3-1导数概念1027

x

4
.
(sin x )
x

4
cos x
x

4
2 . 2
同理可得 (cos x ) sin x .
24
自己练习
例 求函数
解:
f ( x ) f ( a) x n an lim lim x a x a x a xa
lim ( x n1 a x n 2 a 2 x n 3 a n1 )
x 0
1 y sin x
x
y 在x 0处, x
当x 0时,
1 (0 x ) sin 0 0 x
y 在 1和1之间振荡而极限不存在. x
36
x
1 sin , x
f ( x )在x 0处不可导.
2 例 设 f ( x) 1 x2 ax b 确定 a, b 的值.
y y0 f ( x0 )( x x0 )
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 1 1 k y 1 ( ) 1 2 1 4. x x x2 x x2 2
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 2
4 x y 4 0.
1 1 法线方程为 y 2 ( x ),即 4 2 2 x 8 y 15 0.
v s
而在
自由落体运动
f ( t0 )
f ( t0 t )
t
o
时刻的瞬时速度为
t0
t0 t
s
s f ( t0 t ) f ( t0 ) lim , v ( t0 ) lim t 0 t 0 t t
16
切线斜率 瞬时速度 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限. 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 边际成本、边际收益等问题
(1)
当极限(1)式不存在时, 则称函数 f (x)在x0处不 可导或导数不存在. 特别当(1)式的极限为无穷大时, 也称f (x)在x0处导数是无穷大. 注
导数定义的几种常见形式: f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) lim ,
h 0
h f ( x0 h ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . h 0 h
3
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
4
如图, 如果割线MN绕点M旋
转而趋向极限位置MT, C在 点M处的切线.
y
y f ( x)
N
T
设 M ( x0 , y0 ), N ( x0 x, y0 y).
割线MN的斜率为
O
C
M


x0
x0 x x
y f ( x0 x ) f ( x0 ) tan , x x
20
(3) 对于任一 x I , 都对应着 f (x)的一个确定的
导数值. 这个函数叫做原来函数f (x)的 导函数.
, f ( x ), dy 或 df ( x ) . 记作 y
dx
即 或 注
dx f ( x x ) f ( x ) y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim . h 0 h
f ( x h) f ( x ) lim C C 0. 解 f ( x ) lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0
23
例 设函数 f ( x ) sin x,求(sin x )及(sin x )
sin( x h) sin x 解 (sin x ) lim h 0 h h sin h 2 cos x . lim cos( x ) h 0 h 2 2 即 (sin x ) cos x .
22
用定义求导(几个基本初等函数的导数)
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
步 骤
y f ( x x ) f ( x ) (2) 算比值 ; x x
y lim (3) 求极限 y x 0 x .
例 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
31
三、导数的几何意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x )
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线
y f ( x)
T
的斜率, 即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
C
O
M


x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ) :
x 0 x 0
所以,函数 f ( x )在点 x连续 .
34
注 该定理的逆定理不一定成立. 如, f ( x ) x 在x 0处连续,
. 但在 x 0处不可导 x 0为 f ( x )的角点 ,
y
y x
O
x
连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.
35
y
1 x sin , x 0 例 讨论函数 f ( x ) x 0, x0 O 在x 0处的连续性与可导性 . 1 1 解 sin 是有界函数 , limx sin 0 x 0 x x f (0) lim f ( x ) 0 f ( x )在x 0处连续.
f (0 h) f (0) h lim lim 1. h0 h 0 h h

y
y x
O
x
即
f (0 h) f (0) lim 不存在 , h0 h
函数 y f ( x )在x 0点不可导 .
29
4. 单侧导数 左导数
x0
( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) f x x x x0 0 f ( x0 x ) f ( x0 ) lim ; x 0 x f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x x x0 0 f ( x0 x ) f ( x0 ) lim . x 0 x
f ( x0 ) f ( x )
0 0
x x0
？f ( x ) [ f ( x ) ]
21
f ( x0 ) lim
例 用导数表示下列极限
h0
f ( x0 h) f ( x0 ) h
f (a 3 x ) f (a ) (1) 设f ( x )在x a可导, 求 lim . x 0 5x f ( a h) f ( a ) ( 2)已知f (a ) 2, 求 lim . h 0 2h f f aa 3 )f(a )(a ) ( ( h) x f lim 解 ( 2) ) lim 解 (1 h0 2h x x 0 5 f ( a h) f ( a ) 1 f (a 3 x ) f (a ) 3 f (a 3 x ) f (a ) lim h lim lim 2 h0 x 0 5 5 x 0 3x 1 3 ( a ) x 1 f 3 2 3 f (a ). 5
x 1 x 1
在 x 1 处的可导 ,
解 f ( x )在x 1可导, f ( x )在点x 1连续 .
(Calculus)
第一节
导数的概念
引例 导数的定义
导数的几何意义 可导与连续的关系 小结 思考题 作业
第三章 导数与微分
2
一、引例
例1 曲线的切线斜率问题
已知平面曲线 y f ( x ), 如何作过曲线上点 M ( x0 , y0 )
y
y f ( x)
N
T
的切线
C
O
M

x0
x
割线的极限位置—— 切线.
右导数
如 f ( x ) x 在 x = 0 处有
30
f ( x )在x0处可导
左导数 f ( x0 )和右导数 f ( x0 )都存在,且相等
此性质常用于判定分段函数在 分段点
处的可导性.
如果 f ( x ) 在开区间 (a , b) 内可导,且 f (a )
[ 和f (b) 都存在, 就说f ( x )在闭区间 a, b]上可导.
即
1 (loga x ) x ln a
28
1 (ln x ) . x
例 讨论函数 f ( x ) | x | 在x 0处的可导性.
f ( 0 h) f ( 0 ) | h | , 解 h h
h f (0 h) f (0) lim 1, lim h 0 h h 0 h
x a
即 更一般地 如
( x n ) nx n1
( x ) x 1 . ( R) (以后将证明)
1
1 2 1 1 ( x ) x 2 2 x
( x ) ( 1) x
1
26
1 1
1 2 x
例 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数.
a 解 ( a ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
x
a
xh
x
a x ln a .
即
(a ) a ln a
x x
( e ) e .
x x
27
例 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.
log a ( x h) log a x 解 y lim h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 1 lim log a (1 ) loga e . h 0 x x x ln a x