椭圆几何性质(一)
高二数学椭圆的几何性质1
e越接近1，椭圆越扁；e越接近 于0，椭圆越接近于圆。
2 2 例1：椭圆25x +16y =400
的长轴长为____，短轴长 为____，焦点坐标为___， 顶点坐标为____，离心率 为 ______。
x y 练习：若椭圆 1的离心率 a8 9 1 为 ，求a的值。 2
2
2
x y (2)若 2 2 1( a b 0 ) 的左焦 a b
x y 2 1 2 a b ( a b 0)
y B2(0,b) o x A2(a,0) B1(0,-b)
2
2
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长。
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比, 2c c 叫做椭圆的离心率。 e y 2a a
0<e<1
o x
变式： (08江西)已知F1，F2椭圆的两 个焦点，满足 MF1 MF2 0 ，点 M总在椭圆的内部，则椭圆的离心率 的取值范围是___________。
2
2
练习：
2 2
x y 1 ( a b 0 ) 已知 2 2 a b 的长轴两端点为A，B，如果椭圆 上存在一点Q，使∠F1QF2=120°， 求离心率e的取值范围。
一、椭圆的范围 二、椭圆的对称性 三、椭圆的顶点
变量x，y的取 值范围 方程的对称性 x=0或y=0时 方程的解
四、椭圆2 2 2 2 x y x y 由 2 1 2 1和 2 1 2 a b a b
即
x a和 y b
o
y
说明：椭圆位于矩 形之中。
x
二、椭圆的对称性 2 2
椭圆关于x轴对称； 椭圆关于y轴对称； 椭圆关于原点对称；
2020高中数学 10 椭圆的几何性质(一)(含解析)2-1
课时分层作业（十）椭圆的几何性质(一）(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m 等于（)A．2 B．3 C．4 D．9B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（)A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c ＝1.］3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B 。
34C 。
错误!D 。
错误!A ［由题意得2a ＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝错误!＝2错误! cm ，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。
］4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9）的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9)的焦点在x 轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C 正确．]5．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ）A 。
错误!＋错误!＝1B 。
错误!＋y 2＝1C 。
错误!＋错误!＝1D 。
错误!＋错误!＝1A [∵△AF 1B 的周长为4错误!，∴4a ＝4错误!，∴a＝3，∵离心率为错误!，∴c＝1，∴b＝错误!＝错误!，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(一)-A基础练(学生版)
3.1.2椭圆的简单几何性质（1） -A 基础练一、选择题1．（2020·南京市天印高级中学月考）椭圆2219y x +=的短轴长为（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．22.（2020福建泰宁一中月考）点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．(),-∞⋃+∞B ．(C ．⎡⎣D ．()2,2-3．（2020河北正定县弘文中学高二月考）椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．4. （2020·全国高二单元测试）若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为( )A ．2B ．12C ．2+D ．15．（多选题）（2020·湖南怀化高二月考）若椭圆222:11x y C m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则下列结论中正确的是（ ）A ．2m =B ．CC ．C 的短轴长为D ．C 6. （多选题）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与椭圆x 225+y 216=1有相同的长轴,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的短轴长与椭圆y 221+x 29=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有( )A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9二、填空题7.（2020·四川阆中中学开学考试）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是圆22680x y x+-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为.8.（2020全国高二课时练）若椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=12,则k的值为.9.（2020山东泰安高二期中）阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为45,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.10.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()三、解答题11.（2020全国高二课时练）焦点在x轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点2,1)P在椭圆上.（1）求m的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.12.（2020山东菏泽三中高二期中）如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求椭圆的方程.。
40分钟课时作业 椭圆的简单几何性质(一)答案
40分钟课时作业 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A.7,2，357B.14,4，357C.7,2，57D.14,4，57 答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式为x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.所以椭圆长轴长，短轴长，离心率依次为14,4，357.2.已知焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 2＝1，其离心率为32，则实数m 的值是( )A.4B.14C.4或14D.12答案 B 解析 ∵焦点在y 轴上，∴a 2＝1，b 2＝m ，∴e ＝ca＝1－b 2a2＝1－m ＝32，∴m ＝14. 3.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A 解析 依题意得c ＝25， a ＋b ＝10 ，又a 2＝b 2＋c 2，从而解得a ＝6，b ＝4. 所以所求椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.4.椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD.－21－mm －1答案 C解椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm .5.设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上，若椭圆的离心率为12，△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 23＋y 24＝1D.x 212＋y 216＝1答案 B 解析 由题意知c a ＝12，①2a ＋2c ＝12，②由①②可知，a ＝4，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝23，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.6.从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22 D.32答案 C解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，则k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，∵OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－ba ，即y 0＝bc a .把P (－c ，bc a )代入椭圆方程，得(－c )2a 2＋(bc a )2b 2＝1，∴(c a )2＝12，∴e ＝c a ＝22.7.设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B | 的值是( ) A.98a B.99a C.100a D.101a 答案 D解析 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 98|＝…＝|F 1P 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B | ＝2a ，|F 1P 50|＝a,50×2a ＋|F 1P 50|＝101a . 二、填空题8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围是________.答案 (2,4] 解析 ∵e ＝1－b 2a2＝1－1a2，∴0<1－1a 2≤32，得1<a ≤2，∴2<2a ≤4. 9.若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为___答案 x 243＋y 213＝1或y 243＋x 213＝1解析 由题意可知a ＝2b ，c ＝1，所以1＋b 2＝4b 2，故b 2＝13，a 2＝43，则此椭圆的标准方程为x 243＋y 213＝1或x 213＋y 243＝1.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________.答案5－12解析 ∵∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∴∠BAO ＝∠FBO ，∴tan ∠BAO ＝tan ∠FBO ， 即b a ＝c b ，得b 2＝ac ，∴a 2－c 2＝ac ，即e 2＋e －1＝0，∵0<e <1，∴e ＝5－12. 11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为__答案6解析 由题意，得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 204).因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 204＋x 0＋3.此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.三、解答题12.已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质.解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率e ＝35.13.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B (如图).(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.解 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ， e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0).其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y ).由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b 2).将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。
椭圆的简单几何性质(一)
2．2.2椭圆的简单几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．思考2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≤b ，|y |≤a长轴、 短轴长轴A 1A 2长为2a ，短轴B 1B 2长为2b思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18; 短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率：e ＝c a ＝223.类型二 椭圆的几何性质的简单应用例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程． 解 依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形，∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5， 即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.反思与感悟 确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．跟踪训练2 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的标准方程．解 ∵F 是椭圆的焦点，cos ∠OF A ＝23，∴点A 是短轴的端点， ∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3， ∴c a ＝23， ∴c ＝2，b 2＝32－22＝5，∴椭圆的标准方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.类型三 椭圆的离心率的求解例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．解 依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )， 则C (0，kc )．因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc2)．因为点B 在椭圆上，所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2.由|k |≤142，得k 2≤72， 即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1.反思与感悟 求e 的范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．跟踪训练3 已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________．答案 35解析 一方面△PF 1F 2的面积为12(2a ＋2c )·r ；另一方面△PF 1F 2的面积为12|y p |·2c ，∵12(2a ＋2c )·r ＝12|y p |·2c ， ∴(a ＋c )·r ＝|y p |·c ， ∴a ＋c c ＝|y p |r. ∴(a c ＋1)＝|y p |r， 又y p ＝4，∴a c ＝|y p |r －1＝432－1＝53，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝35.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.6答案 B解析 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10,2b ＝6，ca＝0.8.2．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 答案 B解析 由椭圆的定义得|PF 2|＝2， 因为|F 1F 2|＝29－2＝27，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________． 答案 x 225＋y 216＝1解析 据题意a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4，又焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23] 解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]． 5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________． 答案 (0，±69)解析 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，在解题中经常将|PF 1|·|PF 2|看成一个整体灵活应用．(3)利用正弦、余弦定理处理△PF 1F 2的有关问题．(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .一、选择题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357B ．14,4，357C ．7,2，57D ．14,4，－57答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A解析 依题意得：c ＝25， a ＋b ＝10 ，又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4. 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23答案 B 解析∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝ca＝ 1－b 2a2＝ 1－m 2＝12，∴m ＝32.4．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1答案 C解析 椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.5．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 答案 C解析 因为|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.6．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45 答案 C解析 设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝3a 2－c ，故cos 60°＝|F 2M ||PF 2|＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.7．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3. 二、填空题8．一椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，线段PF 1与y 轴的交点M 是该线段的中点，若|PF 2|＝|MF 2|，则椭圆的离心率等于________． 答案33解析 ∵M 是线段PF 1的中点， ∴OM ∥PF 2， ∴PF 2⊥F 1F 2， ∵|PF 2|＝|MF 2|， ∴设|PF 2|＝|MF 2|＝x ， 则|PF 1|＝2x ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2x ＋x ＝3x ＝2a ， x ＝2a 3，3x 2＝4c 2，即3(2a3)2＝4c 2，则a 23＝c 2， 即a ＝3c ，则离心率e ＝c a ＝c 3c ＝33.9．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为__________．答案 x 243＋y 213＝1或y 243＋x 213＝1解析 由题意可知a ＝2b ，c ＝1， 所以1＋b 2＝4b 2，故b 2＝13，a 2＝43，则此椭圆的标准方程为x 243＋y 213＝1或x 213＋y 243＝1.10．已知P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上异于顶点的任一点，且∠F 1PF 2＝60°，则这样的点P有________个． 答案 4解析 依据椭圆的对称性知，四个象限内各有一个符合要求的点． 三、解答题11．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率：e ＝35. 12.如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝22.一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变． (1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试根据(1)所求方程判断曲线是否为椭圆方程，若是，写出其长轴长、焦距、离心率． 解 (1)以AB 所在直线为x 轴，方向向右，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)．由题设可得|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝⎛⎭⎫222＝2 2. 又因为22>2＝|AB |，所以可设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2，c ＝1，b＝a 2－c 2＝1，所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由曲线E 的方程x 22＋y 2＝1知，其为椭圆方程，且长轴长为22，焦距为2，离心率为22.13．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此 2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ， |PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝ |PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋[2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2]2＝4c 2， 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.2．2.2椭圆的简单几何性质(一)(学生版)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．思考2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．类型二 椭圆的几何性质的简单应用例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．反思与感悟 确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．跟踪训练2 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的标准方程．类型三 椭圆的离心率的求解例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．反思与感悟 求e 的范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．跟踪训练3 已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________．1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.62．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，在解题中经常将|PF 1|·|PF 2|看成一个整体灵活应用．(3)利用正弦、余弦定理处理△PF 1F 2的有关问题．(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .一、选择题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357B ．14,4，357C ．7,2，57D ．14,4，－572．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.234．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －15．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝16．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.457．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9二、填空题8．一椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，线段PF 1与y 轴的交点M 是该线段的中点，若|PF 2|＝|MF 2|，则椭圆的离心率等于________．9．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为__________．10．已知P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上异于顶点的任一点，且∠F 1PF 2＝60°，则这样的点P有________个．三、解答题11．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．12.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝22.一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|P A|＋|PB|的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)试根据(1)所求方程判断曲线是否为椭圆方程，若是，写出其长轴长、焦距、离心率．13．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e的取值范围．。
用椭圆的简单几何性质(1)
练习2：
x2 y2 1. 若点P（x，y）在椭圆 25 9 1
上，则点P（x，y）横坐标x的取值范围 上的点有 （1）P（-2，4） （2）P（-4，2） （3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）
？
x2 y2 2.若点P（2，4）在椭圆 2 2 1(a b 0) 上，下列是椭圆 a b
已知椭圆方程为6x2+y2=6
2 。短轴是：_____
。
它的长轴长是：2 6
焦距是：
2 5
焦点坐标是： (0, 5 )
外切矩形的面积等于：
(0, 。顶点坐标是： 6) (1, 0) 。
30 .离心率等于：___________。 6
4 6
。
x2 y2 其标准方程是 1 1 6
a 6 b 1 则c a2 b2 5
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
一、范围：
观察:椭圆
x2 y2 1, 2 1得： -a≤x≤a, 2 a b
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
x
二、椭圆的对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x y 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
2.2.2椭圆的简单几何性质(1)
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.2
问题 5 比较下列椭圆的形状， 哪一个更圆， 哪一个更扁？ 为什么？
2 2 x y 4x2＋9y2＝36 与 ＋ ＝1 25 20 2 2 x y 答案 将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1，
则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心 5 x 2 y2 率 e＝ 3 ；椭圆25＋20＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5， 5 2 2 c＝ a －b ＝ 5，故离心率 e＝ 5 .
解
x y 把椭圆的方程化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1.
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3， 短半轴长 b＝2；又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点 的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分 5 c 别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率 e＝a＝ 3 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
b c 问题 4(1)a或b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ c (2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝a越大，椭 c 圆越扁？e＝a越小，椭圆越圆吗？ a2－c2 b 2 答案 (1)都能．由a＝ 2 ＝ 1－e (0<e<1)可知， a
b 当 e 越趋近于 1 时，a越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋 b 近于 0 时，a越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a ＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆。 c (2)如图，在 Rt△ BF2O 中，cos∠ BF2O＝ ， a c c 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁； 越小， a a
由于前一个椭圆的离心率较大， 因此前一个椭圆更扁， 后 一个椭圆更圆．
2015.9.15椭圆的几何性质(1)
焦点坐标、顶点坐标。
x2 y2 例3： 椭 圆 2 2 1(a b 0)的 左 焦 点 为 F （ 0） , A( a ,0), B(0, b) 1 - c， a b b 是两个顶点，如果 F1到 直 线 AB的 距 离 为 , 求 椭 圆 的 离 心 率 . 7
例 4：
x2 y2 1. P 为椭圆 2 2 =1 上一点， F1、 F2 为焦点 ,如果 a b
3 (C) 2
2 (D) 3
60
2 .1,1 则该椭圆的离心率的取 值范围为_______
x2 y2 (6)已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左右焦点分别为F1 , F2 , a b a c 若在椭圆上存在一点 P, 使 , sinPF1 F2 sinPF2 F1
例5.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点， 线段BF的延长线交C于点D，且 BF 2 FD .求C的离心率e .
c e (0 e 1) a c e (0 e 1) a
离心率
例1:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、
离心率、焦点和顶点坐标
能标出图中椭圆焦点的位置吗?依据是什么?
练习: 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y轴上,c=3,e=3/5; (2)经过点P(-3,0),Q(0,-2); (3)长轴长等于20,离心率等于3/5. (4)长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6） (5)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂 直，且焦距为6
一、椭圆的范围
x y x 2 1 2 由 2 a a b
即 x a和 y b 说明：椭圆位于直 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。
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二、对称性：
x a
2 2
y2 b2
1(a b 0)
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称,
原点是椭圆的中心.
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图
象关于原点成中心对称。 y
（1） x2 y 2 1 25 16
（2） x2 y 2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
运用二、由性质求椭圆方程 例2、根据下列条件，求椭圆的标准方程：
2）e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭圆就越圆
3）特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭圆方程变为圆 的方程
小结一：基本元素
(1)基本量：a、b、c、e（共四个量）
(2)基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
(3)基本线：对称轴（共2条线） y
请考虑：基本量之
x F2 A2
5 x 5,4 y 4
B2
椭圆的长轴和短轴长分别为2a=10和2b=8,
两个焦点分别为F1（-3，0）和F2（3，0），
四个顶点分别为A1（-5，0）、A2（5，0）、 B1（0，-4）、B2（0，4）。 离心率e
c a
3 5
例2、根据前面所学有关知识画出下列图形
B2
B1
O
x
B1
F1
A1
范围 a x a,b y b a y a,b x b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率
A1(-a,0), A2(a,0) B1(0,-b), B2(0,b)
A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0)
B1
O F1
B2 x
B1 _ x _
对称性
顶点 离心率
2、完成课本P41第3题、第4题、第5题
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
1
y
即 x a和 y b
o
x
说明：椭圆位于矩形之中。
运用三、椭圆的离心率的求法
运用三、椭圆的离心率的求法
运用三、椭圆的离心率的求法
运用三、椭圆的离心率的求法
圆长轴和短轴的一个端点. a 3，b 2
x2 9
y2 4
1 为所求椭圆的标准方程 .
(2) 由已知: 2a 20，e c 3 ， a 10，c 6 .
a5
b2 a2 c2 64 .
所以椭圆方程为：x2
y2
1或
y2
x2
1
100 64 100 64
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
三、椭圆的顶点
在
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
*顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴
2.1.2椭圆的简单几何性质
第一课时
自主学习
1、阅读课本P37---40页例4前内容，重点理解椭圆的几何性质以及离心率的意义。 并完成下列表格：
方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
B2 y
A2 y
图形
O A1 F1
F2 A2 x
F2
B1(0,b)
间、基本点之间、
基本线之间以及它
们相互之间的关系 （位置、数量之间 的关系）
A1 F1 o
F2
A2 x
B2(0,-b)
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y B2
A2 y
图形
O A1 F1
F2 A2 x
F2
（1）长轴长为短轴长的2倍，且过点（2，-6）
（2）若以直线3x 4 y 12 0与两坐标轴的交点分别作为 顶点和焦点
自主学习反馈 课本P41第3题、第4题、第5题
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P（-3，0），Q（0，-2）；
（2）长轴长等于20，离心率等于
3 5
.
解：（1）由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别为椭
e 1 (b)2 a
椭圆的焦点弦和通径
运用一、由椭圆方程写几何性质
例1.求椭圆16x2+25y2=400中x,y的取值范围，以及长
轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，离心y率大小。
解：把已知方程化成标准方程：
x2 y2
B1
1
52 42
这里a=5,b=4,所以c= 25 16=3 A1 F1 O
A1
和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
o
B2(0,-b)
A2 x
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
y
(1)离心率的取值范围：
因为 a > c > 0，所以0 <e< 1
o
x
(2)离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭圆就越扁