一次函数应用基础篇
新课复习 一次函数(基础篇)
新课复习 一次函数（基础篇）考纲要求1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式． 2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．3．体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题.命题趋势一次函数是中考的重点，主要考查一次函数的定义、图象、性质及其实际应用，有时与方程、不等式相结合．题型有选择题、填空题、解答题考点知识一、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝__________时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数．对应练习：1、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k 和常数项b 的值各为多少？,2r C π= ,20032+=x y ,200vt = (),32x y -= ()x x s -=50 2、下列函数中：①y=11x +；②y=-x+2；③y=-3-15x ；④x 2-2y=5；⑤y=-5x，是一次函数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是经过点(0，b )和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k )的一条直线．(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．位；b ＜0，下移|b |个单位．对应练习：1、已知正比例函数y=(3k-1)x,,若y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）A.k<0B.k>0C.k<31 D.k>31 2、已知一次函数y ＝x ＋b 的图象经过一、二、三象限，则b 的值可以是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．23、已知关于x 的一次函数y ＝kx ＋4k －2(k ≠0)．若其图象经过原点，则k ＝__________；若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是__________．4、已知一次函数y ＝mx ＋n －2的图象如图所示，则m ，n 的取值范围是( )A ．m ＞0，n ＜2B ．m ＞0，n ＞2C ．m ＜0，n ＜2D ．m ＜0，n ＞2 5、（2012•黔东南州）如图，是直线y=x ﹣3的图象，点P （2，m ）在该直线的上方，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＞﹣3 B ．m ＞﹣1 C ． m ＞0 D ．m ＜3三、利用待定系数法求一次函数的解析式因为在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b ，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做__________． 对应练习：1、已知：一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过M (0,2)，N (1,3)两点． (1)求k ，b 的值；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点为A (a,0)，求a 的值．2、如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1,3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D . (1)求该一次函数的解析式； (2)试求△DOC 的面积．3、（2012•湘潭）已知一次函数y=kx+b （k ≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系 1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．对应练习：1、如图，直线y=kx+b 与坐标轴的两个交点分别为A （2，0）和B （0，-3），则不等式kx+b+3≥0的解为（ ）A.x ≥0B.x ≤0C.x ≥2D.x ≤22、如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx的解是__________．3、（2012•武汉）在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过点（-1，1），求不等式kx+3＜0的解集．4、（2012福建厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 点P 在直线y ＝x －1上，且点P 到直线AB 的距离小于1，那么称点P 是线段AB 的“邻近点”．（1）判断点Ｃ( 72，52 ) 是否是线段AB 的“邻近点”，并说明理由；（2）若点Q (m ，n)是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围．巩固练习1．(2012四川乐山)若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，则函数y ＝ax ＋c 的图象可能是( )2．(2012福建泉州)若y ＝kx －4的函数值y 随x 的增大而增大，则k 的值可能是下列的( )A ．－4B ．－12C ．0D ．33、（2012•河南）如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x ＜ax+4的解集为（ ）A ．x ＜32 B ．x ＜3 C ．x ＞32D ．x ＞3 4．(2012浙江丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s (千米)随时间t (分)变化的函数图象，则乙比甲每分钟多行驶__________千米．5．(2012湖南株洲)一次函数y ＝x ＋2的图象不经过第__________象限．6、（2012•桂林）如图，函数y=ax-1的图象过点（1，2），则不等式ax-1＞2的解集是 ．7．(2012山东菏泽)如图，一次函数y ＝－23x＋2的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，求过B ，C 两点直线的解析式．备考训练1．关于一次函数y ＝－x ＋1的图象，下列所画正确的是( )2．已知直线y ＝kx ＋b 经过点(k,3)和(1，k )，则k 的值为( ) A ． 3 B ．± 3 C ． 2 D ．± 2 3．在平面直角坐标系中，把直线y ＝x 向左平移一个单位长度后，其直线解析式为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x －24、（2013泰安）把直线y=﹣x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ） A ．1＜m ＜7 B ．3＜m ＜4 C ．m ＞1 D ．m ＜45、一辆汽车和一辆摩托车分别从A ，B 两地去同一城市，它们离A 地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是( )A ．摩托车比汽车晚到1 hB ．A ，B 两地的路程为20 kmC 摩托车的速度为45 km/hD ．汽车的速度为60 km/h6、如图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t (小时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在每个行驶过程中的平均速度为380千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个7、（2013•黔西南州）如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x ＜ax+4的解集为（ ） A 、x ＜23 B 、x ＜3 C 、x ＞23D 、x ＞3 8、（2013•黔东南州）直线y=﹣2x+m 与直线y=2x ﹣1的交点在第四象限，则m 的取值范围是（ ）A 、m ＞-1B 、m ＜1C 、-1＜m ＜1D 、-1≤m ≤19、（2013福省福州）A ，B 两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A （x+a ，y+b ），B （x ，y ），下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．b=0 D ．ab ＜010、如图所示，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y 随x 的增大而减小；②b ＞0；③关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为x ＝2.其中说法正确的有__________(把你认为说法正确的序号都填上)．11、点A (－3,4)在一次函数y ＝－3x －5的图象上，图象与y 轴的交点为B ，那么△AOB 的面积为________．12、（2013成都市）已知点（3,5）在直线y ax b =+ （a,b 为常数，且a 0≠）上，则a5b -的值为__________. 13、（2013•包头）如图，已知一条直线经过点A （0，2）、点B （1，0），将这条直线向左平移与x 轴、y 轴分别交与点C 、点D ．若DB=DC ，则直线CD 的函数解析式为 ．14、（2012•恩施州）如图，直线y=kx+b 经过A （3，1）和B （6，0）两点，则不等式组0＜kx+b ＜13x 的解集为 ．15、一辆汽车在行驶过程中，路程y (km)与时间x (h)之间的函数关系如图所示，当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式为y ＝60x ，那么当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为__________．16、如图，已知反比例函数xy 12的图象与一次函数y ＝kx ＋4的图象相交于P 、Q 两点并且P 点的纵坐标是6． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求△POQ 的面积．17、（2013年河北）如图15，A （0，1），M （3，2），N （4，4）.动点P 从点A 出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x +b 也随之移动，设移动时间为t 秒.（1）当t ＝3时，求l 的解析式；（2）若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围；（3）直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上.。
第6讲 一次函数基础篇
第六讲 一次函数基础篇学习目标1、掌握一次函数和正比例函数的意义及其图象特征和性质.2、会求一次函数的解析式。
3、学会利用一次函数的图象和性质解决简单的实际问题. 一、知识回顾知识点1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。
这时，y 叫做x 的正比例函数。
课前热身1：写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断：y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;(2)圆的面积y (c m2)与它的半径x ( cm)之间的关系;(3)一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2 厘米，x 月后这棵树的高度为y 厘米。
答案：⑴ y=60x y 为x 的一次函数，是正比例函数；⑵y=x 2 y 不是x 的一次函数；⑶y=50+2x y 为x 的一次函数，但不是正比例函数；知识点2、一次函数的图像和性质⑴．正比例函数的一般形式是__________．一次函数的一般形式是__________________. ⑵. 一次函数y kx b =+的图象是经过 和 两点的一条 .⑶ 求一次函数的解析式的方法是 待定系数 ，其基本步骤是：① 设出解析为：y kx b =+； ② 将一组对应值代入解析式 ；③ 解方程（组） ；④ 还原 . ⑷.一次函数y kx b =+的图象与性质k 、b 的符号 k ＞0b ＞0k ＞0 b ＜0k ＜0 b ＞0k ＜0b ＜0图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质y 随x 的增大 而y 随x 的增大而y 随x 的增大而y 随x 的增大而⑸设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ ①若12//l l ，则有1212//l l k k ⇔=且12b b ≠。
一次函数的应用
一次函数的应用一次函数，也称为线性函数，是数学中常见的一种函数类型。
它的特点是函数的表达式可以表示为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示斜率和截距。
一次函数在各个领域中都有着广泛的应用，本文将探讨一次函数在实际问题中的应用。
一、经济学中的一次函数应用在经济学中，一次函数被广泛用于描述供需关系、成本收益分析等经济问题。
以供需关系为例，我们可以通过一次函数来描述市场上商品的价格与需求量之间的关系。
假设某商品的价格为 p，需求量为 q，则可以用一次函数 y = mx + b 的形式来描述供需关系。
其中，m 表示需求量对价格的弹性，b 表示市场的需求量。
二、物理学中的一次函数应用一次函数在物理学中也具有重要的应用。
以速度和时间的关系为例，我们可以使用一次函数来描述一个运动物体的速度随时间的变化。
对于匀速直线运动，速度 v 和时间 t 的关系可以表示为 v = kt + c，其中 k 表示匀速运动的速度。
三、工程学中的一次函数应用在工程学中，一次函数用于描述一些电路、自动化控制、力学结构等问题。
以电路分析为例，我们可以通过一次函数来描述电路中电流和电压之间的关系。
根据欧姆定律，电流 i 和电压 v 的关系可以表示为i = rv + b，其中 r 表示电阻。
四、生物学中的一次函数应用生物学领域也广泛使用一次函数来进行各类模型分析。
以生物种群增长为例，我们可以用一次函数来描述种群数量随时间的变化。
假设某种生物种群的数量为 N，时间为 t，则可以使用一次函数 N = mt + c来表示种群数量的变化趋势。
五、教育学中的一次函数应用在教育学中，一次函数也有着重要的应用。
教育研究中经常使用一次函数来分析学生的学习成绩与时间的关系。
假设学生的学习成绩为G，学习时间为 T，则可以用一次函数 G = mT + b 来描述学习成绩的预测模型。
六、环境科学中的一次函数应用在环境科学领域，一次函数被广泛应用于各类环境参数的测量和分析中。
一次函数在生活中的具体应用
一次函数在生活中的具体应用一次函数是数学中的基本函数之一，其表达式为 y = kx + b，其中 k 和 b 都是常数，x 和 y 分别表示自变量和函数值。
一次函数有着简单直线的特点，因此在生活中有着各种具体应用。
下面我们就来看一看一次函数在生活中的具体应用。
一次函数在经济学中有着广泛的应用。
成本函数可以用一次函数来近似描述，表示成本和产量之间的关系。
假设某个企业的成本函数为 C(x) = kx + b，其中 x 表示产量，C(x) 表示成本，k 和 b 分别表示单位产量成本和固定成本。
这个成本函数可以帮助企业在制定产量和成本预算时提供决策依据。
一次函数还可以用来描述市场需求函数和供给函数，通过这些函数可以分析市场价格和供求关系的变化，为市场调控和经济政策制定提供依据。
一次函数在工程学中也有着重要的应用。
物体的位移和时间之间的关系可以用一次函数来描述。
在工程设计中，如果我们知道物体在 t 时刻的位移为 s(t) = kt + b，那么我们就可以通过一次函数来预测物体的运动轨迹和速度变化。
工程中的许多问题，如电路中的电压和电流关系、机械运动中的速度和加速度关系等，都可以用一次函数来描述，帮助工程师们分析和优化设计方案。
一次函数在市场营销中也有着广泛的应用。
销售额和广告投入之间的关系可以用一次函数来描述。
假设某品牌的销售额与广告投入的关系为 S(x) = kx + b，其中 x 表示广告投入，S(x) 表示销售额，k 和 b 分别表示单位广告投入带来的销售额和固定销售额。
通过分析这个销售额函数，企业可以评估广告效果、制定营销策略，从而提高销售绩效。
市场调查中的问卷调查和样本调查也经常用到一次函数来分析数据，帮助企业了解消费者的需求和行为。
一次函数在日常生活中也有着许多应用。
汽车的油耗和行驶路程之间的关系可以用一次函数来描述。
假设某辆汽车的油耗与行驶路程的关系为 F(x) = kx + b，其中 x 表示行驶路程，F(x) 表示消耗的汽油量，k 和 b 分别表示单位路程消耗的汽油量和固定消耗量。
一次函数的图象与性质
一次函数的图象与性质（基础篇）知识要点1．一次函数的定义：①已知y=(m+1)x2－|m|+n+4，当m= ，y是x的一次函数；当m= ，n= 时，y是x 的正比例函数．②已知函数y=(k+2)x+k2－2，当k时，它为一次函数；当k= 时，它为正比例函数．2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象特征：一次函数的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以画一次函数图象时，描点时常选图象与x轴的交点和y轴的交点．①当k>0，b>0时，直线过第象限．②当k>0，b<0时，直线过第象限．③当k<0，b>0时，直线过第象限．④当k<0，b<0时，直线过第象限．⑤若正比例函数y=－(k+1)x+k2－4的图象只经过第一、三象限，则k = ．⑥一次函数y=－3x必过第象限．⑦一次函数y=πx+3必过第象限．⑧正比例函数y=(3k2+1)x必过第象限．3．直线y=kx+b与y=kx(k≠0)的关系：直线y=kx+b与y=kx(k≠0)的关系是平行关系．①当b>0时，直线y= kx+b可以由直线y=kx向上平移个单位而得到．②当b<0时，直线y= kx+b可以由直线y=kx向下平移个单位而得到．③将直线y=3x沿y轴向平移个单位长度可得直线y=3x+6；④将直线y=－5x+6沿y轴向平移个单位长度可得直线y=－x．4．直线与坐标轴交点的求法：求函数图象与x轴的交点坐标，令y=0，解方程kx+b=0得x的值，就是相应的横坐标x的值；求函数图象与y轴的交点坐标，令x=0得y=b，就是相应的横坐标y的值；①已知函数y=2x－6，与x轴的交点坐标为；与y轴的交点坐标为．②函数y=2x+1的图象是不经过第象限的直线，它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是．5．一次函数y=kx+b(k≠0)的增减性：当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右呈上升趋势．当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右呈下降趋势．①已知一次函数y=(1－2k)x+2k－1，当k时，y随x的增大而增大，此时图象经过第象限．②已知一次函数y=(6+3m)x+(n－4)．当m时，y随x的增大而减小；当m，n时，函数图象与y轴的交点在x 轴下方；当m，n时，函数图象经过原点．基础过关1．把函数y =3x －1的图象向上平移3个单位，得到的图象所表示的函数是（ ）A ．y =3x +2B ．y =3x +6C ．y =3xD ．y =3x －22．一次函数y =－6x +13的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一次函数y =x +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．24．直线 y =kx －1一定经过点（ ）A ．(1，0)B ．(1，k )C ．(0，k )D ．(0，－1)5．已知一次函数y =kx －k ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）A ．第一二三象限B ．第一二四象限C ．第二三四象限D ．第一三四象限6．如图是一次函数y =kx +b 的图象，则k 、b 的符号是（ ）A ．k >0， b >0B ．k <0， b <0C ．k <0， b >0D ．k >0，b <0 7．一次函数y =(3m －1)x －m ，函数y 随x 的增大而减小，其图象不过第一象限，则m的取值范围是 ．8．已知一次函数y = kx +b 的图象与 y 轴正半轴相交，且 y 随 x 的增大而减小，则k 0，b 0．9．已知点A 为直线 y = －2x +2上的一点，且点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 的坐标为 ．10．已知直线 y = 21 x +b 经过点P (4，－1)，则直线与 x 轴的交点坐标为 ． 11．已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(0，1)，且y 随x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 ．12．若一个一次函数的图象同时满足两个条件：①y 随 x 的增大而减小；②与 y 轴的负半轴相交．请写出满足上式条件的函数解析式 ．13．已知关于 x 的一次函数 y =m (x +n )的图象过第二．三．四象限，则( )A ．m >0， n >0B ．m <0， n >0C ．m >0， n <0D ．m <0， n <014．若直线 y = kx +b 经过一、二、四象限，则直线 y =bx +k 不经过第( )象限．A ． 一B ． 二C ． 三D ． 四15．若一次函数 y = kx +b 的图象经过第一、三、四象限，则点A (k ，b )位于( )A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限16．若将直线 y =kx (k ≠0)的图象向下平移3个单位长度后经过点(2，5)，则平移后的直线解析式为 ．17．已知一次函数y = kx +b 的图象经过点（0，－5），且与直线 y =21x 平行，则一次函数表达式为 ． 18．已知直线y ＝－2x ＋5，则将其向右平移1个单位后与两坐标轴围成的三角形面积为_____ __．。
一次函数的性质及应用
一次函数的性质及应用一次函数，也称为线性函数，是数学中较为简单而重要的函数类型之一。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a 表示直线斜率，b 表示直线与 y 轴的截距。
一次函数在数学中有着广泛的应用，本文将介绍一次函数的性质及其在实际问题中的应用。
1. 一次函数的性质一次函数的性质主要包括直线斜率和截距的关系，直线的特殊情况以及函数图像的特点。
1.1 直线斜率和截距的关系在一次函数 y = ax + b 中，直线的斜率 a 决定了直线的倾斜程度，截距 b 决定了直线在 y 轴上的位置。
当 a > 0 时，直线向右上方倾斜；当 a < 0 时，直线向左上方倾斜；当 a = 0 时，直线平行于 x 轴。
截距 b 则表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置，当 b > 0 时，交点在 y 轴上方；当 b < 0 时，交点在 y 轴下方；当 b = 0 时，交点位于原点。
1.2 直线的特殊情况一次函数中存在两种特殊的情况，即水平和竖直线。
当直线平行于 x 轴时，斜率 a = 0，此时直线呈水平姿态。
水平直线的一般形式为 y = b，其中 b 为直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置。
当直线平行于 y 轴时，斜率不存在，此时直线呈竖直姿态。
竖直直线的一般形式为 x = c，其中 c 为直线与 x 轴的交点在 x 轴上的位置。
1.3 函数图像的特点一次函数的图像呈现直线的形式。
根据直线的性质，我们可以得出以下结论：a) 当a ≠ 0 时，直线是无限延伸的；b) 当 a = 0 时，直线是水平的，长度可能有限也可能无限；c) 当 b = 0 时，直线经过原点。
2. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，其中包括数学、物理、经济等各个领域。
2.1 数学领域在数学中，一次函数常用于解决线性方程组的问题。
线性方程组可以通过一次函数的表示转化为直观易懂的图像，从而得出解的意义和解的性质。
一次函数的性质与应用
一次函数的性质与应用一次函数，也叫线性函数，是数学中的基础函数之一。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 分别是常数，a 称为斜率，b 称为截距。
一次函数的性质及其应用广泛存在于数学、经济学、物理学等各个学科领域中。
一. 一次函数的性质1. 斜率与图像关系：斜率代表直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为零表示直线水平。
斜率的绝对值越大，越陡峭；绝对值越小，越平缓。
2. 截距与图像关系：截距表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的坐标。
当截距为正时，直线在 y 轴上方交 y 轴；当截距为负时，直线在 y 轴下方交 y 轴；当截距为零时，直线通过原点。
3. 函数图像的性质：一次函数的图像是一条直线。
当斜率a > 0 时，图像从左下方逐渐向右上方倾斜；当斜率 a < 0 时，图像从左上方逐渐向右下方倾斜；当斜率 a = 0 时，图像平行于 x 轴。
4. 定义域和值域：一次函数的定义域是全体实数，即 (-∞, +∞)；值域也是全体实数，即 (-∞, +∞)。
二. 一次函数的应用1. 经济学应用：一次函数可以描述经济关系中的线性关系。
例如，产量与成本之间的关系可以用一次函数表示。
斜率表示每增加一个单位产量对应的成本变化，截距表示没有产量时的固定成本。
2. 物理学应用：物理学中的运动学问题常常可以用一次函数建模。
例如，匀速直线运动中，位移与时间之间的关系可以用一次函数表示。
斜率表示物体的运动速度，截距表示物体的初始位置。
3. 工程学应用：在工程学中，一次函数可以用来描述电阻和导线的关系、温度和热量的关系等。
例如，欧姆定律描述了电流和电阻之间的线性关系。
4. 统计学应用：统计学中的线性回归分析就是建立在一次函数的基础上。
通过一次函数模型，可以对变量之间的关系进行探索和预测。
综上所述，一次函数具有明确的性质和广泛的应用。
在数学和实际问题中，了解和掌握一次函数的性质和应用，对于解决问题和做出正确的决策具有重要意义。
一次函数及其应用
一次函数及其应用一次函数是数学中的一种基本函数形式，也称为线性函数。
它的形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 为常数，x 和 y 分别表示自变量和因变量。
一次函数在数学和实际生活中都有广泛的应用，本文将探讨一次函数的定义、性质以及它在经济学和物理学中的应用。
一、一次函数的定义和性质一次函数是一种简单的函数形式，它的图像是一条直线。
在一次函数中，自变量 x 的一次幂为 1，因此它的图像是一条斜率为常数的直线。
一次函数的定义域和值域都是实数集。
一次函数的性质主要包括斜率和截距。
斜率表示了直线的倾斜程度，它等于函数的系数 a。
当 a 大于 0 时，函数图像从左下方向右上方倾斜；当 a 小于 0 时，函数图像从左上方向右下方倾斜；当 a 等于 0 时，函数图像为水平直线。
截距表示了直线与 y 轴的交点位置，它等于函数的常数项 b。
当 b 大于 0 时，函数图像与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上；当 b 小于 0 时，函数图像与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上；当 b 等于 0 时，函数图像与 y 轴相交于原点。
二、一次函数在经济学中的应用一次函数在经济学中有着广泛的应用，特别是在供求关系和成本收益分析中。
以下将以供求关系为例，介绍一次函数在经济学中的应用。
供求关系是经济学中的重要概念，它描述了商品市场上供给量和需求量之间的关系。
一次函数可以很好地描述供求关系。
假设某种商品的供给量和价格之间存在线性关系，可以表示为 S = aP + b，其中 S 表示供给量，P 表示价格，a 和 b 表示常数。
同样，需求量和价格之间的关系也可以用一次函数来表示，表示为 D = cP + d，其中 D 表示需求量，c 和 d 表示常数。
通过求解供给函数和需求函数的交点，可以得到市场均衡的价格和数量。
假设市场均衡的价格为 P*，数量为 Q*，则有 S = D，即 aP* + b = cP* + d。
通过解这个方程可以求得 P* 的值，进而可以计算出 Q* 的值。
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一次函数基础训练
1、已知一次函数y＝kx＋b，当x＝－4时，y的值为9；当x＝2时，y的值为－3，则不等式kx＋b>0的解集是
_____________。
2、一次函数的图象如图所示，则它的解析
式为_____________，当x_____________
时，y＝0；当x_____________时，y>0；
当y_____________时，x<0。
3、已知y1＝－2x－3，y2＝3x＋1。
（1）当x_____________时，y1<y2；
（2）当x_____________时，y1＝y2；
（3）当x_____________时，y1>y2。
4、已知一次函数y＝（2m－1）x＋m－1中，y随x的增大而减小，则m应满足_____________。
5、一个一次函数，具有下列性质：（1）它的图象不经过第四象限；（2）图象经过点（－1，1）；（3）当x>－1时函数值y随自变量x的增大而增大。
试写出一个满足上述三条性质的函数解析式_____________。
6、关于函数y＝－2x＋1，下列结论中正确的是（）A图象必经过（－2，1）B、图象经过第一、二、三象限
C、当x>
2
1时，y<0 D、y随x增大而增大
7、已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所
示，当x<0时，y的取值范围是（）
A、y>0
B、y<0
C、－2<y<0
D、y<－2
8、如图所示，直线y＝kx＋b与坐标轴的两
个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则
不等式kx＋b＋3≥0的解为（）
A、x≥0
B、x≤0
C、x≥2
D、x≤2
9、所示，直线y＝kx＋b与x轴交于
点（－4，0），则y>0时，x的取值范
围是（）
A、x>－4
B、x>0
C、x<－4
D、x<0
10、已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，
当y＋2<0时，x的取值范围是（）
A、x>0
B、x<0
C、x>1
D、x<1
11、函数y＝kx＋b（k、b为常数）的图
象如图所示，则关于x的不等式kx＋b>0
的解集是（）
A、x>0
B、x<0
C、x<2
D、x>2
12、已知一次函数y1＝3x＋3与y2＝－2x＋8在同一坐标系内的交点坐标是（1，6），则当y1>y2时，x的取值范围是（）A、x≥1 B、x＝1 C、x<1 D、x>1 13、如图是甲、乙两家商店销售同一种产品
的销售价y（元）与销售量x（件）之间的
函数图象。
下列说法：（1）售2件时甲、乙
两家售价一样；（2）买1件时买乙家的合算；
（3）买3件时买甲家的合算；（4）买乙家
的1件售价约为3元。
其中正确的说法是（）
A（1）（2）B、（2）（3）（4）C、（2）（3）D、（1）（2）（3）
14、如图所示，l1反映了某公
司的销售收入与销售量的关系，
l2反映了该公司产品的销售成
本与销售量的关系，当该公司盈
利（收入大于成本）时销售量应
（）
A、小于3吨
B、大于3吨
C、小于4吨
D、大于4吨
15、已知直线y＝x＋b过点（3，4）。
（1）求b的值；
（2）当x取何值时，y<0。
16、育才中学需要添置某种教学仪器，方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：学校自己制作。
每件4元，另外需要制作工具租用费120元；设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1、y2（元）。
（1）分别写出y1、y2的函数表达式；
（2）通过计算说明学校应怎样选择添置方案。