高中数列求和方法大全

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）
3．错位相减法：比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1nnnn ； 1111()(2)22nnnn

)121121(21)12)(12(1
nnnn
!)!1(!nnnn

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100的和。
7．倒序相加法：
8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等
（二）主要方法：
1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3．转化思想的运用；
（三）例题分析：

例1．求和：①个nnS111111111

②22222)1()1()1(nnnxxxxxxS
③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和nS
思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112kkkka个

])101010[(91)]110()110()110[(9122nSnnn

8110910]9)110(10[9
11n
n
nn

②)21()21()21(224422nnnxxxxxxS
nxxxxxxnn2)111()(242242
（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222
（2）当nSxn4,1时
③
kkkkkkkkkkak23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2

2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2
522221nnnnn
nnaaaS
nn


)25)(1(61nnn
总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比11qq或讨论。
2．错位相减法求和
例2．已知数列
)0()12(,,5,3,112aanaa
n


，求前n项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,naaaa对应项
积，可用错位相减法求和。
解：1)12(53112nnanaaS

2)12(5332nnanaaaaS


nnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132


当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时

2
1)1()12()12(1aananaSnnn

当2,1nSan时
3.裂项相消法求和

例3.求和
)12)(12()2(534312222nn

n
S
n


思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.
解:
)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkka
k

12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121nnnnnnn
naaaS
nn


练习:求nnanaaaS32321 答案: )1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn
4.倒序相加法求和
例4求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210

思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。
证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS
则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnS mnnmnCC
nnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210
有

nnnnnnnnCCCCnS2)1(])[1(210

等式成立

5．其它求和方法
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。

例5．已知数列nnnnSnaa求],)1([2,。

思路分析：nnna)1(22，通过分组，对n分奇偶讨论求和。

解：nnna)1(22，若mkkmnmSSmn212)1(2)2321(2,2则
)1(2)12()2321(2nnmmmS
n


若
)12(22)12(])1(2[22)12(,1222212mmmmmmaSSSmnmmmmn则

22)1()1(224222nnnnmm



)(2)()1(2为正奇数为正偶数nnn
nnn

S
n

预备：已知nnnaaaaxaxaxaxf,,,,)(321221且成等差数列，n为正偶数，
又nfnf)1(,)1(2，试比较)21(f与3的大小。
解：naaaaafnaaaafnnn13212321)1()1(2222)(121dnaandnnnaann
12122)1(111naa
d

ndnaa

n

nnnfxnxxxxf)21)(12()21(5)21(321)21()12(53)(3232


可求得nnnf)21)(12()21(3)21(2，∵n为正偶数，3)21(f
巩固练习
1．求下列数列的前n项和nS：

（1）5，55，555，5555，…，5(101)9n，…；

（2）1111,,,,,132435(2)nn；
（3）11nann；
（4）23,2,3,,,naaana；
（5）13,24,35,,(2),nn；
（6）2222sin1sin2sin3sin89．

2．已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．

解：（1）555555555nnS个5(999999999)9n个
235[(101)(101)(101)(101)]9n


235505[10101010](101)9819nn
nn
．

（2）∵1111()(2)22nnnn，
∴11111111[(1)()()()]2324352nSnn1111(1)2212nn．
（3）∵1111(1)(1)nnnannnnnnnn
∴11121321nSnn
(21)(32)(1)nn
11n
．

（4）2323nnSaaana，

当1a时，123nS…(1)2nnn，
当1a时，2323nSaaa…nna ，
234
23naSaaa
…1nna，

两式相减得 23(1)naSaaa…11(1)1nnnnaaananaa，

∴212(1)(1)nnnnanaaSa．
（5）∵2(2)2nnnn，
∴ 原式222(123…2)2(123n…)n(1)(27)6nnn．
（6）设2222sin1sin2sin3sin89S，
又∵2222sin89sin88sin87sin1S，

∴ 289S，892S．

2．已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．
解：奇数项组成以11a为首项，公差为12的等差数列，
偶数项组成以24a为首项，公比为4的等比数列；

当n为奇数时，奇数项有12n项，偶数项有12n项，

∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423nnnnnnnS，
当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，

∴2(165)4(14)(32)4(21)221423nnnnnnnS，
所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23nnnnnnSnnn为奇数为偶数．

高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）
跟踪训练题