西藏日喀则市2020届高三数学上学期学业水评测试模拟试题理【含答案】
2020年西藏第三次高考模拟考试理科数学试题与答案
2020年西藏第三次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(1)|1|z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i -3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A.B.C. D. 24. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A.B. C. D.5. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15B. 16C. 18D. 216. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种7. 若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18. 已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则( )A.)(a f <)(b f <)(c fB.)(b f <)(c f <)(a fC.)(a f <)(c f <)(b fD.)(c f <)(b f <)(a f12．已知函数1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x x f ，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围为（ ）A．1,64⎡⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．][1,2ln2,64⎛-∞-⋃ ⎝ D ．][1,2ln2,64e ⎛-∞-⋃ ⎝ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
西藏日喀则市普通高中2020届高三年级上学期学业水平考试数学(文)试题及答案
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则在复平面内,复数 对应的点的坐标是（）
A． B． C． D．
3．已知向量 ,且 ,则 （）
A. B. C. D.5
4．某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取140人,则n为()
18．（本题满分12分）某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图．
（1）求参加测试的总人数及分数在[80,90）之间的人数；
（2）若要从分数在[80,100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,恰有一份分数在[90,100）之间的概率．
19．（本题满分12分）如图,直三棱柱 中, 分别为 的中点.
15、34 16、50
三、解答题
17解：（1）当 时, ,
当 时,
即： , 数列 为以2为公比的等比数列
（2）
两式相减,得
18．解：（1）成绩在[50,60）内的频数为2,由频率分布直方图可以看出,成绩在[90,100]内同有2人．由 ,解得n=25．成绩在[80,90）之间的人数为25﹣（2+7+10+2）=4人
又 平面 .
又 即为 与平面 所成的角.
.
20．解：（1）设椭圆 的焦距为 ,则 ,
∴ , ,
所以,椭圆 的方程为 ,
将点 的坐标代入椭圆 的方程得 ,
解得 ,则 , ,
因此,椭圆 的方程为 .
（2）①当直线 斜率为0时, 与椭圆交于 , ,而 .
此时 ,故不符合题意.
②当直线 斜率不为0时,设直线 的方程为 ,设点 、 ,
2020届西藏自治区日喀则市高三上学期学业水平测试(模拟)化学试题(解析版)
2020届西藏自治区日喀则市高三上学期学业水平测试（模拟）化学试题（解析版）(考试时间：90分钟试卷满分：100分)可能用到的相对原子质量：H ：1C ：12N ：14O ：16Mg ：24Cl ：35.5K ：39Cu ：64一、选择题(本题共7个小题，每小题6分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.下列说法正确的是（）A.羊绒衫和棉衬衣的主要成分均为纤维素B.SO 2、CO 2、NO 2均为造成大气污染的有毒气体C.酒精可用来杀菌消毒是因为酒精能使蛋白质变性D.用淀粉溶液可以检验加碘食盐中是否含碘 答案：C解：A ．羊绒衫的主要成分是蛋白质，棉衬衫的主要成分是纤维素，选项A 错误；B ．二氧化碳是植物光合作用的主要反应物，自然界中碳的循环有着至关重要的作用．CO 2是空气中的成分，不会造成大气污染，选项B 错误；C ．体积分数为75%的酒精溶液常用于灭菌消毒，此浓度杀菌力最强．在75%的酒精作用下，乙醇能渗入细胞内，使蛋白质凝固变性，从而起到杀菌的作用，选项C 正确；D ．淀粉遇碘单质变蓝，而加碘盐中含碘酸钾，不是单质，不能用淀粉溶液检验加碘盐中是否含碘元素，选项D 错误； 答案选C 。
2.设N A 为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是（）A.标准状况下22.4LCl 2通入到足量水中或者NaOH 溶液中转移的电子数都为N AB.24gMg 在空气中完全燃烧生成MgO 和Mg 3N 2，转移的电子数为2N AC.0.1mol/L 的Na 2CO 3溶液中，2-3CO 、-3HCO 、H 2CO 3微粒总数为0.1N A D.1molNa 2O 2中阳离子和阴离子数目之比为1:1 答案：B解：A ．Cl 2通到水中是可逆反应，转移的电子数小于N A ，故A 错误；B．MgO和Mg3N2的混合物中镁的化合价都为+2价，24gMg即物质的量24g=1mol24g/mol，变为镁离子失去2mol电子，转移的电子数为2N A，故B正确；C．溶液体积未知，无法计算Na2CO3的物质的量，故C错误；D．1molNa2O2是由2molNa+和1mol2-2O，阳离子和阴离子数目之比为2:1，故D错误；答案选B。
西藏日喀则市拉孜高级中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试卷 Word版含答案
拉孜高级中学2019---2020学年第一学期第一次月考高三年级 理科数学一、选择题.（共12小题，每题5分）1.设集合=｛0,1,2｝，=，则= ( )M N {}2|320x x x -+≤M N ⋂A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2. 已知复数满足，则 = （ ）Z ()2543=+Z i Z A.-5 B.5 C. D. 77-3.已知 ， , .则 的大小关系是（ ）0.7log 1a = 1.1log 0.9b =0.91.1c =,,a b cA. B. a b c <<a c b <<C. D.b ac <<c a b <<4. 如图所示,程序框图的输出结果是 （ ） A ．16B ．2524C ．34D ．11125. 已知为单位向量，其夹角为60，,︒则（2－）· = ( )A. 0 B. －1 C. 1 D.26.为了得到函数的图象，可将函数的图象( )sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 26π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位 12π12πC ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位6π6π7. 设x,y 满足约束条件，则的最大值为 （ ）70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥2z x y =-A. 10 B. 8 C. 3 D. 28.若，则（ ）A B C D87-873231-9. 钝角三角形ABC 的面积是，AB=1，，则AC= ( )12A. 5B. 5C. 2D. 110.定义在R 上的函数，若满足)(x f ，则 （ ）⎩⎨⎧>-≤-=0),2(0),4(log )(2x x f x x x f =)2(f A.-1 B.-2 C.1 D.211.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，F 2y x =A B x （其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是2OA⋅OB =O F ∆A O F ∆B O （ ）ABCD12. 已知函数,下列结论只不正确的是 （ ）A ．B ．()(),0y f x π=的图像关于中心对称()2y f x x π==的图像关于对称C ． D ．()f x ()f x 既是奇函数，又是周期函数二、填空题.（共4小题，每题5分）13. 的二项展开式中的常数项为 .261()x x-14. 从字母中任取两个不同的字母，则取到字母的概率为 .,,,,a b c d e a 15. 若函数的图象在点处的切线过点，则______.()ln f x x x a =+(1,(1))f (2,2)a =16.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。
西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试(模拟)数学(理)试题 Word版含解析
2019-2020学年度日喀则市高三学业水平测试试卷理科数学注意事项：1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名、学号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.第I 卷（选择题 共60分)一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋂=（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2. 若复数z 满足12iz i -= ，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()21， C. ()12-， D. ()21-，【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】由题意i z ＝1+2i ，∴iz （﹣i ）＝（1+2i ）•（﹣i ）， ∴z ＝2﹣i ．则在复平面内，z 所对应的点的坐标是（2，﹣1）．故选D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知向量(,3)a x =,(2,2)b =- ,且a b ⊥,则a b +=( ) A. 5 26C. 25D. 10【答案】B 【解析】【详解】因为a b ⊥所以，260,3,x x -==a b +22()5126a b =+=+=,故选B.4. 为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派3人到开张镇石桥村包扶5户贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（ ） A. 30 B. 90 C. 150 D. 210【答案】C 【解析】 【分析】先分组再排序，可得知这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，然后利用分步计数原理可得出所求方案的数目.【详解】由题意可知，这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为1233545322561061502C C C A A ⎛⎫⨯⎛⎫+=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查分配问题，求解这类问题遵循先分组再排序的原则，再分组时，要注意平均分组的问题，同时注意分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5. 若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为A. 22B. 42C.22D.42【答案】B 【解析】∵()1sin sin 3παα-==，2παπ≤≤， ∴22cos 1sin 3αα=-=-， ∴12242sin22sin cos 2()339ααα==⨯⨯-=-B ． 6. 设,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示，目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由11x y y +=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A -，所以目标函数的最大值为max 2213z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 7. 已知0.13a =，3log 2b =，cos4c =，则（） A. c a b <<B. a c b <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】通过0,1分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出10a b c >>>>，由此选出正确结论.【详解】解：∵0.10331>=，3330log 1log 2log 31=<<=，342ππ<<，cos40<； ∴c b a <<.故选C.【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查0,1分段法比较大小，属于基础题.8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若////m n αα，，则//m nB. 若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC. 若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥ D. 若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D .【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题. 9. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.10. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B 【解析】【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．11. 在ABC 中，60A ︒=，4AC =，23BC =ABC 的面积为（）A. 43B. 4C. 23D. 2【答案】C 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求出2AB =，利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】由余弦定理可得：2224(223)4cos 60AB AB =+-⨯⨯︒， 化为：2440AB AB -+=，解得2AB =， ∴ABC 的面积13sin 4223212S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 试在抛物线2y 4x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()A 2,1-的距离之和最小，则该点坐标为( ) A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. (2,22--D.(2,22-【答案】A 【解析】由题意得抛物线的焦点为(1,0)F -，准线方程为:1l x =． 过点P 作PM l ⊥于点M ，由定义可得||||PM PF =, 所以||||||||PA PF PA PM +=+，由图形可得，当,,P A M 三点共线时，||||PA PM +最小，此时PA l ⊥．故点P 的纵坐标为1，所以横坐标14x =-．即点P 的坐标为1(,1)4-．选A ．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．第II 卷（非选择题 共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 【答案】2y x e =- 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2， 又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-． 故答案为2y x e =-【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．14. 在()821121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 【答案】57 【解析】 【分析】先求出811x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项和2x -的系数，再求()821121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项. 【详解】由题得811x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为1881()r r r rr T C C x x -+==，令r=0得811x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为081C =,令-r=-2，即r=2,得811x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的2x -的系数为2828C =.所以()821121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为1+2×28=57. 故答案为57【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15. 点P 是双曲线221169x y -=左支上的一点，其右焦点为F ，若M 为线段FP 的中点, 且M到坐标原点的距离为7，则PF =___________. 【答案】22 【解析】 【分析】先利用三角形的中位线的性质，可得'1||||2OM PF =，再利用双曲线的定义，'||||2PF PF a -=，即可求得PF ．【详解】解：设双曲线的左焦点为'F ，连接'PF ，则OM 是'F PF ∆的中位线，''1//,|2|||O OM PF M PF ∴=M 到坐标原点的距离为7，'||14PF ∴=又由双曲线的定义'||||28PF PF a -==， 得'8||22PF PF =+= 故答案为22．【点睛】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．16. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是_________________【答案】50S π= 【解析】 【分析】根据堑堵定义以及长方体性质可得阳马111C ABB A -的外接球的直径为1A C ，再根据球的表面积公式求结果.【详解】由于1CB,,BA BB 两两相互垂直，所以阳马111C ABB A -的外接球的直径为1A C ，即222253450R =++=2450R ππ=.【点睛】若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）12n n +⋅.【解析】 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得12nn a a -=，可得{}n a 是等比数列； （2）由（1）可得()12nn b n =+，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=--- 即：12nn a a -=，数列{}n a 为以2为公比的等比数列 2n n a ∴=.（2）()122log 212nn n n b n +=⋅=+()212232212n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+⋅++()23122232212n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+⋅++两式相减，得()23114222122n n n n T n n ++-=+++⋯+-+=-⋅12n n T n +∴=⋅.【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 18.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核. （I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】⑴在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.（2）815（3）见解析 【解析】 【分析】⑴根据分层抽样的抽取比例可以确定各组抽取的人数，容易求.⑵从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，那么还需抽取1名男工人，根据古典概型公式，即可.⑶抽取的3名工人中男工人数可以是0，1，2，3，有四种情况，一一列出，构成分布列，根据数学期望公式完成计算. 【详解】⑴按照抽取的比例311055=+，甲组和乙组抽取的人数分别为111025155⨯=⨯=，，所以应在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.⑵设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A,则P(A)=1164210815C C C =. ⑶依题意0,1,2,3ξ=由()2143211052025C C P C C ξ===,11121643422121105105C C C C C 28P 1C C C C 75ξ==+=（）， 21111636422121105105C C C C C 31P 2C C C C 75ξ==+=（），,216221105C C 10P 3C C 75ξ===（）得ξ的分布列如下表： ξ123P225287531751075所以ξ的数学期望2831108E123167575755ξ=⨯+⨯+⨯==⋅19. 如图,直三棱柱111ABC A B C-中,1,1,2,2,,AB AC AB AC AA D E⊥===分别为11,BC A C的中点.(1)证明:1//C D平面ABE;(2)求1CC与平面ABE所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（25【解析】【分析】(1)法一：要证1C D∥平面ABE，只需证明1DC HE∥即可，通过构造平行四边形可证之；法二：可先证平面1C KD∥平面ABE，利用面面平行的性质即可得到1C D∥平面ABE; （2）法一：由于111,CC AA A AE∠∥即为1CC与平面ABE所成的角，利用数据求之；法二：（等积法）利用等积法计算出1A到平面ABE的距离，从而要求的答案为：1sindAAθ=即可.【详解】（1）法一：取AB 中点H ，连接,EH HD ，在直三棱柱111ABC A B C -中，112EC AC ∥. ∵D 为BC 中点，H 为AB 中点，∴11,2HD AC HD EC ∥∥，∴四边形1DHEC 为平行四边形，∴1DC HE ∥.∵EH ⊂平面ABE ，1C D 平面ABE ，∴1C D ∥平面ABE .法二：取AC 中点K ，连结1,C K KD ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC ∥. ∵E 为11A C 中点，K 为AC 中点，∴1EC AK ∥， ∴四边形1AKC E 为平行四边形，∴1AE C K ∥.又1C K ⊂/平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，∴1C K ∥平面ABE . ∵,K D 分别为,AC BC 中点，∴12DK AB ∥. 又DK ⊂/平面ABE ，AB平面ABE ，∴DK ∥平面ABE .1,C K DK K =∴平面1C KD ∥平面ABE .1C D ⊂平面11,C KD C D ∴∥平面ABE .（2）法一：直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，且1AC AA A =∩，∴AB ⊥平面11ACC A 过1A 作1A F AE ⊥于F .∵1A F ⊂平面11ACC A ，∴1AB A F ⊥. 又1,AB AE A A F =∴⊥∩平面ABE .又111,CC AA A AE∴∠∥即为1CC与平面ABE所成的角.111152,1,5,sin55AA A E AE A AE==∴=∴∠==.法二：（等积法）1111,CC AA AA CC∴、∥与平面ABE所成的角相等.连结1A B，直三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，∴1AA AB⊥.又1,,AB AC AC AA A AB⊥⋂=∴⊥平面11ACC A.1111111213323B A AE A AEV S AB-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，222211215AE AA A E=+=+=.设1A到平面ABE的距离为d，1111515332A ABE ABEV S d d d-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.∵1115,36A ABEB A AEV V d--=∴=，即5d=.设1CC与平面ABE所成的角为θ，15sin5dAAθ∴==.【点睛】本题主要考查线面平行，线面角所成正弦值的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，分析能力，转化能力，计算能力.20. 已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，其离心率12e=，点P为椭圆上的一个动点，12PF F△面积的最大值为3（1）求椭圆的标准方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD ⋅=，求+AC BD 的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)根据题意列出方程组，求解,,a b c ，即可求得椭圆的标准方程；(2) 当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，有6814AC BD +=+=；当当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，设方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y ，与椭圆方程联立求出1212,x x x x +⋅，利用弦长公式求出AC，同理求出BD ，从而表示出+AC BD ,根据题意求出k 的取值范围从而求出+AC BD 的范围.【详解】解：(1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取最大值 此时121212PF F S F F OP bc ∆=⋅⋅= 所以43bc = 因为12e =，所以3b =4a = 所以椭圆方程为2211612x y +=（2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为(2,0)-因为0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+=②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，则其方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y则点A 、C 的坐标是方程组22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的两组解所以2222(34)1616480k x k x k +++-=所以212221221634164834k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以2212224(1)134k AC k x k+=+-=+ 此时直线BD 的方程为()12y x k=-+ 同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)3443(34)(43)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++ 令21(0)t k k =+≠，则1t >，2168112AC BD t t+=-+ 因为1t >，所以21104t t -<≤ 所以96[,14)7AC BD +∈综上96[,14]7AC BD +∈【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较难题.21. 设函数()ln 1f x x ax =--，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若函数()f x 没有零点，求a 的取值范围.【答案】()1 当0a ≤时，()f x 的增区间是()0,+∞，当0a >时，()f x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()2 21,.e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求函数f （x ）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f （x ）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论． 【详解】()()1ln 1f x x ax =--，()11'axf x a x x-=-=，(0)x >， ①当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，②当0a >时，令()'0f x <，解得1x a>； 令()'0f x >，解得10x a<<， 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的增区间是()0,∞+，当0a >时，函数()f x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ()2依题意，函数()f x 没有零点，即()ln 10f x x ax =--=无解，由(1)知：当0a >时，函数()F x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数， 只需111ln 1ln 20f a a a a a ⎛⎫=-⋅-=--<⎪⎝⎭， 解得2a e ->．∴实数a 的取值范围为21,.e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题22. 在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点(1,33M --且倾斜角为α.()1求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；()2已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.【答案】（1）()2224x y -+=，133x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).（2）3πα=【解析】 【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；()2将直线l 的方程代入圆C 的方程，利用根与系数的关系，求得A B t t +，A B t t ，由A 为MB的中点，得到2B A t t =，求得,A B t t ，即可求得A B t t 的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆:4C cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以224x y x +=，即()2224x y -+=，根据直线的参数方程的形式，可得直线l :133x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).()2设, A B 对应的参数分别为, A B t t ，将直线l 的方程代入C ，整理得26320)3t t sin cos αα-++=， 所以63()A B t t sin cos αα+=+，32A B t t =， 又A 为MB 的中点，所以2B A t t =， 因此(3)246A t sin cos sin πααα⎛⎫⎪⎝=++⎭=， 8sin 6B t πα⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以232sin 326A B t t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即2sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0a π≤<，所以7666πππα≤+<，从而=62ππα+，即3πα=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 23. 已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）解不等式()10f x <； （2）若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b 满足48a b m +=，求12a b+的最小值. 【答案】（1）()2,3-；（2）9 【解析】 【分析】（1）可采用零点讨论法先求出零点，1231,22x x ==-，再将x 分为三段32x ≥，1322x -≤<，12x <-，分别进行讨论求解（2）采用绝对值不等连式特点求出()f x 最小值，再采用均值不等式进行求解即可【详解】解：（1）①当32x ≥时，4210x -<，解得3x <；3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭②当1322x -≤<时，410<，恒成立；13,22x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭③当12x <-时，2410x -<，解得2x >-；12,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭综上所述，该不等式的解集为()2,3-. （2）根据不等连式()()212321234x x x x ++-≥+--=，所以4m =，21a b +=，121222(2)5b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭2259b aa b≥+⋅=， 当且仅当13a b ==时取等号.高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 1 - 故12a b+最小值为9. 【点睛】绝对值不等式的解法常采用零点讨论法，分区间讨论时，一定要注意零点处取不取得到的问题，如本题中将x 分为三段32x ≥，1322x -≤<，12x <-；绝对值不等连式为：a b a b a b +≥±≥-，应熟悉均值不等式常见的基本形式，知道基本形式都源于2a b ab +≥。
西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试(模拟)数学(理)试题 Word版含解析
2019-2020学年度日喀则市高三学业水平测试试卷理科数学注意事项：1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名、学号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.第I 卷（选择题 共60分)一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋂=（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2. 若复数z 满足12iz i -= ，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()21， C. ()12-， D. ()21-，【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】由题意i z ＝1+2i ，∴iz （﹣i ）＝（1+2i ）•（﹣i ）， ∴z ＝2﹣i ．则在复平面内，z 所对应的点的坐标是（2，﹣1）．故选D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知向量(,3)a x =,(2,2)b =- ,且a b ⊥,则a b +=( ) A. 5C. D. 10【答案】B 【解析】【详解】因为a b ⊥所以，260,3,x x -==a b+25==+=,故选B.4. 为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派3人到开张镇石桥村包扶5户贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（ ） A. 30 B. 90 C. 150 D. 210【答案】C 【解析】 【分析】先分组再排序，可得知这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，然后利用分步计数原理可得出所求方案的数目.【详解】由题意可知，这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为1233545322561061502C C C A A ⎛⎫⨯⎛⎫+=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查分配问题，求解这类问题遵循先分组再排序的原则，再分组时，要注意平均分组的问题，同时注意分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5. 若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为A.B.C.D.【答案】B 【解析】∵()1sin sin 3παα-==，2παπ≤≤，∴cos 3α==-，∴1sin22sin cos 2()339ααα==⨯⨯-=-B ． 6. 设,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示，目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由11x y y +=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A -，所以目标函数的最大值为max 2213z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 7. 已知0.13a =，3log 2b =，cos4c =，则（） A. c a b <<B. a c b <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】通过0,1分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出10a b c >>>>，由此选出正确结论.【详解】解：∵0.10331>=，3330log 1log 2log 31=<<=，342ππ<<，cos40<； ∴c b a <<.故选C.【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查0,1分段法比较大小，属于基础题.8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若////m n αα，，则//m nB. 若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC. 若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥ D. 若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D【解析】 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D .【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题. 9. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.10. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B 【解析】【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．11. 在ABC 中，60A ︒=，4AC =，23BC =ABC 的面积为（） A. 43 B. 4C. 23D. 2【答案】C 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求出2AB =，利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】由余弦定理可得：2224(24cos 60AB AB =+-⨯⨯︒， 化为：2440AB AB -+=，解得2AB =， ∴ABC的面积1sin 42212S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 试在抛物线2y 4x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()A 2,1-的距离之和最小，则该点坐标为( )A. 1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (2,--D.(2,-【答案】A 【解析】由题意得抛物线的焦点为(1,0)F -，准线方程为:1l x =． 过点P 作PM l ⊥于点M ，由定义可得||||PM PF =, 所以||||||||PA PF PA PM +=+，由图形可得，当,,P A M 三点共线时，||||PA PM +最小，此时PA l ⊥．故点P 的纵坐标为1，所以横坐标14x =-．即点P 的坐标为1(,1)4-．选A ．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．第II 卷（非选择题 共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 【答案】2y x e =- 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2， 又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-． 故答案为2y x e =-【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．14. 在()821121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 【答案】57 【解析】 【分析】先求出811x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项和2x -的系数，再求()821121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项. 【详解】由题得811x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为1881()r r r rr T C C x x -+==，令r=0得811x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为081C =,令-r=-2，即r=2,得811x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的2x -的系数为2828C =.所以()821121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为1+2×28=57. 故答案为57【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15. 点P 是双曲线221169x y -=左支上的一点，其右焦点为F ，若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为7，则PF =___________. 【答案】22 【解析】 【分析】先利用三角形的中位线的性质，可得'1||||2OM PF =，再利用双曲线的定义，'||||2PF PF a -=，即可求得PF ．【详解】解：设双曲线的左焦点为'F ，连接'PF ，则OM 是'F PF ∆的中位线，''1//,|2|||O OM PF M PF ∴=M 到坐标原点的距离为7，'||14PF ∴=又由双曲线的定义'||||28PF PF a -==， 得'8||22PF PF =+= 故答案为22．【点睛】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．16. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是_________________【答案】50S π= 【解析】 【分析】根据堑堵定义以及长方体性质可得阳马111C ABB A -的外接球的直径为1A C ，再根据球的表面积公式求结果.【详解】由于1CB,,BA BB 两两相互垂直，所以阳马111C ABB A -的外接球的直径为1A C ，即222253450R =++=2450R ππ=.【点睛】若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）12n n +⋅.【解析】 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得12nn a a -=，可得{}n a 是等比数列； （2）由（1）可得()12nn b n =+，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=--- 即：12nn a a -=，数列{}n a 为以2为公比的等比数列 2n n a ∴=.（2）()122log 212nn n n b n +=⋅=+()212232212n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+⋅++()23122232212n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+⋅++两式相减，得()23114222122n n n n T n n ++-=+++⋯+-+=-⋅12n n T n +∴=⋅.【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 18.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核. （I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】⑴在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.（2）815（3）见解析 【解析】 【分析】⑴根据分层抽样的抽取比例可以确定各组抽取的人数，容易求.⑵从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，那么还需抽取1名男工人，根据古典概型公式，即可.⑶抽取的3名工人中男工人数可以是0，1，2，3，有四种情况，一一列出，构成分布列，根据数学期望公式完成计算. 【详解】⑴按照抽取的比例311055=+，甲组和乙组抽取的人数分别为111025155⨯=⨯=，，所以应在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.⑵设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A,则P(A)=1164210815C C C =. ⑶依题意0,1,2,3ξ=由()2143211052025C C P C C ξ===,11121643422121105105C C C C C 28P 1C C C C 75ξ==+=（）， 21111636422121105105C C C C C 31P 2C C C C 75ξ==+=（），,216221105C C 10P 3C C 75ξ===（）得ξ的分布列如下表：P225287531751075所以ξ的数学期望2831108E 123167575755ξ=⨯+⨯+⨯==⋅ 19. 如图,直三棱柱111ABC A B C -中,1,1,2,2,,AB AC AB AC AA D E ⊥===分别为11,BC A C 的中点.(1)证明:1//C D 平面ABE ;(2)求1CC 与平面ABE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（25【解析】 【分析】(1)法一：要证1C D ∥平面ABE ，只需证明1DC HE ∥即可，通过构造平行四边形可证之； 法二：可先证平面1C KD ∥平面ABE ，利用面面平行的性质即可得到1C D ∥平面ABE ; （2）法一：由于111,CC AA A AE ∠∥即为1CC 与平面ABE 所成的角，利用数据求之；法二：（等积法）利用等积法计算出1A 到平面ABE 的距离，从而要求的答案为：1sin d AA θ=即可.【详解】（1）法一：取AB 中点H ，连接,EH HD ，在直三棱柱111ABC A B C -中，112EC AC ∥. ∵D 为BC 中点，H 为AB 中点，∴11,2HD AC HD EC ∥∥，∴四边形1DHEC 为平行四边形，∴1DC HE ∥.∵EH ⊂平面ABE ，1C D 平面ABE ，∴1C D ∥平面ABE .法二：取AC 中点K ，连结1,C K KD ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC ∥. ∵E 为11A C 中点，K 为AC 中点，∴1EC AK ∥， ∴四边形1AKC E 为平行四边形，∴1AE C K ∥.又1C K ⊂/平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，∴1C K ∥平面ABE . ∵,K D 分别为,AC BC 中点，∴12DK AB ∥. 又DK ⊂/平面ABE ，AB平面ABE ，∴DK ∥平面ABE .1,C K DK K =∴平面1C KD ∥平面ABE .1C D ⊂平面11,C KD C D ∴∥平面ABE .（2）法一：直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，且1AC AA A =∩，∴AB ⊥平面11ACC A 过1A 作1A F AE ⊥于F .∵1A F ⊂平面11ACC A ，∴1AB A F ⊥. 又1,AB AE A A F =∴⊥∩平面ABE .又111,CC AA A AE∴∠∥即为1CC与平面ABE所成的角.111152,1,5,sin55AA A E AE A AE==∴=∴∠==.法二：（等积法）1111,CC AA AA CC∴、∥与平面ABE所成的角相等.连结1A B，直三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，∴1AA AB⊥.又1,,AB AC AC AA A AB⊥⋂=∴⊥平面11ACC A.1111111213323B A AE A AEV S AB-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，222211215AE AA A E=+=+=.设1A到平面ABE的距离为d，1111515332A ABE ABEV S d d d-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.∵1115,36A ABEB A AEV V d--=∴=，即5d=.设1CC与平面ABE所成的角为θ，15sin5dAAθ∴==.【点睛】本题主要考查线面平行，线面角所成正弦值的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，分析能力，转化能力，计算能力.20. 已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，其离心率12e=，点P为椭圆上的一个动点，12PF F△面积的最大值为3（1）求椭圆的标准方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD ⋅=，求+AC BD 的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)根据题意列出方程组，求解,,a b c ，即可求得椭圆的标准方程；(2) 当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，有6814AC BD +=+=；当当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，设方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y ，与椭圆方程联立求出1212,x x x x +⋅，利用弦长公式求出AC，同理求出BD ，从而表示出+AC BD ,根据题意求出k 的取值范围从而求出+AC BD 的范围.【详解】解：(1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取最大值 此时121212PF F S F F OP bc ∆=⋅⋅= 所以bc = 因为12e =，所以b =4a = 所以椭圆方程为2211612x y +=（2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为(2,0)-因为0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+=②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，则其方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y则点A 、C 的坐标是方程组22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的两组解所以2222(34)1616480k x k x k +++-=所以212221221634164834k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以212224(1)134k AC x k +=+-=+此时直线BD 的方程为()12y x k=-+ 同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)3443(34)(43)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++令21(0)t k k =+≠，则1t >，2168112AC BD t t+=-+ 因为1t >，所以21104t t -<≤ 所以96[,14)7AC BD +∈综上96[,14]7AC BD +∈【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较难题.21. 设函数()ln 1f x x ax =--，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若函数()f x 没有零点，求a 的取值范围.【答案】()1 当0a ≤时，()f x 的增区间是()0,+∞，当0a >时，()f x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()2 21,.e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求函数f （x ）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f （x ）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论． 【详解】()()1ln 1f x x ax =--，()11'axf x a x x-=-=，(0)x >， ①当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，②当0a >时，令()'0f x <，解得1x a>； 令()'0f x >，解得10x a<<， 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的增区间是()0,∞+， 当0a >时，函数()f x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()2依题意，函数()f x 没有零点，即()ln 10f x x ax =--=无解，由(1)知：当0a >时，函数()F x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，只需111ln 1ln 20f a a a a a ⎛⎫=-⋅-=--< ⎪⎝⎭， 解得2a e ->．∴实数a 的取值范围为21,.e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题22. 在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α.()1求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；()2已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.【答案】（1）()2224x y -+=，1x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).（2）3πα=【解析】 【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；()2将直线l 的方程代入圆C 的方程，利用根与系数的关系，求得A B t t +，A B t t ，由A 为MB的中点，得到2B A t t =，求得,A B t t ，即可求得A B t t 的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆:4C cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以224x y x +=，即()2224x y -+=，根据直线的参数方程的形式，可得直线l:1x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).()2设, A B 对应的参数分别为, A B t t ，将直线l 的方程代入C，整理得2620)3t t cos αα-++=，所以6)A B t t cos αα+=+，32A B t t =， 又A 为MB 的中点，所以2B A t t =，因此)246A t cos sin πααα⎛⎫⎪⎝=++⎭=， 8sin 6B t πα⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以232sin 326A B t t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即2sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0a π≤<，所以7666πππα≤+<， 从而=62ππα+，即3πα=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 23. 已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）解不等式()10f x <； （2）若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b 满足48a b m +=，求12a b+的最小值. 【答案】（1）()2,3-；（2）9 【解析】 【分析】（1）可采用零点讨论法先求出零点，1231,22x x ==-，再将x 分为三段32x ≥，1322x -≤<，12x <-，分别进行讨论求解（2）采用绝对值不等连式特点求出()f x 最小值，再采用均值不等式进行求解即可【详解】解：（1）①当32x ≥时，4210x -<，解得3x <；3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭②当1322x -≤<时，410<，恒成立；13,22x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭③当12x <-时，2410x -<，解得2x >-；12,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭综上所述，该不等式的解集为()2,3-. （2）根据不等连式()()212321234x x x x ++-≥+--=，所以4m =，21a b +=，121222(2)5b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=， 当且仅当13a b ==时取等号. 故12a b+最小值为9. 【点睛】绝对值不等式的解法常采用零点讨论法，分区间讨论时，一定要注意零点处取不取得到的问题，如本题中将x 分为三段32x ≥，1322x -≤<，12x <-；绝对值不等连式为：a b a b a b +≥±≥-，应熟悉均值不等式常见的基本形式，知道基本形式都源于a b+≥- 1 -。
西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试(模拟)数学(理)试题
西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试（模拟）数学（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.已知向量(,3)a x =,(2,2)b =- ,且a b ⊥,则a b +=( ) A. 5B.C. D. 10答案及解析：1.B【详解】因为a b ⊥所以，260,3,x x -==a b +25==+=,故选B. 2.为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派3人到开张镇石桥村包扶5户贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（ ） A. 30B. 90C. 150D. 210答案及解析：2.C 【分析】先分组再排序，可得知这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，然后利用分步计数原理可得出所求方案的数目.【详解】由题意可知，这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，答案第2页，总21页利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为1233545322561061502C C C A A ⎛⎫⨯⎛⎫+=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查分配问题，求解这类问题遵循先分组再排序的原则，再分组时，要注意平均分组的问题，同时注意分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U C A B ⋂=（ ） A. {－1} B. {0,1} C. {－1,2,3}D. {－1,0,1,3}答案及解析：3.A 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 4.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a 、b 分别为14,18，则输出的a =（ ）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 0B. 2C. 4D. 14答案及解析：4.B【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ． 5.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B.答案第2页，总21页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. D.答案及解析：5.D因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 6.试在抛物线2y 4x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()A 2,1-的距离之和最小，则该点坐标为A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. (2,22--D. (2,22-答案及解析：6.A由题意得抛物线的焦点为(1,0)F -，准线方程为:1l x =． 过点P 作PM l ⊥于点M ，由定义可得||||PM PF =, 所以||||||||PA PF PA PM +=+，由图形可得，当,,P A M 三点共线时，||||PA PM +最小，此时PA l ⊥．故点P 的纵坐标为1，所以横坐标14x =-．即点P 的坐标为1(,1)4-．选A ．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………7.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若////m n αα，，则//m nB. 若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC. 若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥D. 若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥答案及解析：7.D 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D .【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题. 8.在△ABC 中，60A ︒=，4AC =，23BC =ABC 的面积为（） A. 43 B. 4C. 3D. 22答案及解析：8.C答案第2页，总21页【分析】首先利用余弦定理求出2AB =，利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】由余弦定理可得：2224(24cos 60AB AB =+-⨯⨯︒， 化为：2440AB AB -+=，解得2AB =， ∴△ABC 的面积1sin 422212S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9.设x ,y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5答案及解析：9.B 【分析】由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示，目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由11x y y +=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A -，所以目标函数的最大值为max 2213z =⨯-=，故选B.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 10.若复数z 满足12iz i -= ，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（ ） A.(1,2)B. (2,1)C. (－1,2)D. (2,－1)答案及解析：10.D 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】由题意i z ＝1+2i ，∴iz （﹣i ）＝（1+2i ）•（﹣i ）， ∴z ＝2﹣i ．则在复平面内，z 所对应的点的坐标是（2，﹣1）． 故选D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为A. 229-B. 429-C.229D.29答案及解析：11.B答案第2页，总21页∵()1sin sin 3παα-==，2παπ≤≤， ∴cos 3α==-∴1sin22sin cos 2(339ααα==⨯⨯-=-．选B ． 12.已知0.13a =，3log 2b =，cos4c =，则（） A. c a b << B. a c b << C. c b a <<D. b c a <<答案及解析：12.C 【分析】通过0,1分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出10a b c >>>>，由此选出正确结论.【详解】解：∵0.10331>=，3330log 1log 2log 31=<<=，342ππ<<，cos40<； ∴c b a <<.故选C.【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查0,1分段法比较大小，属于基础题. 一、填空题 本大题共4道小题。