高中数学选修2-2 北师大版综合法和分析法课时作业(含答案)

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高中数学北师大版选修2-2第1章分析法和综合法例题解析

分析法和综合法例题解析分析法和综合法是两种思路相反的证明与推理方法，综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”。

它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的联合运用，正如恩格斯所说的：“没有分析就没有综合”。

在数学的证明中不能把分析法和综合法绝对分开。

例1 设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若函数(1)f x +与()f x 的图像关于y 轴对称，求证1()2f x +为偶函数。

证明1：要证1()2f x +为偶函数，只须证明其对称轴为0x =, 即只须证1022b a --=, 只须证a b =-（*）。

由已知，抛物线(1)f x +的对称轴12b x a -=-与抛物线的对称轴2b x a-=关于y 轴对称， 122b b a a--∴-=- 于是得a b =-（*）1()2f x ∴+为偶函数。

证明2：记F ()x 1()2f x =+,欲证F ()x 为偶函数，只须证F ()x -=F ()x ,即只须证11()()22f x f x -+=+（*）由已知，函数(1)f x +与()f x 的图象关于y 轴对称，而函数()f x 与()f x -的图象也是关于y 轴对称的，()(1)f x f x ∴-=+于是有 11()[()]22f x f x -+=-- 1[()1]2f x =-+ 1()2f x =+（*） 1()2f x ∴+为偶函数。

评注：本题的证明过程把综合法和分析法较好的结合起来，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，本题也可以先用综合法后用分析法。

例2 设n N ∈,求证222111312321n n n ++++≥+ 证明：把结论分解为两个部分考察设222111123n x n =++++, 321n n y n =+, 则由 1210(1)n n x x n +-=>+ 12304(1)1n n y y n +-=>+- 可知，数列{}n x 与{}n y 都是单调递增数列。

2018-2019学年高中数学第1章 2综合法和分析法课时作业北师大版选修2-2

【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章 2综合法和分析法课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．若a ，b ∈R ，则>成立的一个充分不必要条件是( )1a 31b 3A ．ab >0 B ．b >a C ．a ，但>⇒/a 成立的一个充分不必要条件．1a 31b 32．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( )A ．14 B ．15C ．16 D ．17[答案]　B[解析]　由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，x 2＋y 2＋2x 有最大值，最大值为15.3．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( )A ． B ．1814C ． D ．112[答案]　C[解析]　∵a 2＋b 2≥(a ＋b )2＝(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝.1212124．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－≤0a 4＋b 42C ．－1－a 2b 2≤0 a ＋b 22D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0[答案]　D5．要使－<成立，a ，b 应满足的条件是( )3a 3b 3a －b A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a 0时，有<，即b <a ；3b 3a 当ab <0时，有>，即b >A ．3b 3a 二、填空题6．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则＋＝______.a b ＋c ba ＋c [答案]　1[解析]　＋＝，因为∠C ＝60°，由余弦定理得cos C ＝＝a b ＋c ba ＋c a 2＋ac ＋b 2＋bc b ＋c a ＋c 12，即a 2＋b 2＝ab ＋c 2，所以＋＝＝1.a 2＋b 2－c 22ab a b ＋c b a ＋c ab ＋c 2＋ac ＋bcab ＋bc ＋ac ＋c 27．若平面内有＋＋＝0，且||＝||＝||，则△P 1P 2P 3一定是OP 1→ OP 2→ OP 3→OP 1→OP 2→ OP 3→____________(形状)三角形．[答案]　等边[解析]　∵＋＋＝0OP 1→ OP 2→ OP 3→ ∴O 为△P 1P 2P 3的重心又∵||＝||＝||OP 1→ OP 2→ OP 3→ ∴O 为△P 1P 2P 3的外心故△P 1P 2P 3的重心、外心重合∴△P 1P 2P 3为等边三角形．8．将下面用分析法证明≥ab 的步骤补充完整：要证≥ab ，只需证a 2＋b 22a 2＋b 22a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案]　a 2＋b 2－2ab ≥0　(a －b )2≥0　(a －b )2≥0三、解答题9．已知n ∈N *，且n ≥2，求证：>－.1n n n －1[证明]　要证>－，1n n n －1即证1>n －，n n －1 只需证>n －1，n n －1 ∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10．已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥.13[证明]　由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋cA ．∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥.13一、选择题1．已知a 、b 、c 满足c ac B ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0[答案]　A[解析]　由c 0，c <0.由不等式的性质不难选出答案为A ．2．(2014·四平二模)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；　②a ＋b ＝2；　③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；　⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③ B ．①②③C ．③ D ．③④⑤[答案]　C[解析]　若a ＝，b ＝，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；1223若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即“a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.3．已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案]　D[解析]　2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .4．已知函数f (x )＝x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ，B ＝f ()，C ＝f ，则(12)(a ＋b 2)ab (2aba ＋b )A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案]　A[解析]　≥≥，又函数f (x )＝()x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，a ＋b2ab 2ab a ＋b 12∴f ()≤f ()≤f ()．a ＋b2ab 2aba ＋b 二、填空题5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.[答案]　－12[解析]　观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)，cos γ＝－(cos α＋cos β)，∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin 2γ＋cos 2γ＝1，化简并整理得cos(α－β)＝－.126．设a ≥0，b ≥0，a 2＋＝1，则a ·的最大值为____________．b 221＋b 2[答案]　324[解析]　a ·＝a ·≤(a 2＋＋)＝(当且仅当a 2＝＋且a 2＋1＋b 2212＋b 222212b 2232412b 22＝1即a ＝，b ＝时取“＝”)b 223222三、解答题7．分别用分析法、综合法证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.[证明]　证法一：(分析法)要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，只需证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ，只需证(bc －ad )2≥0.因为(bc －ad )2≥0显然成立，所以(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2成立．证法二：(综合法)因为b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd (当且仅当bc ＝ad 时取等号)，所以a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.8．已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9.1x 1y [分析]　观察要证明的不等式，可以由条件入手，将x ＋y ＝1代入要证明的不等式，用综合法可证；也可从基本不等式入手，用综合法证明不等式．[证明]　证法一：∵x ＋y ＝1，∴(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)1x 1y x ＋y x x ＋y y y x xy ＝5＋2(＋)．y x xy 又∵x >0，y >0，∴>0，>0.y x xy ∴＋≥2，y x xy 当且仅当＝，即x ＝y ＝时取等号．y x x y 12则有(1＋)(1＋)≥5＋2×2＝9成立．1x 1y 证法二：∵x >0，y >0,1＝x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝时等号成立，∴xy ≤.∴≥4.xy 12141xy 则有(1＋)(1＋)1x 1y＝1＋＋＋1x 1y 1xy＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9成立．x ＋y xy 1xy 2xy [点评]　用综合法证明不等式时，可以从条件出发，也可以从基本不等式出发，通过换元、拼凑等方法构造定值，但若连续两次或两次以上利用基本不等式，需要注意几次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同．。

高中数学选修2-2 北师大版综合法与分析法第二课时课时检测(含答案)

04课后课时精练1. 要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A. 综合法B. 分析法C. 反证法D. 归纳法解析：要证明3＋7<25最合理的方法是分析法．答案：B2. 已知a 、b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x 、y 的大小关系是( )A. x >yB. y >xC. x >2yD. 不确定解析：∵x 2＝12(a ＋b )2＝12(a ＋b ＋2ab )，a ≠b ，a ，b >0，∴y 2＝a ＋b ＝12(a ＋b ＋a ＋b )>12(a ＋b ＋2ab )＝x 2，∴y >x .故选B.答案：B3. 对任意锐角α、β，下列不等关系中正确的是( ) A. sin(α＋β)>sin α＋sin β B. sin(α＋β)>cos α＋cos β C. sin(α＋β)<sin α＋sin βD. cos(α＋β)<cos α＋cos β解析：取α＝30°，β＝30°，可知A 、B 不成立，取α＝β趋近于0°，则α＋β→0°，此时cos(α＋β)→1，而sin α→0，sin β→0，显然C 不成立．答案：D4. [2014·泉州高二检测]设a >0，b >0，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a 的大小关系是( )A. a a b b >a b b aB. a a b b ≥a b b aC. a a b b <a b b aD. a a b b ≤a b b a解析：a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b )a －b .①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，(a b )a－b>1，所以a a b b>a b b a.②当b >a >0时，0<a b <1，a －b <0，则(a b )a －b>1. 综合①②可知，总有a a b b >a b b a .答案：A5. 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值( ) A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 可能是0D. 正、负不能确定解析：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝0，又abc >0，∴a ，b ，c 均不为0.∴a 2＋b 2＋c 2>0，ab ＋bc ＋ca <0. ∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc <0. 答案：B6. 设f (x )＝x 3＋bx ＋c 在[－1,1]上是增函数，且f (－12)·f (12)<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A. 可能有3个实根B. 可能有2个实根C. 有唯一实根D. 没有实根解析：由于f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)<0，所以f (x )在[－12，12]上有唯一零点，。

数学北师大版选修2-2同步练习第一章§2综合法和分析法含解析精品

高手支招6体验成功基础巩固1.设a ＋b ＝1,且a ＞0,b ＞0.求证:（a+a 1）2+(b+b1)2≥225.证明：(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225⇐(a 2+b 2)+(21a +21b )+4≥225⇐(a 2+b 2)+(21a+21b )≥217.∵ab≤(2b a +)2=41,∴ab 1≥4,∴21a+21b ≥ab 2≥8.又∵a 2+b 2≥212)(2=+b a ,∴(a 2+b 2)+(2211b a +)≥217, ∴(a+a 1)2+(b+b1)2≥225.思路分析：由于式子化简后可产生常见不等式中的形式,所以用综合法加以证明.2.已知a,b ＞0，求证:a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc. 证明：∵b 2+c 2≥2bc,a ＞0,∴a(b 2+c 2)≥2abc.又∵c 2+a 2≥2ac,b ＞0, ∴b(c 2+a 2)≥2abc.∴a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.思路分析：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 3.若ybx a +=1(a,b,x,y ＞0,且a≠b),求证:x+y≥(a +b )2. 答案：证明：∵a,b,x,y ＞0,且x a +yb =1, ∴x+y=(x+y)(x a +y b )=a+b+x ay +ybx ≥a+b+2ab =(b a +)2.∴原不等式成立.思路分析：利用已知条件把a,b 与x,y 的关系相互转化,也就是通过1的代入把x+y 转换为a,b. 4.求证:3+7＜2+6.证明:要证原不等式成立,只需证(73+)2＜(2+6)2, 即证10+221＜10+224, 也即证24＜24, ∵21＜24,∴21＜24.从而原不等式73+＜2+6成立.思路分析：无理数大小的比较通常利用乘方转化为有理数再比较.5.已知a ＞b ＞c,且a+b+c=0,求证:aacb -2＜3.证明:∵a ＞b ＞c,且a+b+c=0,∴a ＞0,c ＜0,要证原不等式成立,只要证ac b -2＜3a,即证b 2-ac ＜3a 2,也即证(a+c)2-ac ＜3a 2,即(a-c)(2a+c)＞0,∵a-c ＞0,2a+c=(a+c)+a=a-b ＞0. ∴(a-c)(2a+c)＞0成立,故原不等式成立.思路分析：由已知很难找到直接证出结论的方法,所以可以采用分析法,依次找结论成立的充分条件探索解题的思路.6.在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC. 证明:∵锐角三角形中,A+B ＞2π,∴A ＞2π-B.∴0＜2π-B ＜A ＜2π, 又∵在(0,2π)内正弦函数是单调递增函数, ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB,即sinA ＞cosB.①同理sinB ＞cosC,② sinC ＞cosA.③由①+②+③得,sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC.思路分析：此题采用综合法通过构造角的不等式转化为利用三角函数的单调性来证明,此法比常用的和差化积形式简单.7.已知:a 、b 、c 是不全相等的正数,且0＜x ＜1.求证:log x2b a ++log x 2c b ++log x 2c a +＜log x a+log x b+log x C.证明:要证明log x 2b a ++log x 2c b ++log x 2ca +＜log x a+log x b+log x c,只需要证明log x ［2)(b a +·2)(c b +·2)(c a +］＜log x (abc).由已知0＜x ＜1,只需证明2b a +·2c b +·2ca +＞abc. 由公式知2b a +≥ab ＞0,2c b +≥bc ＞0,2ca +≥ac ＞0.∵a 、b 、c 不全相等,上面三式相乘,2b a +·2c b +·2c a +＞222c b a =bc, 即2b a +·2c b +·2c a +＞abc 成立.∴log x 2b a ++og x 2c b ++log x 2ca +＜log x a+log x b+log x c 成立.思路分析：由于式子较为复杂,不易找到证明思路,所以考虑用分析法证明.8.如图:E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点,平面a 过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证:EH ∥FG. 证明:连结BD.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点. ∴EH ∥BD.又BD ⊂面BCD,EH ⊄面BCD, ∴EH ∥面BCD.又EH ⊂a 、a∩面BCD ＝FG , ∴EH ∥FG.思路分析：直接应用立体几何中的直线与平面平行的性质定理即可证明,要注意灵活应用直线与平面平行的判定与性质定理. 综合应用9.如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA 1=4,点D 是AB 的中点.(1)求证AC ⊥BC 1;(2)求证AC 1//平面CDB 1;(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值.答案：(1)证明：∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC ⊥BC,且BC 1在平面ABC 内的射影为BC, ∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E,连结DE, ∵D 是AB 的中点,E 是BC 1的中点, ∴DE//AC 1,∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1//平面CDB 1.(3)解：∵DE//AC 1,∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角, 在△CED 中ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22，∴cos ∠CED=522252228=∙∙. ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为522. 思路分析：本题是考查平行垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行垂直条件,可以用立体几何方法来证,也可以6用向量法来证. 10.已知动圆过定点（2p ,0）,且与直线x=2p-相切,其中p ＞0.(1)求动圆圆心C 的轨迹的方程;(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0＜θ＜π)时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.答案：(1)解：如图,设M 为动圆圆心,（2p ,0）记为F,过点M 作直线x=2p-的垂线,垂足为N,由题意知:|MF|=|MN|即动点M 到定点F 与定直线x=2p-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中F （2p ,0）为焦点,x=2p-为准线,所以轨迹方程为y 2=2px(p ＞0);(2)证明：如图,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意得x 1≠x 2(否则α+β=π),且x 1,x 2≠0,所以直线AB 的斜率存在,设其方程为y=kx+b,显然x 1=py 221,x 2=p y222,将y=kx+b 与y 2=2px(p ＞0)联立消去x,得ky 2-2py+2pb=0.由韦达定理知,y 1+y 2=kp 2,y 1·y 2=k pb 2.①(i)当θ=2π时,即α+β=2π时,tanα·tanβ=1,所以11x y ·22x y =1,x 1x 2-y 1y 2=0,222214p y y -y 1y 2=0.所以y 1y 2=4p 2.由①知:kpb2=4p 2,所以b=2pk.因此直线AB 的方程可表示为y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0,所以直线AB 恒过定点(-2p,0). (ii)当θ≠2π时,由α+β=θ,得tanθ=tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=221214)(2py y y y p -+. 将①式代入上式整理化简可得:tanθ=pkb p22-,所以b=θtan 2p +2pk,此时,直线AB 的方程可表示为y=kx+pkp212-,即k(x+2p)-(θtan 2p -)=0.所以直线AB 恒过定点(-2p,θtan 2p). 所以由(i)(ii)知,当θ=2π时,直线AB 恒过定点(-2p,0),当θ≠2π时直线AB 恒过定点(-2p,θtan 2p ).思路分析：此题是圆锥曲线的综合题,(1)动点的轨迹方程求解时,常常结合其满足的几何特征及常见圆锥曲线的定义来分析比较容易,即常用数形结合的方法.(2)直线过定点问题必须引入参数表示出直线的方程由直线系方程来解.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=6,a 3=11,且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,n=1,2,3, …,其中A 、B 为常数. (1)求A 与B 的值;(2)证明:数列{a n }为等差数列;(3)证明:不等式mn a 5-n m a a ＞1对任何正整数m,n 都成立. 答案：（1）解：由已知,得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18. 由(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,知⎩⎨⎧+=-+=--,2122,732312B A S S B A S S 即⎩⎨⎧-=+-=+,482,28B A B A 解得A=-20,B=-8.（2）证明:由（1）得(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8,① 所以(5n-3)S n+2-(5n+7)S n+1=-20n-28,②②-①得(5n-3)S n+2-(10n-1)S n+1+(5n+2)S n =-20,③ 所以(5n+2)S n+3-(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=-20.④s ④-③得(5n+2)S n+3-(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1-(5n+2)S n =0. 因为a n+1=S n+1-S n ,所以(5n+2)a n+3-(10n+4)a n+2+(5n+7)a n+1=0, 因为(5n+2)≠0,所以a n+3-2a n+2+a n+1=0.所以a n+3-a n+2=a n+2-a n+1,n≥1. 又a 3-a 2=a 2-a 1=5,所以数列{a n }为等差数列.（3）证明：由（2）可知,a n =1+5(n-1)=5n-4, 要证n m mn a a a -5＞1, 只要证5a mn ＞1+a m a n +2n m a a ,因为a mn =5mn-4,a m a n =(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要证5(5mn-4)＞1+25mn-20(m+n)+16+2n m a a ,即只要证20m+20n-37＞2n m a a ,因为2n m a a ≤a m +a n =5m+5n-8＜5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以原命题得证.思路分析：本题主要考查等差数列的定义、通项公式等及利用分析法来证明问题.。

高中数学 1.2.11.2.2 综合法分析法课时作业北师大版选修22

§2综合法与分析法2．1 综合法2．2 分析法课时目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从命题的________出发，利用________________________________，通过______________，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这称思维方法称为综合法．2．分析法从______________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的____________，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．3．综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”．一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件 D．等价条件2．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )A．S≥2P B．P<S<2PC．S>P D．P≤S<2P3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f(x)＝0的根的情况为( ) A．至多有一个实根B．至少有一个实根C．有且只有一个实根D ．无实根4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c5．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N ＋，则f (n )、g (n )、φ(n )的大小关系为( )A ．f (n )<g (n )<φ(n )B ．f (n )<φ(n )<g (n )C ．g (n )<φ(n )<f (n )D ．g (n )<f (n )<φ(n )6．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2二、填空题7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．8．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．9．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．三、解答题10．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.能力提升12.如图所示，在直四棱柱A 1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13．已知函数f(x)＝1＋x2，若a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答案知识梳理1．条件定义、公理、定理及运算法则演绎推理 2．求证的结论充分条件作业设计 1．A2．D [∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，∴S ≥P .2P ＝2ab ＋2bc ＋2ca＝(ab ＋bc )＋(ab ＋ca )＋(bc ＋ca )＝b (a ＋c )＋a (b ＋c )＋c (b ＋a )>b 2＋a 2＋c 2，即2P >S .]3．A [由于函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，因此图像与x 轴的交点最多就是一个．] 4．C [利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c .]5．B [f (n )、g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1>12n，∴f (n )<φ(n )<g (n )．]6．C [由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，得b 2＋c 2<a 2.]7．a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a . 8．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b 恒成立，而(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16，当且仅当b a ＝9a b 且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”．此时a ＝4，b ＝12.∴0a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．方法二综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11．证明要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3，即证ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ， ∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.12．AC ⊥BD解析从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为正方形．13．证明原不等式即|1＋a2－1＋b2|<|a－b|，要证此不等式成立，即证1＋a2＋1＋b2－21＋a2·1＋b2<a2＋b2－2ab. 即1＋ab<1＋a2·1＋b2.当1＋ab<0时不等式恒成立，当1＋ab≥0时，即要证1＋a2b2＋2ab<(1＋a2)(1＋b2)，即2ab<a2＋b2，由a≠b知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．。

高中数学选修2-2课后习题答案

高中数学选修2-2课后习题答案一、选择题（12×5′＝60′）1.一物体的运动方程为21t t s +-=，其中s 单位是米，t 单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）。

A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.复数),(R b a bi a ∈+为纯虚数的充分必要条件是 ( )。

A 0=ab B0=ba C0=ab D 022=+b a3.某同学类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推出正四面体的下列性质： ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

你认为正确的是（）。

A ．①B ．①②C ．①②③D ．③4.按照导数的几何意义，可以求得函数24x y -=在1=x 处的导数是 ( )。

A. 3-B. 33-C. 33±D. 35.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）。

A319 B316 C313 D3106.与直线250x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（）。

A.210x y --=B.230x y --=C.210x y -+=D.230x y -+= 7.函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）。

A 72B 36C 12D 08.由直线20x y +-=,曲线3y x =以及x 轴围成的图形的面积为（）。

A.43B.54C.56D.349.函数3y x x =+的递增区间是（）。

A ),0(+∞B )1,(-∞C ),(+∞-∞D ),1(+∞10.在数列{}n a 中,若11a =,1110n n n a a a ++⋅++=,则2009a =（）。

A.2-B.1-C.0.5-D.111.设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为（）。

高中数学北师大版选修2-2课时作业：1.2 综合法与分析法 Word版含解析

选修2-2 第一章 §2 课时作业3一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2解析：A 中，2－3<0，6－7<0平方后不等价；B 、D 与A 情况一样；只有C 项，2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(6＋3)2.故选C.答案：C3．在△ABC 中，A >B 是cos2B >cos2A 的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．必要不充分条件解析：∵A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B (由正弦定理得)，又cos2B >cos2A ⇔1－2sin 2B >1－2sin 2A ⇔sin 2B <sin 2A ⇔sin B <sin A .∴A >B ⇔cos2B >cos2A .故选C.答案：C4．已知a 、b 、c 、d 为正实数，且a b <c d，则( ) A ．a b <a ＋c b ＋d <c dB ．a ＋c b ＋d <a b <c dC ．a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能解析：先取特值检验，∵a b <c d，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d . ∴B 、C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d，∵a 、b 、c 、d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋c b ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d. 故A 正确，D 不正确．答案：A二、填空题5．设n ∈N ，a ＝n ＋4－n ＋3，b ＝n ＋2－n ＋1，则a ，b 的大小关系是________．解析：要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小，即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号，∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)]＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)<0， ∴n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1.答案：a <b6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________．解析：p ＝a －2＋1a －2＋2≥2 (a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .答案：p >q7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当n 为偶数时，a <2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32. 当n 为奇数时，a >－2－1n ，而－2－1n<－2， ∴a ≥－2.综上可得－2≤a <32.答案：[－2，32) 三、解答题8．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.9．证明：若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－ac a< 3. 证明：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0. 要证b 2－ac a <3，只需证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2.因为b ＝－a －c ，故只需证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证2a 2－ac －c 2>0，即证(2a ＋c )(a －c )>0.∵2a ＋c >a ＋b ＋c ＝0，a －c >0，∴(2a ＋c )(a －c )>0成立．∴原不等式成立．。

高中数学选修2-2课时作业19：2.2.1 综合法和分析法

2.2.1 综合法和分析法1．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1 D.144．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知f (x )＝a x ＋1,0＜a ＜1，若x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则( )A.f (x 1)＋f (x 2)2≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22B.f (x 1)＋f (x 2)2＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22C.f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22D.f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x ＞0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．8．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________. 三、解答题9．求证：2cos(α－β)－sin (2α－β)sin α＝sin βsin α.10．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x ＞1时，f (x )＜32(x －1)； (2)当1＜x ＜3时，f (x )＜9(x －1)x ＋5.——★ 参考答案 ★——1．[解析]由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. 所以该三角形是等腰或直角三角形．[答案]D2．[解析]本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＜0，∴f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数． [答案]A3．[解析]3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. [答案]B4．[解析]若A >B ，则a >b .又∵a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B . 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .[答案]C5．[解析]因为x 1≠x 2，所以f (x 1)＋f (x 2)2＝ax 1＋1＋ax 2＋12＞ ax 1＋1·ax 2＋1＝a x 1＋x 22＋1＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，所以f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.[答案]D6．[解析]该证明过程符合综合法的特点．[答案]综合法7．[解析]a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔a a －a b ＞b a －b b⇔a (a －b )＞b (a －b )⇔(a －b )(a －b )＞0⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．[答案]a ≥0，b ≥0且a ≠b8．[解析]因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425. 因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725. [答案]－7259．证明：要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以等式成立．10．证明：(1)记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x ＞1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32＜0. 又因为g (1)＝0，故g (x )＜0，即f (x )＜32(x －1)． (2)记h (x )＝f (x )－9(x －1)x ＋5，则h ′(x )＝1x ＋12x －54(x ＋5)2＝2＋x 2x －54(x ＋5)2＜x ＋54x －54(x ＋5)2 ＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2. 令p (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1＜x ＜3时，p ′(x )＝3(x ＋5)2－216＜0，因此p (x )在(1,3)内单调递减．又因为p (1)＝0，则p (x )＜0，故h ′(x )＜0，因此h (x )在(1,3)内单调递减．又因为h (1)＝0，则h (x )＜0，故当1＜x ＜3时，f (x )＜9(x －1)x ＋5.。

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2015-2016学年高中数学第1章 2综合法和分析法课时作业北师大
版选修2-2
一、选择题
1．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0
B ．b >a
C ．a 1b 3，但1a 3>1b 3⇒/a 1b 3成立的一个充分不必要条件． 2．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17 [答案] B
[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，x 2＋y 2＋2x 有最大值，最大值为15.
3．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) A ．18
B ．14
C ．12
D ．1 [答案] C
[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12
. 4．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2－1－
a 4＋
b 42≤0 C ． a ＋b 22
－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2
－1)≥0
[答案] D
5．要使3a －3b <3a －b 成立，a ，b 应满足的条件是( )
A ．ab <0且a >b
B ．ab >0且a >b
C ．ab <0且a 0且a >b 或ab <0且a 0时，有3b <3a ，即b <a ；
当ab <0时，有3b >3a ，即b >A ．
二、填空题
6．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则
a b ＋c ＋b a ＋c ＝
______.
[答案] 1 [解析] a b ＋c ＋b
a ＋c ＝a 2＋ac ＋
b 2＋b
c b ＋c a ＋c ，因为∠C ＝60°，由余弦定理得cos C ＝12＝a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝ab ＋c 2，所以a b ＋c ＋b a ＋c ＝ab ＋c 2＋ac ＋bc ab ＋bc ＋ac ＋c 2
＝1. 7．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是
____________(形状)三角形．
[答案] 等边
[解析] ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0
∴O 为△P 1P 2P 3的重心
又∵|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|
∴O 为△P 1P 2P 3的外心
故△P 1P 2P 3的重心、外心重合
∴△P 1P 2P 3为等边三角形．
8．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2
＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．。

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