2020高考复习数学：复数(附答案)

利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.如果复数2i
1i 2+-b （其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互
为相反数，那么b 等于
A.2
B.
3
2 C.－3
2
D.2
解析：2i
1i 2+-b =5
2i)-i)(12(b -=5
i )4(22+--b b
∴2－2b =b +4，b =－3
2.
答案：C
2.当3
2＜m ＜1时，复数z =(3m －2)+(m －1)i 在复平面上对应的
点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 解析：z 对应的点为(3m －2，m －1)， ∵3
2＜m ＜1，
∴0＜3m －2＜1，－3
1＜m －1＜0.
答案：D
3.在下列命题中，正确命题的个数为 ①两个复数不能比较大小;
②z 1、z 2、z 3∈C ，若(z 1－z 2)2+(z 2－z 3)2=0，则z 1=z 3; ③若(x 2－1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数，则实数x =±1; ④z 为虚数的一个充要条件是z +z ∈R ;
⑤若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )+(a +b )i 是纯虚数; ⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z =z .
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z 1、
z 2、z 3不全是实数时不成立，如z 1=i ，z 2=1+i ，z 3=1时满足条件，
但z 1≠z 3;③错，当x =－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a =b =0时，原数是实数;⑥对.
答案：B
4.设f (n )=(i
1i 1-+)n +(i
1i 1+-)n (n ∈Z )，则集合｛x ｜x =f (n )｝中元素的
个数是
A.1
B.2
C.3
D.无穷多个
解析：∵f (n )=i n +(－i)n ，
∴f (0)=2，f (1)=i －i=0，f (2)=－1－1=－2，f (3)=－i+i=0. ∴｛x ｜x =f (n )｝=｛－2，0，2｝. 答案：C
5.已知复平面内的圆M ：|z －2|=1，若1
1+-p p 为纯虚数，则与复数
p 对应的点P
A.必在圆M 上
B.必在圆M 内
C.必在圆M 外
D.不能确定
解析：∵1
1+-p p 为纯虚数，设为k i(k ∈R ，k ≠0)，
∴(1－k i)p =1+k i ，取模得|p |=1且p ≠1. ∴选C. 答案：C
6.已知复数(x －2)+y i(x 、y ∈R )的模为3，则
x
y 的最大值是
A.2
3 B.
3
3 C.2
1
D.
3
解析：∵｜x －2+y i ｜=3，
∴(x －2)2+y 2=3.
∴(x ，y )在以C (2，0)为圆心、以3为半径的圆上，如右图，由
平面几何知识知3≤
x
y .
答案：D
二、填空题（每小题4分，共16分）
7.已知M ={1，2，(a 2－3a －1)+(a 2－5a －6)i}，N ={－1，3}，
M ∩N ={3}，实数a =_________.
解析：按题意(a 2－3a －1)+(a 2－5a －6)i=3，
∴⎪⎩
⎪⎨⎧=--=--.313,06522a a a a 解得a =－1.
答案：－1
8.复数z =
2i)i)(13i)(2
321(i)22i)(43(++---+|－2i 的模为_______________.
解析：由复数的模的性质可知
z =
|i 21||i 3||i 2
321|
|i 22||i 43|+⋅+-⋅--⋅+－2i
=
5
2125⨯⨯⨯－2i=5－2i ，∴|z |=3.
答案：3
9.若x 、y ∈R ，且2x －1+i=y －(3－y )i ，则x =__________，
y =___________.
解析：根据复数相等的定义求得. 答案：2
5 4
10.复数z 满足z ·z +z +z =3，则z 对应点的轨迹是____________. 解析：设z =x +y i(x 、y ∈R )，则x 2+y 2+2x =3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆 三、解答题(本大题共4小题，共54分)
11.(12分)设复数z 1、z 2满足z 1·z 2+2i z 1－2i z 2+1=0，
2z －z 1=2i ，求z 1和z 2.
解：∵2z －z 1=2i ，∴2z =z 1+2i. ∴z 2=i 21+z ，即z 2=1z －2i. 又∵z 1·z 2+2i z 1－2i z 2+1=0， ∴z 1(1z －2i)+2i z 1－2i(1z －2i)+1=0，
即|1z |2－2i 1z －3=0. 令z 1=a +b i(a 、b ∈R )， 得a 2+b 2－2b －3－2a i=0，
即⎩
⎨⎧==--+.02,03222a b b a 解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.1,
03,0b a b a 或 ∴z 1=3i ，z 2=－5i 或z 1=－i ，z 2=－i. 12.(14分)设复数z 满足4z +2z =33+i ，ω=sin θ－icos θ(θ∈R )，
求z 的值和|z －ω|的取值范围.
解：设z =a +b i(a 、b ∈R )，则z =a －b i ，代入4z +2z =33+i ，
得
4(a +b i)+2(a －b i)=33+i ，
即6a +2b i=3
3+i.
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==
,21
,23
b a ∴z =2123+i. |z －ω|=|2
3
+2
1i －(sin θ－icos θ)|
=22)cos 2
1
()sin 23(
θθ++-
=
θ
θcos sin 32+-=
)6
π
sin(2--θ.
∵－1≤sin(θ－6
π)≤1，∴0≤2－2sin(θ－6
π)≤4.∴0≤|z －ω|≤2.
13.(14分)非零复数a 、b 、c 满足b
a =c
b =a
c ，求c
b a
c b a +--+的值.
解：设b
a =c
b =a
c =k ，则a =bk ，b =ck ，c =ak ，即c =ak ，b =ak ·k =ak 2，
a =ak 2·k =ak 3，
∴k 3=1.∴k =1或k =－2
1±
2
3i. 则c b a c b a +--+=
ak
ak a ak ak a +--+22=
k
k k k +--+2211.
若k =1，则原式=1; 若k =－21+
23
i ，则原式=－2
1－23i; 若k =－21－23i ，则原式=－2
1+23i.
综上，c b a c b a +--+的值分别为1，－2
1－23
i ，－1+
2
3
i.
14.(14分)设复数z 满足｜z ｜=5，且(3+4i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，｜2z －m ｜=52 (m ∈R )，求
z
和m 的值.
解：设出z 的代数形式z =x +y i(x 、y ∈R ). ∵｜z ｜=5，∴x 2+y 2=25. ∵(3+4i)z =(3+4i)(x +y i) =(3x －4y )+(4x +3y )i ，
又(3+4i)z 在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为相反数，∴3x －4y +4x +3y =0.
化简得y =7x .将其代入x 2+y 2=25，得x =±2
2，y =±2
27
.
∴z =±(2
2
+2
27
i).则当z =
2
2+2
27
i 时，
｜
2z －m ｜=｜1+7i －m ｜=52，
即(1－m )2+72=50.解得m =0或m =2. 当z =－(
2
2+2
27
i)时，同理可得m =0或m =－2.。