中考数学平行四边形-经典压轴题及答案解析
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．
例如：张老师给小聪提出这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？
小聪的计算思路是：
根据题意得：S△ABC=1
2
BC?AD=
1
2
AB?CE．
从而得2AD=CE，∴
1
2 AD CE
请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：
（1）（类比探究）
如图2，在?ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，
求证：BO平分角AOC．
（2）（探究延伸）
如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA?PB=2AB．
（3）（迁移应用）
如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，
AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求
△DEM与△CEN的周长之和．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34
【解析】
分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于
G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出
∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出
AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．
同理：EM+EN=AB
详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABF=S?ABCD，S△BCE=S?ABCD，∴S△ABF=S△BCE，
过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，
∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，
在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH，
∴OB平分∠AOC，
（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC，
∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，
在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，
延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，
在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB，
∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB，
∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，
∴AB=AP×PB，即：PA?PB=2AB；
（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B，
∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，
设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，
根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，
根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，
∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，
连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），
∴DE+CE=AF=5，在Rt△ADE中，点M是AE的中点，∴AE=2DM=2EM，
同理：BE=2CN=2EN，∵AB=AE+BE，∴2DM+2CN=AB，∴DM+CN=AB，
同理：EM+EN=AB ∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）
+[（DM+CN）+（EM+EN）]
=（DE+CN）+AB=5+．
点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．
2．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．
（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）
（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．
①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．
③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）
【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF
﹣AF=2OE，
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得
EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
③同②的方法可证．
试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，
∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，
∵OE⊥AB，
∴OE=1
2 AB，
∴AB=2OE，
（2）①AF+BF=2OE
证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H
∴∠BHE=∠BHO=90°
∵OE⊥MN，BF⊥MN
∴∠BFE=∠OEF=90°
∴四边形EFBH为矩形
∴BF=EH，EF=BH
∵四边形ABCD为正方形
∴OA=OB，∠AOB=90°
∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°
∴∠AOE=∠OBH
∴△AEO≌△OHB（AAS）
∴AE=OH，OE=BH
∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．
②AF﹣BF=2OE
证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H
∴∠EHB=90°
∵OE⊥MN，BF⊥MN
∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°
∴四边形HBFE为矩形
∴BF=HE，EF=BH
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠AOB=90°
∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH
∴∠AOE=∠OBH
∴△AOE≌△OBH（AAS）
∴AE=OH，OE=BH，
∴AF﹣BF
=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE
③BF﹣AF=2OE，
如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，
∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，
∴∠AOE+∠AOG=90°．
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠BOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG．
∵OG⊥BF，OE⊥AE，
∴∠AEO=∠BGO=90°．
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴OE=OG，AE=BG，
∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，
∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，
∴BF﹣AF=2OE．
3．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）存在，理由见解析;
（3）不成立．理由如下见解析.
【解析】
试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；
（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；
（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．
试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．
（2）存在，
理由：若∠BMC=90°，
则∠AMB+∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC ，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM ∽△DMC ， ∴AM AB CD DM
=， 设AM=x ，则
x a a b x
=-， 整理得：x 2﹣bx+a 2=0，
∵b ＞2a ，a ＞0，b ＞0，
∴△=b 2﹣4a 2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，
∴当b ＞2a 时，存在∠BMC=90°，
（3）不成立．
理由：若∠BMC=90°，
由（2）可知x 2﹣bx+a 2=0，
∵b ＜2a ，a ＞0，b ＞0，
∴△=b 2﹣4a 2＜0，
∴方程没有实数根，
∴当b ＜2a 时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．
考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质
4．问题发现：
（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．
问题探究：
（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．
问题解决：
（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点
(10P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，35；（3）(0,0)E ，(5,5)F ．
【解析】
试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．
（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．
（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．
试题解析：（1）作图如下：
（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '， ∴设:6PO y kx =+'，
67{43k b k b +=+=，2{5
k b ==-， ∴25y x =-，
交x 轴于5,02N ?? ???
， 交BC 于11,62M ??
???
， 2211563522MN ??=+-= ???
（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长． ∵(1052,1052)P --在直线y x =上，
∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，
设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，
82{28k b k +=+=，1{10
k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，
联立10{y x y x =-+=，得55x y =??=?
， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．
5．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，BD=BC ，点E 为CD 的中点，射线BE 交AD 的延长线于点F ，连接CF ．
（1）求证：四边形BCFD 是菱形；
（2）若AD=1，BC=2，求BF 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】
（1）∵AF ∥BC ，∴∠DCB =∠CDF ，∠FBC =∠BFD ，
∵点E 为CD 的中点，∴DE =EC ，
在△BCE与△FDE中，
FBC BFD
DCB CDF
DE EC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，
又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；
（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，
在Rt△BAD中，AB=223
BD AD
-=，
∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF=22
AB AF
+=23．
6．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.
【解析】
试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知
△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出
CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出
EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．
试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF ，BE=BM，NF=DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF ，MG=BM=DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2；
（3）EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2
考点：四边形综合题
7．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．
求证：AF=BF+EF．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代换可得证.
【详解】
∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°
∵DE⊥AG，
∴∠DEG=∠AED=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED．
在△ABF与△DAE中，
AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠??∠=∠??=?
， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．
∴BF=AE ．
∵AF=AE+EF ，
∴AF=BF+EF ．
点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
8．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）连接EF ，当∠
D= °时，四边形FOBE 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30.
【解析】
【分析】
（1）由等角的转换证明出OCA OCE ??≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ?为等边三角形，而得出60BOE ∠=?，根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，
∴OE CD ⊥，
∴90CEO ∠=?，
又∵OC BE ，
∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA
∵OE=OB ，
∴OEB OBE ∠=∠，
∴COE COA ∠=∠，
又∵OC=OC ，OA=OE ，
∴OCA OCE SAS ??≌（）
，
∴90CAO CEO ∠=∠=?，
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴AC 为⊙O 的切线；
（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，
∴OF=OB=BF=EF ，
∴OE=OB=BE ，
∴OBE ?为等边三角形，
∴60BOE ∠=?，
而OE CD ⊥，
∴30D ∠=?．
故答案为30．
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
9．已知：在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE ＝2．
（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；
（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF ＝a 时，求△GFC 的面积（用a 表示）； （3）在（2）的条件下，△GFC 的面积能否等于2？请说明理由．
【答案】（1）10；（2）12－a ；（3）不能
【解析】
解：（1）过点G 作GM ⊥BC 于M ．在正方形EFGH 中，
∠HEF ＝90°，EH ＝EF ，
∴∠AEH ＋∠BEF ＝90°．
∵∠AEH ＋∠AHE ＝90°，
∴∠AHE ＝∠BEF ．
又∵∠A ＝∠B ＝90°，
∴△AHE ≌△BEF ．
同理可证△MFG ≌△BEF ．
∴GM ＝BF ＝AE ＝2．∴FC ＝BC －BF ＝10． ∴．
（2）过点G 作GM ⊥BC 交BC 的延长线于M ，连接HF ．
∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．
∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．
∴∠AHE＝∠MFG．
又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，
∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．
∴．
（3）△GFC的面积不能等于2．
说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．
此时，在△BEF中，
．
在△AHE中，
，
∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．
说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，
∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．
又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，
∴S△GFC的最小值为．
又∵，∴△GFC的面积不能等于2．
10．如图，点E是正方形ABCD的边A B上一点，连结CE，过顶点C作CF⊥CE，交AD延长线于F．求证：BE=DF.
【答案】证明见解析.
【解析】
分析：根据正方形的性质，证出BC=CD，∠B=∠CDF，∠BCD=90°，再由垂直的性质得到∠BCE=∠DCF，然后根据“ASA”证明△BCE≌△BCE即可得到BE=DF
详解：证明：∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
又∵∠BCG=90°，
∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD
∴∠BCE=∠DCF，
在△BCE与△DCF中，
∵∠BCE=∠DCF，BC=CD，∠CDF=∠EBC，
∴△BCE≌△BCE（ASA），
∴BE=DF.
点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．