电磁场电磁波——第1章 场论基础

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讨论： （1）当 ψ > 0 时，表示穿出闭合闭曲面S的通量线多于穿 入的通量线，闭曲面S内必有发出通量线的正通量源 正通量源（例如， 正通量源 发出静电场力线的正电荷）； （2）当 ψ < 0 时，表示穿出闭合闭曲面S的通量线少于穿 入的通量线，闭曲面S内必有汇聚通量线的负通量源 负通量源（例如， 负通量源 汇聚静电场力线的负电荷）； （3）当 ψ = 0 时，表示穿出和穿入闭合闭曲面S的通量线 相等，闭曲面S无通量源。
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概
要
矢量分析主要包含矢量代数、正交坐标系和矢量微积 分，场的理论是通过矢量分析来表述的，所以矢量分析与 场论密不可分。 本章首先介绍场的数学概念和表示方法，进而对场的 场域性质和场点性质及其描述方法做了对比讨论，着重讨 论了标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的物理概念及其 运算规律，在此基础上介绍总结矢量场性质的亥姆霍兹定 理。
u ( x, y , z ) = C
(1.32)
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标量场的等值面特性： 标量场的等值面特性： (1)常数C取不同数值时，就得到不同的等值面方程，因 而形成充满标量场u所在空间的等值面蔟（见图1.9）； (2)由于u(x,y,z)是坐标的单值函数，场中任意一点只能在 一个等值面上，标量场的等值面互不相交； (3)三维标量场退化为二维或一维的标量场时，等值面退 化为等值线（曲线或直线）。 例如：
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矢量场F穿过有向曲面元dS的通量
dψ = F ⋅ dS = FdS cos θ
(1.35a )
(1.35b ) (1.35c )
曲面S上各面元dS叠加，分别得开曲面和闭曲面的通量
ψ = ∫ F ⋅ dS = ∫ F ⋅ an dS
S S
ψ=
∫
S
F ⋅ dS
看出矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向 矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向 曲面的通量。 曲面的通量
点P的位置矢量
r = aρ ρ + az z
圆柱、直角坐标系间的变换关系
x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z y ρ = x + y ,ϕ = arctan , z = z x
2 2
(1.23)
(1.24a ) (1.24b )
3．球坐标系 ．
a 图1.8表示球坐标系，其单位矢量 ar 、 θ 和 aϕ 指向r、 θ
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点P的位置矢量
r = ar r
球、直角坐标系间的变换关系
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cosθ y r = x + y + z ,θ = arctan ,ϕ = arctan 2 2 2 x x +y +z
2 2 2
问题：为什么要同时应用矢量场的通量和环量来描述矢量 问题： 场的场域性质？ 场的场域性质？ 3．矢量场的通量和环量 ．
●矢量场的通量
有向曲面S——其大小为S、方向沿曲面的垂直方向 an 的 曲面。
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未闭合曲面的 an 指向与其周线走向呈右旋关系（见图1.15）； 闭合曲面的 指向其外法向（见图1.16）。 an 有向曲面元 d S —有向曲面S上的微分有向曲面元d S = an d S 。
温度场中的等温面 引力场中的等势面 静电场中的等位面（见图 1.10） 气象图中的等压线 地形图中的等高线（见图 1.11）
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2．矢量场的矢量线 ． 引入矢量线可以形象、直观地描述矢量场的空间分布状况。 矢量线——是一种有向曲线：某点矢量场的大小用该点附 近矢量线分布的疏密度表示，方向与该点场矢量的方向一致。 如图1.12所示。
(1.30)
(1.31a ) (1.31b )
z
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1.2 场的性质和描述 1.2.1 场域性质 场域性质是指场在有限区域 域 有限区域的分布状况。 有限区域 1．标量场的等值面 ． 引入等值面可以形象、直观地描述标量场的空间分布状 况。 等值面——在标量场中，使标量函数u(x、y、z)取相同 数值的点形成的空间曲面。 等值面方程——描述给定常数C确定的曲面的轨迹方程
(1.8)
(1.9) (1.10)
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1.1.3 常用正交坐标系 引入坐标系可以将矢量运算中的矢量按坐标投影形式分 解为标量，可简化分析与计算。 1．直角坐标系 ． 图1.6表示直角坐标系， 其单位矢量 ax 、ay 和 az 指向x、y和z增加的方向，且 满足右旋关系
ax × a y = az , a y × az = ax , az × ax = a y
(1.12a ) (1.12b ) (1.13)
)
(1.14 )
)
= a x ( Ay Bz − Az By ) + a y ( Az Bx − Ax Bz ) + a z ( Ax By − Ay Bx ) ax a y az = Ax Ay Az Bx By Bz (1.15)
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图1.3表示借助于矢量加法可以实现矢量减法
A + (− B ) = A − B
(1.4)
图1.3 矢量减法
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2．矢量乘法 ． 图1.4表示矢量A和B的点积（或标积）为两个矢量相互 投影之值
A ⋅ B = AB cosθ
(1.5)
取值范围为 0 ≤ θ ≤ π 。
图1.4 矢量点积
静态场——仅由空间位置确定，不随时间变化的场 （如静电场和静磁场） ； 时变场（动态场）——同时随空间位置和时间变化 的场（如时变电磁场） 。
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1.1.2 矢量场的基本运算 图1.1中用箭头指示方向的线段表示矢量A，线段长度 表示矢量A的模A，箭头指向表示A的方向。一个模为1的 矢量称为单位矢量 a A 。 单位矢量
(1.11)
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矢量A和B的直角分量及其代数运算 A = a x Ax + a y Ay + a z Az
B = a x Bx + a y By + a z Bz A ± B = a x ( Ax ± Bx ) + a y ( Ay ± By ) + a z ( Az ± Bz ) A ⋅ B = ( a x Ax + a y Ay + a z Az ) ⋅ ( a x Bx + a y By + a z Bz = Ax Bx + Ay By + Az Bz A × B = ( a x Ax + a y Ay + a z Az ) × ( a x Bx + a y By + a z Bz
)
(1.21)
) × (a
ρ
Bρ + aϕ Bϕ + a z Bz
)
= a ρ ( Aϕ Bz − Az Bϕ ) + aϕ ( Az Bρ − Aρ Bz ) + a z ( Aρ Bϕ − Aϕ Bρ ) a ρ aϕ a z = Aρ Aϕ Az Bρ Bϕ Bz (1.22 )
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A ± B = ar ( Ar ± Br ) + aθ ( Aθ ± Bθ ) + aϕ ( Aϕ ± Bϕ ) A ⋅ B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
(1.26a ) (1.26b )
(1.27 ) (1.28)
A × B = ar ( Aθ Bϕ − Aϕ Bθ ) + aθ ( Aϕ Br − Ar Bϕ ) + aϕ ( Ar Bθ − Aθ Br ) ar aθ aϕ = Ar Aθ Aϕ Br Bθ Bϕ (1.29 )
点P的位置矢量及其微分
r = ax x + a y y + az z d r = ax d x + a y d y + az d z
2、圆柱坐标系 、
(1.16) (1.17)
a 图1.7表示圆柱坐标系，其单位矢量 aρ 、ϕ 和 a z 指
向 ρ 、ϕ 和z增加的方向，且满足右旋关系
a ρ × aϕ = a z , aϕ × a z = a ρ , a z × a ρ = aϕ
(1.33)
d r ( x, y , z ) = a x d x + a y d y + a z d z
则矢量线方程为
dx dy dz = = Fx Fy Fz
(1.34 )
图1.13和图1.14表示点电荷的电力线和直线电流的磁力线 是两类不同性质的源，它们的场也具有不同的性质。
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矢量线方程——描述矢量函数F ( r ) 分布曲线中某点P的 矢量分布方程，它是由与点P相切（共线）的微分矢量 d r 满足 d r
F 所确定的矢量线微分方程。
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在直角坐标系中，取
F ( x, y,z ) = a x Fx ( x, y, z ) + a y Fy ( x, y, z ) + a z Fz ( x, y, z )
矢量点积服从交换律和分配律
A⋅ B = B ⋅ A A ⋅( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C 和B的叉积（或矢积）为一个按右旋法 则确定的矢量
A × B = an AB sin θ
矢量叉积只服从分配律
A × B = −B × A A × (B + C ) = A × B + A × C