数学数学平行四边形的专项培优练习题(及解析

数学数学平行四边形的专项培优练习题(及解析

一、解答题

1．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？

（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．

（1）操作发现：

①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个

三角形；

②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为 ．

（2）深入探究：

在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝23．

①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；

②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．

3．（1）如图①，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数；

（2）如图②，在RtABD中，90,BADADAB，点M，N是BD边上的任意两点，且45MAN，将ABM绕点A逆时针旋转90度至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由；

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若正方形ABCD的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG，MN的长．

4．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH．

（1）求证：GFGC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

5．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点AD、不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．

（1）求证：PDEQCE；

（2）若PBPQ，点F是BP的中点，连结EFAF、，

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②求PE的长．

6．如图所示，四边形ABCD是正方形， M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点AB、重合)，另一直角边与CBM的平分线BF相交于点F． (1)求证: ADEFEM;

(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

7．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．

（1）求证：BP＝CQ；

（2）若BP＝13PC，求AN的长；

（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

8．（解决问题）如图1，在ABC中，10ABAC，CGAB于点G．点P是BC边上任意一点，过点P作PEAB，PFAC，垂足分别为点E，点F．

（1）若3PE，5PF，则ABP的面积是______，CG______．

（2）猜想线段PE，PF，CG的数量关系，并说明理由． （3）（变式探究）如图2，在ABC中，若10ABACBC，点P是ABC内任意一点，且PEBC，PFAC，PGAB，垂足分别为点E，点F，点G，求PEPFPG的值．

（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任意一点，过点P作PGBE，PHBC，垂足分别为点G，点H．若8AD，3CF，直接写出PGPH的值．

9．如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADBC∥，连接AC，点P、E分别在AB、CD上，连接PE，PE与AC交于点F，连接PC，DBAC，DAEAEP．

（1）判断四边形PBCE的形状，并说明理由；

（2）求证：CPAE；

（3）当P为AB的中点时，四边形APCE是什么特殊四边形？请说明理由．

10．已知，矩形ABCD中，4,8ABcmBCcm，AC的垂直平分EF线分别交ADBC、于点EF、，垂足为O．

（1）如图1，连接AFCE、，求证：四边形AFCE为菱形；

（2）如图2，动点PQ、分别从AC、两点同时出发，沿AFB△和CDE△各边匀速运动一周，即点P自AFBA停止，点O自CDEC停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当ACPQ、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t____________．

②若点PQ、的运动路程分别为ab、 （单位:,0cmab），已知ACPQ、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a与b满足的数量关系式为____________．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）34；（2）y=4t+2；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．

【分析】

（1）因为BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形，此时点M在点P的左侧，求解即可；

（2）y=12（BN+PA）•OC，即可求解；

（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．

【详解】

（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．

此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，

MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，

即3﹣3t=t，解得：t=34；

（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，

BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，

则y=12(BN+PA)•OC=12(t+t+1)×4=4t+2；

（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，

则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，

①当∠MQA为直角时，

∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，

则PA=PM， 而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，

故t+1=3﹣3t，解得：t=12，则OM=2t=1，

故点M（1，0）；

②当∠QMA为直角时，

则点M、P重合，

则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，

故OM=OP=2t=2，

故点M（2，0）；

综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．

【点睛】

本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．

2．（1）①等腰；②2BEAE；（2）①2；②存在，23或512

【分析】

（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；

②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE＝2AE；

（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得BE＝2AE，AB＝3AE＝3，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；

②当点F在边BC上时，得S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的性质得CE＝CB＝23，即EF＝23；

当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝12KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，得S△BEF≤12S矩形ABCD＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝12CD＝32，点E与点A重合，由勾股定理求出EF即可．

【详解】

解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，

∴BEF是等腰三角形；

故答案为：等腰；

②当折痕经过点A时，

由折叠的性质得：AF垂直平分BE，

∴AE＝BE，

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠A＝90°，

∴ABE是等腰直角三角形，

∴BE＝2AE；

故答案为：BE＝2AE；

（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，

∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，

∵∠A＝90°，

∴BE＝2AE，AB＝3AE＝3，

∴AE＝1，BE＝2，

∴BF＝2；

②存在，理由如下：

∵矩形ABCD中，CD＝AB＝3，BC＝23，

∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝3×23＝6，

第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：

此时可得：S△BEF≤12S矩形ABCD，

即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，

由折叠的性质得：CE＝CB＝23，

即EF＝23；

第二种情况：当点F在边CD上时，

过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：

∵S△EKF＝12KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，

∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤12S矩形ABCD＝3，

即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，