2020-2021学年度第一学期福建福州市九年级期末质量抽测数学试题及参考答案
2020-2021学年度第一学期福州市九年级期末质量抽测语文试题(含答案)
（在此卷上答题无效）2020-2021学年度第一学期福州市九年级期末质量抽测语文试题（本卷共6页，三大题，23小题；满分150分；完卷时间：120分钟）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、积累与运用(20分）1. 默写(10分）(I) 居庙堂之高则忧其民，__________________。
（范仲淹《岳阳楼记》）(2) 沉舟侧畔于帆过，（刘禹锡《酬乐天扬州初逄席上见赠》）(3) 人有悲欢离合，__________________，此事古难全。
（苏轼《水调歌头》）(4) 宫中府中，俱为一体，__________________，不宜异同。
（诸葛亮《出师表》）(5) __________________，八年风味徒思浙。
（秋瑾《满江红》）(6)山河破碎风飘絮，__________________。
（文天祥《过零丁洋》）(7)岑参的《白雪歌送武判官归京》一诗中，与孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流意境相似的诗句是：__________________,__________________。
(8)欧阳修《醉翁亭记》中的"__________________, __________________。
"表现了作者寄情山水的情感。
2. 下列句子没有语病的一项是(3分）A. 善待自然就是善待自己，自然生态环境保护得好决定着灾害发生时损失的大小。
(中这篇报告列举了大量事实，控诉了人类破坏自然、滥杀动物的意识。
C（随着疫情得到有效控制，使国庆、中秋节双节国内的旅游业逐渐恢复正常。
D．公园里绿树成荫、鲜花绽放。
游客身处其中，欣赏着大自然的鸟语花香，感觉特别惬意。
3. 阅读下面的文字，按要求作答。
(7分）对父母的尊爱，对伴侣的情爱，对子女的疼爱，对朋友的关爱，对万物的慈爱，对生命的珍爱……对丑恶的仇恨，对污浊的厌烦，对虚伪的憎恶，对卑劣的甲（A.歧视蔑视）……这些复杂对立的情感，林林总总，会将这间小屋挤得满满的，乙 (A. 刻不容缓 B.间不容发）。
2021-2022学年第二学期福州市九年级质量抽测数学答案及评分标准(1)
2021－2022学年第二学期福州市九年级质量抽测数学答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂）1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．B 10．B二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答） 11．3- 12．0.5 13．5π 14．1-15．2(1)3y x =-+16．①②③三、解答题（共9小题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答） 17．（本小题满分8分）解：由不等式①，得513x x ->+， ·················································································· 1分44x >， ······················································································ 2分 1x >． ······················································································ 3分 由不等式②，得3(3)1x x --…， ················································································ 4分391x x --…， ················································································· 5分 4x …．····················································································· 6分 ∴原不等式组的解集是14x <…．··············································································· 8分18．（本小题满分8分）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =， ····································································································· 2分90D C ∠=∠=︒． ······························································································ 4分 在△ADF 和△BCE 中， AD BC D C DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ADF ≌△BCE （SAS ）， ··················································································· 6分 ∴DAF CBE ∠=∠． ····························································································· 8分19．（本小题满分8分）解：原式2(1)23()223(2)x x x x x -+=-÷+++ ···················································································· 3分 23(2)12(1)x x x x +-=⋅+- ································································································ 5分 31x =-． ········································································································· 6分当1x时，原式= ················································································ 7分= ············································································· 8分A B C D F E20．（本小题满分8分）解：设每个玩具A 的价格是a 元，每个摆件B 的价格是b 元． ··············································· 1分根据题意，列方程组2341032420a b a b +=⎧⎨+=⎩，． ············································································ 5分解这个方程组，得8878a b =⎧⎨=⎩，． ························································································ 7分答：每个玩具A 的价格是88元，每个摆件B 的价格是78元． ········································· 8分21．（本小题满分8分）证明：连接OB ． ·········································································································· 1分∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴CAD ACB ∠=∠． ····························································································· 2分 ∵90BAD ACB ∠+∠=︒，BAD BAC CAD ∠=∠+∠，∴290BAC ACB ∠+∠=︒． ················································· 3分∵O 是BC 垂直平分线与AC 的交点， ∴OB OC =， ·································································· 4分 ∴ACB OBC ∠=∠， ∴2AOB ACB OBC ACB ∠=∠+∠=∠， ·································· 5分∴90BAC AOB ∠+∠=︒， ∴90OBA ∠=︒， ······························································ 6分 即OB ⊥AB ．∵OC 是⊙O 的半径， ∴点B 在⊙O 上， ································································································ 7分 ∴AB 为⊙O 的切线． ···························································································· 8分22．（本小题满分10分）解法一：（1）······························································ 3分如图所示，点E 即为所求． ··········································································· 4分 （2）证明：记AB 垂直平分线与AB 的交点为G ，连接DG 交BC 于点H ，连接CG ，∴G 是AB 的中点．∵AB 是等腰三角形ABE 的底， ∴90EGB ABD ∠=︒=∠， ∴DB ∥EG ． ····················································································· 5分∵90ACB ∠=︒，∴12CG AB BG ==． ·········································································· 6分 ∵BC 是等腰三角形BCD 的底， ∴DB DC =，∴点D ，G 在线段BC 的垂直平分线上，即DG 垂直平分BC ， ········································································· 7分 ∴90DHB ∠=︒． ∵l ⊥BC ，∴90CBE DHB ∠=︒=∠，ABCDElA B CDE FG lH∴DG ∥BE ， ····················································································· 8分 ∴四边形BEGD 是平行四边形， ··························································· 9分 ∴BG ，DE 互相平分， 即F 是DE 的中点． ·········································································· 10分解法二：（1）······························································ 3分如图所示，点E 即为所求． ··········································································· 4分 （2）证法一：过点E 作DB 的垂线，交DB 的延长线于点P ，∴90P ∠=︒．∵90ABD P ∠=︒=∠， ∴AB ∥PE ， ∴ABE BEP ∠=∠．∵AB 是等腰三角形ABE 的底，BC 是等腰三角形BCD 的底，∴EA EB =，DB DC =，∴ABE BAE ∠=∠，CBD BCD ∠=∠． ∵l ⊥BC ，∴90CBE ABD ∠=︒=∠，∴CBE ABC ABD ABC ∠-∠=∠-∠， 即CBD ABE ∠=∠， ········································································· 5分 ∴BCD BAE ∠=∠， ∴△BCD ∽△BAE ， ∴BC BD BE AB=．················································································ 6分 ∵90ACB ∠=︒，∴180ACB CBE ∠+∠=︒， ∴AC ∥BE ，∴CAB ABE ∠=∠， ∴CAB BEP ∠=∠． ········································································· 7分 在Rt △BEP 中，sin BP BEP BE∠=．在Rt △ABC 中，sin BC BD CAB AB BE∠==．∴BD BP BE BE =， ················································································ 8分 ∴BD BP =． ················································································· 9分 ∵AB ∥PE ， ∴DF BD EF BP =， ∴DF EF =，即F 是DE 的中点． ······································································· 10分证法二：∵AB 是等腰三角形ABE 的底，BC 是等腰三角形BCD 的底，∴EA EB =，DB DC =，∴ABE BAE ∠=∠，CBD BCD ∠=∠． ∵l ⊥BC ，∴90CBE ∠=︒． ∵90ABD ∠=︒，∴ABD ABC CBE ABC ∠-∠=∠-∠， 即=ABE CBD ∠∠， ·········································································· 5分ABCDEFlA B C D E F P l∴=BAE BCD ∠∠， ∴△BAE ∽△BCD ，设BD CD m ==，BC n =，相似比为k ， ∴BE AE km ==，AB kn =． ···························································· 6分 过点E 作DB 的垂线，交DB 的延长线于点P ，∴90P ABD ∠=︒=∠，∴AB ∥PE ，∴ABE BEP ∠=∠． ∵90ACB ∠=︒， ∴180ACB CBE ∠+∠=︒， ∴AC ∥BE ，∴CAB ABE ∠=∠，∴CAB BEP ∠=∠． ········································································· 7分 ∵90ACB P ∠=∠=︒， ∴△ABC ∽△EBP ， ∴BC AB EB BP =， ················································································ 8分 即kn km n BP=， ∴BP m BD ==．············································································ 9分 ∵AB ∥PE ，∴1DF BD EF BP ==， ∴DF EF =，即F 是DE 的中点． ······································································· 10分23．（本小题满分10分）解：（1）根据题意，得1006912321a =----=． ······························································ 2分∵共有100个数据，且每个数据被抽取到的可能性相等，其中满足7≤x ＜8的有21个， · 3分 ∴折算分数满足7≤x ＜8的概率是21100． ······························································· 5分（2）根据题意，得合格率为213123100%75%100++⨯=． ·················································· 6分∵75%70%>， ∴合格率符合要求．解法一：根据题意，在910x 剟中，有1人必为10分，∴合格学生的最小平均折算分数7218319(231)10213123⨯+⨯+⨯-+=++ ····················· 8分60320187525==>， ······································· 9分 ∴年级综合实践能力可以认定为优秀． ····················································· 10分解法二：根据题意，合格学生的最小平均折算分数721831923213123⨯+⨯+⨯>++ ····················· 8分60260087575=>=， ······························ 9分 ∴年级综合实践能力可以认定为优秀． ····················································· 10分【注：若学生用以下方法说明，不扣分】解：∵7≤x ＜8, 8≤x ＜9，9≤x ≤10的组中值分别为7.5，8.5和9.5，∴合格学生的平均折算分数7.5218.5319.523213123⨯+⨯+⨯=++1279150=12008150>=， ∴年级综合实践能力可以认定为优秀．A B C D E F P l。
2020至2021学年度上学期期末质量检测九年级数学试卷(有答案)
九年级数学试题参考答案及评分说明
说明：本评分说明一般只给出一种解法，对其他解法，只要推理严谨，运算合理，结果正确，均给满分；对部分正确的，参照此评分说明，酌情给分.
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．C2．B3．B4．D5．D6．C7．A8．C9．C10．A
20.（7分）（1）证明：由题意得，△ABC≌△DBE，且∠ABD=∠CBE＝60°，
∴AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形，…………………………………1分
∴∠DAB＝60°，………………………………………2分
∴∠CBE＝∠DAB，………………………………………3分
∴BC∥AD．………………………………………4分
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．………………………………………………3分
（2）由题意得： ，…4分
由韦达定理可知： ，……………5分
故有： ，
整理得： ，………………………………………6分
解得： ，…………………………………………7分
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
解得：x=11或61（舍去），…………………………………5分
∴x=11．
即：超市将大蒜销售单价定为11元/千克时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
………………………………………6分
（3）设每天的销售利润为W（元），
则：W=（x－8）y
=（x－8）（－2x＋128）
=－2（x－8）（x－64），…………………………7分
∴ ，
∴ ．…………………………………………8分
23.（9分）（1）证明：如图，连接OD，
精品解析：福建省福州市2020-2021学年九年级(上)期末质量抽测物理试题(解析版)
2020-2021学年度第一学期福州市九年级期末质量抽测物理试题一、选择题1. 少量的胡椒粉和粗盐不小心混在一起了怎么办？教你一招：将塑料汤勺在毛衣上摩擦后，靠近胡椒粉和盐的混合物，就把它们分开，这是因为塑料汤勺摩擦后（）A. 带电，会吸引轻小的胡椒粉B. 变热，可以将粗盐熔化C. 带电，会排斥粗盐和胡椒粉D. 变热，会排斥轻小的胡椒粉【答案】A【解析】【分析】【详解】塑料汤勺在毛衣上摩擦后，塑料勺会带电，由带电体吸引轻小物体的特点可知，塑料勺会吸引轻小的胡椒粉，从而将它们分开，故A符合题意，BCD不符合题意。
故选A。
2. 有一台用电器正常工作时的电功率接近4W，它可能是（）A. 微波炉B. 电视机C. 手持小风扇D. 电饭煲【答案】C【解析】【分析】【详解】A．微波炉的电功率大约800W左右，不符合题意；B．电视机的功率一般在150W左右，不符合题意；C．手持小风扇功率比较小，大约在4W左右，符合题意；D．电饭煲的功率较接近800W，不符合题意。
故选C。
3. 下列实例中，符合安全用电要求的是（）A. 使用绝缘层破损的电线B. 洗衣机的金属外壳安装接地线C. 用湿抹布擦拭正在工作的台灯D. 未断开电源的情况下更换灯泡【答案】B【解析】【分析】【详解】A．电线绝缘层破损后要及时更换，防止引发触电事故，故A不符合题意；B．金属外壳的用电器，外壳一定要接地，防止外壳漏电，发生触电事故，故B符合题意；C．用湿布擦拭正在发光的电灯，湿布导电容易使人触电，故C不符合题意；D．更换灯泡时容易碰到金属部分，容易发生触电事故，因此切断电源可以保证金属部分不带电，故D不符合题意。
故选B。
4. 如图所示事例在改变物体内能的方式上，与其他三项不同的是（）A. 钻木取火B. 滑滑梯，臀部发热C. 烧水时，水温升高D. 压缩空气，硝化棉燃烧【答案】C【解析】【分析】【详解】钻木取火、滑滑梯臀部发热、压缩空气时硝化棉燃烧都是克服摩擦做功使物体的内能增加的；烧水时，水温升高是通过热传递使物体的内能增加的。
2020-2021福州一检真题卷-英语真题(含答案解析)
2020-2021学年度第一学期福州市九年级期末质量检测英语试题听力材料第一节听句子听下面五个句子，从每小题所给的A、B、C 三幅图中选出与句子内容相符的选项（每个句子读两遍）1. I have just bought a notebook.2. In my hometown, machines are widely used to harvest.3. According to a survey, Fuzhou has a population of about 7,570,000.4. Tom keeps in touch with me by writing letters.5. Jack is working on the math problem on his own.第二节听对话听下面七段对话，从每小题所给的A、B、C 三个选项中选出正确答案。
（每段对话读两遍）听第1 段对话，回答第6 小题。
W: The first battery was invented by Thomas Edison from America, right?M: No. It was invented by Alessandro Volta from Italy.听第2 段对话，回答第7 小题。
M: Cathy, where is my cake?W: It was eaten by Ted, your little brother.M: He already ate his own. How can he eat so much?听第3 段对话，回答第8 小题。
W: Do you know Mr. White is flying to Shanghai tomorrow?M: Yes. I’ll drive him to the airport and s ee him off.听第4 段对话，回答第9 小题。
福建省厦门市2020-2021学年九年级上学期期末质量检测数学试题
2020—2021学年(上)厦门市初三年质量检测数学一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．有一组数据：1，2，3，3，4．这组数据的众数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42．下列方程中有两个相等实数根的是（ ） A.()()110-+=x xB.()()110--=x xC.()214-=xD.()10-=x x3．不等式组21,1x x ≥-⎧⎨>-⎩的解集是（ ）A.1>-xB.12>-xC.12≥-xD.112-<≤-x 4．在图1所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE △绕点A 顺时针旋转得到ABF △，20∠=︒FAB ．旋转角的度数是（ ）A.110°B.90°C.70°D.20°5．一个扇形的圆心角是120°，半径为3，则这个扇形的面积为（ ） A.πB.2πC.3πD.6π6．为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出图2所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有（ ） 甲 红球白球乙 红球 白球 黑球 红球 白球 黑球A.1种B. 2种C.3种D.4种7．如图3，在正六边形ABCDEF 中，连接BF ，BE ，则关于ABF △外心的位置，下列说法正确的是（ ）A.在ABF △内B.在BFE △内C.在线段BF 上D.在线段BE 上8．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了m 个人，则第二轮被传染上流感的人数是（ ） A.1+mB.()21+mC.()1+m mD.2m9．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图4中的半圆弧形铁丝()MN 向右水平拉直（保持M 端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝N 端的位置最接近的是（ ）A.点AB.点BC.点CD.点D10．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图5所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）A.1个B. 2个C.3个D.4个二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是1的概率是______． 12．若3=x 是方程230-+=x bx 的一个根，则b 的值为______． 13．抛物线()2312=-+y x 的对称轴是______． 14．如图6，AB 是O 的直径，点C 在AB 上，点D 在AB 上，=AC AD ，⊥OE CD 于E ．若84∠=︒COD ，则∠EOD 的度数是______．15．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，B ()，=OA AB ，30∠=︒AOB ，把OAB △绕点B 顺时针旋转60°得到MPB △，点O ，A 的对应点分别为M (),a b ，P (),p q ，则-b q 的值为______． 16．已知抛物线265=-+-y x x 的顶点为P ，对称轴l 与x 轴交于点A ，N 是PA 的中点．M (),m n 在抛物线上，M 关于直线l 的对称点为B ，M 关于点N 的对称点为C ．当13≤≤m 时，线段BC 的长随m 的增大而发生的变化是：______．（“变化”是指增减情况及相应m 的取值范围） 三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．解方程2250--=x x ．18．如图7，在ABC △中，=AB AC ，以AB 为直径作O ，过点O 作//OD BC 交AC 于D ，45∠=︒ODA ．求证：AC 是O 的切线．19．先化简，再求值：221141⎛⎫++-÷- ⎪⎝⎭x x x x x ，其中12=x ． 20．2018年某贫困村人均纯收入为3000元，对该村实施精准扶贫后，2020年该村人均纯收入达到5070元，顺利实现脱贫．这两年该村人均纯收入的年平均增长率是多少？21．某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为15W 的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了30W 的节能灯．每盒中混入30W 的节能灯数见表一：表一（1）平均每盒混入几个30W 的节能灯？（2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件A 为：该盒中没有混入30W 的节能灯．求事件A 的概率． 22． 如图8，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，其中>BD AC ．把AOD △绕点O 顺时针旋转得到EOF △（点A 的对应点为E ），旋转角为α（α为锐角）．连接DF ，若⊥EF OD ．（1）求证：∠=∠EFD CDF ；（2）当60α=︒时，判断点F 与直线BC 的位置关系，并说明理由．23．已知抛物线()()2=--y x x b ，其中2>b ，该抛物线与y 轴交于点A ．（1）若点1,02⎛⎫⎪⎝⎭b 在该抛物线上，求b 的值； （2）过点A 作平行于x 轴的直线l ，记抛物线在直线l 与x 轴之间的部分（含端点）为图象L ．点M ，N 在直线l 上，点P ，Q 在图象L 上，且P 在抛物线对称轴的左侧．设点P 的横坐标为m ，是否存在以M ，P ，Q ，N 为顶点的四边形是边长为112m +的正方形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100m （如图9所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮5h 后达到最高潮位，此最高潮位维持1h ，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t 变化的情况大致如表二所示．（在涨潮的5h 内，该变化关系近似于一次函数）表二（1）求桥下水位上涨的高度（单位：m ）关于涨潮时间t （06≤≤t ，单位：h ）的函数解析式； （2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表三所示：表三现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15m ，宽20m ，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．25．在ABC △中，∠B=90°，D 是ABC △外接圆上的一点，且点D 是∠B 所对的弧的中点． （1）尺规作图：在图10中作出点D ；（要求不写作法，保留作图痕迹）（2）如图11，连接BD ，CD ，过点B 的直线交边AC 于点M ，交该外接圆于点E ，交CD 的延长线于点P ，BA ，DE 的延长线交于点Q ，=DP DQ ．①若=AE BC ，4=AB ，3=BC ，求BE 的长；②若()=2+DP AB BC ，求∠PDQ 的度数．图10图112020——2021学年（上）厦门市初三年质量检测数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．16． 12．4．13．1=x ．14．21． 15．1．16．当13≤<m 时，BC 的长随m 的增大而减小；当33<≤m 时，BC 的长随m 的增大而增大．三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17．解法一：1=a ，2=-b ，5=-c ． 因为24240∆=-=>b ac ． 所以方程有两个不相等的实数根：2-=b x a =1=即11=x 21=x解法二：由原方程得2216-+=x x ．()216-=x ．可得1-=x11=x 21=x18．证明：//OD BC ，∴45∠=∠=︒C ODA ．=AB AC ，∴45∠=∠=︒ABC C ．∴18090∠=︒-∠-∠=︒BAC ABC C ． ∴⊥AB AC ．AB 是O 的直径， ∴AC 是O 的切线．19．解：221141⎛⎫++-÷- ⎪⎝⎭x x x x x()21421-+-+=÷x x x x x x22141+-=÷x x x x()()212121+=⋅-+x xx x x121=-x当12=x时，原式114212===⎫-⎪⎭ 20．解：设这两年该村人均纯收入的年平均增长率为x ，依题意得：()230015070+=x ．解方程，得：1 2.3=-x （不合题意，舍去），20.3x =． 答：这两年该村人均纯收入的年平均增长率为0.3． 21．解：（1）01412529314150⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 1=（2）()14=50P A 7=25答：（1）平均每盒混入30W 的节能灯的个数为1；（2）事件A 的概率为725． 22．（1）解法一 证明：AOD △绕点O 顺时针旋转得到EOF △，∴AOD EOF △△≌，FO DO =．∴=ADO EFO ∠∠，=ODF OFD ∠∠．四边形ABCD 是菱形，∴DA DC =，AC BD ⊥．∴=ADO CDO ∠∠， ∴=EFO CDO ∠∠，∴ODF CDO OFD EFO ∠-∠=∠-∠，∴CDF EFD ∠=∠．解法二：证明：连接ED ，CF ．AOD △绕点O 顺时针旋转得到EOF △，∴AOD EOF △△≌，AO EO =，FO DO =，=AOD EOF ∠∠． ∴EF AD =．四边形ABCD 是菱形，∴CD AD =，AO CO =，AC BD ⊥． ∴CD EF =，EO CO =，=AOD COD ∠∠． ∴EOF COD ∠=∠．∴=EOF FOD COD FOD ∠-∠∠-∠． ∴=EOD COF ∠∠． ∴EOD COF △△≌．∴CF ED =．FD DF =， ∴CFD EDF △△≌．∴CDF EFD ∠=∠．（2）解法一解：当60α=︒时，点F 在直线BC 上，理由如下： 连接CF ．由（1）得，FO DO =， 又60FOD α∠==︒，∴60OFD ODF ∠=∠=︒，OD FD =．FOD △是等边三角形，EF OD ⊥， ∴1302EFD OFD ∠=∠=︒． ∴30CDF EFD ∠=∠=︒．∴30ODC ODF CDF ∠=∠-∠=︒．∴ODC CDF ∠=∠．CD CD =，∴ODC FDC △△≌．∴OCD FCD ∠=∠．四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BC DC =．∴90COD ∠=︒，BCO DCO ∠=∠．∴903060OCD ∠=︒-︒=︒．∴60FCD ∠=︒，60BCO ∠=︒．∴180BCF OCB OCD FCD ∠=∠+∠+∠=︒．∴点F 在直线BC 上．解法二：当60α=︒时，点F 在直线BC 上，理由如下：由（1）得，FO DO =． 又60FOD α∠==︒，∴60ODF ∠=︒，OD FD =．FOD △是等边三角形，EF OD ⊥，∴EF 平分OD ．∴EF 垂直平分OD ．∴EO ED =．由（1）得，EOD COF △△≌．∴EO CO =，ED CF =．∴CO OF =．∴ODC FDC △△≌．∴OCD FDC ∠=∠，DOC DFC ∠=∠．四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BC DC =．∴90DOC ∠=︒，OCB OCD ∠=∠．∴90DFC ∠=︒．∴在四边形OCFD 中，36029060120OCF ∠=︒-⨯︒-︒=︒．∴60OCD FCD ∠=∠=︒．∴60OCB ∠=︒．∴180BCF OCB OCD FDC ∠=∠+∠+∠=︒．∴点F 在直线BC 上．23．（1）解：把点1,02b ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2y x x b =--，得112022b b b ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得10b =，24b =．因为2b >，所以4b =．（2）解法一：解：当0x =时，()()0202y b b =--=．所以点A 坐标为()0,2b ．在正方形PQNM 中，////PQ MN x 轴，////PM QN y 轴．可设点M 坐标为(),2m b ．又因为正方形PQNM 边长为112m +，即112MP PQ m ==+， 所以点P 的坐标为1,212m b m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且02m ≤≤， 112Q x m m =++． 因为抛物线的对称轴为22b x +=， 所以2Q x b m =+-．所以1212b m m m +-=++． 所以512b m =-． 所以点P 的坐标为9,32m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭-． 因为点P 在抛物线上，把9,32m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭-代入()()2y x x b =--，得 ()5921322m m m m ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭． 解得123m =，21m =-． 因为02m ≤≤，所以123m =． 当23m =时，55221122233b m =-=⨯-=<． 所以不存在边长为112m +的正方形PQNM ． 解法二：解：当0x =时，()()0202y b b =--=，所以点A 坐标为()0,2b ．在正方形PQNM 中，////PQ MN x 轴，////PM QN y 轴．可设点M 坐标为(),2m b ．又因为正方形PQNM 边长为112m +，即112MP PQ m ==+， 所以点P 的坐标为1,212m b m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且02m ≤≤，112Q x m m =++． 因为抛物线的对称轴为22b x +=， 所以2Q x b m =+-． 所以1212b m m m +-=++． 所以2255m b =+． 所以点P 的坐标为2296,5555b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 因为点P 在抛物线上，把点P 的坐标代入()()2y x x b =--，得2222962555555b b b b ⎛⎫⎛⎫+-+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 解得1223b =<，2722b =-<． 所以不存在边长为112m +的正方形PQNM ．24．（1）解：当015≤≤时，由题可设桥下水位上涨的高度h 关于涨潮时间t 的函数解析式为h mt n =+． 当1t =时，45h =；当2t =，85h =．可得：45825m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：450m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，当05t ≤≤时，45h t =；当56t <≤时，4h =． （2）解法一：解：以抛物线的对称轴为y 轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为x 轴建立直角坐标系． 设抛物线的解析式为：2y ax k =+()0a <． 由（1）可得：当0t =时，0h =，此时桥下水面宽为100；当45t =时，1h =，此时桥下水面宽为 所以抛物线过点()50,0，()． 可得：2500024001a k a k +=⎧⎨+=⎩， 解得：110025a k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以2125100y x =-+ ()5050x -≤≤． 当10x =时，24y =．在最高潮位时，4151924+=<．答：该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过．解法二：解：以抛物线的对称轴为y 轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为x 轴建立直角坐标系． 设抛物线的解析式为：2y ax k =+()0a <． 由（1）可得：当0t =时，0h =，此时桥下水面宽为100；当54t =时，h=1，此时桥下水面宽为 所以抛物线过点()50,0，()． 可得：2500024001a k a k +=⎧⎨+=⎩， 解得：110025a k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以2125100y x =-+ ()5050x -≤≤． 在最高潮位时，当41519y =+=时，x =．而20>．答：该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过．（本题还可以有其他的建立平面直角坐标系的方法）25．（1）解：如图点D 即为所求．解法一：作B ∠的平分线．解法二：作弦AC 的垂直平分线．（2）①解法一：解：连接AE ．AE BC =，∴ABE BAC ∠=∠．EC EC =，∴EAC EBC ∠=∠∴EAC BAC EBC ABE∠+∠=∠+∠即90EAB ABC ∠=∠=︒∴BE ，AC 都为直径在Rt ABC △中，∴5AC =．∴5BE =．解法二： 解：AE BC =，∴AE AB BC AB +=+即BAE ABC =∴BE AC =．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，∴5AC =．∴5BE =．解法三：解：连接AE ．AE BC =，∴ABE BAC ∠=∠．AB AB =，∴AEB ACB ∠=∠， 又AB 为公共边，∴ABE BAC △△≌．∴90EAB ABC ∠=∠=︒． 又AE BC =，∴3AE BC ==．在Rt ABE △中，∴25BE ==．∴5BE =．②解法一：解：连接AD ．AD DC =，∴AD DC =，45ABD DBC ∠=∠=︒．分别过点A ，C 作AH BD ⊥于H ，CR BD ⊥于R ，在Rt ABE △中，90AHB ∠=︒，∴45ABH BAH ∠=∠=︒，222BH AH BD +=．∴2BH AH AB ==．同理可得2BR BC =． 90ABC ∠=︒，∴AC 为直径．∴90ADC ∠=︒．∴90ADH DCR ∠+∠=︒． 又在Rt ADH △中，90ADH HAD ∠+∠=︒，∴HAD RDC ∠=∠．∴ADH DCR △△≌．∴AH DR =．∴()2AB BC AH BR DR BR BD +=+=+=．)2PD AB BC =+，且DP DQ =，∴DP BD =．∴P PBD ∠=∠．∴2BDC P ∠=∠．由（1）得，BD 为直径． 又AC 为直径，∴点M 为圆心．∴MA MB =．∴MAB ABM ∠=∠．BC BC =，∴MAB BDC ∠=∠．设P α∠=，则2ABM α∠=．45ABM PBD ABD ∠+∠=∠=︒．∴245αα+=︒．∴解得15α=︒．∴30BDC ∠=︒．DP DQ =．∴DB DQ =．∴45Q QBD ∠=∠=︒．∴90BDQ ∠=︒．∴180180903060PDQ BDQ BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．解法二：解：连接AD ．90ABC ∠=︒，∴AC 为直径．∴90ADC ∠=︒．D 是AC 中点，∴AD DC =．∴AD DC =，45ABD DBC ∠=∠=︒．∴45ACD CAD ∠=∠=︒．把ADB △绕点D 逆时针旋转90°，则点A 与点C 重合，B 对应点为点F ，则有BAD DCF ∠=∠，90BDF ∠=︒，FC AB =．四边形ABCD 为ABC △外接圆的内接四边形，∴180BAD BCD ∠+∠=︒．∴180DCF BCD ∠+∠=︒．∴B ，C ，F 三点共线．∴BF BC FC BC AB =+=+．90BDF ∠=︒且45DBC ∠=︒，∴45DBC F ∠=∠=︒，222DB DF BF +=．∴2DB DF BF +=．∴)BD AB BC ==+．)2PD AB BC =+，且DP DQ =．∴DP DQ BD ==．∴P PBD ∠=∠，45Q QBD ∠=∠=︒．∴2BDC P ∠=∠，90QBD ∠=︒．∴BE 为直径．∴90BAE ∠=︒．连接AD ，EC ，则有90AEC ∠=︒．∴四边形ABCE 为矩形，∴AC BE =，2AC MC =，2BE MB =．∴MA MB =．∴MAB ABM ∠=∠．BC BC =，∴MAB BDC ∠=∠．设P α∠=，则2ABM α∠=．45ABM PBD ABD ∠+∠=∠=︒．∴245αα+=︒．∴解得15α=︒．∴30BDC ∠=︒．DP DQ =．∴DB DQ =．∴45Q QBD ∠=∠=︒．∴90BDQ ∠=︒．∴180180903060PDQ BDQ BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．。
2020-2021学年福建省莆田市九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年福建省莆田市九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．tan45°的值等于（）A．B．C．D．12．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．已知＝2，则的值是（）A．B．﹣C．3D．﹣34．已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣2且a≠0B．a≥﹣2且a≠0C．a≥﹣2D．a≠05．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：1B．2：1C．1：2D．1：46．将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x+1）2﹣1C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x+1）2+5 7．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠BAO＝32°，则∠ACB的度数是（）A．32°B．45°C．58°D．64°8．下列关于反比例函数y＝﹣的说法中，正确的是（）A．当x＜0时，y随x的增大而减小B．双曲线在第一、第三象限C．当x＞0时，函数值y＞0D．当x＞0时，y随x的增大而增大9．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）10．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D 的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t的值为（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．点P（﹣2，4）关于原点的对称点的坐标是．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A＝．13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为．14．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则代数式2020﹣a﹣b 的值为．15．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是°．16．如图，矩形OABC的面积为10，双曲线y＝（x＞0）与AB、BC分别交于点D、E．若AD＝2BD，则k的值为．三、解答题（本大题共9个小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程：x2﹣9x+20＝0．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：△ABF ∽△ECA．19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．（1）求作Rt△ABC的外接圆⊙O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若∠C＝30°，BC＝8，求的长．20．明明是一个集邮爱好者，正值2021年辛丑牛年来临之际，明明收集了自己感兴趣的4张牛邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将这四张邮票背面朝上，洗匀放好．（1）明明从中随机地抽取一张邮票是8分的概率是；（2）明明从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的概率．（这四张邮票分别用字母A、B、C、D表示）21．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b交于A、B两点，△ABO的面积为．（1）求k的值；（2）结合图象直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．22．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕着点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点E恰好在AC上．（1）如图1，连接AD，若∠ACB＝30°，求∠ADE的度数；（2）如图2，延长DE，交AB边于点G，若AB＝4，BC＝3，求线段EG、AG的长．23．2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动．如图，该数学小组从地面A 处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行350米到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，求小山的高度CD及该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1米）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）24．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于D、F两点．连接AD，E为AC延长线上一点，连接BE，若∠E＝∠DAC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．25．已知顶点为A的抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a＜0），与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B．（1）用含a的代数式表示顶点A的坐标为；（2）若直线BC与抛物线的另一个交点D在第一象限内，且BD＝，求抛物线的解析式；（3）已知点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好只有2个，求a的值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．tan45°的值等于（）A．B．C．D．1【分析】根据特殊角的三角函数值求解．解：tan45°＝1．故选：D．2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．3．已知＝2，则的值是（）A．B．﹣C．3D．﹣3【分析】直接利用比例的性质得出a、b的关系，进而得出答案．解：∵＝2，∴b＝2a，∴＝＝﹣．故选：B．4．已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣2且a≠0B．a≥﹣2且a≠0C．a≥﹣2D．a≠0【分析】利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，∴，∴a≥﹣2且a≠0．故选：B．5．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：1B．2：1C．1：2D．1：4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算．解：∵△ABC～△DEF，相似比为2：1，∴△ABC与△DEF的面积之比为＝4：1，故选：A．6．将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x+1）2﹣1C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x+1）2+5【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．解：将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；故选：A．7．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠BAO＝32°，则∠ACB的度数是（）A．32°B．45°C．58°D．64°【分析】利用三角形内角和定理求出∠AOB，再利用圆周角定理求解即可．解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝32°，∴∠AOB＝180°﹣32°﹣32°＝116°，∴∠ACB＝∠AOB＝58°，故选：C．8．下列关于反比例函数y＝﹣的说法中，正确的是（）A．当x＜0时，y随x的增大而减小B．双曲线在第一、第三象限C．当x＞0时，函数值y＞0D．当x＞0时，y随x的增大而增大【分析】然后根据反比例函数的性质进行分析即可．解：y＝﹣的性质：①当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大；②双曲线在第二、第四象限；③当x＞0时，函数值y＜0；所以D正确；故选：D．9．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO＝1，则AO＝AB＝，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选：B．10．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D 的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t的值为（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4【分析】根据抛物线的顶点坐标（﹣，）和题意，可以得到m和n的关系，代入函数解析式，可以得到的值，从而可以求得t的值．解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），m+n＝0，∴m＝﹣n＝，∴a•（）2+b•﹣3＝0，解得＝1，∴t＝＝＝﹣3﹣＝﹣3﹣1＝﹣4，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．点P（﹣2，4）关于原点的对称点的坐标是（2．﹣4）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．解：点（﹣2，4）关于原点的对称点的坐标为（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A＝．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sin A＝．故答案为：．13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为x ＞1或x＜﹣3．【分析】通过函数图象和二次函数与一元二次不等式的关系直接写出结论．解：由函数图象可得，∵抛物线开口向上，与x轴的交点为（﹣3，0）和（1，0），∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为：x＞1或x＜﹣3．故答案为：x＞1或x＜﹣3．14．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则代数式2020﹣a﹣b 的值为2021．【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，可以得到a+b的值，然后将所求式子变形，再将a+b的值代入，即可解答本题．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，∴a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2020﹣a﹣b＝2020﹣（a+b）＝2020﹣（﹣1）＝2020+1＝2021，故答案为：2021．15．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是72°．【分析】如图，连接OA，OB．求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．解：如图，连接OA，OB．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠ADB＝∠AOB＝36°，∵AB＝BC，∴＝，∴∠ADB＝∠BDC＝36°，∴∠ADC＝72°，故答案为：72°．16．如图，矩形OABC的面积为10，双曲线y＝（x＞0）与AB、BC分别交于点D、E．若AD＝2BD，则k的值为．【分析】根据矩形的性质，由矩形OABC的面积为10，可得S△AOB＝5，再根据AD＝2BD，得到S△AOD＝，最后根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．解：连接OB、OD，∵矩形OABC的面积为10，∴S△AOB＝S矩形OABC＝5，又∵AD＝2BD，∴S△AOD＝2S△BOD，∴S△AOD＝S△AOB＝＝|k|，∵k＞0，∴k＝，故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程：x2﹣9x+20＝0．【分析】因式分解法求解可得．解：∵（x﹣4）（x﹣5）＝0，∴x﹣4＝0或x﹣5＝0，解得：x＝4或x＝5．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：△ABF ∽△ECA．【分析】由三角形外角的性质证出∠AEC＝∠BAF，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，则可得出结论．【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠BAF＝∠EAF+∠BAE，∠EAF＝∠B，∴∠AEC＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA．19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．（1）求作Rt△ABC的外接圆⊙O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若∠C＝30°，BC＝8，求的长．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线垂足为O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．（2）利用弧长公式计算即可．解：（1）如图，⊙O即为所求作．（2）连接AO．∵∠AOB＝2∠C＝60°，OB＝OC＝BC＝4，∴的长＝＝．20．明明是一个集邮爱好者，正值2021年辛丑牛年来临之际，明明收集了自己感兴趣的4张牛邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将这四张邮票背面朝上，洗匀放好．（1）明明从中随机地抽取一张邮票是8分的概率是；（2）明明从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的概率．（这四张邮票分别用字母A、B、C、D表示）【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的结果有2个，再根据概率公式求解可得．解：（1）明明从中随机地抽取一张邮票是8分的概率是＝，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的结果有2个，∴抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的概率为＝．21．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b交于A、B两点，△ABO的面积为．（1）求k的值；（2）结合图象直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．【分析】（1）解方程组，即可得出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），再根据△ABO的面积为，即可得到k＝．（2）观察图象，即可求得不等式＞kx+b的解集．解：（1）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，∴y＝kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），∵△ABO的面积为，∴•2•3k+•2•k＝，解得k＝；（2）由图象可知，关于x的不等式＞kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．22．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕着点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点E恰好在AC上．（1）如图1，连接AD，若∠ACB＝30°，求∠ADE的度数；（2）如图2，延长DE，交AB边于点G，若AB＝4，BC＝3，求线段EG、AG的长．【分析】（1）利用旋转的性质得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，利用互余计算∠ADE的度数；（2）根据直角三角形求出AC＝5，利用旋转的性质得CE、CD、DE的长度，再根据△AGE∽△DCE，即可得出．解：（1）∵△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵△ABC绕着点C旋转一定的角度得到△DEC，∴CE＝BC＝3，CD＝AC＝5，DE＝AB＝4，∠A＝∠D，∴AE＝AC﹣CE＝2，∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠CED，∴△AGE∽△DCE，∴＝＝，即＝＝，∴AG＝2.5，EG＝1.5．23．2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动．如图，该数学小组从地面A 处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行350米到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，求小山的高度CD及该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1米）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BH⊥AD于点H，则四边形BEDH是矩形，于是得到DE＝BH，BE＝DH，解直角三角形即可得到结论．解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BH⊥AD于点H，则四边形BEDH是矩形，∴DE＝BH，BE＝DH，在Rt△BCE中，BC＝600米，∠CBE＝22°，∴CE＝BC•sin22°≈600×0.37＝222（米），BE＝BC•cos22°≈600×0.93＝558（米），∴DH＝BE＝558（米），∵AB＝350米，在Rt△ABH中，∠BAH＝53°，∴BH＝AB•sin53°≈350×0.8＝280（米），AH＝AB•cos53°≈350×0.6＝210（米），∴CD＝CE+DE＝CE+BH＝222+280＝502（米），AD＝AH+DH＝210+558＝768（米）．答：小山的高度CD为502米，该数学小组行进的水平距离AD为768米．24．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于D、F两点．连接AD，E为AC延长线上一点，连接BE，若∠E＝∠DAC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．【分析】（1）证得∠CBE＝∠BAD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，证得AB⊥BE，则可得出答案；（2）连接BF，证明△ADC～△EBA，得出，求出AB＝，则可得出答案．【解答】证明：（1）∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∠ACB＝∠CBE+∠E，∠E＝∠DAC，∴∠CBE＝∠BAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABE＝∠ABD+∠CBE＝∠ABD+∠DAB＝90°，∴AB⊥BE，∴BE为⊙O的切线；（2）解：连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，又∵AB＝BC，∴AF＝CF，∵CE＝CF，∴，∵∠E＝∠CAD，∠ABE＝∠ADC＝90°，∴△ADC～△EBA，∴，∵BD＝1，AB＝BC，∴，∴AB＝，∴⊙O的半径为．25．已知顶点为A的抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a＜0），与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B．（1）用含a的代数式表示顶点A的坐标为（2，﹣4a﹣2）；（2）若直线BC与抛物线的另一个交点D在第一象限内，且BD＝，求抛物线的解析式；（3）已知点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好只有2个，求a的值．【分析】（1）将点C（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+c，可得y＝ax2﹣4ax﹣2＝a （x﹣2）2﹣4a﹣2，即可求顶点坐标；（2）过点D作DH⊥x轴，交于H，则OB＝OC＝2，所以∠OBC＝∠DBH＝45°，再由BD＝，可求BH＝DH＝1，OH＝OB+BH＝2+1＝3，则D（3，1），把D点代入y＝ax2﹣4ax﹣2中，得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣2；（3）由已知分两种情况讨论：①当顶点A在x轴上时，∠POA＝90°，则OP＝OA，这时P点正好有2个，正、负半轴个一个，A（2，0），则﹣4a﹣2＝0，求得a＝﹣；②当顶点A不在x轴上时，∠AOB＝30°，则△POA为等边三角形或∠AOP＝120°的等腰三角形，这时的P点也有两个，由AB＝，则|﹣4a﹣2|＝，求得a＝﹣﹣或a＝﹣+．解：（1）∵C（0，﹣2）在抛物线y＝ax2﹣4ax+c上，∴c＝﹣2，∴y＝ax2﹣4ax﹣2＝a（x﹣2）2﹣4a﹣2，∴顶点A（2，﹣4a﹣2），故答案为（2，﹣4a﹣2）；（2）过点D作DH⊥x轴，交于H，如图1，∵B（2，0），∴OB＝OC＝2，∴∠OBC＝∠DBH＝45°，∵BD＝，∴BH＝DH＝1，OH＝OB+BH＝2+1＝3，∴D（3，1），把D点代入y＝ax2﹣4ax﹣2中，可得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣2；（3）∵点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好只有2个，∴①当顶点A在x轴上时，∠POA＝90°，则OP＝OA，∴P点正好有2个，正、负半轴个一个，此时A（2，0），∴﹣4a﹣2＝0，∴a＝﹣；②当顶点A不在x轴上时，∠AOB＝30°，则△POA为等边三角形或∠AOP＝120°的等腰三角形，这时的P点也有两个，∴AB＝OB•tan30°＝2×＝，∴|﹣4a﹣2|＝，∴a＝﹣﹣或a＝﹣+，综上所述：a的值为﹣或﹣﹣或﹣+．。
福建福州七校联考2020-2021学年九上数学期中试卷(解析版)
2020-2021学年福建省福州市七校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题1．下面四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点作答．【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意．故选：B．2．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（）A．B．C．D．【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可．【解答】解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：B．3．如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1【分析】根据已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．【解答】解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，故选：A．4．如图，一个游戏盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为40°，120°，200°，让转盘自由转动，指针停止后在黄色区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据几何概率的意义求出黄色区域占整个圆的百分比，这个比即为所求的概率．【解答】解：∵“黄色”扇形区域的圆心角为120°，∴“黄色”区域的面积占整体的＝，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．∠BDC＝21°，则∠AOC的度数是（）A．136°B．137°C．138°D．139°【分析】利用圆周角定理求出∠BOC即可解决问题．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC，∠BDC＝21°，∴∠BOC＝42°，∴∠AOC＝180°﹣42°＝138°．故选：C．6．某区2019年投入教育经费2000万元，预计2021年投入教育经费2880万元．设这两年投入的教经的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2000（1﹣x）2＝2880B．2000x2＝2880C．2000（1+x）2＝2880D．2000（1+x）+2000（1+x）2＝2880【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2019年投入2000万元，预计2021年投入2880万元即可得出方程．【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2020的教育经费为：2000×（1+x）2021的教育经费为：2000×（1+x）2．那么可得方程：2000×（1+x）2＝2880．故选：C．7．如图，△ABC中，∠C＝65°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．56°B．50°C．46°D．40°【分析】根据旋转的性质和∠C＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC 上，∴AC＝AC′，∠C＝∠AC′B′，∴∠C＝∠AC′C，∵∠C＝65°，∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C＝65°，∴∠B′C′B＝180°﹣∠AC′B′﹣∠AC′C＝50°，故选：B．8．表格对应值：x1234ax2+bx+c﹣0.5512.522判断关于x的方程ax2+bx+c＝2的一个解x的范围是（）A．0＜x＜1B．1＜x＜2C．2＜x＜3D．3＜x＜4【分析】利用x＝1和x＝2所对应的函数值可判断抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x轴的交点问题可判断关于x的方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的一个解x的范围．【解答】解：∵x＝2时，y＝5，即ax2+bx+c＞0；x＝1时，y＝﹣0.5，即ax2+bx+c＜0，∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，∴关于x的方程ax2+bx+c＝2（a≠0）的一个解x的范围是1＜x＜2．故选：B．9．如图，一段抛物线（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3，一直进行下去，直至得到C506，则抛物线C506的顶点坐标是（）A．（2020，3）B．（2020，﹣3）C．（2022，3）D．（2022，﹣3）【分析】解方程﹣x2+3x＝0得A1（4，0），再利用旋转的性质得A2（4×2，0），A3（4×3，0），依此规律得到A505（4×505，0），A506（4×506，0），且抛物线C506的开口向上，利用交点式，设抛物线C506的解析式为y＝（x﹣2020）（x﹣2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴A1（4，0），∵将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，∴A2（4×2，0），A3（4×3，0），∴A505（4×505，0），A506（4×506，0），即A505（2020，0），A506（2024，0），∵抛物线C506的开口向上，∴抛物线C506的解析式为y＝（x﹣2020）（x﹣2024），∵抛物线的对称轴为直线x＝2022，当x＝2022时，y＝（2022﹣2020）（2022﹣2024）＝﹣3，∴抛物线C506的顶点坐标是（2022，﹣3）．故选：D．10．如图，量角器的底A，B分别在y轴正半轴与x轴负半轴上滑动，点D位于该量角器上58°刻度处，当点D与原点O的距离最大时，∠OAB的度数是（）A．29°B．32°C．58°D．61°【分析】连接OE、OD，如图，当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大，根据三角形外角性质得∠AED＝∠EAO+∠EOA，再根据直角三角形斜边上的中线性质得EA＝EO＝EB，则∠EAO＝∠EOA，所以∠OAB＝∠AED．【解答】解：连接OE、OD，DE，如图，当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大，则∠AED＝∠EAO+∠EOA，而AE＝BE，所以EA＝EO＝EB，所以∠EAO＝∠EOA，所以∠OAB＝∠AED＝（180°﹣58°）＝61°．故选：D．二．填空题11．已知点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，则a＝﹣2 ．【分析】平面内关于原点对称的两点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此可得a的值．【解答】解：∵点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．12．一元二次方程的根的判别式△＝0（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程，∴a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝0．故答案为＝．13．一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同，每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率的为0.6 ．【分析】根据题意，首先求得摸到黑球的概率，然后求得摸到红球的概率即可．【解答】解：∵每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，∴摸到黑球的概率约为0.4，∴摸到红球的概率约为1﹣0.4＝0.6，故答案为：0.6．14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是（3，3）．【分析】连接P A，P A，过P作PH⊥OA于H，则△POA是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到OH＝3，根据勾股定理得到PH＝3，即得到P的坐标．【解答】解：连接P A，PO，∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，∴∠OP A＝＝60°，PO＝P A，∴△POA是等边三角形，∴PO＝P A＝OA＝6，过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OP A＝30°，OH＝OA＝3，∴PH＝＝＝3，∴P的坐标是（3，3），故答案为：（3，3）．15．函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点（m，0）和（1，0）．与y轴交于正半轴，且﹣3＜m＜﹣2，c的取值范围是2＜c＜3 ．【分析】根据题意和根与系数的关系，可以得到c的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点（m，0）和（1，0）．∴a＝﹣1，∴当m＝﹣2时，则（﹣2）×1＝﹣c，得c＝2；当m＝﹣3时，则（﹣3）×1＝﹣c，得c＝3，故当﹣3＜m＜﹣2时，c的取值范围是2＜c＜3，故答案为：2＜c＜3．16．△ABC是边长为5的等边三角形，点D在△ABC的外部且∠BDC＝30°，则AD的最大值是．【分析】作A点关于BC的对称点A'，以A'点为圆心，以BC的长为半径作圆，连接AA'交BC于E点，延长AA'交⊙A'与点D，连接BD，CD，则∠BCD＝∠BA'C＝，此时AD为最大值，根据等边三角形的性质可求解A'E＝AE＝，A'D＝A'B＝AB＝5，进而可求解．【解答】解：作A点关于BC的对称点A'，以A'点为圆心，以BC的长为半径作圆，连接AA'交BC于E点，延长AA'交⊙A'与点D，连接BD，CD，则∠BCD＝∠BA'C＝，此时AD为最大值，∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴BC＝AB＝5，∴A'E＝AE＝，A'D＝A'B＝AB＝5，∴AD＝AE+A'E+A'D＝．故答案为．三．解答题17．解方程：x2﹣4x﹣12＝0．【分析】分解因式得出（x﹣6）（x+2）＝0，推出方程x﹣6＝0，x+2＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝0，分解因式得：（x﹣6）（x+2）＝0，∴x﹣6＝0，x+2＝0，解方程得：x1＝6，x2＝﹣2，∴原方程的解是x1＝6，x2＝﹣2．18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，0），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°得到矩形ODEF，点A，B，C分别对应点D，E，F．（1）请在平面直角坐标系中画出矩形ODEF；（2）求点B所经过的路径长．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．（2）利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图，矩形ODEF即为所求．（2）点B所经过的路径长＝＝．19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交BC、DC于点E，F，设∠E ＝x°，∠F＝y°．（1）当AC为直径时，求证：x＝y；（2）当x+y＝60时．①求∠DAB的度数；②连接OA，过点O作OH⊥AB于H，当AB＝2OH时，求∠DAO度数．【分析】（1）由圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝90°，由外角的性质可求解；（2）①由圆的内接四边形的性质可得∠ADF+∠ABE＝180°，由三角形内角和定理可求解；②由垂径定理可得AH＝BH，进而可得AH＝BH＝OH，由等腰三角形的性质可得∠OAH＝45°，即可求解．【解答】证明：（1）∵AC是直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，∴∠E+∠DCE＝∠F+∠BCF，又∵∠DCE＝∠BCF，∴∠E＝∠F，∴x＝y；（2）①∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠ADF+∠ABE＝180°，∵∠E+∠DAB+∠EBA＝180°，∠F+∠DAB+∠ADF＝180°，∴∠E+∠DAB+∠EBA+∠F+∠DAB+∠ADF＝360°，∴∠E+∠F+2∠DAB＝180°，∴∠DAB＝60°；②如图，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∵AB＝2OH，∴AH＝OH＝BH，∴∠OAH＝∠OBH＝45°，∴∠DAO＝∠DAB﹣∠OAH＝15°．20．为了更好地适应现代学发展的需要，提高医护人员专业水平，2020年11月，福州市甲、乙、丙、丁四家医院共选派若干名医生和护士参加培训，参加培训人数情况制成了两张不完整的统计图：（1）丁医院选派的医生有4 人．（2）为了了解培训成果，准备从参加培训的四名医生（男女医生人数恰好相等）中随机选择2人进行考核，若每名医生被选中的机会均等，请用列表法或树状图求出选中的两名医生中至少有一名女医生的概率．【分析】（1）先由甲医院的医生和护士人数求出总人数，再求出丁医院选派的医生和护士的人数，进而得出答案；（2）画出树状图，共有12个等可能的结果，选中的两名医生中至少有一名女医生的结果有10个，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵福州市甲、乙、丙、丁四家医院共选派医生和护士的总人数为：（6+4）÷20%＝50（人），∴丁医院选派的医生和护士的人数为50×24%＝12（人），∴丁医院选派的医生有：12﹣8＝4（人），故答案为：4；（2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，选中的两名医生中至少有一名女医生的结果有10个，∴选中的两名医生中至少有一名女医生的概率为＝．21．已知抛物线y＝x2﹣2x+m，过点C（0，n）作直线L⊥y轴，当直线L与抛物线只有一个公共点时，求：m﹣n的值．【分析】将抛物线解析式画出成顶点式，根据题意得到n＝﹣1+m，变形可得．【解答】解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，∵直线L与抛物线只有一个公共点，∴n＝﹣1+m，∴m﹣n＝1．22．如图，在△ABC中，∠C＝45°，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）取的中点E，连接OE，延长OE交AC于点F，若EF＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质得AB＝AC，则∠B＝∠C＝45°，求得∠BAC＝90°，即可得出结论；（2）作EH⊥OF交AF于H，则EH是⊙O的切线，先由垂径定理得OE⊥AD，AG＝DG，再证出△EFH是等腰直角三角形，得EH＝EF＝，则FH＝EF＝2，然后由切线长定理得AH＝EH＝，则AF＝AH+FH＝+2，最后由等腰直角三角形的性质得OA＝AF＝+2即可．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，OA是⊙O的半径，∴AD⊥BC，∵D是BC的中点，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AC⊥OA，∴AC是⊙O的切线；（2）解：作EH⊥OF交AF于H，如图所示：则EH是⊙O的切线，∵E是的中点，∴OE⊥AD，AG＝DG，∵AD⊥BC，∴OF∥BC，∴∠EFH＝∠C＝45°，∵EH⊥OF，∴△EFH是等腰直角三角形，∴EH＝EF＝，FH＝EF＝2，∵AC是⊙O的切线，∴AH＝EH＝，∴AF＝AH+FH＝+2，由（1）得：∠BAC＝90°，∴△AOF是等腰直角三角形，∴OA＝AF＝+2，即⊙O的半径为+2．23．一段长为30m的墙前有一块矩形ABCD空地，用篱笆围成如图所示的图形，共用去100m （靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为10m的正方形，设CD＝xm．（1）填空：CG＝（80﹣3x）m（用含x的代数式表示）；（2）若矩形CDHG面积为125m2，求CD长；（3）当CD长为多少m时，矩形ABCD的面积最大．【分析】（1）由题意得：3x+20+GC＝100，即可求解；（2）矩形CDHG面积＝GC•CD＝（80﹣3x）x＝125，即可求解；（3）设矩形ABCD的面积为s，则s＝BC•CD＝x（10+80﹣3x）x＝﹣3（x﹣30）x，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：3x+20+GC＝100，解得：GC＝（80﹣3x）m，故答案为（80﹣3x）；（2）∵BC＝BG+GC＝10+80﹣3x，而0＜BC≤30，即0＜10+80﹣3x≤30，解得20≤x＜30，矩形CDHG面积＝GC•CD＝（80﹣3x）x＝125，解得x＝25或（舍去），故CD长为25m；（3）设矩形ABCD的面积为s，则s＝BC•CD＝x（10+80﹣3x）x＝﹣3（x﹣30）x，∵﹣3＜0，故抛物线开口向下，而20≤x＜30，当x＞15时，s随x的增大而减小，故当x＝20（m）时，s取得最大值．故当CD长为20m时，矩形ABCD的面积最大．24．已知a＞0，点A（0，1），抛物线y＝﹣x2+bx经过点B（1，1），且与直线AB交于点P，与x轴交于点Q（异于原点O）．（1）填空：用含a的代数式表示b＝1+；（2）若△OBQ是直角三角形，求a的值；（3）点M是抛物线的顶点，OM与BP交点N，当点N是BP三等分点时，求a的值．【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求解；（2）将b＝1+代入解析式，可求点Q坐标，由两点距离可求OB2＝2，OQ2＝（a+1）2，BQ2＝a2+1，由勾股定理可求解；（3）分别求出点M，点N，点P坐标，由点N是BP的三等分点，列出方程可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝经过点B（1，1），∴1＝﹣+b，∴b＝1+，故答案为：1+；（2）∵b＝1+，∴y＝﹣x2+（1+）x，令y＝0时，0＝﹣x2+（1+）x，解得：x1＝0，x2＝a+1，∴点Q（a+1，0），∵a＞1，∴a+1＞0，∴OQ＝a+1，∵点B（1，1），点O（0，0），点Q（a+1，0），∴OB2＝2，OQ2＝（a+1）2，BQ2＝a2+1，∵△OBQ是直角三角形，∴OQ2＝OB2+BQ2，∴（a+1）2＝2+a2+1，∴a＝1；（3）如图，∵y＝﹣x2+（1+）x＝﹣（x﹣）2+，∴点M（，），∴直线OM的解析式为y＝x，当y＝1时，x＝，∴点N（，1），∵y＝﹣x2+（1+）x与直线AB交于点P，∴1＝﹣x2+（1+）x，∴x1＝1，x2＝a，∴点P（a，1），∵点N是BP三等分点，∴BN＝2PN，∴1﹣＝2（﹣a），解得：a＝1或．25．如图1，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将△ABC绕P点（0，﹣1）顺时针旋转．（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为（，）；（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线y＝x﹣1的交点为F，求证：△AEF 的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求△AEF内切圆半径的最大值．【分析】（1）证明四边形ABPC为正方形，当点B落在y轴上时，则图形旋转的角度为45°，点A落在点A′的位置，则P A′过点C，P A′＝P A＝2，进而求解；（2）证明△BPQ≌△CPF（AAS）和△QPE≌△FPE（SAS），则QE＝EF，进而求解；（3）证明r＝（AE+AE﹣EF）＝（2﹣m﹣n+n﹣m）＝﹣m，在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即n2+（2﹣m﹣n）2＝m2，整理得：n2+（m﹣2）n+4﹣2m＝0，由△＝（m﹣2）2﹣4×（4﹣2m）≥0，求得m≥4﹣2，即可求解．【解答】解：（1）连接BP、CP，则△ABP为等腰直角三角形，而△ABC为等腰直角三角形，易证四边形ABPC为正方形，当点B落在y轴上时，则图形旋转的角度为45°，点A落在点A′的位置，则P A′过点C，P A′＝P A＝2，过点A′作A′E⊥x轴于点E，则∠A′CE＝OCP＝45°，由点A、B、C的坐标知，AB＝AC＝，则CA′＝P A′﹣CP＝2﹣，在Rt△A′CE中，A′E＝A′C＝﹣1＝CE，故旋转后点A的坐标为（，），故答案为（，）；（2）连接PB、CP，作∠QPB＝∠FPC，由（1）知，四边形BPCA为正方形，由直线y＝x﹣1知，∠EPF＝45°，则∠FPC+∠BPE＝90°﹣∠EPF＝45°＝∠QPB+∠BPE＝∠QPE＝∠45°，即∠QPE＝∠EPF＝45°，∵四边形BPCA为正方形，则PB＝PC，∠QBP＝∠FCP＝90°，∠QPB＝∠FPC，∴△BPQ≌△CPF（AAS），∴PQ＝PF，而∠QPE＝∠EPF＝45°，PE＝PE，∴△QPE≌△FPE（SAS），∴QE＝EF，则△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+QE＝AE+BE+BQ+AE＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC ＝2；即△AEF的周长为定值；（3）设△AEF内切圆半径为r，AE＝n，EF＝m，由（2）知，AF＝2﹣m﹣n，则r＝（AE+AE﹣EF）＝（2﹣m﹣n+n﹣m）＝﹣m（半径公式见备注），在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即n2+（2﹣m﹣n）2＝m2，整理得：n2+（m﹣2）n+4﹣2m＝0，∵关于n的一元二次方程有解，故△＝（m﹣2）2﹣4×（4﹣2m）≥0，解得m≥4﹣2或m≤﹣4﹣2（舍去），故m的最小值为4﹣2，则r的最大值为﹣m＝﹣（4﹣2）＝3﹣4，即△AEF内切圆半径的最大值为3﹣4．备注：证明：设△ABC为直角三角形，三条边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC，显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，所以S△ABC＝S△OAC+S△OBC+S△OAB，所以ab＝br+ar+cr，所以r＝＝＝，即内切圆半径为（a+b﹣c）．。
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九年级数学 － － （共5页） 1 准考证号： 姓名： （在此卷上答题无效）
2020-20211学年度第一学期福州市九年级期末质量抽测 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 友情提示：请认真作答，把答案准确地填写在答题卡上
第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A B C D 2．下列事件中，是确定性事件的是 A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C．投掷一枚骰子（六个面分别刻有1到6的点数），向上一面的点数大于3 D．任意画一个三角形，其外角和是360 3．将点（3，1）绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是 A．（3，1） B．（1，3） C．（3，1） D．（1，3） 4．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是 A．12 B．63 C．6 D．33 5．已知甲，乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是
A B C D 6．已知二次函数223yxx，下列叙述中正确的是 A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线1x C．函数有最小值 D．当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而减小 7．若关于x的方程2210mxx有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
t/h v/(km/h) O t/h v/(km/h) O t/h v/(km/h) O t/h v/(km/h) O 九年级数学 － － （共5页） 2
A．m＜1 B．m＞1且m≠0 C．m＞1 D．m≥1且m≠0 8．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若3BG，2CG，6CE，则EFAB的值是
A．65 B．85 C．83 D．4 9．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是 A．(1612)(36040)1680xx B．(12)(36040)1680xx C．(12)[36040(16)]1680xx D．(1612)[36040(16)]1680xx 10．已知抛物线12()()1yxxxx（1x＜2x），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，1x，2x的大小关系是 A．1x＜m＜n＜2x B．m＜1x＜2x＜n C．m＜1x＜n＜2x D．1x＜m＜2x＜n
第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若⊙O的半径为2，则270°的圆心角所对的弧长是 ．
12．若2x是关于x的方程220xxm的一个解，则m的值是 ． 13．已知反比例函数4yx，当3＜x＜1时，y的取值范围是 ． 14．如图，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点P放在以AB为直径的半圆O上，∠P的两边分别交半圆O于B，Q两点，若2AB，则BQ的长是 ． 15．《易经》是中华民族聪明智慧的结晶．如图是《易经》中的一种卦图，每
一卦由三根线组成（线形为“”或“”），如正北方向的卦为“”．从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的概率是 ． 16．如图，在平行四边形ABCD中，23AB，6BC，120ADC，点E，F分别在边AD，AB上运动，且满足3BFDE，连接BE，CF，则3CFBE的最小值是 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分8分） 解方程：2210xx．
A B C D E F
A B C D E F
G
A B O P Q 九年级数学 － － （共5页） 3 18．（本小题满分8分） 如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．
19．（本小题满分8分） 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是
21(4)312yx．如图，A，B是该函数图象上的两点．
（1）画出该函数的大致图象； （2）请判断铅球推出的距离能否达到11 m，并说明理由．
20．（本小题满分8分） 为发展学生多元能力，某校九年级开设A，B，C，D四门校本选修课程，要求九年级每个学生必须选报且只能选报其中一门．图1，图2是九年（1）班学生A，B，C，D四门校本选修课程选课情况的不完整统计图．请根据图中信息，解答下列问题．
图1 图2 （1）求九年（1）班学生的总人数及该班选报A课程的学生人数； （2）在统计的信息中，我们发现九年（1）班的甲同学和乙同学选报了A课程，若从该班选报A课程的同学中随机抽取2名进行选修学习效果的测评，求甲，乙同时被抽中的概率．
21．（本小题满分8分） 如图，点D是等边三角形ABC内一点，连接DA，DC，将△DAC绕点A顺时针旋转60，点D的对应点为E． （1）画出旋转后的图形； （2）当C，D，E三点共线时，求∠BEC的度数．
22．（本小题满分10分） 如图，一次函数yxb的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数kyx的图象交于A，B两点，若2OC，点B的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
A B C D O l y/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 3
O x/m
B A
0 4 8 12 16 频数（人） 课程 16 12 A B C D A 10%
B 40%
C
D
A B C
O x
y
A B C D 九年级数学 － － （共5页） 4
（2）求△AOB的面积． 23．（本小题满分10分） 如图，ABAC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且ADCD，ADCBAC， E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F． （1）求证：△ABC∽△DAC； （2）若22ABCFAD，试判断△ACF的形状，并说明理由．
24．（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，90BAD，ABAD，点E是AB上一点，连接DE交AB于点F，连接AE，BE． （1）若52AD，6BE，求DE的长； （2）若CEDE，且8DE，9.6CD，求AFBF的值．
25．（本小题满分14分） 如图，A，B分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的点，已知点B的坐标是（0，6），45BAO．过A，
B两点的抛物线212yxbxc与x轴的另一个交点落在线段OA上．该抛物线与直线ykxm（k＞0）在第一象限交于C，D两点，且点C的横坐标为1． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线CD与线段AB的交点记为E，当12BEAE时，求点D的坐标； （3）P是x轴上一点，连接PC，PD，当90CPD时，若满足条件的点P有两个，且这两点间的距离为1，求直线CD的解析式．
2020－2021学年度第一学期福州市九年级期末质量抽测 数学试题答案及评分标准
A B C D E F
A B C D
E O F
A B O x y 九年级数学 － － （共5页） 5
评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则． 2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂） 1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C 9．A 10．A
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答） 11．3π 12．3 13．4＜y＜43
14．2 15．38 16．66
三、解答题（共9小题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答） 17．（本小题满分8分） 解法一：1a，2b，1c， ··························································································· 1分 24bac
2=(2)41(1)8＞0． ·································································································· 3分
方程有两个不等的实数根 242bbacxa
·············································································································· 4分
28122=（）， ········································································································ 6分
即11+2x，212x． ··································································································· 8分 解法二：221xx， ·········································································································· 1分 2212xx， ·················································································································· 3分