2014—2015学年成都理工大学第二学期《高等数学 I、Ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案

n 1

证明： cn 收敛。
n 1

证明：
an cn bn 0 cn an bn an
(b a )收敛
(cn an )收敛
n 1 n 1 n n

.................(3)
cn an (cn an )
a
n 1
1 ) x y ( 2. 极限 lim(1 x xy
y a
1
x2
B
)
( a 0)
A． 1 3. 级数
n 1
B. e a 是
C. 0 （ A ）
D.
cos n
3
n2 n
（A）条件收敛 （C）发散
（B）绝对收敛 （D）不能判断 ）
4. 设 f ( x, y) 3x x3 y 2 2 y ，则下列结论正确的是（ C A． f (1, 1) 是函数的极小值 B． f (1, 1) 是函数的极大值 C． f (1, 1) 是函数的极小值 D． f (1, 1) 是函数的极大值

= ( x 2 y 2 z 2 )dv

3分
－6－
= d rdr (r 2 z 2 )dz
0 0 0
1 1 r2 = 2 r (r 2 z z 3 ) 0 dr 0 3 1 1 5 = 2 r (r 4 r 6 )dr = 0 3 12

0 x 1
e
f x f y
dxdy
2分
0 y 1

1 f x f y f y f x e e dxdy 2 0 x 1
0 y 1


2分

1 2dxdy 1 2 D
n 1
1分
2．若级数 an 收敛，级数 bn 收敛 ，且 an cn bn (n 1, 2,3, )
M dS 3 1 4 x 2 y 2 dxdy
Dxy




2分
3 d r 1 4r 2 dr
0 0
2
2
3分
6
1 2 1 4r 2 d 1 4r 2 13 0 8


2分
3．求 y 2 zdxdy z 2 xdydz x 2 ydzdx ，其中 为由 x2 y 2 1 ， z x 2 y 2 与 z 0

所围成的封闭曲面，方向取外侧。 解： P z 2 x ， Q x 2 y ， R y 2 z ， Px z 2 ， Q y x 2 ， Rz y 2 ， 由高斯公式可得 y 2 zdxdy z 2 xdydz x 2 ydzdx

= ( Px Qy RZ )dv
1 x 1 2

1 1 x 3 1 3
2分

1 1 (1) n n 1 n1 x n 3 2 n 0
3分
1 1
x 1 2 x 2 2 2 x 2 x 3 x 3 1 3
5. 设 f ( x, y) 为连续函数，则 4 d f (r cos , r sin ) rdr 等于（
0 0

1
C ）
A．
2 2
0
dx
1 x 2
x
f ( x, y )dy
B.

2 2
0
dx
1 x 2
0
f ( x, y )dy
－2－
C.

2 2
0
dy
1 y 2

n
又收敛
－7－
cn收敛
n 1

.................(2)
－8－
z Fx sin z x z , x Fz e x cos z z 0 x (0,1)
2分 1分
Fy z e yz y z , y Fz e x cos z
z 1 y (0,1)
1分
yz x cos z ) sin x(e y z x cos z )y 2 z cos z z y (e xy (e y z x cos z ) 2
L AO
x
2
3 y dx y 2 x dy
4 2 0



OA
x
2
3 y dx y 2 x dy



2分
4 d x d y
D
x dx
1分
4分
8
64 3
－5－
2. 已知曲面壳 z 3 x 2 y 2 的面密度 x 2 y 2 z ，求此曲面壳在平面 z 1 以上部分 的质量 M 。 解： 在 xOy 面上的投影为 Dxy：x 2 y 2 2 ，故
2
1
r2
3分
1分
五、解答及证明题下列各题（每小题 5 分，共 10 分） 得 分 1．设 f x C 0,1 ，证明： e f x dx e f y dy 1
1 1 0 0
证： e f x dx e f y dy
0 0
1
1
因此，收敛域为： (2 , 2) 四、计算（每小题 7 分，共 21 分） 得 分
1分
1. 计算 x 2 3 y dx y 2 x dy ，其中 L 为沿上半圆周： y 4 x x 2 从
L
O 0, 0 到 A4， 0 的一段弧。
解：为了使用格林公式，添加辅助线段 AO ,它与 L 所围区域为 D ,则 原式
D
x 2 y 2 )dxdy 的 值 为
。
1 ，则 z f (4 x 2 y 2 ) 在点（1，2）处的全微分， 2
5. 设函数 f (u ) 可微，且 f '(0)
dz |(1,2) =
3 2 x 1
4dx 2dy
。
1 ( 1 c o s 。 4) 2
︵ ︶
6. 计算 dx sin y 2 dy =
（3 分）
2. 求曲线 y 2 2mx ， z 2 m x 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线及法平面方程。 解：设曲线的参数方程的参数为 x
2y dy dy m 2m dx dx y
2z
dz dz 1 1 dx dx 2z
曲线在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的切向量为
1
2 x 7．函数 f ( x) x 6
0 x4 4 x8
展开为周期是 8 的傅立叶级数为
(2k 1)
2 0

16
2
cos
(2k 1)x 4
( x ) ，则 s(100)
-2
－1－
二、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1. 下列说法正确的是（ B ）
得 分
x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z ， L2 ： ，求通过 L1 且与 1 0 1 2 1 1
L2 平行的平面方程。
解： n1 {1,0,1} ,
n2 {2,1,1}
（3 分）
n1 n2 {1, 3 ,1} 为所求平面的法向量
又平面过 L1 当然也过 L1 上的点（1，2，3） 所求平面为 ( x 1) 3( y 2) ( z 3) 0 即 x 3 y z 2 0
得 分
A、若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处各偏导数存在，则函数在该点可微分． B、若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微分，则函数在该点的偏导数一定存 在． C、 若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续， 则函数在该点的偏导数一定存在． D、若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处偏导数存在，则函数在该点一定连续．
－3－
T {1,
m 1 , } y0 2 z0
4分
于是，切线方程为
x x0 y y0 z z0 m 1 1 y0 2 z0
1分
法平面方程为
( x x0 ) m 1 ( y y0 ) ( z z0 ) 0 y0 2 z0
1分
2 z . xy
y
f ( x, y )dx
D.

2 2
0
dy
1 y 2
0
f ( x, y )dx
6. 对级数 (
n 1

na n ) (a 0) ，下列结论中错误的是（ D n 1
）
A． a 1 时发散 C. a 1 时发散
B. a 1 时收敛 D. a 1 时收敛
三、计算（每小题 6 分，共 30 分） 1．已知直线 L1 ：
－4－
2 z 1 xy (0,1) e
2分
5. 将函数 f ( x) 解： f ( x)
1 展开成 x 的幂级数，并求其收敛域． x 5x 6
2
1 1 1 1 ( x 2)( x 3) x 2 x 3 2
1 (1) n n 1 (1) n n x n x 2 n 0 2 n 3 n 0 3
成都理工大学 2014—2015 学年 第二学期《高等数学》 （Ⅰ，Ⅱ）考试试卷
大题 得分 一 二 三 四 五 总分
一．填空题（每小题 3 分，共 21 分）
L