理论力学第5章分析力学
理论力学第五章
r Fi
g rri q
0
由虚功原理
P1 x1 P2 x2 F y3 0
x1
1 2
l1
sin
x2
l1 sin
1 2
l2
sin
y3 l1 cos l2 cos
P1 x1, y1 P2 x2, y2 B x3, y3
1 2
P1l1
cos
P2l1
cos
Fl1
sin
1 2
P2l2
2.理想约束
虚功：作用在质点上的力F在任意虚位移上做的功
理想约束：质点上的所有约束反力的虚功之和为零
n
r Ri
g
rr
0
i 1
引入虚位移可以消去这些约束反力 3.虚功原理
受理想约束的力学体系的平衡充要条件是所有主动力 的虚功之和等于零。
W
n
r Fi
g
rri
n
Fix xi Fiy yi Fiz zi 0
速度 s&2 r&2 r2&2 r2 sin2 &2
动能 T 1 ms&2 1 m r&2 r2&2 r2 sin2 &2
2
2
注意 Qr Fr , Q rF , Q r sin F
1 2
m
d dt
s&2 r&
s&2 r
Fr
1
2
1 2
m m
d
dt
2．稳定约束时
ri t
0 a ,a 0 T1 ,T0 0, T
T2
H T V 常量(E ) 能量积分
说明： L 不显含时间，且稳定约束条件下，系统能量守恒. 具有可加性（广延量）的运动积分称为守恒量.
(完整word版)理论力学课后答案第五章(周衍柏)(word文档良心出品)
第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比aq &更富有意义？ 5.4既然aq T &∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d &是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W ρρδδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11ρρ知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3 答 αp 与αq &不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。
理论力学第五章
第一种情况： 第一种情况：
摩擦力阻止其向下运动
∑F
x
=0
Q min cos α + Fm − G sin α = 0
− Q min sin α + N − G cos α = 0
∑F
利用
y
=0
Fm = f s N
Q min sin α − f s cos α =G = 135.31 N cos α + f s sin α
[例4] 例
宽a，高b的矩形柜放置 ， 的矩形柜放置 a 在水平面上，柜重 ，重心C 在水平面上，柜重P，重心 在其几何中心，柜与地面间 在其几何中心， F h P C 的静摩擦因数是 fs，在柜的 b 侧面施加水平向右的力F， 侧面施加水平向右的力 ， 求柜发生运动时所需推力F 求柜发生运动时所需推力 的最小值。 的最小值。
再以整体为对象， 再以整体为对象，有平衡方程 整体为对象
∑X = 0
FAx − FBx = 0
FAx = FBx = 72.17 N
下面判断系统是否处于静平衡 脚端A 极限静摩擦力分别为 脚端 与B 的极限静摩擦力分别为 ：
r y
C
Fm A = f s A FAy = 75 N
r G
Fm B = f s B FBy = 75 N
解:
取矩形柜为研究对象,受力分析如图。 1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。
y
列平衡方程
∑F = 0,
x
F − FA − FB = 0
F P
C
∑F
FB
x
y
= 0,
FNA + FNB − P = 0
FB = fs × FNB
理论力学第五章
O
C
l
B
x
例题
点
的 运 动
例 题 4
小船受绳子牵引向河岸靠拢，开始时小船位于M0处，
离开河岸距离l0=12 (m)。已知河岸高h=5（m），牵引小船 的绳索绕过定滑轮A以匀速u=1（m/s）向右拉动，试建立小
船的运动方程，并求小船运动到中点时的速度和加速度。
例题
点
的 运 动
例 题 4
或参考系。
一般未经说明，在工程问题中都取与地面固连的坐标系作为 参考系。
2、瞬时、时间间隔 瞬时应理解为物体运动过程中的某一时刻，而时间间隔 则是指两个瞬时之间的一段时间。
()t
( )t t 2 t1
t1
t2
t
4
运动学的主要内容
（二）运动学研究内容
建立物体的运动方程 分析点的运动速度、加速度和刚体的角速度、角加速度等
运动形式包括：
质点
直线运动 曲线运动
最一般的情形为三维变速曲线运动
7
刚体
定轴转动
平行移动
平面运动
8
三. 学习运动学目的
学习运动学除了为学习动力学打基础外，另一方面又有 其独立的意义，为分析机构的运动打好基础。 单个物体，如子弹、保龄球 运动物体 机构，如曲柄连杆机构 本章内容： 1 机构运动简图
Δr v Δt
2．点的速度
dr v dt
动点轨迹在瞬时t 的变化率
定义：点的速度是矢径对时间的一次导数 物理意义：表明了点沿轨迹运动的快慢和方向 单位： 米／秒（m／s） 大小:
dr v dt
方向：速度的方向沿着轨迹 的切线，指向与运动 方向一致
理论力学 5分析力学
这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。在几何约束情况下， 广义坐标的数目和自由度的数目相等。
5.2虚功原理
5.2.1实位移与虚位移
质点由于运动实际上发生的位移叫做实位移。以dr 表示。
在给定瞬时，质系中各质点所作的为约束所允许的、可能发 生的无限小位移，称为虚位移，用r表示。 虚位移只满足给定瞬时的约束条件，而真实位移除满足约束 条件外，还取决于所受的主动力及运动的初始条件。虚位移
f ( x, y, z, t ) 0
（2）可解约束与不可解约束
质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约束。
f ( x, y, z ) 0
那种约束就叫可解约束。
或
f ( x, y, z, t ) 0
如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，
f ( x, y, z ) c
（3）几何约束与运动约束
ri ri qi qi
再将①式 ri ri (t , q1 , q2 ,qs ),
i 1,2,n 对任一广义坐标
q 求偏导数，得：
另一方面，将位矢 r 直接对 q 求偏导数后，再对时间求导数， i 得：
ri d dt q s 2 ri 2 ri q q t q q ③ 1
状态，则其平衡条件是
W Fi ri 0
n i 1
或
W ( Fixxi Fiyyi F iz z i ) 0
i 1
n
由上式可知，受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力
学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这 个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。
5.2.4广义力
第五章分析力学
3、几种常见的理想约束 ①光滑线,面,光滑铰链的约束 ②刚性杆,不可伸长的绳子的约束 ③纯滚动(粗糙面)
光滑面
N r 0
三、虚功原理
设有n个质点组成的体系处于平衡状态(即每个质点 均处于平衡状态)，取质点i，受主动力Fi，约束力Ri。 有n个平衡方程： Fi Ri 0 i 1,2 n （对质点求和）
§5.1 约束与广义坐标 一、几个概念
1、力学体系—即第二章所介绍的质点组。 2、位形—力学体系的位臵状态。 3、约束：约束物体对力学体系的束缚(或限制)。 4、力学体系的自由度:确定力学体系位臵的独立 坐标数目。设力学体系有n个质点，受k个约 束，则力学体系的自由度为3n k。
二﹑约束的分类
由于圆盘作纯滚动，A点的速度应为零，则约束方程为： 不可积 Cx r cos r 0
Cy 0 r 0 Cz
②可积微分约束(为几何约束):约束方程中的每个微分是 可积的。 如:圆盘竖直地沿着直线作纯滚动
e i , 0, 2, 0 C C C
f（x, y, z; x, y, z） 0
①不可积微分约束(不完整约束):约束方程中，微分不可 积，如：圆盘沿曲线作纯滚动。 e i e k y A点的速度为： oxy平面不绕oz轴转动 o A C rA Cx i Cy j Cz k i e k r j
3、按约束可脱离和不可脱离分类
（1）不可解约束
x2 y 2 R2
如小圆圈套在大圆圈上
约束方程为： f（x, y, z） 0
四川大学物理学院理论力学第五章课件 4
x
x
l
lM
M
y
y
y
xA A xA = sint
x
l
M
x2 + y2 = l2
张纪平 制作
x2 + y2 ≤ l2
(x − sint)2 + y2 = l2
1
2、约束的分类
x 刚性杆
x
l
l
M
M
y
y
x2 + y2 = l2
x2 + y2 ≤ l2
xA A xA = sint
x
y
M
(x −sint)2 + y2 = l2
O
解： 解析法 2个自由度
α
取α、β 为广义坐标
系统所受约束符合虚功原理的适用条件
系统的主动力有 P1, P2 和 F
根据虚功原理,
P1iδ rC + P2 iδ rD + F iδ rB = 0
建立坐标系
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
张纪平 制作
A
β
F
O
B
α
y
C
l1 β
P1 A l2
F
x
D P2 B
18
P1δ xC + P2δ xD + Fδ yB = 0
yB = l1 cosα + l2 cos β
xC
=
1 2
l1 sin α
O
α
y
C
l1 β
xD
=
l1 sin α
+
1 2
l2
sin
β
理论力学第五章习题(带答案解析)
《理论力学》第五章分析力学一、单选题（共6题）1、广义坐标必须是:()A、笛卡儿坐标B、独立的位置变量C、角坐标或弧坐标;D、任何位置变量正确答案：B2、关于虚位移下列表述中不正确的是:()A、与约束有关;B、与时间无关;C、与主动力有关;D、一般不唯一正确答案：C解析：虚位移不是真实发生的位移,而是想象中可能发生的位移,它只取决于质点在此时刻的位置和加在它上面的约束,而不是由于时间的改变所引起的。
3、保守系的拉格朗日函数等于系统的:()A、总动能加总势能;B、总动能减总势能;C、总势能减总动能;D、广义速度的二次式正确答案：B解析：L=T-V。
4、分析力学中哈密顿正则变量为:()A、广义速度和广义坐标;B、广义速度和广义动量;C、广义动量和广义坐标;D、广义能量和广义动量.正确答案：C5、关于分析力学中的概念,找出错误的说法()A、拉格朗日方程是S个二阶常微分方程组成的方程组;B、哈密顿正则方程是2S个一阶常微分方程组成的方程组;C、拉格朗日函数和哈密顿函数的变量不同;D、拉格朗日方程和哈密顿正则方程是分析力学中两个基本的方程,不能相互推演。
正确答案：D解析：A、拉格朗日方程为,是由S个二阶常微分方程组成的方程组;B、哈密顿正则方程为,是由2S个一阶常微分方程组成的方程组;C、;D拉格朗日方程和哈密顿正则方程是分析力学中两个基本的方程，可以互相推演。
6、一质点质量为m,速度v,势能为Ep,则其拉格朗日函数为:____正确答案：B解析：L=T-V.二、填空题（共7题）1、一个不受任何约束的系统,由n个质点组成,该系统的独立坐标个数为____个;若该系统受k个完整约束,m个非完整约束,则该系统的自由度数目变为____个;独立坐标(广义坐标)个数变为____个。
正确答案：第1空:3n第2空:3n-k-m第3空:3n-k2、虚位移是____允许的所有位移,与时间____。
正确答案：第1空:稳定约束第2空:无关3、理想完整系统是指只受____、____的系统。
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式中 q1 , q2 ,qs 叫拉格朗日广义坐标。
▪ 广义坐标不一定是长度，可以是其它物理
量。如角度、面积、体积、电磁场强度等。
▪ 在几何约束的情况下，广义坐标的数目和
自由度的数目相等。 s 个广义坐标就足以确
§5.1 约束与广义坐标
1 约束的概念和分类
▪在一个力学体系中，常存在着一些限制各质
点自由运动的条件，这些条件就叫约束。这
样有着 3n 个坐标的力学体系，只要有约束，
这些坐标之间就不互相独立。
▪ 约束对各质点位臵限制的条件通常可以表 为力学体系中质点的坐标、速度和时间的 方程。 ▪ 如果 n 个质点所形成的力学体系中受有 k 个 限制其位臵的约束，那就有 那么 面 个坐标中就只有 3n 个约束方程， k 个是独立的。 3n k
▪ 当一质点被一柔软绳连在一个定点 O 上而 作任意运动时，所受的约束是可解约束。 若取定点 O 为原点，则约束方程为
x y z l
2 2 2
2
▪ 但如果质点是用刚性杆和定点 O 相连，则 质点所受的约束是不可解约束，约束方程 将是
x y z l
2 2 2
2
几何约束和运动约束
▪ 几何约束或称完整约束，只限制质点在空
2 2 2
2
可解约束和不可解约束
▪ 质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约
束。如质点被约束在
f ( x, y, z ) 0
曲面上。
▪ 如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在
某一方向可以脱离，这种就叫可解约束。
如 f ( x, y, z) c 质点可以在曲面上，也可以
在 f ( x, y, z) c 方向离开这一曲面。因此不可 解约束用等号表式，而可解约束同时用等 号和不等号表示。
定力学体系的位臵。
▪ 如一质点被约束在圆周 x 2 y 2 R 2上运动，可
令 x R cos , y R sin ，式中 是位矢与 x 轴 的夹角， 就是这一问题的广义坐标。质 点在一平面上运动，原应有两个坐 x, y ， 但因圆周是一个约束，所以只有一个独立 坐标，这是一个自由度的问题。
间的位臵，因而表现为是质点坐标的函数
f ( x, y, z ) 0 或 f ( x, y, z, t ) 0
▪ 运动约束除了限制质点的坐标外，还要限
制质点速度的投影，运动约束也叫微分约
束，如
, y , z , t ) 0 f ( x, y, z, x
▪ 微分约束有时经过积分后可以变成几何约 束，但若不能积分，则称为不完整约束。 不能用等式表示的可解约束也是一种不完 整约束，除了这两种不完整约束外，其它 约束都是完整约束。
▪ 凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。 否则叫不完整系。
▪ 当圆柱体沿斜面滚下时，约束方程是
xC a 0
这是不含有微分和速度投影的方程，所以 这是几何约束或完整约束。今后主要研究 完整系的力学问题。
2 广义坐标
▪对于有 n 个质点所组成的力学体系，如果有 k 个几何约束 f ( x, y, z, t ) 0
▪ 例如当一质点和长为 l 的刚性杆相连时， 如刚性杆的上端固定不动，如取此点为坐 标原点，则约束方程 x 2 y 2 z 2 l 2 是稳 定约束。如杆的上端沿水平直线以匀速 c 运
动，并取该直线上某定点为坐标原点，则
约束方程将是不稳定约束：
( x ct) y z l
里面的一个。但对不稳定约束来讲，实位 移与虚位移往往并不一致。如质点被约束 在运动着的曲面
dr
P
f ( x, y, z, t ) 0
r
2 理想约束
▪作用在质点上的力在任意虚位移中所作的功， 叫做虚功。 ▪如果作用在一力学体系上诸约束反力在任意
虚位移中所作的虚功之和为零，即
Ri ri 0
▪ 一般来讲，在任一时刻，在约束所许可的
情况要不离开此
曲面，质点可以在各个方向发生虚位移。
而实位移则不然，它除受到约束的限制外，
还要受到运动规律的限制。当时间改变 dt
后，实位移一般只能有一个，因为质点的
坐标通常都是时间的单值函数。
▪ 在稳定约束下，实位移 dr 是许多虚位移r
如一个质点原有3个独立坐标，如果受有曲
f ( x, y, z ) 的约束，那独立坐标的数 0
目就会减少至两个。
▪ 如果约束不是时间的函数，即约束方程中 不显含时间 t ，即形如 f ( x, y, z ) 0
则这种约束叫稳定约束。
反之，则叫不稳定约束，如 f ( x, y, z, t ) 0
n ▪ 对上式求和： Fi ri Ri ri 0 n i 1 i 1
n i 1
那么这种约束叫做理想约束。如光滑面、光滑 铰链、刚性杆、不可伸长的绳等。
3 虚功原理
▪当系统处于平衡时，系统每一质点都是处于 平衡. 这样, 作用于第 i 个质点的主动力和约 束力的合力应为零, 即
Fi Ri 0
▪于是作用于第 i质点所有各力的虚功之和为零
Fi ri Ri ri 0
§5.2 虚功原理
1 实位移与虚位移
▪由于运动实际上所发生的位移，叫实位移，
用 dr 表示。dr r dt ，若 dt 0 则 dr 0
一时刻质点发生了一个无限小的位移，它不
是由时间改变所引起的，只决定于质点的位
▪如果在约束所许可的情况下，我们想象在某
臵和约束，这种位移叫虚位移，用 r 表示。 由于时间没改变，故 dt 0 。
( 1,2,...,k )
那么独立坐标就减少为 3n k 个。在只受有 几何约束的情况下，这些独立坐标的数目叫 做力学体系的自由度。但对微分约束来讲，
自由度的数目则可能小于独立坐标的数目。
因为微分约束不但对位臵有约束而且对速度分
量也有约束。
▪ 如果令 3n k s ，3n 个不独立的坐标可用 s 个独立参数 q1 , q2 ,qs 及 t 表示出，即