北京市西城区2001年抽样测试高三数学试卷(文科)

北京市西城区2001年抽样测试高三数学试卷（文科）
学校____________ 班级____________ 姓名____________
参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式
)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= l c c S )'(2
1
+=台侧
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+= 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长，l
)]cos()[cos(2
1
sin cos βαβαβα-++= 表示斜高或母线长
)]cos()[cos(21cos sin βαβαβα--+-= h S S S S V )''(3
1
++=台体
其中'S 、S 分别表示上、下底面积，h 表示高 一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。

1．已知集合},03{},0,{2Z x x x x N a M ∈<-==，若M ∩N ≠φ，则a 等于（）。

（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）8 2．从4台A 型笔记本电脑和5台B 型笔记本电脑中任意选取3台，其中至少要有A 型和B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（ ）。

（A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种 3．复数z 满足4
)2arg(π
=
+z ，则2-z 的最小值是（ ）。

（A ）1 （B ）2 （C ）32 （D ）22
4．设O 是矩形ABCD 的边CD 上一点,以直线CD 为轴旋转这个矩形所得的圆柱体的体积为V ,其中以OA 为母线的圆锥的体积为
4
V
，则以OB 为母线的圆锥的体积等于（ ）。

（A ）
4V （B ）9
V
（C ）12V （D ）15V
5．将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线'C ，若曲线'C 的方程为1542
2=-y x ，则曲线C 的焦点坐标为（ ）。

（A ）（6，–1），（0，–1） （B ）（–6，1），(0，1)
（C ）（–3，2），（–3，–4） （D ）（3，2），（3，–4）
6．已知),2(,ππ
∈βα且0sin cos >β+α，则下列不等式成立的是（ ）。

（A ）π<β+α （B ）2
3π>β+α （C ）23π=
β+α （D ）2
3π<β+α 7．若圆)0(222>=+r r y x 上恰有相异两点到直线02534=+-y x 的距离等于1，则r 的取值范围是（ ）。

（A ）[4，6] （B ）[)6,4 （C ）(]6,4 （D ）（4，6）
8．如图，P A 为圆柱的母线，AB 为底面圆的直径，C 为下底面圆周上一点，
β=∠θ=∠α=∠CPB PBA CAB ,,，则（ ）。

（A ）β=α⋅θsin sin cos （B ）α=β⋅θsin sin sin （C ）β=α⋅θcos cos cos （D ）α=β⋅θcos sin cos
9．为了使函数)0(sin >ωω=x y 在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）。

（A ）98π （B ）
π2
197 （C ）π2199
（D ）π100
10．如图，三棱台111C B A ABC -中，已知21111,S S S S C B A ABC ==∆∆，高为h ，则四面体11C ACB 的体积为（ ）。

（A ）2131S S h （B ）13
1
hS
（C ）231
hS （D ）)(3
12121S S S S h ++
11．在x log )x (f ,)x (f ,x )x (f ,x )x (f x 2
143222
1
12====四个函数中，当121>>x x 时，
使)2()]()([21
2121x x f x f x f +<+成立的函数是（ ）。

（A ）2
1
1)(x x f =
（B ）22)(x x f = （C ）x x f 2)(3= （D ）x x f 2
14log )(=
12．已知双曲线12222=-b
y a x 和椭圆)0,0(122
22>>>=+b m a b y m x 的离心率互为倒数，那么以
a,b,m 为边长的三角形是（ ）
（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）锐角或钝角三角形 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。

共16分，把答案填在题中横线上。

13．数列}{n a 满足n n a n a a a a ⋅=+++=
2211,2
1
，则数列}{n a 的通项公式n a =_________。

14．设21,F F 是椭圆14
32
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且121=-PF PF ，则21cos PF F ∠=_________。

15．一扇形铁皮AOB ，半径OA =72cm ，圆心角︒=∠60AOB ，现剪下一个扇环ABCD 做圆
台形容器的侧面，并从剩下的扇形OCD 内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台的下底面大于上底面）（如图），则OC 的长为______________。

16．设函数)2
2,0)(sin()(π
<ϕ<π-
>ωϕ+ω=x x f
给出以下四个论断： ①它的图象关于直线12
π
=x 对称； ②它的图象关于点（
0,3
π
）对称； ③它的周期是π；
④在区间⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡π-0,6上是增函数
以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题： （1）________________________________________； （2）________________________________________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分） 解不等式2]124[log )2(2-≤--x x 。

18．（本题满分12分）
在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等差数列。

（1）求证：2
cos
22cos
C
A C A +=-； （2）求C A C A C A sin sin 3
1
cos cos cos cos +-+的值。

19．（本题满分12分）
如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，P A=AD=a ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，
（1）求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的大小； （2）求证：⊥MN 平面PCD ；
（3）当AB 的长度变化时，求异面直线PC 与AD 所成角的可能范围。

20．（本题满分13分）
已知双曲线1C 和椭圆2C ：124
)1(49)2(2
2=-++y x 有公共的焦点，它们的离心率分别是1
e 和2e ，且21
11
1=+e e
（1）求双曲线1C 的方程；
（2）圆D 经过双曲线1C 的两焦点，且与x 轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D 的方程。

21.（本题满分12分）
市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x %（x >0)，销售数量就减少kx %（其中k 为正常数）。

目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个。

（1） 当2
1
=k 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ （2） 在适当的涨价过程中，求使销售总额不断增加．．．．时k 的取值范围。

22．（本题满分13分）
}{},{n n b a 都是各项为正的数列，对任意的自然数n ，都有12,,+n n n a b a 成等差数列12,+n n a b ，2
1
+n b 成等比数列。

（Ⅰ）求证：}{n b 是等差数列； （Ⅱ）如果n
n a a a S b a 111,2,12111+++=
== ，求n n S ∞→lim 。