导数2不等式放缩法
高考数学复习知识点讲解教案第18讲 导数与不等式-第3课时 放缩法证明不等式
［思路点拨］（1）利用导数研究函数 的单调性，进而可求得最大值；
解： 的定义域为 0, +∞ ，′ =
1−ln
2
2
−1=
1− 2 −ln
.
2
1
令 = 1 − − ln ， > 0，则′ = −2 − < 0，
∴ 在 0, +∞ 上单调递减，∵ 1 = 0，
当 ∈
π
(1, ]时，ℎ′
2
所以ℎ ≤ ℎ
< 0，ℎ 单调递减，
max
= ℎ 1 = 0，即 ≤ 2 + 2 ∈
π
(0, ].
2
要证 + π > ，只需证 + π > 2 + 2，即证2sin + π > 2 + 2.
令 = − sin ，则′ = 1 − cos >
探究点一 指对放缩证明一元不等式
例1
[2023·唐山一模] 已知 > −1，证明：
（1）
e
− 1 ≥ ≥ ln + 1 ；
［思路点拨］（1）利用导数研究函数 = − ln + 1 的单调性可得
≥ 0 = 0，即证 ≥ ln + 1
，进而e
证明：令 = − ln + 1 ，则′ =
，则有
+1
0 = 0，′ =
若′ 0 > 0，则存在1 < 0，使得 在 1 , 0 上单调递增，
所以 1 < 0，矛盾；
若′ 0 < 0，则存在2 > 0，使得 在 0, 2 上单调递减，
导数大题中最常用的放缩大法
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
放缩法证明导数不等式
放缩法证明导数不等式在用导数证明的不等式中，有时采用适当的放缩，会使解题过程事半功倍。
下面先介绍几个不等式。
①1+≥x e x （当且仅当x=0时取等号）对①式两边同时取以e 为底的对数得到②式②x x ≤+)1ln(，()+∞-∈,1x （当且仅当x=0时取等号） ②式中用x-1替换x ，得到③式③1ln -≤x x ，()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） ③式中用x 1替换x , 得到x x x -≤11ln 即 ④xx x 1ln -≥ ， ()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） 由③④式可得 ⑤1ln 1-≤≤-x x xx ，两边等号成立的条件均为x=1 ⑤式中用x+1替换x 得到 ⑥()x x x x ≤+≤+1ln 1，两边等号成立的条件均为x=0 ①式中用x-1替换x ，得到x e x ≥-1，所以x ee x≥，即 ⑦ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号）令()x x x f ln =，则令()0ln 1'=+=x x f ，得e x 1=。
⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，()0'<x f ，()x f 单调递减；⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增，所以()x f 的最小值为e e f 11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛，即e x x 1ln -≥，所以得到⑧ex x 1ln -≥，（当且仅当ex 1=时取等号） 以上的不等式应用在在证明过程中时需要先证明，下面用几个例题说明一下例1， 求证02ln 2≤+--ex e ex x ex x证明：先证ex e x ≥令()ex e x f x -=，则()()11'-=-=-x x e e e e x f ，则()1,0∈x 时，()0'<x f ，()x f 单调递减，()+∞∈,1x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增。
导数大题放缩法题目
导数大题放缩法题目当涉及到导数的放缩法题目时，通常是要求通过放缩法来确定一个函数的导数的范围或者找到一个函数的最大值或最小值。
下面我将从不同的角度给出一些相关的问题和解答。
1. 问题，如何利用放缩法确定一个函数的导数的范围？回答，要确定一个函数的导数的范围，可以采用放缩法来进行推导。
首先，找到函数的极值点和导数不存在的点，然后根据这些点的性质来确定导数的范围。
具体步骤包括，求导，找到导函数的零点，求导函数的符号变化区间，以及考虑导数不存在的点。
通过这些步骤，可以得到导数的范围。
2. 问题，如何利用放缩法找到一个函数的最大值或最小值？回答，要找到一个函数的最大值或最小值，可以利用放缩法来进行求解。
首先，找到函数的极值点和导数不存在的点，然后根据这些点的性质来确定函数的最大值或最小值。
具体步骤包括，求导，找到导函数的零点，求导函数的符号变化区间，以及考虑导数不存在的点。
通过这些步骤，可以确定函数的最大值或最小值。
3. 问题，放缩法在求解导数范围和最值时有什么注意事项？回答：在使用放缩法求解导数范围和最值时，需要注意以下几点：对于导函数的零点，要找到所有的零点，并判断其性质（极大值点或极小值点）。
对于导函数的符号变化区间，要确定函数在这些区间内的斜率的正负情况，从而判断函数的增减性。
对于导数不存在的点，要单独考虑这些点对函数的影响，可能是函数的极值点或者不可导点。
在进行放缩时，要注意不要漏掉任何可能的情况，尤其是边界点和特殊点。
通过以上的问题和解答，我们可以初步了解到在求解导数的放缩法题目时，需要注意对函数的极值点、导数不存在的点以及导函数的符号变化区间进行分析，并综合考虑这些因素来确定导数的范围或者找到函数的最大值或最小值。
这样的综合分析能够帮助我们更全面地理解和解决这类问题。
高中数学导数放缩法
高中数学导数放缩法导数作为数学中重要的概念，是微积分中的一个基础知识。
在高中数学中，导数是一个重要的内容，学生需要掌握导数的定义、性质和计算方法。
其中，导数的放缩法是导数的一种重要应用，能够帮助我们简化复杂的导数计算，提高计算的效率。
一、导数的定义及性质回顾在学习导数的放缩法之前，我们先来回顾一下导数的定义及性质。
在数学中，函数y = f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h这个极限表示当自变量在点x处偏离x时，函数值的变化情况。
导数有一些重要的性质，比如：1.常数函数的导数为0：即对于常数k，f(x) = k的导数为f'(x) = 02.和函数的导数：(u + v)' = u' + v'3.差函数的导数：(u - v)' = u' - v'4.常数倍函数的导数：(ku)' = ku'5.积函数的导数：(uv)' = u'v + uv'6.商函数的导数：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2这些性质在导数的计算中起着非常重要的作用，能够帮助我们简化计算过程。
接下来，我们将介绍导数的放缩法，以及如何运用这一方法简化导数的计算。
二、导数的放缩法原理导数的放缩法是指根据导数的定义及性质，通过放缩函数的表达式，将复杂的导数计算化简为简单的计算。
具体来说，导数的放缩法主要有以下几种形式：1.基本放缩法：指利用导数的性质，将一个复杂函数拆分成几个简单函数的和、差、积或商，然后利用导数的性质求导，最后将得到的导数组合起来得到原函数的导数。
2.递推放缩法：指通过递推的方式，将一个复杂函数的导数化简为一个或多个简单函数的导数，然后根据导数的性质组合起来得到原函数的导数。
3.反函数放缩法：指利用反函数的性质，将一个函数的导数与其反函数的导数之间建立联系，通过求导得到原函数的导数。
八个放缩公式一览表
以下是八个放缩公式一览表：
1.等差数列的放缩公式：如果将每一项都乘以一个常数k，那么新得到的数列仍然是等差数列，且公差变为原来的k倍。
2.等比数列的放缩公式：如果将每一项都乘以一个常数k，那么新得到的数列仍然是等比数列，且公比变为原来的k倍。
3.y=c（c为常数）：这个公式表示当x取任意值时，y都等于常数c。
4.y'=0：这个公式表示函数y的导数为0，即函数y是常数函数。
5.y=x^n：这个公式表示当x取任意值时，y等于x的n次方。
6.y'=nx^(n-1)：这个公式表示函数y的导数为nx的n-1次方，即函数y是x的n次方的导数。
7.y=a^x：这个公式表示当x取任意值时，y等于a的x次方。
8.y'=a^xlna：这个公式表示函数y的导数为a的x次方的自然对数，即函数y是a的x次方的导数。
导数中的不等式放缩
导数中的不等式放缩高考数学优质专题（附经典解析）导数中不等式放缩基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1l n x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式.（2）与隐零点相关的放缩问题常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题1.已知函数()23ex f x x =+，()91g x x =-. 比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.2.已知函数()2e x f x x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()e 2e 1ln 1x x x x +--?.二、课堂练习1. 已知()e ln x f x x =-.（1）求()y f x =的导函数()y f x ￠=的零点个数；（2）求证：()2f x >.2. 已知函数()()23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+.（1）当1m 3时，求函数()g x 的极值；（2）若72a ?，证明：当()0,1x ?时，()1f x x >+.三、课后作业1. 已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x .2. 设函数()e sin x f x a x b =++. 若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值. 并证明当(0,)x ??时，()ln f x x >.3.已知函数()()()e ln x f x x a x a x =-+++，a R ?．若函数()f x 在定义域上为单调增函数．（1）求a 最大整数值；（2）证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1n n n 骣骣骣+琪琪琪++++<琪琪琪-桫桫桫．。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题典例1】已知函数$f(x)=1-\ln(x)e^x,g(x)=\frac{x}{1-bx}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明：当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
典例2】已知函数$f(x)=(x+b)(e^x-a)$，在$(-1,f(-1))$处的切线方程为$(e-1)x+ey+e-1=0$。
求$a,b$的值，并证明：若$m\leq\frac{f(x)}{x^2+x}$，则$f(x)\geq mx^2+x$。
典例3】已知函数$f(x)=x\ln x+ax+1$，$a\in\mathbb{R}$。
1）当$x>0$时，若关于$x$的不等式$f(x)\geq k$恒成立，求$a$的取值范围；2）当$n\in\mathbb{N^*}$时，证明：$\frac{n^3}{n+1}<\ln2^2+\ln2+\frac{1}{n+1}<\frac{n}{n+1}$。
典例4】已知函数$f(x)=\frac{2\ln x+2}{e^x}$。
1）求函数$f(x)$的单调区间；2）证明：当$x>0$时，$f'(x)\ln(x+1)<\frac{2}{x+2}$。
典例5】已知函数$f(x)=e^x-x^2$。
1）求曲线$f(x)$在$x=1$处的切线方程；2）证明：当$x>0$时，$e^x+(2-e)x-1\geq\ln x+1$。
典例7】已知函数$f(x)=x^2+ax+b\ln x$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x$。
1）求实数$a,b$的值；2）设$F(x)=f(x)-x^2+mx(m\in\mathbb{R})$，$x_1,x_2$$(x_1<x_2)$分别是函数$F(x)$的两个零点，求证：$F'(x)$在$(x_1,x_2)$内至少有一个零点。