和问题【例3】 (满分13分)(2015·天津卷)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和. [规范解答] (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)， 又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.3分 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝2n2.所以，{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.6分(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1.7分 设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，8分12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n .9分 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，10分 整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.12分所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.13分[解题模板] 第一步 根据条件确定数列相邻两项之间的关系； 第二步 确定公比q 的值；第三步 根据递推公式求数列的通项公式； 第四步 求新数列的通项公式；第五步 根据数列表达式的结构特征确定求和方法； 第六步 规范写出求和步骤.【训练3】 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列. (1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＜12.(1)证明 因为a n ＞0，令n ＝1，有4S 1＝a 22－4－1，即4a 1＝a 22－5，所以a 2＝4a 1＋5.(2)解 4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，两式相减得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4，整理得a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，即a n ＋1＝a n ＋2.所以{a n }从第2项起，是公差为2的等差数列. 所以a 5＝a 2＋3×2＝a 2＋6，a 14＝a 2＋12×2＝a 2＋24， 又a 2，a 5，a 14构成等比数列，有a 25＝a 2·a 14， 则(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋24)，解得a 2＝3.由(1)知a 1＝1，又a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，即a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(3)证明 由(2)得1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1） ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12. 模板4 离散型随机变量的分布列与期望【例4】(满分12分)(2015·四川卷)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望.[规范解答](1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36＝1 100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.4分(2)根据题意，X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝C13C33C46＝15，6分P(X＝2)＝C23C23C46＝35，8分P(X＝3)＝C33C13C46＝15，所以X的分布列为10分因此，X的数学期望为E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×1 5＋2×35＋3×15＝ 2.12分[解题模板]第一步用字母表示题设中的事件；第二步确定所求事件的概率模型(本题的概率模型为相互独立事件的概率)；第三步计算所求事件的概率；第四步求分布列、期望；第五步 反思回顾，查看关键点.【训练4】 (2015·潍坊期末)某机械厂生产一种产品，产品按测试指标分为：指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次，生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元.现随机抽查高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如下：为他们每次生产一件这种产品为优，良，差等次的概率，且每次生产一件产品的等次互不受影响.(1)计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；(2)甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X 元(利润＝盈利－亏损).求随机变量X 的概率分布列和数学期望.解 (1)甲生产一件产品为优，良，差等次的概率为410，510，110.乙生产一件产品为优，良，差等次的概率为310，510，210.高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件全是优等品，所以概率为：P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4103＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫4102×610＝44125.(2)随机变量X 的所有可能取值为200，160，120，80，40，－40， P (X ＝200)＝410×310＝12100， P (X ＝160)＝410×510＋310×510＝35100， P (X ＝120)＝510×510＝25100， P (X ＝80)＝410×210＋310×110＝11100，P (X ＝40)＝510×210＋510×110＝15100，P (X ＝－40)＝110×210＝2100，∴随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为：E (X )＝200×12100＋160×35100＋120×25100＋80×11100＋40×15100－40×2100＝124(元).模板5 空间中的平行、垂直与空间角的问题【例5】 (满分12分)(2015·衡水中学期末)如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2. (1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 所夹锐角θ的大小. [规范解答] (1)∵A 1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴A 1O ⊥BD .又底面ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，又A 1O ∩AC ＝O ， ∴BD ⊥平面A 1OC ，又A 1C ⊂平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C .2分 又OA 1是AC 的中垂线， ∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C .4分 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又BB 1∩BD ＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .6分(2)由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系.如图. ∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，1). 由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1，1，1).8分设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z ). ∵OC →＝(－1，0，0)，OB 1→＝(－1，1，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－z ，取n ＝(0，1，－1)，10分 由(1)知，A 1C →＝(－1，0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.12分[解题模板] 第一步 根据条件合理转化，写出垂直(或平行)所需的条件； 第二步 严格按照定理条件书写解题步骤；第三步 找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系；第四步 求直线的方向向量或平面的法向量； 第五步 计算向量的夹角；第六步 得到所求两个平面所成的角.【训练5】 (2015·江苏卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.解 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).(1)因为AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量， AD→＝(0，2，0). 因为PC→＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2). 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量. 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP→＝(－1，0，2)，设BQ→＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)， 又CB→＝(0，－1，0)， 则CQ→＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)， 又DP→＝(0，－2，2)， 从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]， 则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010. 因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值. 又因为BP ＝12＋22＝5， 所以BQ ＝25BP ＝255.模板6 圆锥曲线中的定值问题【例6】 (满分12分)(2015·郑州模拟)已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率为e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1，0)作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP →·MQ →为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由. [规范解答] (1)设椭圆E 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得⎩⎨⎧a －c ＝2－1，c a ＝22，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. 3分 (2)假设存在符合条件的点M (m ，0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则MP →＝(x 1－m ，y 1)， MQ →＝(x 2－m ，y 2)， MP →·MQ →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2. 5分 ①当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得x 2＋2k 2(x －1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，7分y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝－k 22k 2＋1，8分所以MP →·MQ →＝2k 2－22k 2＋1－m ·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝（2m 2－4m ＋1）k 2＋（m 2－2）2k 2＋1. 9分因为对于任意的k 值，MP →·MQ →为定值，所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝54. 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，此时，MP →·MQ→＝－716.10分②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1，y 1y 2＝－12，由m ＝54，得MP →·MQ→＝－716. 11分 综上，符合条件的点M 存在，且坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. 12分[解题模板] 第一步 引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步 列出关系式，根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程； 第三步 探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则k ∈R 时直线恒过定点(x 0，y 0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式，则λ∈R 时曲线恒过的定点即是f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的交点； 第四步 下结论；第五步 回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的. 【训练6】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA→＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由. 解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交于点M ，故斜率存在， 又F 坐标为(1，0)， 设直线l 方程为y ＝k (x －1)， 求得l 与y 轴交于M (0，－k )， 设l 交椭圆A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA→＝λAF →， ∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2， ∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2（4k 2－12）3＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83.所以当直线l 的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－83. 模板7 函数的单调性、极值、最值问题【例7】 (满分13分)已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1(x ∈R )，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值. [规范解答] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45， 又f ′(x )＝2－2x 2（x 2＋1）2，f ′(2)＝－625， 所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为： y －45＝－625(x －2)， 即6x ＋25y －32＝0.3分(2)f ′(x )＝2a （x 2＋1）－2x （2ax －a 2＋1）（x 2＋1）2＝－2（x －a ）（ax ＋1）（x 2＋1）2，4分①当a ＞0，令f ′(x )＝0得到x 1＝－1a ，x 2＝a ，5分 当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表： 所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，()a ，＋∞内为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，a 内为增函数，所以函数f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2，极大值为f (a )＝1.8分②当a ＜0时，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝－1a ， 当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表： 所以f (x )在(－∞，a )，⎝ ⎭⎪－1a ，＋∞内为增函数，在⎝ ⎭⎪⎫a ，－1a 内为减函数，所以函数f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2，极大值为f (a )＝1.12分综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)，极大值为1，极小值为－a 2. 当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－1a ，极大值为1，极小值为－a 2.13分[解题模板] 第一步 求函数的定义域； 第二步 求f (x )的导数； 第三步 求方程f ′(x )＝0的根；第四步 利用f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；第五步 由f ′(x )的正负确定f (x )在各区间内的单调性； 第六步 明确规范表述结论.【训练7】 (2015·安徽卷改编)设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .(1)讨论函数f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D .解 (1)f (sin x )＝sin 2 x －a sin x ＋b ＝sin x (sin x －a )＋b ，－π2<x <π2.[f (sin x )]′＝(2sin x －a )cos x ，－π2<x <π2.因为－π2<x <π2，所以cos x >0，－2<2sin x <2.①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值. ②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值. ③对于－2<a <2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a .－π2<x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减； x 0≤x <π2时，函数f (sin x )单调递增；因此，－2<a <2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值 f (sin x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝b －a 24.(2)－π2≤x ≤π2时，|f (sin x )－f 0(sin x )| ＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|≤|a －a 0|＋|b －b 0|. 当(a 0－a )(b －b 0)≥0时，取x ＝π2，等号成立. 当(a 0－a )(b －b 0)<0时，取x ＝－π2，等号成立.由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为D ＝|a －a 0|＋|b －b 0|.模板8 导数与不等式恒成立问题【例8】 (满分12分)设f (x )＝（x ＋a ）ln xx ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直. (1)求a 的值；(2)若对∀x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1)恒成立，求m 的范围.[规范解答] (1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ＋a x （x ＋1）－（x ＋a ）ln x（x ＋1）2， 2分由f ′(1)＝12，即2（1＋a ）4＝12，解得a ＝0.4分 (2)由(1)知f (x )＝x ln xx ＋1，当x ≥1时，f (x )≤m (x －1)， 即x ln xx ＋1≤m (x －1)， 可化为ln x －mx ＋mx ≤0，6分 设g (x )＝ln x －mx ＋mx，g ′(x )＝1x －m －m x 2＝－mx 2＋x －m x 2.8分设φ(x )＝－mx 2＋x －m ，①当m ≤0时，g ′(x )＞0，g (x )≥g (1)＝0，不合题意.9分 ②当m ＞0时，1°Δ≤0时，即m ≥12，g ′(x )≤0，g (x )≤g (1)＝0，符合题意.10分 2°Δ＞0时，0＜m ＜12，φ(1)＝1－2m ＞0，不合题意.11分 综上，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.12分[解题模板] 第一步 求f (x )的导数； 第二步 求参数a ，确定函数f (x )的解析式； 第三步 将不等式进行转化； 第四步 构造函数g (x )；第五步 求g ′(x )，转化为一元二次函数再进行求解； 第六步 规范结论，查看关键点.【训练8】 (2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)， ①若a ≤12，则a1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增. 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜aa －1， 即1－a 2－1＜a a －1，所以－2－1＜a ＜2－1； ②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增. 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜a a －1，。