常见离散型分布
2.3几种重要的离散型分布
C
n N
.
规范性： k
pk
k
C C k nk M NM
C
n N
k
C C k nk M NM
C
n N
C
n N
C
n N
1.
例2.13 N件产品，含M件是次品，随机地从这Ｎ
件产品中抽取n件产品，求恰有k 件次品的概率。
15
注：我们用符号(n︱c )表示：随机抽取了n件
产品，其中的次品数≤c的方案。
9
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
2
解 P X 3 1 P X 3 1 P X k k0
对立事件公式 1 2 1k e1 1 0.920 0.08.
k0 k !
查泊松分布 表（附表1）
10
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
10 1k e1
k3 k !
0.0803.
二项分布的泊松 近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
13
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆， 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p , Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算
PX
k
C
k n
pk
1
p nk ,
那么可近似计算 P Y k k e . 即
k!
4几种重要的离散型分布
以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布 超几何分布的期望和方差
N1 EX n N N1 N2 N n D( X ) n N N N 1
(258)
(259)
五、泊松分布
泊松分布(Poisson) 如果一个随机变量X的概率分布为
k! 其中0为参数 则称X服从参数为的泊松分布 记作X~P()
例219 设X服从几何分布 则对任何两个正整数m n 有 P{Xmn|Xm}P{Xn} (254) 证明 由 P{X m n | X m}
P{X m} q
k 1 m k m1
P{X m n} 据(250)知 P{X m}
j 1
n个点上的均匀分布的期望和方差
1 x def x EX i n i 1 n DX 1 (xi x)2 n i 1
n
(243)
(244)
说明 在古典概型中 试验共有 n 个不同的可能结果 且每个结 果出现的可能性相同 设{1 2 n ) 则P{i} 1 (i1 2, n n). 如果随机变量 X 是上的一一对应的函数 那么 X 便服 从均匀分布
p q q j 1 p qm
同理 有 于是得
P{Xmn}qmn P{Xn}qn
qmn n P{X m n| X m} m q P{X n} q
说明 式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
三、几何分布
几何分布 如果随机变量X的概率分布为 P{Xk}q k1p k1 2 (2.50) 其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为 X~g(k p)
常见的几种分布函数
常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。
常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。
1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。
离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。
比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。
- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。
- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。
2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。
连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。
比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。
- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。
- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。
3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。
比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。
- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。
总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。
不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。
23 常用的离散型分布.
Poisson分布的数字特征
期望： 方差：
EX
DX
Poisson分布的应用
Poisson分布应用极为广泛. 如银行收到的 存款次数；保险公司收到的索赔单数;放射 粒子的数目（著名的Rutherford等人利用云 雾实验室观察镭说发射出的 粒子数目试 验）；一定时间内发生的灾害数目；……
故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.
例 设有同类型设备90台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备.
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
因为{X k}表示前 k 1中 A 恰好发生了r 1 次, 而第 k 次 A 发生，故
P{X
k}
C r1 k 1
p r 1q
k
r
p
C r1 k 1
p r q k r
,
k
r, r 1,,
亦可记为 P{X k} f (k; r, p).
一般地，若随机变量 X 的概率分布由上式给
例 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品 装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱 中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装 多少个产品？
解 设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不 合格品个数为X , 则X ~ B ( 100 + n , 0.03 )
n
由题意 P(X n) P100n (k) 0.9 k 0
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
概率论里的分布
概率论里的分布概率论是研究随机事件发生的规律性和概率的一门学科。
在概率论中，分布是指随机变量在不同取值下对应的概率值。
分布可以分为离散型分布和连续型分布两种。
一、离散型分布离散型分布是指随机变量只能取有限个或者无限个离散值的情况下对应的概率分布。
常见的离散型分布包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是指只有两种结果的试验，例如抛硬币正反面。
如果事件A发生，则记为1，否则记为0。
伯努利分布就是在这样的试验中，事件A发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
2. 二项式分布：二项式试验是指进行n次独立重复实验，每次实验只有两种结果，成功和失败。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
在这样的试验中，在n次实验中恰好出现k次成功的概率就是二项式分布。
3. 泊松分布：泊松过程是指单位时间内某一事件发生次数服从泊松分布。
例如，在某个城市每小时发生的交通事故次数就可以用泊松分布来描述。
二、连续型分布连续型分布是指随机变量在某一区间内取值的情况下对应的概率分布。
常见的连续型分布包括：1. 均匀分布：均匀分布是指在一个区间内，每个点的概率密度相等。
例如，在[0,1]区间内随机选择一个实数的概率密度就是均匀分布。
2. 正态分布：正态分布也叫高斯分布，它是一种非常重要的概率分布。
正态分布具有钟形曲线，对称轴为均值。
很多自然现象都可以用正态分布来描述，例如人类身高、智商等。
3. 指数分布：指数过程是指在一段时间内某个事件发生的时间间隔服从指数分布。
例如，在某个工厂中设备损坏的时间间隔就可以用指数分布来描述。
以上仅列举了部分常见的离散型和连续型概率分布，还有很多其他类型的概率分布，例如负二项式、卡方、t、F等。
不同类型的概率分布有着不同的特点和应用场景，掌握它们对于理解概率论和统计学都是非常重要的。
概率论分布类型总结
概率论分布类型总结概率论分布类型总结概率论是数学中的一个分支，主要研究随机现象和随机事件的规律性。
在概率论中，分布是一个非常重要的概念，它描述了一个随机变量取不同值的可能性大小。
本文将对概率论中常见的分布类型进行全面详细的总结。
一、离散型分布1. 伯努利分布伯努利分布是一种最简单的离散型分布，它描述了只有两种结果（成功或失败）的试验。
伯努利分布有一个参数p，表示成功的概率。
若X 表示试验结果，则X=1表示成功，X=0表示失败。
伯努利分布的期望为E(X)=p，方差为Var(X)=p(1-p)。
2. 二项分布二项分布是由n个独立重复进行的伯努利试验组成，在每次试验中有成功和失败两种结果。
二项分布有两个参数n和p，其中n表示试验次数，p表示每次试验中成功的概率。
若X表示成功次数，则X服从二项分布。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
泊松分布只有一个参数λ，表示单位时间内该事件平均发生的次数。
若X表示单位时间内该事件发生的次数，则X服从泊松分布。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
二、连续型分布1. 均匀分布均匀分布是一种最简单的连续型分布，它描述了在一定范围内所有值出现的可能性相等。
均匀分布有两个参数a和b，表示取值范围[a,b]。
若X表示随机变量，则X服从均匀分布。
均匀分布的期望为E(X)=(a+b)/2，方差为Var(X)=(b-a)^2/12。
2. 正态分布正态分布是一种非常重要的连续型分布，它在自然界中广泛存在，并且在统计学中有着重要应用。
正态分布有两个参数μ和σ，其中μ表示期望，σ表示标准差。
若X表示随机变量，则X服从正态分布。
正态分布具有很多重要性质，例如68-95-99.7法则、中心极限定理等。
3. 指数分布指数分布适用于描述等待时间或寿命的概率分布。
指数分布只有一个参数λ，表示单位时间内事件发生的平均次数。
常用的离散型分布
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为
P{X k} Ckn pk(1 p)nk k0 1 2, n
(245)
则称 X 服从参数为 n p 的二项分布 并记作 X~b(n p) 且记
b(k; n, p) Ckn pk(1 p)nk
二项分布的期望和方差
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
n个点上的均匀分布的期望和方差
EX
1 n
n
x i1 i
(xi
x)2
(242)
(243) (244)
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定 的 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数
二、两点分布
两点分布 一个随机变量只有两个可能取值 设其分布为
P{Xx1}p P{Xx2}1p 0p1 则称X服从x1 x2处参数为p的两点分布 两点分布的期望和方差
EXpx1(1p)x2 DXp(1p)(x1x2)2
在实际中 当N很大时 且N1和N2均较大 而n相对很小时 通常将不放回近似地当作放回来处理 从而用二项分布作为
超几何分布的近似 即
C C k nk N1 N2 CnN
Ckn
(
N1)k N
(
N2 N
)nk
(256)
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
2.3常用的离散型分布
P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二
项分布b(n p)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为
说明
设X表 示 投 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 出 现 的 点 数 此 时 {1 2
6} 令
X()
则 X服 从 {1 2 6}上 的 均 匀 分 布
四、二项分布
二项分布
如 果 一 个 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
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刘妍丽主讲
一、单点分布（退化分布）
分布列 P（X=a）=1 期望 EX=a 方差 VarX=0
一次实验中事件A发生的次数X ~ b(1, p)
二、两点分布（0-1分布）EX p VarX pq
分布列 X P
0
1
1-p
p
P( X k) C1k p k (1 p)1k k 0,1
EX
r
k
C
k M
C nk N M
k 0
C
n N
r
M k 1 (n1)(k 1) k k C C M 1 ( N 1)(M 1)
k 1
N n
C n1 N 1
nM N
~ h(n 1, N 1, M 1)
VarX n M N M N n N N N 1
EX 2 VarX (EX )2
•超几何分布的近似分布
5、二项分布的近似分布 图2.4.1
X ~ P() np
n充分大，p很小 泊松定理
X ~ N (, 2 ) np 2 npq np 5 nq 5 极限定理
例2.4.1 例2.4.2 例2.4.3
四、泊松分布 X ~ P() EX VarX
分布列 正则性
P(X k) k e
X ~ h(n, N, M ) X ~ b(n, p)
p M n N N
EX 2
r
k2
C
k M
C
nk N M
r
(k(k
1)
k)
C
k M
C nk N M
r
(k(k
1))
M k
(M 1) (k 1)
C C k 2 (n2)(k 2) M 2 (N 2)(M 2)
nM
k 0
C
n N
k 1
p
EX
k(1
k 1
p)k1 p
k 0
(q
k
)p
1
1
q
p
p (1 q)2
1 p
方差
q VarX
p2
EX 2 VarX (EX )2
EX
2
k 2 (1
k 1
p) k 1
p
(k(k
k 1
1) k)(1
p) k 1
p
k 0
pq(q k )
1 p
pq
1
1
q
1 p
2 pq (1 q)3
k)
C r1 k 1
p
r 1
(1
p) k r
p
C r1 k 1
p
r
(1
p) k r
k r, r 1,...
•正则性
C
r 1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
X X1 X 2 ... X r {X r }独立同分布同为 Ge( p), X i表示Ai首次发生的试验次数
•期望
r EX rEX i p
n
n
1
k e k!
例2.4.6 例2.4.7 例2.4.8
五、超几何分布 X ~ h(n, N, M )
无放回抽样 X表示不合格产品数
分布列
P( X
k)
CMk
C
nk N M
C
n N
k 0,1,...,r min(n, M )
正则性
r
CMk
C
nk N M
1
k 0
C
n N
M
期望
EX n N
正则性
1
1
P( X k) C1k p k (1 p)1k 1
k 0
k 0
期望
EX p
方差
VarX EX 2 (EX )2 p p 2 pq
三、二项分布 X ~ b(n, p) EX np VarX npq
1、分布列
P( X
k
)
C
k n
p
k
(1
p)nk
k 0,1,2,..., n
1 p
2q p2
1 p
几何分布的无记忆性
P(X m n | X m) P(X n)
P( X
mn|
X
m)
P(X m n) P(X m)
(1 p)mn (1 p)m
(1
p)n
P(X
n)
七、负二项分布 X ~ Nb(r, p)
•第r次A发生时的总试验次数X
•分布列
P( X
k
e
k!
1
k0 k!
k 0,1,2,..
期望 EX
EX
k k
e
k0 k!
k 1
e
k1 (k 1)!
方
k
e ((k 1) 1)
k
e
k
e
k e 2
k0 k!
k1 (k 1)!
k 1
(k 1)!
… A1 … A2 … … Ar
•方差
VarX
rVarX i
rq p2
X1
X2
Xr
END
X
例2.4.8
设备故障相互独立，故障率p=0.01 （1）X表示20台设备中的故障台数，则 X~b(20,0.01)~P(0.2) P(X>1)=1-P(X≤1)=1-0.982=0.018 （2）Y表示90台设备中的故障台数，则 Y~b(90,0,01)~P(0.9) P(Y>3)=1-P(Y ≤3)=1-0.987=0.013
X表示n次试验中，事件A发生的次数 X取值0,1,2,..., n n
2、正则性
Cnk p k (1 p)nk 1
k 0
{X n}独立同分布 ， 第i次试验事件 A发生的次数 X i ~ b(1, p), 则X X1 X 2 ... X n
3、期望 EX nEX i np
4、方差 VarX nVarX i npq
C
n N
k 2
N (N 1) n(n 1)
C
n2 N 2
N
n(n 1)M (M 1) n M
N (N 1)
N
六、几何分布 X ~ Ge( p)
首次击中的试验次数X
分布列 P( X k) (1 p)k1 p k 1,2,...
正则性 (1 p) k 1 p 1 k 1
期望 EX 1
n
n(n 1)...( n k 1) p k (1 p)nk k!
lim
n(n 1)...( n k 1) ( )k (1 )nk (np )
n
k!
n
n
n1
k 1
lim n
n
(1
n
)...(1
) 1 n
lim(1 1)x e
x
x
lim
k
n
n 1
...
n
k
1
(1
)
nk ()
n k! n n
（3）Z表示500台设备中的故障台数，则 Z~b(500,0.01)~P(5) P(Z>10)=1-P(Z≤10)=1-0.986=0.014
例2.4.7
n=10000,每人交纳200元，死亡获100000元， 生死率p=0.001
k2 (k 2)!
k1 (k 1)!
VarX EX 2 (EX )2
图2.4.2 例2.4.4 例2.4.5
泊松定理（二项分布近似于泊松分布）
lim n
C
k n
p
k
(1
p)nk
k e
k!
(np )
X ~ P()
X ~ b(n, p)
lim lim 证明：
n
C
k n
pk
(1
p) nk