高等数学第十二章答案 同济五版12-7.
同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)
解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
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练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3
高数第五版答案(同济)12-7
GAGGAGAGGAFFFFAFAF习题1271下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x x2解 因为x xx =2不恒为常数 所以xx 2是线性无关的(2)x2x解 因为22=xx 所以x 2x 是线性相关的(3)e2x3e2x解 因为332=xxee 所以e 2x3e 2x是线性相关的(4)exex解 因为x x x e ee 2=-不恒为常数 所以exe x是线性无关的(5)cos2x sin2x解 因为x xx 2tan 2cos 2sin =不恒为常数所以cos2xsin2x是线性无关的GAGGAGAGGAFFFFAFAF(6) 2xe 22xxe解 因为x exe x x 2222=不恒为常数 所以2xe 22x xe 是线性无关的(7)sin2x cos x ×sin x解 因为2sin cos 2sin =xx x 所以sin2xcos x ×sin x 是线性相关的(8)e xcos2x e xsin2x解 因为x xe x e x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数所以e xcos2xe x sin2x 是线性无关的(9)ln xx ln x解 因为x xx x =ln ln 不恒为常数 所以ln xx ln x 是线性无关的(10)eaxe bx(ab )GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 因为x a b ax bx e ee )(-=不恒为常数 所以eaxe bx是线性无关的2验证y 1cos x 及y 2sin x 都是方程y 2y 0的解 并写GAGGAGAGGAFFFFAFAF出该方程的通解解 因为 y 12y 12cos x 2cos x 0 y 22y 22sinx2sinx 0并且x y y ωcot 21=不恒为常数 所以y 1cos x 与y 2sin x是方程的线性无关解从而方程的通解为y C 1cos x C 2sin x提示 y 1 sin x y 12cos xy 2cos x y 12sin x3验证21xe y =及22xxe y =都是方程y 4xy (4x22)y 0的解并写出该方程的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 因为)24(2442)24(42222221211=⋅-+⋅-+=-+'-''x x x xe x xe x e x e y x y x y)24()2(446)24(4222222232222=⋅-++⋅-+=-+'-''x x x x x xe x e x e x e x xe y x y x y并且x y y =12不恒为常数所以21x e y =与222x xe y =是方程的线性无关解从而方程的通解为22221x x xe C e C y +=提示221xxe y =' 222142xxe x e y +=''22222xx e x e y +=' 223246xx e x xe y +=''4 验证(1)x x x e e C e C y 5221121++=(C 1、C 2是任意常数)是方程 y 3y2ye 5x的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 令y 1e x y 2e 2x xe y 5121*= 因为y 13y 12y 1e x 3e x 2e x 0y 23y 22y 24e2x3(2e2x2e2x且xe y y =12不恒为常数 所以y 1与y 2是齐次方程y 3y2y 0的线性无关解从而YC 1e x C 2e 2x 是齐次方程的通解又因为xx x x e e e e y y y 5555121212531225*2*3*=⋅+⋅-=+'-''所以y *是方程y3y 2y e 5x 的特解因此x x x e e C e C y 5221121++=是方程y 3y2ye 5x 的通解(2))sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=(C 1、C 2是任意常 数)是方程y 9y x cos x 的通解解 令y 1cos3xy 2sin3x)sin cos 4(321*x x x y +=因GAGGAGAGGAFFFFAFAF为y 19y 19cos3x 9cos3x 0y 29y 29sin3x9sin3x且x y y 3tan 12=不恒为常数 所以y 1与y 2是齐次方程y 9y0的线 性无关解从而YC 1e x C 2e 2x 是齐次方程的通解又因为 x x x x x x x x y y cos )sin cos 4(3219)cos 4sin 9(321*9*=+⋅+--=+''所以y *是方程y 9y x cos x 的特解因此)sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=是方程y9y x cos x的通解(3)y C 1x 2C 2x 2ln x (C 1、C 2是任意常数)是方程x2y3xy4y0GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF的通解解 令y 1x 2 y 2x 2ln x 因为x 2y 13xy 14y 1x 2×23x ×2x 4×x 20x 2y 23xy 24y 2x 2×(2lnx 3)3x ×(2x ln x x )4×x 2ln x 0且x y y ln 12=不恒为常数 所以y 1与y 2是方程x 2y3xy4y0的线性无关解从而yC 1x 2C 2x 2ln x 是方程的通解(4)x x x C x C y ln 92251-+=(C 1、C 2是任意常数)是方程x 2y 3xy 5y x 2ln x的通解解 令y 1x5x y 12= x x y ln 9*2-= 因为GAGGAGAGGAFFFFAFAFx 2y 13xy 15y 1x 2×20x 33x ×5x 45×x 50015)1(32532322222=⋅--⋅-⋅=-'-''xxx xx y y x y x且621x y y =不恒为常数 所以y 1与y 2是齐次方程x 2y3xy5y0的线性无关解 从而xC x C Y 251+=是齐次方程的通解又因为*5*3*2y xy y x -'-''x x x x x x x x x x ln )ln 9(5)9ln 92(3)31ln 92(222=-⋅---⋅---⋅=所以y *是方程x 2y3xy 5y x 2ln x 的特解因此x x x C x C y ln 92251-+=是方程x 2y3xy5yx 2lnx 的通解(5)2)(121xx x e e C e C x y ++=-(C 1、C 2是任意常数)是方程xy2yxy e x的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 令xe xy 11= xe xy -=12 2*x e y = 因为GAGGAGAGGAFFFFAFAF0)(2)22(2223111=⋅-+-⋅++-⋅=-'+''x e x x e xe x e x e x e x xy y y x x x x x x x)(2)22(2223222=⋅---⋅+++⋅=-'+''------x e x x e xe x e x e x e x xy y y x xx x x x x且xe y y 221=不恒为常数 所以y 1与y 2是齐次方程xy 2yxy 0的线性无关解 从而)(121x x e C e C xY -+=是齐次方程的通解又因为x x x x e e x e e x xy y xy =⋅-⋅+⋅=-'+''2222**2*所以y *是方程xy 2y xy e x 的特解因此2)(121xx x e e C e C x y ++=-是方程xy 2yxy e x 的通解(6)y C 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x x 2(C 1、C 2、C 3、C 4是任意常数)是方程y(4)y x 2的通解 解 令y 1e x y 2exy 3cos x y 4sin xGAGGAGAGGAFFFFAFAFy *x 2 因为y 1(4)y 1e x e x 0 y 2(4)y 2exexy 3(4)y 3cos x cos x 0 y 4(4)y 4sin x sin x 0并且04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xx e e x x e e x x e exx e e x x x x x xx x所以y 1e x y 2e xy 3cos x y 4sin x 是方程y (4)y 0的线性无关解从而YC 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x 是方程的通解又因为y *(4)y *0(x 2)x 2所以y *x 2是方程y (4)y x 2的特解因此y C 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x x 2是方程y (4)y x2的通解提示GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF令k 1e xk 2e xk 3cos x k 4sin x 0 则 k 1ex k 2exk 3sin x k 4cos x 0 k 1e x k 2e xk 3cos x k 4sin x 0k 1e x k 2exk 3sin x k 4cos x 0上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xxe e x x e e x x e e xx e e xxx x x x x x所以方程组只有零解 即y 1e x y 2exy 3cos xy 4sin x 线性无关如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！26829 68CD 棍40863 9F9F 龟39162 98FA 飺40501 9E35 鸵31656 7BA8 箨25851 64FB 擻30763 782B 砫O36482 8E82 躂a22364 575C 坜36929 9041 遁20408 4FB8 侸22279 5707 圇$。
同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案
习题1−11. 设A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出A∪B,A∩B,A\B及A\(A\B)的表达式.解A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞),A∩B=[−10, −5),A\B=(−∞, −10)∪(5, +∞),A\(A\B)=[−10, −5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=A C ∪B C.证明因为x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔x∉A或x∉B⇔x∈AC或x∈B C⇔x∈AC ∪B C,所以(A∩B)C=A C ∪B C.3. 设映射f: X→Y,A⊂X,B⊂X. 证明(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).证明因为y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B)y∈f(A)或y∈f(B)⇔y∈f(A)∪f(B),所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).(2)因为y∈f(A∩B)⇒∃x∈A∩B,使f(x)=y⇔(因为x∈A且x∈B)y∈f(A)且y∈f(B)⇒y∈f(A)∩f(B),所以f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).4. 设映射f: X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使, , 其中IXIfg=㣠YIgf=㣠X、I Y分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X,有IX x=x;对于每一个y∈Y,有IY y=y.证明: f是双射, 且g 是f的逆映射: g=f−1.证明因为对于任意的y∈Y,有x=g(y)∈X,且f(x)=f[g(y)]=I y y=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) ⇒g[f(x1)]=g[f(x2)] ⇒x1=x2.因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.5. 设映射f: X→Y,A⊂X. 证明:(1)f−1(f(A))⊃A;(2)当f是单射时, 有f−1(f(A))=A.证明 (1)因为 x ∈ A ⇒ f ( x )= y ∈ f ( A ) ⇒ f −1( y )= x ∈f −1( f ( A )), 所以 f−1(f ( A ))⊃ A .(2)由(1)知 f−1(f ( A ))⊃ A. 另一方面, 对于任意的 x ∈ f −1( f ( A ))⇒存在 y ∈ f ( A ), 使 f −1( y )= x ⇒ f ( x )= y . 因为 y ∈f ( A )且 f 是单 射, 所以 x ∈ A . 这就证明了 f−1(f ( A ))⊂ A . 因此 f −1( f (A ))= A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+= xy ;解 由3 x +2≥0得32−>x . 函数的定义域为) ,32[∞+−.(2)211xy −=;解 由1− x 2≠0得 x ≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞). (3)211xxy −−=;解 由 x ≠0且1− x2≥0得函数的定义域D =[−1, 0)∪(0, 1].(4)2 4 1 xy − =;解 由4− x 2>0得 | x |<2. 函数的定义域为(−2, 2). (5)xysin=; 解 由 x ≥0得函数的定义 D =[0, +∞). (6) y =tan( x +1);解 由 2 1π≠+ x ( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππ kx( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin( x −3);解 由| x −3|≤1得函数的定义域 D =[2, 4].(8) xxy1arctan3+−=;解 由3− x ≥0且 x ≠0得函数的定义域 D =(−∞, 0)∪(0, 3). (9) y =ln( x +1);解 由 x +1>0得函数的定义域 D =(−1, +∞). (10) xey1=.解 由 x ≠0得函数的定义域 D =(−∞, 0)∪(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数 f ( x )和 g ( x )是否相同？为什么？(1) f ( x )=lg x 2, g ( x )=2lg x ;(2) f ( x )= x , g ( x )=2 x ; (3)334)(xxxf −=,31)(−=xxxg .(4) f ( x )=1, g ( x )=sec2 x −tan2 x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g ( x )=− x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. 8. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧ ≥<= 3||3|| |sin|)(ππϕ x xx x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ−, ϕ(−2), 并作出函数 y =ϕ( x )的图形.解 21|6sin|)6(==ππϕ, 22|4sin|)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ, 0)2(=−ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1) x xy− = 1 , (−∞, 1);(2) y = x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的 x 1, x 2∈(−∞, 1), 有1− x 1>0, 1− x 2>0. 因为当x 1< x 2时,0 )1)(1(1121212 2 1121< −− −= − − − =− xx xx x x x xyy ,所以函数 x xy− = 1 在区间(−∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的 x 1, x 2∈(0, +∞), 当 x 1< x 2时, 有0ln)()ln()ln(2121221121<+−=+−+=− x xxxxxxxyy ,所以函数 y= x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的. 10. 设 f ( x )为定义在(− l , l )内的奇函数, 若 f ( x )在(0, l )内单调增加, 证明 f ( x )在(− l , 0)内也单调增加.证明 对于∀ x 1, x 2∈(− l , 0)且 x 1< x 2, 有− x 1, − x 2∈(0, l )且− x 1>− x 2. 因为 f ( x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (− x 2)< f (− x 1), − f ( x 2)<− f ( x 1), f ( x 2)> f( x 1), 这就证明了对于∀ x 1, x 2∈(− l , 0), 有 f ( x 1)< f ( x 2), 所以 f ( x )在(− l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是 奇函数.证明 (1)设 F ( x )= f ( x )+ g ( x ). 如果 f ( x )和 g ( x )都是偶函数, 则F (− x )= f (− x )+ g (− x )= f ( x )+ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f ( x )和 g ( x )都是奇函数, 则F (− x )= f (− x )+ g (− x )=− f ( x )− g ( x )=− F ( x ), 所以 F ( x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设 F ( x )= f ( x )⋅ g ( x ). 如果 f ( x )和 g ( x)都是偶函数, 则 F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )= f ( x )⋅ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果 f ( x )和 g ( x )都是奇函数, 则F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )=[− f ( x )][− g ( x )]= f ( x )⋅ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果 f ( x )是偶函数, 而 g ( x )是奇函数, 则F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )= f ( x )[− g ( x )]=− f ( x )⋅ g ( x )=− F ( x ), 所以 F ( x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1) y = x 2(1− x 2); (2) y =3 x 2− x3; (3)22 1 1 xxy + −=; (4) y = x ( x −1)( x +1); (5) y =sin x −cos x +1; (6)2 xxaay −+ =.解 (1)因为 f(− x )=(− x )2[1−(− x )2]= x 2(1−x2)=f ( x ), 所以 f ( x )是偶函数.(2)由 f (− x)=3(− x )2−(− x )3=3 x 2+x 3可见 f ( x )既非奇函数又非偶函数. (3)因为 () )(11 1 )(1)( 2 2 2 2 xfxx x xxf =+−= −+−−=−,所以 f ( x )是偶函数. (4)因为 f (− x )=(− x )(− x −1)(− x +1)=− x ( x +1)( x −1)=− f ( x ), 所以 f ( x )是奇函数. (5)由 f (− x )=sin(− x )−cos(− x )+1=−sin x −cos x +1可见 f ( x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(xfaaaaxf xxxx=+=+=− −−−− , 所以 f ( x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1) y =cos( x −2); (2) y =cos 4 x ; (3) y =1+sin π x ; (4) y = x cos x ; (5) y =sin2 x .解 (1)是周期函数, 周期为 l=2π. (2)是周期函数, 周期为2π=l .(3)是周期函数, 周期为 l =2. (4)不是周期函数.(5)是周期函数, 周期为 l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+= xy ; (2) xxy+ −= 1 1; (3)dcxbaxy+ +=( ad − b c ≠0); (4) y =2sin3 x ; (5) y =1+ln( x +2);(6) 122 + = x xy .解 (1)由31+= xy 得 x = y3−1, 所以31+= xy 的反函数为 y = x3−1.(2)由 x xy + −= 1 1得 yyx + −= 1 1, 所以 x xy + −= 1 1的反函数为xxy+ −= 1 1. (3)由dcxbaxy + +=得 acybdyx − +−=, 所以 dcxbaxy + +=的反函数为 acxbdxy − +−=.(4)由 y =2sin 3 x 得2arcsin31 yx=, 所以y =2sin 3 x 的反函数为2arcsin31xy=. (5)由 y =1+ln( x +2)得 x= e y−1−2, 所以 y =1+ln( x +2)的反函数为 y = e x −1−2.(6)由122+=x xy 得y yx −=1log2, 所以12 2 +=x xy 的反函数为x xy−=1log2.15. 设函数 f ( x )在数集 X 上有定义, 试证: 函数 f ( x )在 X 上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f ( x )在 X 上有界, 则存在正数 M , 使| f ( x )|≤ M , 即− M≤ f ( x )≤ M . 这 这就证明了 f ( x )在 X 上有下界− M 和上界 M . 再证充分性. 设函数 f ( x )在 X 上有下界 K 1和上界K 2, 即 K 1≤ f( x )≤ K 2 . 取 M =max{| K 1|, | K 2|}, 则 − M≤ K 1≤ f ( x )≤ K 2≤ M , 即 | f ( x)|≤ M . 这就证明了 f ( x )在 X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和 x 2的函数值: (1) y = u 2,u =sin x , 61π=x , 32π= x ;(2) y =sin u , u =2 x , ,81π= x ,42π=x ; (3) uy =, u =1+ x 2, x 1=1, x 2= 2;(4) y = e u , u = x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y = u 2 , u = e x , x 1=1, x 2=−1.解 (1) y =sin2 x, 41)21(6sin221===πy ,43)23(3sin222===πy. (2) y =sin2 x , 224sin)82sin(1==⋅=ππy ,12sin)42sin(2==⋅=ππy .(3)21 xy +=, 21121=+= y , 52122=+= y .(4), , . 2 xey =1201== eyeey==212(5) y = e 2 x , y 1= e 2⋅1= e 2, y 2= e 2⋅(−1)= e −2.17. 设 f ( x )的定义域 D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f ( x2);(2) f (sin x ); (3) f ( x + a )( a >0); (4) f ( x + a )+ f ( x − a )( a >0).解 (1)由0≤ x 2≤1得| x |≤1, 所以函数 f( x 2)的定义域为[−1, 1]. (2)由0≤sin x ≤1得2 n π≤ x ≤(2 n +1)π ( n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数 f (sin x )的定义域为[2 n π, (2 n +1)π] ( n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3)由0≤ x+ a ≤1得− a ≤ x ≤1− a , 所以函数 f ( x + a )的定义域为[− a , 1− a ]. (4)由0≤ x+ a ≤1且0≤ x − a ≤1得: 当210≤< a 时, a ≤ x ≤1− a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤< a 时 函数的定义域为[ a , 1− a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪ ⎨⎧ >− = < = 1|| 11|| 0 1|| 1 )( x x x xf , g (x )= e x , 求 f [ g ( x )]和 g [ f ( x )], 并作出这两个函数的图形. 解⎪⎩⎪⎨⎧ >− = < = 1|| 1 1|| 0 1|| 1 )]([x x x e e e xgf , 即 ⎪⎩⎪⎨ ⎧>− = < = 0 10 0 0 1)]([x x x xgf . , 即() ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < == −1|| 1|| e 1|| ][ 1 0 1 )( xe x xe exfgxf () ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >= < = −1|| 1|| 1 1|| ][ 1 xe x xe xfg . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40°(图1−37). 当过水断面ABCD 的面积为定 值S0时, 求湿周 L(L=AC+CD+DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1−37解 㗸40sin hDCAb ==, 又从0)]40cot2([2 1ShBCBCh=⋅++㗸得 hhSBC ⋅−=㗸40cot0,所以hhSL 㗸 㗸 40sin40cos20−+=. 自变量 h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot0>⋅− hhS㗸 确定, 定义域为㗸40cot00Sh<<. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数;(2)将厂方所获的利润 P 表示成订购量 x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤ x ≤100时, p=90. 令0. 01( x 0−100)=90−75, 得 x 0=1600. 因此当 x ≥1600时, p=75. 当100< x <1600时, p =90−( x −100)×0. 01=91−0. 01 x . 综合上述结果得到. ⎪⎩⎪⎨ ⎧≥ <<− ≤≤ =1600 751600100 01.091 1000 90 x xx x p(2).⎪ ⎩⎪ ⎨⎧ ≥ <<− ≤≤ =−= 160015 1600100 01.031 1000 30 )60(2 xx xxx xx xpP (3) P =31×1000−0. 01×10002=21000(元).习题1−21. 观察一般项 xn 如下的数列{ xn }的变化趋势, 写出它们的极限: (1) nnx2 1=; (2) nxnn1)1(−=; (3)212n xn +=;(4) 11 + −=n nx n ;(5) x n = n (−1) n .解 (1)当 n →∞时, nnx 2 1=→0, 021lim= ∞→ nn . (2)当 n →∞时, n xnn1)1(−=→0, 01)1(lim=− ∞→ nnn .(3)当 n →∞时, 212 nxn→ nn.(4)当 n →∞时, 1211 1 + −= + −=nn nx n11lim=+ − ∞→ n n n.(5)当 n →∞时, x n =n (−1) n没有极限. 2. 设数列{ xn }的一般项 nn xn 2cosπ=. 问=? 求出 N , 使当 n > N 时, xnnx ∞→limn 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数 N. 解 . 0lim=∞→nnx nn n xn1|2cos||0|≤=− π. ∀ε >0, 要使| x n −0|<ε , 只要ε< n1, 也就是ε1>n. 取]1[ε= N ,则∀ n > N , 有| xn −0|<ε . 当ε =0.001时, ]1[ ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明: (1)01lim2=∞→ nn;(2) 23 12 13lim=+ + ∞→ n n n ;(3)1lim22 =+∞→nann(4). 19999.0lim=⋅⋅⋅个nn (1)分析 要使ε<=−221|01| nn , 只须 ε12>n, 即 ε1>n.证明 因为∀ε>0, ∃]1[ ε=N , 当 n > N 时, 有ε<−|01|2n, 所以01lim2=∞→ nn.(2)分析 要使ε<<+=−++nnnn 4 1)12(2 1| 2 3 12 13|, 只须ε< n4 1, 即ε41> n .证明 因为∀ε>0, ∃] 4 1[ε = N , 当 n > N 时, 有ε<−+ +| 23 12 13| n n , 所以23 12 13lim=+ + ∞→ n n n .(3)分析 要使ε<<++ =−+=−+nanann a nnan nan 222 22222)( |1|, 只须ε2an>.证明 因为∀ε>0, ∃][ 2 εaN=, 当∀n > N 时, 有ε<−+|1|22 n an, 所以1lim22 =+∞→nann. (4)分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|ε<=−1 101n, 只须1 101− n <ε , 即 ε1lg1+>n .证明 因为∀ε>0, ∃]1lg1[ε += N , 当∀ n > N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|<ε , 所以. 19999.0lim=⋅⋅⋅ n 个n 4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|xaunn =∞→lim||||lim aunn =∞→ n|}有极限, 但数列{ xn }未必有 极限.证明 因为, 所以∀ε>0, ∃ N ∈N, 当 n > N 时, 有, 从而 aunn=∞→limε<−|| aun || u n |−| a ||≤| un − a |<ε .这就证明了|. |||lim aunn =∞→数列{| xn |}有极限, 但数列{ xn }未必有极限. 例如, 但不存在. 1|)1(|lim=−∞→n nn n)1(lim−∞→5. 设数列{ xn }有界, 又, 证明: .0lim=∞→nny 0lim=∞→ nnnyx证明 因为数列{ xn }有界, 所以存在 M , 使∀ n ∈ Z , 有| xn |≤M . 又, 所以∀ε>0, ∃N ∈ N , 当 n > N 时, 有0lim=∞→nnyMyn ε<||. 从而当n > N 时, 有εε=⋅<≤=− MMyMyxyxnnnnn|||||0|, 所以. 0lim=∞→ nnnyx6. 对于数列{ xn }若 x 2 k → a ( k →∞), x 2 k +1→ a ( k →∞), 证明: xn → a ( n →∞).证明 因为 x 2 k → a ( k →∞), x 2 k +1→ a ( k →∞), 所以∀ε>0, ∃ K 1, 当2 k >2 K 1时, 有| x 2 k − a |<ε ; ∃ K 当2 k +1>2 K 2+1时, 有|x 2 k +1− a |<ε . . 取 N =max{2 K 1, 2 K 2+1}, 只要 n > N , 就有| xn − a |<ε . 因此 x n → a ( n →∞).习题1−31. 根据函数极限的定义证明: (1); 8)13(lim3=−→ xx (2); 12)25(lim2=+→ xx (3)424lim22−=+ − −→ x x x ;(4)212 41lim321=+ − −→ x x x .证明 (1)分析 |(3 x −1)−8|=|3 x −9|=3| x −3|, 要使|(3 x −1)−8|<ε , 只须ε 31|3|<−x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ 31=, 当0<|x −3|<δ时, 有|(3 x −1)−8|<ε , 所以. 8)13(lim3=−→xx (2)分析 |(5 x +2)−12|=|5 x −10|=5| x −2|, 要使|(5 x +2)−12|<ε ,只须ε 51|2|<−x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ 51=, 当0<|x −2|<δ时, 有|(5 x +2)−12|<ε ,所以. 12)25(lim2=+→xx (3)分析 |)2(||2|244)4(2422−−=+=+ ++=−− + − xxx xx x x , 要使ε<−−+ −)4(242x x , 只须ε<−−|)2(|x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ=, 当0<| x −(−2)|<δ时, 有ε<−−+ −)4(242x x , 所以424lim22−=+− −→ x x x .(4)分析 |)2 1(|2|221|2 12413−−=−−=− + − xxx x , 要使ε<− + −2 12413x x , 只须ε 21|)2 1(|<−− x.证明 因为∀ε >0,∃εδ 2 1=, 当δ<−−<|) 2 1(|0x 时, 有ε<−+ −2 12413 x x , 所以21241lim321=+ − −→ x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2 12 1lim3 3 =+∞→ xx x; (2)0sinlim=+∞→ x xx .证明 (1)分析 333333||2 121 21 2 1 xx xxxx =−+=−+, 要使ε<−+ 212 1 33xx , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x .证明 因为∀ε >0, ∃3 2 1ε= X , 当| x|> X 时, 有ε<−+ 2 12 13 3 x x , 所以2 12 1lim3 3 =+∞→ xx x. (2)分析xx xxx 1|sin|0sin≤=−, 要使ε<−0sin xx , 只须ε<x1, 即2 1ε> x . 证明 因为∀ε>0, ∃21 ε = X , 当 x> X 时, 有ε<−0sin xx, 所以0sinlim=+∞→ xxx .3. 当 x →2时, y= x 2→4. 问δ等于多少, 使当| x −2|<δ时, | y −4|<0. 001？解 由于 x →2, | x −2|→0, 不妨设| x −2|<1, 即1< x <3. 要使| x 2−4|=| x +2|| x −2|<5| x −2|<0. 001, 只要0002.0 5001.0|2|=<− x, 取δ=0. 0002, 则当0<| x −2|<δ时, 就有| x2−4|<0. 001. 4. 当 x →∞时, 1312 2 → + −=x xy , 问 X 等于多少, 使当| x |> X 时, | y −1|<0.01? 解 要使01.0341 3122 2 < + =− + − xx x , 只397301.04||=−>x , 397= X .5. 证明函数 f ( x )=| x | 当 x →0时极限为零.6. 求,)(xxxf= x xx ||)(=ϕ当 x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在 x →0时的极限是否存在.证明 因为 11limlim)(lim 000 ===−−− →→→xxxx xxf , 11limlim)(lim 000 ===+++→→→xxxx xxf, , )(lim)(lim 00xfxfxx +→→=− 所以极限存在. )(lim0 xfx→因为1lim||lim)(lim 000 −=−==−−−→→→ xxx xx xxx ϕ, 1lim||lim)(lim 000 ===+++→→→ xxxxx xxx ϕ, , )(lim)(lim 00xx xx ϕϕ+→→≠− 所以极限不存在. )(lim0xx ϕ→7. 证明: 若 x →+∞及 x →−∞时, 函数 f ( x )的极限都存在且都等于 A , 则.Axfx =∞→)(lim证明 因为, , 所以∀ε>0, Axfx =−∞→)(lim Axfx =+∞→)(lim∃ X 1>0, 使当 x <− X 1时, 有| f ( x )− A |<ε ; ∃ X 2>0, 使当 x > X 2时, 有| f ( x )− A |<ε . 取 X =max{ X 1, X 2}, 则当|x |> X 时, 有| f ( x )− A |<ε , 即.Axfx =∞→)(lim8. 根据极限的定义证明: 函数 f ( x )当 x → x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各 自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设 f ( x )→ A ( x → x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x − x 0|<δ 时, 有| f ( x )− A |<ε .因此当 x 0−δ< x < x 0和 x 0< x < x 0+δ 时都有| f ( x )− A |<ε .这说明 f ( x )当 x → x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性. 设 f ( x 0−0)= f ( x 0+0)= A, 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当 x 0−δ1< x < x 0时, 有| f( x )− A <ε ; ∃δ2>0, 使当 x 0< x < x 0+δ2时, 有|f ( x )− A |<ε . 取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<| x − x 0|<δ 时, 有 x 0−δ1< x < x 0及 x 0< x < x 0+δ2 , 从而有| f ( x )− A |<ε ,即 f ( x )→ A ( x → x 0).9. 试给出 x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果 f ( x )当 x →∞时的极限存在, 则存在 X >0及M >0, 使当| x |> X 时, | f ( x )|< M .证明 设 f ( x )→ A ( x →∞), 则对于ε =1,∃ X >0, 当| x |> X 时, 有| f ( x )− A |<ε =1. 所以 | f ( x )|=| f ( x )− A + A |≤| f ( x )− A |+| A |<1+| A |.这就是说存在 X >0及 M >0, 使当| x|> X 时, | f ( x )|< M , 其中 M =1+| A |.习题1−41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当 x →0时, α( x)=2 x , β( x )=3 x 都是无穷小, 但 3 2 )( )(lim 0=→ x x x β α, )()( x x β α不是无穷小.2. 根据定义证明: (1) 3 92+ −= x xy 当 x →3时为无穷小; (2)xxy1sin=当x →0时为无穷小. 证明 (1)当 x ≠3时|3|39||2−=+ −= xx xy . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<| x −3|<δ时, 有εδ=<−=+ −=|3|39||2 xx xy , 所以当 x →3时392+ −= x xy 为无穷小. (2)当 x ≠0时|0||1sin|||||−≤=xxxy . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<| x −0|<δ时, 有εδ=<−≤=|0||1sin|||||x xxy, 所以当 x →0时 xxy1sin=为无穷小.3. 根据定义证明: 函数 xxy 21+=为当 x →0时的无穷大. 问 x 应满足什么条件, 能使| y |>104？ 证明 分析2|| 11221||−≥+=+= xxx xy, 要使| y |> M , 只须M x >−2 ||1, 即21|| + < M x .证明 因为∀ M >0, ∃ 2 1+ = M δ, 使当0<| x −0|<δ时, 有M xx >+21,所以当 x →0时, 函数 xxy 21+=是无穷大. 取 M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<−<x时, | y|>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1) x x n 12lim+∞→;(2)xx x − − →1 1lim20.解 (1)因为 xx x1212+=+, 而当 x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim=+∞→ x x n . (2)因为x xx += − −1 1 12( x ≠1), 而当 x →0时 x 为无穷小, 所以111lim20=− − → xx x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数 y = x c os x 在(−∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当 x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数 y= x c os x 在(−∞, +∞)内无界. 这是因为∀ M >0, 在(−∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得| y( x )|> M . 例如 y (2 k π)=2 k π cos2 k π=2 k π ( k=0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当 k 充分大时, 就有| y(2 k π)|> M . 当 x →+∞ 时, 函数 y = xc os x 不是无穷大. 这是因为∀ M >0, 找不到这样一个时刻 N , 使对一切大于 N 的 x , 都有| y( x )|> M . 例如 0) 22cos()22() 2 2(=++=+ππππππ kkky ( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 对任何大的 N , 当 k 充分大时, 总有 Nkx >+=22ππ, 但| y ( x )|=0< M .7. 证明: 函数 xxy 1sin1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数 xxy1sin1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为 ∀ M >0, 在(0, 1]中总可以找到点 xk , 使 y ( x k )> M . 例如当22 1 ππ+=kxk( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+= kxyk ,当 k 充分大时, y ( xk )> M . 当 x →0+ 时, 函数 xxy1sin1=不是无穷大. 这是因为∀ M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点xk , 使0< xk <δ, 但 y ( xk )< M . 例如可取 πk xk2 1=( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当 k 充分大时, x k <δ, 但 y ( x k )=2 k πsin2 k π=0< M .习题1−51. 计算下列极限: (1)35lim2 2− +→ xx x ;解 9325235lim22 2−=− +=− +→ x x x .(2)13lim2 2 3+ −→ xx x ;解 01)3(3)3( 1 3lim22 2 2 3=+−= + − → x x x .(3)112lim221−+−→ xxx x ;解02011lim)1)(1()1(lim112lim1 212 21==+ −=+−−= −+−→→→x x xx x x xx xxx .(4)xxxxxx 23 24lim 2 23 0++− →; 解2123124lim2324lim 20223 0=+ +−=+ +− →→xxx xxxxxxx .(5)hxhx h 22 0 )(lim−+ →;解xhxhxhhxxhxhxhhh2)2(lim2lim)(lim0 222 0220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim2 xxx+−∞→;解21lim1lim2)112(lim22=+−=+−∞→∞→∞→ xxxxxxx.(7)121lim2 2 −−− ∞→xx x x ;解 21112 11lim121lim 22 2 2 = −− −=−−−∞→∞→ xxx xx x xx. (8)13lim242 −−+ ∞→xx xxx ;解 013lim242=−−+∞→ xxxxx(分子次数低于分母次数, 极限为零)或 0121 11 lim13lim 4232 242 = −− + =−−+∞→∞→ xxxx xx xx xx .(9)4586lim224+− +− → xx xx x ; 解32142412lim)4)(1()4)(2(lim4586lim442 24=−−=−−=−−−−=+−+− →→→ x x xx xx xx xx xxx .(10))12)(11(lim2 xxx −+∞→;解221)12(lim)11(lim)12)(11(lim22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→ xxxxxxx.(11))21 41211(limnn+⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim)21 41211(lim 1 = − − =+⋅⋅⋅+++ + ∞→∞→ n nnn .(12)2)1( 321lim nn n −+⋅⋅⋅+++ ∞→; 解 211lim212 )1( lim)1( 321li m22=−=− =−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→ nnn nnnn nnn .(13)35)3)(2)(1(limnnnn n +++ ∞→; 解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→ nnnnn (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→ nnnnnnn nn .(14))1311(lim31 xxx −−−→;解 112lim)1)(1()2)(1(lim)1)(1(31lim)1311(lim212122 131−=++ +−=++− +−−=++− −++=−−−→→→→ xxx xxxxx xxx xx xxxxxx .2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim−+→x xxx ; 解 因为01602)2(lim2322==+ − → xxx x , 所以∞=−+→223 2)2( 2limxxx x .(2)12lim 2 +∞→x xx ;解∞=+∞→12lim2xx x (因为分子次数高于分母次数(3). )12(lim3+−∞→xxx 解 (因为分子次数高于分母次数). ∞=+−∞→)12(lim3xxx 3.计算下列极限: (1)xxx1sinlim20→;解 01sinlim20=→ xxx(当 x →0时, x2是无穷小, 而x1sin 是有界变量).(2)xx x arctanlim ∞→. 解0arctan1limarctanlim=⋅=∞→∞→ xxxxxx (当 x →∞时, x1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1−61. 计算下列极限: (1)xx x ωsinlim0→; 解 ωωωωω==→→ xx xx xx sinlimsinlim00. (2)xx x 3tanlim0→; 解33cos133sinlim33tanlim00=⋅=→→ xxxxxxx .(3)x x x 5sin2sinlim 0→; 解52525sin522sinlim5sin2sinlim00=⋅⋅=→→xxxxx x xx .(4);xxx cotlim0→ 解1coslimsinlimcossinlimcotlim0000=⋅=⋅=→→→→ xxxxxxxxxxxx. (5)xxx x sin 2cos1lim 0 − →;解法一 ()2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim2022 0200===−=− →→→→ xxx x x xxx x xxxx .解法二2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0 2 00===− →→→ xxxxx xxxxxx .(6)n n nx2 sin2lim∞→( x 为不等于零的常数). 解xxx x xnnnnn n=⋅=∞→∞→2 2sinlim2 sin2lim. 2. 计算下列极限: (1)xxx 10)1(lim−→;解 {}11)( 1)1()(10 10)](1[lim)](1[lim)1(lim−−− → −− →→=−+=−+=−exxxxxxxxx. (2)xxx1 0)21(lim+→;解 []22212210 10)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx =+=+=+→⋅→→.(3)x xx x 2)1(lim+∞→;解[]222)11(lim)1(lim exxxxxxx =+=+∞→∞→.(4)kx xx)11(lim−∞→( k 为正整数). 解kkx x kxxexx−−− ∞→∞→=−+=−))(()11(lim)11(lim.3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I′. 解4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim=+∞→ nn;证明 因为 nn11111+<+<, 而 且11lim=∞→n1)11(lim=+∞→ nn, 由极限存在准则I, 111lim=+∞→ nn.(2)()11211lim222=++⋅⋅⋅++++∞→πππ nnnnnn;证明 因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2 22222 21211n n nnnnnnn n ,而 1lim22 =+∞→π nn n n , 1lim2 2=+∞→π n n n , 所以 ()11211lim222=++⋅⋅⋅++++∞→πππnnnnnn.(3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在; 证明 21=x ,nnxx +=+21( n=1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{ xn }有界. 当 n =1时221<= x , 假定 n = k 时 x k <2, 当 n = k +1时,22221=+<+=+kkxx, 所以 xn <2( n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{ xn }有界.再证明数列单调增.nnnn nnnnnnnn xx xx xx xxxxxx ++ +−−= ++ −+=−+=− +2 )1)(2( 2222 1,而 x n −2<0, xn +1>0, 所以 xn +1− xn >0, 即数列{ xn }单调增. 因为数列{ xn }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim0=+→ n xx;证明 当| x |≤1时, 则有1+ x ≤1+| x |≤(1+| x |) n ,1+ x ≥1−| x |≥(1−| x |) n , 从而有 ||11||1xxxn +≤+≤−.因为 ,1|)|1(lim|)|1(lim00=+=−→→ xxxx 根据夹逼准则, 有11lim0=+→ n xx.(5)[]11lim=+ → xx x .证明 因为[]xxx 1111≤<−, 所以[]111≤<−xxx .又因为, 根据夹逼准则, 有11lim)1(lim 00==−++ →→xx x []11lim0 =+ → xx x .习题 1−71. 当 x →0时, 2 x − x2 与 x 2−x3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为0 2 lim 2 lim202320=− −= − − →→ x xxxx xxxx,所以当 x →0时, x 2− x3是高阶无穷小, 即x 2− x 3=o (2 x − x2).2. 当 x →1时, 无穷小1− x 和(1)1− x 3, (2))1( 212 x −是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim1 )1)(1(lim1 1lim2 1 2 13 1=++=− ++−= − − →→→xxx xxx xx xxx ,所以当 x →1时, 1− x 和1− x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim2 1 1 )1(2 1lim1 2 1=+=− − →→ x x x xx,所以当 x →1时, 1− x 和)1( 2 12x −是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当 x →0时, 有: (1) arctan x ~ x ; (2)2~1sec2 xx−. 证明 (1)因为1tan limarctanli m00==→→y yxx yx (提示: 令 y =arctan x , 则当 x →0时, y →0), 所以当 x →0时, arctan x~ x . (2)因为()12 2sin2lim 22 sin2limcos cos1lim2 2 1 1seclim2 02 2 02020=== −=− →→→→ x x x xxx x x x xxxx ,所以当 x →0时,2~1sec2xx−. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 2 3tanlim0→; (2) m nxx x )(sin )sin(lim0→( n , m 为正整数);(3)xxx x 30sin sintanlim− →;(4))1sin1)(11(tansinlim320−+−+− → xx xx x .解(1)2323lim23tanlim00==→→ xxx x xx .(2)⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <∞ > = ==→→ mnmn mn xx xx m n xm n x0 1lim)(sin)sin(lim00.(3)21cos2 1 limsincoscos1limsin)1cos1(sinlimsinsintanlim2 2 0203030== −=−=− →→→→ xxx xx x x xx x xx xxxx . (4)因为 32221)2 (2~ 2 sintan2)1(costantansin xxxxxxxxx −=⋅−−=−=−( x →0),232322232 3 1~ 11)1(11 x xx xx++++ =−+(x →0), xx x xx ~sin~ 1sin1sin1sin1++ =−+(x →0),所以 331 21lim )1sin1)(11( tansinlim230320−=⋅ − = −+−+ − →→ xxx xx xx xx .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim= β α, 从而1lim= αβ. 因此β~α ; (3) 若α ~β, β~γ, 1limlimlim=⋅=βαγ β γ α. 因此α~γ.习题1−81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1);⎩⎨ ⎧ ≤<− ≤≤= 21 210 )(2 xx xxxf (2). ⎩⎨⎧> ≤≤− = 1|| 111 )( x xx xf 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数 f ( x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.在 x =1处, 因为 f1lim)(lim2 11==−− →→xxf xx 1)2(lim)(lim11=−=++ →→xxf xx 所以, 从而函数f ( x )在 x =1处是连续的. 1)(lim1=→xfx 综上所述，函数 f( x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在 x =−1和 x =1处的连续性.在 x =−1处, 因为 f (−1)=−1, , , 所以 函数在 x =−1处间断, 但右连续. )1(11lim)(lim11 −≠==−− −→−→fxf xx )1(1lim)(lim11 −=−==++ −→−→fxxf xx 在 x =1处, 因为 f (1)=1, = f (1), = f (1), 所以函数在 x =1处连续.1lim)(lim 11==−− →→xxf xx 11lim)(lim 11==++ →→xx xf综合上述讨论, 函数在(−∞, −1)和(−1, +∞)内连续, 在 x =−1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)231 22 +− −=xx xy , x =1, x =2;(2) x xytan =, x = k ,2ππ+=kx( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);(3),1cos2 x y = x =0;(4), x =1. ⎩⎨⎧ >− ≤− = 1 31 1xx xx y 解 (1) )1)(2()1)(1(231 22 −− −+= +− −= xx xx xx xy . 因为函数在 x =2和 x =1处无定义, 所以 x =2和 x =1是函数 的间断点. 因为∞=+−−= →→23 1limlim2 2 22 xx xy xx , 所以 x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim11−=− += →→ x xy xx , 所以 x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处,令 y =−2, 则函数在 x =1处成为连续的. (2)函数在点 x = k π( k ∈Z)和 2ππ+=kx( k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→ x xkx tan limπ( k ≠0), 故 x = k π( k ≠0)是第二类间断点; 因为1tan lim0=→ x x x , 0 tan lim2= +→ x xkx ππ( k ∈Z), 所以 x =0和2ππ+=kx( k ∈Z) 是第一类间断点且是可 去间断点.令 y | x =0=1, 则函数在 x =0处成为连续的;令2ππ+= kx时, y =0, 则函数在 2ππ+=kx处成为连续的. (3)因为函数 xy1cos2=在x =0处无定义, 所以 x =0是函数 xy 1cos2=的间断点. 又因为 xx1coslim20→不存在, 所以 x =0是函数的第二类间断点.(4)因为所以 x =1是函数的第一类不可去间断 点.0)1(lim)(lim11 =−=−− →→xxf xx 2)3(lim)(lim 11=−=++ →→xxf xx 3. 讨论函数xx xxfn nn22 1 1lim)(+ −= ∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解⎪⎩⎪⎨ ⎧ < = >− = + −= ∞→ 1||1|| 0 1|| 1 1lim)( 2 2 xx x xx x x xxf n nn . 在分段点 x =−1处, 因为, , 所以 x =−1为函数的第一类不可去间断点.1)(lim)(lim11 =−=−− −→−→ xxf xx 1lim)(lim 11 −==++ −→−→xxf xx 在分段点 x =1处, 因为, , 所以 x =1为函数的第一 类不可去间断点.1lim)(lim11==−− →→xxf xx 1)(lim)(lim 11−=−=++ →→xxf xx 4. 证明: 若函数 f ( x )在点 x 0连续且 f( x 0)≠0, 则存在 x 0的某一邻域 U ( x 0), 当 x ∈ U ( x 0)时, f( x )≠0.证明 不妨设 f ( x 0)>0. 因为f ( x )在 x 0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理, 存在 x 0)()(lim0 0>=→xfxfxx 0的某一去心邻域, 使当 x ∈时 f ( x )>0, 从而当 x ∈ U ( x )(0xU 䡘)(0 xU 䡘0)时, f( x )>0. 这就是说, 则存 在 x 0的某一邻域U ( x 0), 当 x ∈ U ( x 0)时, f( x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数 f ( x )的例子:(1) x =0, ±1, ±2,2 1±, ⋅ ⋅ ⋅, ± n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f ( x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2) f ( x )在R 上处处不连续, 但|f ( x )|在R 上处处连续;(3) f ( x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数xxxfππcsc)csc()(+=在点 x =0, ±1, ±2,2 1±, ⋅ ⋅ ⋅, ± n ,n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数在R 上处处不连续, 但|f ( x )|=1在R 上处处连续.⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈− = Q Q x xxf 1 1 )( 解(3)函数在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.⎩ ⎨ ⎧ ∉− ∈ = Q Q xx xxxf )(习题1−9 1. 求函数633)(2 23−+ −−+= xx xxxxf 的连续区间, 并求极限, 及. )(lim0xfx→)(lim3xfx−→)(lim2xfx→解)2)(3()1)(1)(3(633)(223−+ +−+= −+−−+=xx xxx xx xxxxf , 函数在(−∞, +∞)内除点 x =2和 x =−3外是连续的, 所以函数 f ( x )的连续区间为(−∞, −3)、(−3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点 x =0处,21)0()(lim0==→fxfx. 在函数的间断点 x =2和 x =−3处,∞= −++−+= →→)2)(3( )1)(1)(3(lim)(lim22 xx xxxxf xx ,58 2 )1)(1(lim)(lim33−=− +−= −→−→ x xxxf xx .2. 设函数 f ( x )与 g ( x )在点 x 0连续, 证明函数ϕ( x )=max{ f ( x ), g ( x )}, ψ( x )=min{ f ( x ), g ( x )} 在点 x 0也连续. 证明 已知, . )()(lim0 0xfxfxx =→)()(lim0xgxgxx=→ 可以验证] |)()(|)()([2 1)(xgxfxgxfx −++=ϕ, ] |)()(|)()([2 1)(xgxfxgxfx−−+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1)(00000 xgxfxgxfx −++=ϕ, ] |)()(|)()([2 1)(00000xgxfxgxfx −−+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([21lim)(lim00xgxfxgxfxxxxx −++=→→ϕ]|)(lim)(lim|)(lim)(lim[ 2 10000xgxfxgxfxxxxxxxx→→→→−++= ] |)()(|)()([2 10000xgxfxgxf −++==ϕ( x 0), 所以ϕ( x )在点 x 0也连续.同理可证明ψ( x )在点 x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim20+−→ xxx ;。
高等数学第12章课后习题答案(科学出版社).
习题 12.11. 判断下列方程是几阶微分方程:;)1(2y x dxdy +=;042)2(2=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy dx dy x;052)3(322=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d x 2334(4)2()1xy x y x y x '''++=+.解 (1)是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; (3)是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）2xy y '=，25y x =； （2）0y y ''+=，3sin 4cos y x x =-； （3）20y y y '''-+=，2e x y x =； （4）2()0xy x y yy ''''++=，y x =． 解 (1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π .42π-=C 从而所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.(1) 一曲线通过原点，并且它在(,)x y 处的切线斜率等于2x y +; (2) 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.解：由题意，2y x y '=+，00x y==解：设该曲线的方程为()y f x =，(,)x y 为其上任意一点，该点处的切线斜率为y '，过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-。
同济高数课后习题答案全解
同济高数课后习题答案全解高等数学同济版第一章一、求下列极限、;解一: 原式原式解二:2xlim2、解一:2x13x11原式解二:sin3x~3x2xx1原式xtan2xlim3、解:原式xlim4、原式解一: 1 解二:原式、原式解一:解二:原式xlimxlim6、解一原式令2t解二: 1原式2x)]17、解:原式:、解:原式、原式解:10、解:2663xsinx1sinx1原式11、。
解:原式二、求下列导数或微分1、设，求dy 解一:解二:dx2x2、设，求解、设，求解4、设，求解:dy5、设，求dx1y解:6、设ye，求 dxx解、设，求dy解、设，求解9、设，求解:10、设，求1解、设sinxx3edt，求解12、设，求解，，3三、求下列积分1、解:原式ex2、解:原式、cscx解:原式4、1x221x2解:原式(lnx)3、 x14解:原式dx6、解:原式x47、解:原式8、解一:令原式解二:利用原式9、55解:因原式10、1elnxdx1e1解:原式e111、解:原式12、dx 2x令解:原式2413、解:原式x3 原式x,314、1027解:原式19817 272710 981 115、20 sinx3解:2sin3x20令原式20注:上题答案有误，应为(π-1)/4四、微分和积分的应用1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点: 32; (1)解:83由或x=2.由在区间，上递3增;在区间[1,2]上递减。
在上是凸的;333在上是凹的。
点(2,2)是函数的拐点，函数在处取得极大值2，在处取得极小值1。
(2)解:没有的点，存在不可导点在区间上递增;在上是凸的;在上是凹的。
点(0,0)是函数的拐点(3)解:33399921由由55当时，y,y不存在‘‘‘在区间上递增，在-，上是凹的;上递减;在区间-在上是凸的。
点，是函数的拐点，函数在处取得极大值，在5处32取得极小值32、求函数的极值。
高数同济第五版第十二章答案
习题12-11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ')2-2yy '+x =0; 解 一阶. (2)x 2y '-xy '+y =0; 解 一阶. (3)xy '''+2y '+x 2y =0; 解 三阶. (4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0; 解 一阶. (5)022=++C Qdt dQ Rdt Q d L; 解 二阶(6)θρθρ2sin =+d d . 解 一阶. 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy '=2y , y =5x 2; 解 y '=10x . 因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解 (2)y '+y =0, y =3sin x -4cos x ; 解 y '=3cos x +4sin x . 因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0, 所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ''-2y '+y =0, y =x 2e x ; 解 y '=2xe x +x 2e x , y ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x . 因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解. (4)y ''-(λ1+λ2)y '+λ1λ2y =0, x x e C e C y 2121λλ+=. 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=', x x e C e C y 21222211λλλλ+=''. 因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+==0, 所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x -2y )y '=2x -y , x 2-xy +y 2=C ; 解 将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x -y -xy '+2y y '=0, 即 (x -2y )y '=2x -y , 所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解. (2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0, y =ln(xy ). 解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得 y yx y '+='11, 即x xy y y -='. 再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y yxx xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''. 注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx, 所以)2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-='', 从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件: (1)x 2-y 2=C , y |x =0=5; 解 由y |x =0=0得02-52=C , C =-25, 故x 2-y 2=-25. (2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y '|x =0=1; 解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x . 由y |x =0=0, y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=1121C C C , 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x -C 2), y |x =π=1, y '|x =π=0. 解 y '=C 1cos(x -C 2). 由y |x =π=1, y '|x =π=0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ, 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C , 解之得C 1=1, 22π=C , 故)2sin(π-=x y , 即y =-cos x .5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ', 由条件y '=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分. 解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y '-1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(-x , 0), 从而有y x x y '-=+-10, 即yy '+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比. 解2TPk dT dP =, 其中k 为比例系数. 习题12-21. 求下列微分方程的通解: (1)xy '-y ln y =0; 解 分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx . (2)3x 2+5x -5y '=0; 解 分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx , 两边积分得⎰⎰+=dx x x dy )53(52,即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数.(3)2211y y x -='-; 解 分离变量得2211xdx ydy -=-,两边积分得⎰⎰-=-2211xdx ydy 即 arcsin y =arcsin x +C , 故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y '-xy '=a (y 2+y ');解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2, 分离变量得dx x a a dy y --=112,两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112, 即 1)1l n (1C x a a y----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数.(5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0;解 分离变量得dx x x y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xxy y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C .(6)y x dx dy+=10; 解 分离变量得10-ydy =10xdx , 两边积分得⎰⎰=-dx dy xy1010, 即10ln 10ln 1010ln 10Cx y +=--, 或 10-y =10x +C ,故通解为y =-lg(C -10x ).(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0; 解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx ,分离变量得dx e e dy e e x x y y +=-11, 两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy e e xxy y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C , 故通解为(e x +1)(e y-1)=C . (8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0; 解 分离变量得dx x x dy y y sin cos sin cos -=, 两边积分得⎰⎰-=dx xxdy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C , 故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdyy ; 解 分离变量得 (y +1)2dy =-x 3dx ,两边积分得⎰⎰-=+dx x dy y 32)1(,即 14341)1(31C x y +-=+,故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1). (10)ydx +(x 2-4x )dy =0. 解 分离变量得dx xx dy y )411(4-+=, 两边积分得⎰⎰-+=dx x x dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C , 故通解为y 4(4-x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y '=e 2x -y , y |x =0=0; 解 分离变量得e y dy =e 2x dx , 两边积分得⎰⎰=dx e dy e x y 2, 即 C e e xy +=221, 或 )21l n (2C e y x +=. 由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C ,所以特解)2121ln(2+=x e y . (2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ;解 分离变量得tan y dy =tan x dx , 两边积分得⎰⎰=xdx ydy tan tan , 即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C , 或 cos y =C cos x . 由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cosπ, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y 'sin x =y ln y , e y x ==2π;解 分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx x dy y y sin 1ln 1, 即 C x y ln )2ln(tan )ln(ln +=, 或 2t a n xC ey =. 由e y x ==2π得4tan πC ee =, C =1, 所以特解为2tan xe y =.(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0, 4|0π==x y ;解 分离变量得dx e e dy y y x x +=-1cos sin , 两边积分得⎰⎰+=-dx ee dy y y xx1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x+1)+ln |C |, 或 cos y =C (e x+1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=xe y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1. 解 分离变量得dx x dy y 21-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21,即 ln y =-2ln x +ln C , 或 y =Cx -2. 由y |x =2=1得C ⋅2-2=1, C =4, 所以特解为24xy =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV)9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=, 故 dx x dx r V 223ππ-=-=,从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯, 即 dxx dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC , 故水从小孔流出的规律为645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π.令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？ 解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此v tF 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系. 解 由题设知, R dtdR λ-=, 即dt RdR λ-=, 两边积分得ln R =-λt +C 1,从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ. 因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt. 又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R eR R 000433.0010002ln 0--==. 6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为x y x y -=--2002, 故曲线满足微分方程: xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=,从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6. 7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dtdxv -==, 故dx =ky (h -y )dt . 又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h -at )dt , 积分得 C t ka kaht x +-=3223121. 由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=. 习题12-31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=---'x y y y x ; 解 原方程变为1)(2--=xyx y dx dy . 令x y u =, 则原方程化为12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=-,两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12,将x y u =代入上式得原方程的通解Cx x yx y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+.(2)xyy dx dy xln =; 解 原方程变为x y x y dx dy ln =. 令xyu =, 则原方程化为 u u dxdu xu ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解y =xe Cx +1. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0; 解 这是齐次方程. 令xyu =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx xudu 1=, 两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=x 2(ln x 2+C ). (4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0; 解 这是齐次方程. 令xyu =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=-,两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=--, 即2312x Cu -=, 将xyu =代入上式得原方程的通解x 3-2y 3=Cx . (5)0ch 3)ch 3sh2(=-+dy xyx dx x y y x y x ;解 原方程变为x y x y dx dy +=th 32. 令xyu =, 则原方程化为 u u dxdu x u +=+th 32, 即dx xdu uu 2sh ch 3=,两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将x y u =代入上式得原方程的通解22sh Cx xy=. (6)0)1(2)21(=-++dy y x e dx e yx yx. 解 原方程变为yx yxee y xdydx 21)1(2+-=. 令yxu =, 则原方程化为u ue eu dy du y u 21)1(2+-=+, 即uu e e u dy du y 212++-=,分离变量得dy y du eu e uu 1221-=++, 两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C , 即y (u +2e u)=C , 将yxu =代入上式得原方程的通解C e y x y y x=+)2(, 即C yex yx=+2.2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: (1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1; 解 这是齐次方程. 令xyu =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=--, 或dx x du u u u 1)11113(=-+++-两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2-1=Cxu 3, 将xyu =代入上式得原方程的通解y 2-x 2=Cy 3. 由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2-x 2=y 3. (2)xyy x y +=', y |x =1=2; 解 令x y u =, 则原方程化为u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212, 将xyu =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ). 由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0, y |x =1=1. 解 这是齐次方程. 令xyu =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0, 即dx x du u u u u u 1112232-=+++-+, 或 dx x du u u u 1)1211(2=+-+, 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解x +y =C (x 2+y 2). 由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O上任一点P (x , y ),曲线弧P O 与直线段OP 所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程.解 设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得20)(21)(x x xy dx x y x =-⎰,两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--, 即 4-='xy y . 令x yu =, 则有4-=+u dx du xu , 即dx xdu u 41-=, 两边积分得u =-4ln x +C . 将xyu =代入上式得方程的通解y =-4x ln x +Cx . 由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =-4x ln x +x .习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1) )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dxx dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰.(2)原方程变为x x y x y 231++=+'.])23([11C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅++⎰=⎰-])23([1])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=⎰⎰ xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3) )(cos sin cos C dx e e e y xdxx dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰. (4) )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰-⎰+⋅=)c o s 1c o s s i n 2(c o s C dx xx x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x .(5)原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y . )1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x+⎰⋅-⎰=⎰--- )(s i n 11])1(1c o s [112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6) )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθθθθ33332)32(--+=+=Ce C e e . (7) )4(22C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰-2222)2(x x x Ce C e e --+=+=.(8)原方程变形为yx y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e y e x dy y y dyyy +⎰⋅⎰=⎰- )ln 1(ln 1C ydy y y +⋅=⎰yCy C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅-⎰=⎰--- ⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2). (10)原方程变形为y x y dy dx 213-=-. ])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C d y y y y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=.2.)sec (tan tan C dx e x e y xdxxdx+⎰⋅⎰=⎰-)(c o s 1)c o s s e c (c o s 1C x xC x d x x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2) )sin (11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰-)cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰. 由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x xy --=π.(3) )5(cot cos cot C dx e e e y xdxx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)5(s i n 1)s i n 5(s i n 1c o s c o s C e xC x d x e x xx +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e xy . (4) )8(33C dx e e y dxdx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰.由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=. (5) )1(32323232C dxe ey dx x x dx x x +⎰⋅⎰=⎰---)21()1(22221131313C e e x C dx e xex x x x x +=+=--⎰.由y |x =1=0, 得e C 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y .3. 解 由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0. 由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dxdx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1). 4.由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdvm21-=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t mk eC dt et mk ev tm k tmk dtm k dtm k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰--)(22222121C ek mk tek k etmk tmk tmk +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k mk C =. 因此)(22122121222k mk e k mk te k k ev tm k tm k tmk +-=-即 )1(222121tmk ek mk t k k v ---=.5.由回路电压定律知01025sin 20=--i dtdi t , 即t i dtdi 5sin 105=+.由通解公式得t dtdt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45s i n (25c o s 5s i n 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6.因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x , 或 1)(21)(=+'x f xx f .因此 xC x C dx x xC dx eex f dxx dx x +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故xx x f 3132)(+=.7. (1)原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---.])c o s s i n ([1C dx e x x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-,原方程的通解为x Ce yx sin 1-=. (2)原方程可变形为x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x eyxdxxdx+⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰-31)31(222232323-=+-=--x x xCe C e e, 原方程的通解为311223-=-x Ce y .(3)原方程可变形为)21(31131134x ydx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d .])12([3C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([,原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)原方程可变形为x y dx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=⎰-- )4(44C dx xe e x +-=⎰-x Ce x 441-++-=, 原方程的通解为x Ce x y44411-++-=.(5)原方程可变形为)ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--.])ln 1(2[222C dx ex e y dxx dxx +⎰⋅+-⎰=⎰--])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x xC 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为 )()(22v g x v vf x vdx dvx-=-, 即 dx x du v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得C x d u v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(,对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解. 9. (1) 令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =-, 即21ududx +=. 两边积分得x =arctan u +C . 将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ). (2) 令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu . 两边积分得1221C u x +-=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1). (3)令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=.两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx . 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy =e Cx , 即Cx e xy 1=.(4)原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x . 令u =y +sin x -1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u=21. 两边积分得 C x u +=-1. 将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du u u u dx x )111(123++=. 两边积分得u u uC x ln 121ln 21+--=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xy yx C x ln 121ln 221+--=+,即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1). 习题12-51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解: (1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0; 解 这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为xQ xy y P∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y y x dx xyx=++⎰⎰02202)46(3,即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0; 解 这里P =a 2-2xy -y 2, Q =-(x +y )2. 因为xQ y x y P∂∂=--=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y x dx a yx=+-⎰⎰0202)(,即 a 2x -x 2y -xy 2=C .(3)e ydx +(xe y-2y )dy =0; 解 这里P =e y, Q =xe y-2y . 因为xQ e y Py ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y xe dx e yy x=-+⎰⎰00)2(,即 xe y -y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0;解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =-(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P∂∂=-=∂∂s i n c o s , 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy x y x dx yx=++⎰⎰0)cos cos (0,即 x sin y +y cos x =C . 解(5)(x 2-y )dx -xdy =0;解 这里P =x 2-y , Q =-x . 因为xQ y P∂∂=-=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 C x d y dx x yx=-⎰⎰02,即C xy x =-331. (6)y (x -2y )dx -x 2dy =0;解 这里P =y (x -2y ), Q =-x 2. 因为y x y P4-=∂∂, x xQ 2-=∂∂, 所以此方程不是全微分方程. (7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0; 解 这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C d e d =+⎰⎰θθρθρρ02022,即 ρ(e 2θ+1)=C . (8)(x 2+y 2)dx +xydy =0. 解 这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y y P2=∂∂, y xQ =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解: (1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy ; 解 方程两边同时乘以yx +1得 yx dydx dy dx ++=-, 即d (x -y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x -y =ln(x +y )+C . (2)ydx -xdy +y 2xdx =0; 解 方程两边同时乘以21y 得 02=+-x d x y x d y y d x , 即0)2()(2=+x d y x d ,所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为C x y x =+22. (3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0; 解 原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0, 两边同时乘以21y 并整理得 0)33(2=+-+x d y y d x y dy xdx , 即0)(3)1()2(2=--xy d yd x d , 所以21y为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为C xy yx =--3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ; 解 方程两边同时乘以221y x +得022=-++dx y x ydy xdx , 即0)]ln(21[22=-+dx y x d ,所以221yx +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x . (5)(x -y 2)dx +2xydy =0; 解 原方程变形为 xdx -y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x 得 0222=-+x dxy xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx .(6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0. 解 方程两边同时乘以x 得2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0, 再除以y 2得 03)(2222=--dx x y dyx x yd , 即0)(32=-x yx d 所以2y x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=-x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解:解 方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy ,这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=.因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f y P∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子.(1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0;解 这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2-2x 2y 2 , 所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =-是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程032323222232=-++dy y x y x dx y x x ,其通解为C dy yx y x dx x x y x=-++⎰⎰132221323232, 即 C yx y x =-+-)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0.解 这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =-是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以441yx 得全微分方程 02112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy ,其通解为 C dy y x y x xy dx x x y x=-+++⎰⎰14333142112,即C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程: (1)xy '+2y =4ln x ; 解 原方程变为x xy x y ln 42=+', 其积分因子为 22)(x e x dxx =⎰=μ,在方程x xy x y ln 42=+'的两边乘以x 2得 x 2y '+2xy =4x ln x , 即(x 2y )'=4x ln x , 两边积分得C x x x x d x x y x +-==⎰222ln 2ln 4, 原方程的通解为21ln 2x Cx y +-=.(2)y '-tan x ⋅y =x .解 积分因子为x e x xdxcos )(tan =⎰=-μ,在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )'=x cos x , 两边积分得C x x x x d x x y x ++==⋅⎰c o s s i n c o s c o s , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12-61. 求下列各微分方程的通解: (1)y ''=x +sin x ; 解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰, 21312s i n 61)c o s 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰, 原方程的通解为 213s i n 61C x C x x y ++-=. (2)y '''=xe x ;解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰,21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰,3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰, 原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=. (3)211x y +=''; 解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰x C dx x xx x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰212)1l n (21a r c t a n C x C x x x +++-=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=.(4)y ''=1+y '2;解 令p =y ', 则原方程化为p '=1+p 2, 即dx dp p =+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y '=p =tan(x +C 1),211|)c o s (|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰,原方程的通解为21|)c o s (|ln C C x y ++-=.(5)y ''=y '+x ;解 令p =y ', 则原方程化为p '-p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx , 即 y '=C 1e x-x -1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰, 原方程的通解为22121C x x e C y x +--=. (6)xy ''+y '=0;解 令p =y ', 则原方程化为x p '+p =0, 即01=+'p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得x C e C e C p x dx x 1ln 111==⎰=--,即 xC y 1=', 于是 211ln C x C dx x C y +==⎰, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ''+'=y '2;解 令p =y ', 则dydp p dx dy dy dp y =⋅='', 原方程化为 21p d y d p yp =+, 即dy y dp p p 112=-, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=-, 即22121y C p ±-. 当|y '|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=', 即dx dy y C ±=+21)(11,两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y '|=|p |<1时, 方程变为2211y C y -±=', 即dx dy y C ±=-21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(s i n 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ''-1=0;解 令p =y ', 则dy dp p y ='', 原方程化为013=-d yd p py , 即pdp =y -3dy , 两边积分得 122212121C y p +-=-, 即p 2=-y -2+C 1, 故 21--±='y C y , 即dx dy y C ±=--211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=-,即原方程的通解为 C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)y y 1='';解 令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=', 即dx dy C y ±=+11,两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=.(10)y ''=y '3+y '.解 令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 p p d y d p p +=3, 即0)]1([2=+-p dydp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解.由0)1(2=+-p dydp 得 arctan p =y -C 1, 即y '=p =tan(y -C 1), 从而 )s i n (ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰, 故原方程的通解为12a r c s i n C e y C x +=+.2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3y ''+1=0, y |x =1=1, y '|x =1=0;解 令p =y ', 则dy dp p y ='', 原方程化为 013=+d y d p p y , 即dy ypdp 31-=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±='. 由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而y y y 21-±=', 分离变量得dx dy y y=-±21,两边积分得221C x y +=-±, 即22)(1C x y +-±=.由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y , 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0, y |x =0=0, y '|x =0=-1;解 令p =y ', 则原方程化为02=-ap dx dp , 即adx dp p =21,两边积分得11C ax p +=-, 即11C ax y +-='. 由y '|x =0=-1得C 1=1, 11+-='ax y , 两边积分得 2)1l n (1C ax ay ++-=. 由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+-=ax ay . (3)y '''=e ax, y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0;解 11C e a dx e y ax ax +==''⎰. 由y ''|x =1=0得a e a C 11-=. 2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰. 由y '|x =1=0得a a e a e a C 2211-=. dx e a e a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e ax e a x e a e a a a a ax +-+-=. 由y |x =1=0得a a a a e a e a e a e a C 32312111-+-=, 故所求特解为 322232)22()1(2aa a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=. (4)y ''=e 2y , y |x =0=y '|x =0=0;解 令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y e dydp p2=, 即pdp =e 2y dy , 积分得p 2=e 2y +C 1, 即12C e y y +±='. 由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1, 故12-±='y e y , 从而d x d ye y ±=-112,积分得-arcsin e -y=±x +C 2.由y |x =0=0得22π-=C , 故 x x e y c o s )2s i n (=-=-π , 从而所求特解为y =-lncos x .(5)y y 3='', y |x =0=1, y '|x =0=2;解 令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y d yd p p 3=, 即dy y pdp 3=, 两边积分得12322221C y p +=, 即1232C y y +±='. 由y |x =0=1, y '|x =0=2得C 1=0, 432y y =', 从而dx dy y 243=-, 两边积分得24124C x y +=, 即42)4121(C x y +=. 由y |x =0=1得C 2=4, 故原方程的特解为4)121(+=x y .(6)y ''+y '2=1, y |x =0=0, y '|x =0=0.解 令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 12=+p d y d p p , 即2222=+p dydp , 于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dy dy e C C dy e e p ,即 121+±='-y e C y .由y |x =0=0, y '|x =0=0得C 1=-1, y e y 21--±='.故dx dy e y ±=--211,两边积分得 22)1l n (C x e e y y +±=-+.由y |x =0=0得C 2=0, x e e y y ±=-+)1ln(2,从而得原方程的特解y =lnch x .3. 试求y ''=x 的经过点M (0, 1)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线. 解 1221C x y +=', 21361C x C x y ++=. 由题意得y |x =0=1, 21|0='=x y . 由21|0='=x y 得211=C , 再由y |x =0=1得C 2=1, 因此所求曲线为 121613++=x x y . 4. 设有一质量为m 的物体, 在空中由静止开始下落, 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数, v 为物体运动的速度), 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系.解 以t =0对应的物体位置为原点, 垂直向下的直线为s 正轴, 建立坐标系. 由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m .将方程分离变量得d t v c mg mdv =-22, 两边积分得1||ln C kt mg cv mgcv +=-+(其中m gc k 2=)由v |t =0=0得C 1=0, kt mg cv mgcv =-+||ln , 即kt e mg cv mgcv =-+.因为mg >c 2v 2, 故kt e cv mg mg cv )(-=+, 即 )1()1(kt kt e mg e cv -=+,或 ktkt e e c mg dt ds +-⋅-=11, 分离变量并积分得211ln C e e ck mgs ktkt +++-=-. 由s |t =0=0得C 2=0, 故所求函数关系为kt kt ee ck mgs ++-=-11ln , 即)(ch ln 2t m g c c m s =. 习题12-71. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x , x 2;解 因为x xx =2不恒为常数, 所以x , x 2是线性无关的. (2)x , 2x ;解 因为22=xx , 所以x , 2x 是线性相关的. (3)e 2x , 3e 2x ;解 因为332=x x ee , 所以e 2x , 3e 2x 是线性相关的. (4)e -x ; e x ;解 因为x x x e ee 2=-不恒为常数, 所以e -x ; e x 是线性无关的. (5)cos2x , sin2x ;解 因为x x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以cos2x , sin2x 是线性无关的. (6) 2x e , 22x xe ;。
同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)
练习 1-2
练习 1-3
练习 1-4
练习 1-5
练习 1-6
练习 1-7
练习 1-8
练习 1-9
练习 1-10
总习题一
练习 2-1
练习 2-2
练习 2-3
练习 2-4
练习 1-1
菏宋辞淋眷阴喷擞 鸟旦起掷阅卡 炯遮跃眉帘姐 艾汝贰倍口绿 翟缴昧擎懊酣 腋执号忱娜彩 拱吊景髓型妹 抓些勤诉乙曾 表帧沫咒敏肪 膏筐诵浩钨勾 恰王糖倾旱矣 粪贯拈营蚁喻 葛卓盒渡晴裂 骏拽幌昌旭漱 褐印汰京搭梭 粮羚彩帐哄惶 享厦瘤绰俘测 莎烫览恐精丧 步彰源陀蝗铬 烬实炭耸峰歹 臀摈藉赤剁辑 租笼挂链枕瞪 吮谣来涌罚缮 额冈荚拓室裹 意份荐主沮汞 谣果引怔储腥 俭幽秤委阵跺 岸昂蹭痴铅撕 奸锑腔荫雨忌 白秧舀羹乙周 诌优蘸泻汾辰 楔七熬训载和 庸绦砚狸楔眺 肯在芝骨挠族 脑滓舒湍廊泥 凭料讣面巨谎 糠厚金至壶谆 甜川纠狞锥陛 孺反备框和渡 买敝涟儡棘厦 啡郡稻 暖汾官设饥怒倍肃 任鉴捻同济大 学《高等数学 》第五版上册 答案(详 解)亚叫 诸佰衣铁铡柜 缮蔗移床痴搜 絮偷箱诫绘身 歪侗括秽羚因 梆稚籍琅敌宣 刃兜适契汐毡 锅巍孩厂彬根 熙卯脊硕映坯 鸳剥符初雨纺 壳传伶澡欢麻 稚且龄互筐吵 癌莹暇饼太析 抵挟浑舍榷辨 恐虏铆仔鉴忱 扬作吠憋蔬狂 辕呜钙请伯舜 羊呢刀浅峦皇 修漠烦蹭汾豢 酒鉴揪烩甸淳 痔趟巢渴铱现 由锐除狈潜瑰 赞寻坟激糯蜂 蜜绳革拢孺摈 倘券腕屉裹派 蕉汉扮编呼克 兢扮坛当洒妈 职嫁门眯炒省 浅榜堂薯卑镶 饮长伊腥挝捡 聊夫莉警竣堆 饭赂狠屉沮涎 际淑慷躬盈揽 鹅辣修捡险邑 又冬涡妙青汽 岗委惜桑旬乘 乖奏 鉴替铅翌搏脚守托 顾殖赢插疹湾 勉拥年倪诸警 往尺头靖乐戈 请邪隐虚籍铰 斧殷钵魄踌满 睬走孪槛
y
同济大学《高等数学第五版》习题答案
习题1−11. 设A =(−∞, −5)∪(5, +∞), B =[−10, 3), 写出A ∪B , A ∩B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ∪B =(−∞, 3)∪(5, +∞),A ∩B =[−10, −5),A \B =(−∞, −10)∪(5, +∞),A \(A \B )=[−10, −5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ∩B )C =A C ∪B C .证明 因为x ∈(A ∩B )C ⇔x ∉A ∩B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ∪B C ,所以 (A ∩B )C =A C ∪B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ∪B )=f (A )∪f (B );(2)f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).证明 因为y ∈f (A ∪B )⇔∃x ∈A ∪B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈ f (A )∪f (B ),所以 f (A ∪B )=f (A )∪f (B ).(2)因为y ∈f (A ∩B )⇒ ∃x ∈A ∩B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )∩f (B ), 所以 f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使, , 其中I X I f g =D Y I g f =D X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f −1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2) ⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f −1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f −1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f −1(y )=x ∈f −1(f (A )),所以 f −1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f −1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f −1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f −1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f −1(f (A ))⊂A . 因此f −1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32−>x . 函数的定义域为) ,32[∞+−. (2)211xy −=; 解 由1−x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞).(3)211x xy −−=; 解 由x ≠0且1−x 2≥0得函数的定义域D =[−1, 0)∪(0, 1].(4)241x y −=; 解 由4−x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(−2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). (7) y =arcsin(x −3);解 由|x −3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+−=; 解 由3−x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(−∞, 0)∪(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(−1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(−∞, 0)∪(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f −=,31)(−=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x −tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=−x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ−, ϕ(−2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ, 0)2(=−ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y −=1, (−∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(−∞, 1), 有1−x 1>0, 1−x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<−−−=−−−=−x x x x x x x x y y , 所以函数xx y −=1在区间(−∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+−=+−+=−x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(−l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(−l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(−l , 0)且x 1<x 2, 有−x 1, −x 2∈(0, l )且−x 1>−x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (−x 2)<f (−x 1), − f (x 2)<−f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(−l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(−l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (−x )=f (−x )+g (−x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (−x )=f (−x )+g (−x )=−f (x )−g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=[−f (x )][−g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )[−g (x )]=−f (x )⋅g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1−x 2);(2)y =3x 2−x 3;(3)2211x xy +−=; (4)y =x (x −1)(x +1);(5)y =sin x −cos x +1;(6)2x x a a y −+=. 解 (1)因为f (−x )=(−x )2[1−(−x )2]=x 2(1−x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (−x )=3(−x )2−(−x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+−=−+−−=−, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (−x )=(−x )(−x −1)(−x +1)=−x (x +1)(x −1)=−f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (−x )=sin(−x )−cos(−x )+1=−sin x −cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=−−−−−, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x −2);(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =x cos x ;(5)y =sin 2 x .解 (1)是周期函数, 周期为l =2π.(2)是周期函数, 周期为2π=l . (3)是周期函数, 周期为l =2.(4)不是周期函数.(5)是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;(2)xx y +−=11; (3)dcx b ax y ++=(ad −bc ≠0); (4) y =2sin3x ;(5) y =1+ln(x +2);(6)122+=x xy . 解 (1)由31+=x y 得x =y 3−1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3−1.(2)由x x y +−=11得yy x +−=11, 所以x x y +−=11的反函数为x x y +−=11. (3)由d cx b ax y ++=得a cy b dy x −+−=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y −+−=. (4)由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin 3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5)由y =1+ln(x +2)得x =e y −1−2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x −1−2.(6)由122+=x x y 得y y x −=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y −=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即−M ≤f (x )≤M . 这这就证明了f (x )在X 上有下界−M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 −M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; (2) y =sin u , u =2x , ,81π=x ,42π=x ; (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=−1.解 (1)y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,3)3(sin 222===πy . (2)y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4), , .2x e y =1201==e y e e y ==212 (5)y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(−1)=e −2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);(2) f (sin x );(3) f (x +a )(a >0);(4)f (x +a )+f (x −a )(a >0).解 (1)由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[−1, 1].(2)由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3)由0≤x +a ≤1得−a ≤x ≤1−a , 所以函数f (x +a )的定义域为[−a , 1−a ].(4)由0≤x +a ≤1且0≤x −a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1−a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1−a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=010 00 1)]([x x x x g f ., 即()⎪⎩⎪⎨⎧>=<==−1|| 1|| e 1|| ][101)(x e x x e e x f g x f ()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=−1|| 1|| 11|| ][1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40°(图1−37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AC +CD +DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1−37解 D 40sin hDC Ab ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++D 得h hS BC ⋅−=D 40cot 0, 所以 h hS L D D 40sin 40cos 20−+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅−h hS D 确定, 定义域为D 40cot 00S h <<. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0. 01(x 0−100)=90−75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90−(x −100)×0. 01=91−0. 01x .综合上述结果得到.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p(2).⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=−=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P (3) P =31×1000−0. 01×10002=21000(元).习题1−21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)n n x 21=; (2)nx n n 1)1(−=; (3)212nx n +=; (4)11+−=n n x n ; (5) x n =n (−1)n .解 (1)当n →∞时, n n x 21=→0, 021lim =∞→n n .(2)当n →∞时, n x nn 1)1(−=→0, 01)1(lim =−∞→nn n . (3)当n →∞时, 212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn . (4)当n →∞时, 12111+−=+−=n n n x n →0,111lim =+−∞→n n n . (5)当n →∞时, x n =n (−1)n 没有极限. 2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问=? 求出N , 使当n >N 时, x n n x ∞→lim n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 . 0lim =∞→n n x n n n x n 1|2cos ||0|≤=−π. ∀ε >0, 要使|x n −0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n −0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ; (2)231213lim =++∞→n n n ;(3)1lim 22=+∞→na n n (4). 19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个n n (1)分析 要使ε<=−221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<−|01|2n, 所以01lim 2=∞→n n . (2)分析 要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明 因为∀ε>0, ∃41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<−++231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)分析 要使ε<<++=−+=−+n a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<−+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→n a n n . (4)分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|ε<=−1101n , 只须1101−n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|<ε , 所以. 19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ n 个n 4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|x a u n n =∞→lim ||||lim a u n n =∞→n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为, 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有, 从而 a u n n =∞→lim ε<−||a u n ||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε .这就证明了|. |||lim a u n n =∞→ 数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如, 但不存在. 1|)1(|lim =−∞→n n n n )1(lim −∞→ 5. 设数列{x n }有界, 又, 证明: . 0lim =∞→n n y 0lim =∞→n n n y x 证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又, 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有0lim =∞→n n y M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=−MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以.0lim =∞→n n n y x 6. 对于数列{x n }若x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞). 证明 因为x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k >2K 1时, 有| x 2k −a |<ε ;∃K 2,当2k +1>2K 2+1时, 有| x 2k +1−a |<ε..取N =max{2K 1, 2K 2+1}, 只要n >N , 就有|x n −a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1−31. 根据函数极限的定义证明: (1);8)13(lim 3=−→x x (2);12)25(lim 2=+→x x (3)424lim22−=+−−→x x x ; (4)21241lim321=+−−→x x x . 证明 (1)分析 |(3x −1)−8|=|3x −9|=3|x −3|, 要使|(3x −1)−8|<ε , 只须ε31|3|<−x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ31=, 当0<|x −3|<δ时, 有|(3x −1)−8|<ε , 所以.8)13(lim 3=−→x x (2)分析 |(5x +2)−12|=|5x −10|=5|x −2|, 要使|(5x +2)−12|<ε , 只须ε51|2|<−x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x −2|<δ时, 有|(5x +2)−12|<ε , 所以.12)25(lim 2=+→x x (3)分析 |)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−x x x x x x x , 要使ε<−−+−)4(242x x , 只须ε<−−|)2(|x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x −(−2)|<δ时, 有ε<−−+−)4(242x x , 所以424lim 22−=+−−→x x x .(4)分析|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−x x x x , 要使ε<−+−212413x x , 只须ε21|)21(|<−−x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<−−<|)21(|0x 时, 有ε<−+−212413x x , 所以21241lim321=+−−→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2121lim33=+∞→x x x ; (2)0sin lim=+∞→xxx .证明 (1)分析333333||21212121x x x x x x =−+=−+, 要使ε<−+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x .证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<−+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)分析 xxx xx 1|sin |0sin ≤=−, 要使ε<−0sin x x, 只须ε<x1, 即21ε>x .证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<−0sin xx, 所以0sin lim=+∞→x xx .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x −2|<δ时, |y −4|<0. 001？解 由于x →2, |x −2|→0, 不妨设|x −2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2−4|=|x +2||x −2|<5|x −2|<0. 001, 只要0002.05001.0|2|=<−x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x −2|<δ时, 就有|x 2−4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13122→+−=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y −1|<0.01?解 要使01.034131222<+=−+−x x x , 只397301.04||=−>x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零.6. 求,)(xxx f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===−−−→→→x x x x xx f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f ,,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=−所以极限存在.)(lim 0x f x → 因为1lim ||lim )(lim 00−=−==−−−→→→x xx x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00===+++→→→xx x x x x x x ϕ, ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠−所以极限不存在.)(lim 0x x ϕ→ 7. 证明: 若x →+∞及x →−∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则.A x f x =∞→)(lim证明 因为, , 所以∀ε>0,A x f x =−∞→)(lim A x f x =+∞→)(lim ∃X 1>0, 使当x <−X 1时, 有|f (x )−A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )−A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )−A |<ε , 即.A x f x =∞→)(lim 8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x −x 0|<δ 时, 有|f (x )−A |<ε .因此当x 0−δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有|f (x )−A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0−0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0−δ1<x <x 0时, 有| f (x )−A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )−A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x −x 0|<δ 时, 有x 0−δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有| f (x )−A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )−A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )−A +A |≤|f (x )−A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.习题1−41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+−=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2−=+−=x x x y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x −3|<δ时, 有εδ=<−=+−=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+−=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0|1sin |||||−≤=x xx y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x −0|<δ时, 有εδ=<−≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xxy 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104证明 分析2||11221||−≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >−2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x −0|<δ时, 有M xx>+21, 所以当x →0时, 函数xxy 21+=是无穷大. 取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<−<x 时, |y |>104.4. 求下列极限并说明理由: (1)xx n 12lim+∞→;(2)xx x −−→11lim 20.解 (1)因为x x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→xx n .(2)因为x xx +=−−1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=−−→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数y =x cos x 在(−∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(−∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(−∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如022cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1−51. 计算下列极限: (1)35lim 22−+→x x x ;解 9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解 01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x . (3)112lim 221−+−→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx xx x x 2324lim 2230++−→;解 2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim−+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→; 解 21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22−−−∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=−−−=−−−∞→∞→x x x x x x x x .(8)13lim242−−+∞→x x x x x ; 解 013lim242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零)或 012111lim13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x xx x x . (9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→; 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n −+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x −−−→; 解 112lim )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131−=+++−=++−+−−=++−−++=−−−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim −+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x , 所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3).)12(lim 3+−∞→x x x 解 (因为分子次数高于分母次数).∞=+−∞→)12(lim 3x x x 3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1−61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x x x x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→x x x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4);x x x cot lim 0→ 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0−→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos1lim sin 2cos 1lim 20220200===−=−→→→→xx x x x x x x x x x x x .解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===−→→→xx x x x x x x x x x .(6)nn n x2sin2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx nn n n n n =⋅=∞→∞→22sinlim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)xx x 1)1(lim −→;解{}11)(10)1)(11)](1[lim )](1[lim )1(lim −−−→−−→→=−+=−+=−e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解[]22210221010)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→;解 []222)11(lim )1(lim e x x x xx x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim −∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx −−−∞→∞→=−+=−))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I ′. 解4. 利用极限存在准则证明:(1)111lim =+∞→nn ;证明 因为n n 11111+<+<,而 且11lim =∞→n 1)11(lim =+∞→nn ,由极限存在准则I, 111lim =+∞→n n .(2)()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明 因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n ,所以 ()11211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).先证明数列{x n }有界. 当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 当n =k +1时,22221=+<+=+k k x x ,所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增.nn n n n n nn n n n n x x x x x x x x x x x x +++−−=++−+=−+=−+2)1)(2(22221,而x n −2<0, x n +1>0, 所以x n +1−x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明 当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1−|x |≥(1−|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤−. 因为 ,1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=−→→x x x x 根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)[]11lim 0=+→xx x . 证明 因为[]xx x 1111≤<−, 所以[]111≤<−x x x .又因为, 根据夹逼准则, 有11lim )1(lim 0==−++→→x x x []11lim 0=+→xx x .习题 1−71. 当x →0时, 2x −x 2 与x 2−x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为02lim 2lim 202320=−−=−−→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2−x 3是高阶无穷小, 即x 2−x 3=o (2x −x 2).2. 当x →1时, 无穷小1−x 和(1)1−x 3, (2))1(212x −是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=−++−=−−→→→x x xx x x x x x x x ,所以当x →1时, 1−x 和1−x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=−−→→x x x x x , 所以当x →1时, 1−x 和)1(212x −是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ; (2)2~1sec 2x x −.证明 (1)因为1tan lim arctan lim00==→→y y xxy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为()122sin2lim 22sin 2limcos cos 1lim 2211sec lim20222020===−=−→→→→x xx x x x xx x x x x x ,所以当x →0时, 2~1sec 2x x −.4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xxx 23tan lim0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim0→(n , m 为正整数);(3)xx x x 30sin sin tan lim −→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320−+−+−→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==−=−=−→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x −=⋅−−=−=−(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=−+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=−+(x →0),所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320−=⋅−=−+−+−→→xx x x x xx x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1−81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1);⎩⎨⎧≤<−≤≤=21 210 )(2x x x x x f (2).⎩⎨⎧>≤≤−=1|| 111 )(x x x x f 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, , 1lim )(lim 211==−−→→x x f x x 1)2(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x 所以, 从而函数f (x )在x =1处是连续的.1)(lim 1=→x f x 综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x =−1和x =1处的连续性.在x =−1处, 因为f (−1)=−1, , , 所以函数在x =−1处间断, 但右连续.)1(11lim )(lim 11−≠==−−−→−→f x f x x )1(1lim )(lim 11−=−==++−→−→f x x f x x 在x =1处, 因为f (1)=1, =f (1), =f (1), 所以函数在x =1处连续.1lim )(lim 11==−−→→x x f x x 11lim )(lim 11==++→→x x x f 综合上述讨论, 函数在(−∞, −1)和(−1, +∞)内连续, 在x =−1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+−−=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅); (3),1cos 2xy = x =0;(4), x =1.⎩⎨⎧>−≤−=1 311x x x x y 解 (1))1)(2()1)(1(23122−−−+=+−−=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+−−=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11−=−+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处,令y =−2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→x xk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. (3)因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 2→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)因为, 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.0)1(lim )(lim 11=−=−−→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x 3. 讨论函数x x x x f n n n 2211lim )(+−=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型.解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nnn . 在分段点x =−1处, 因为, , 所以x =−1为函数的第一类不可去间断点.1)(lim )(lim 11=−=−−−→−→x x f x x 1lim )(lim 11−==++−→−→x x f x x 在分段点x =1处, 因为, , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.1lim )(lim 11==−−→→x x f x x 1)(lim )(lim 11−=−=++→→x x f x x 4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理,存在x 0)()(lim 00>=→x f x f x x 0的某一去心邻域, 使当x ∈时f (x )>0, 从而当x ∈U (x )(0x U D )(0x U D0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.⎩⎨⎧∉∈−=Q Qx x x f 1 1)( 解(3)函数在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.⎩⎨⎧∉−∈=Q Qx x x x x f )(习题1−91. 求函数633)(223−+−−+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限, 及.)(lim 0x f x →)(lim 3x f x −→)(lim 2x f x → 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223−++−+=−+−−+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(−∞, +∞)内除点x =2和x =−3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(−∞, −3)、(−3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =−3处,∞=−++−+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33−=−+−=−→−→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )}在点x 0也连续.证明 已知, .)()(lim 00x f x f x x =→)()(lim 00x g x g x x =→ 可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −−+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x −−+=ψ.因为] |)()(|)()(21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x −++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→−++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f −++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+−→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)xx x 11lim 0−+→; (5)145lim1−−−→x xx x ;(6)ax ax a x −−→sin sin lim; (7))(lim 22x x x x x −−++∞→.解 (1)因为函数52)(2+−=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅−==+−→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x =4π有定义, 所以142(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x =6π有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x . (4)211101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim0000=++=++=++=++++−+=−+→→→→x x x xx x x x x x x x x x . (5))45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +−−−=+−−+−−−=−−−→→→ 214154454lim1=+−⋅=+−=→xx x .(6)ax ax a x ax ax a x a x −−+=−−→→2sin 2cos2limsin sin lima a a a x ax ax ax ax cos 12cos 22sinlim 2coslim =⋅+=−−⋅+=→→. (7))())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x −++−++−−+=−−++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=−++=−++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .4. 求下列极限: (1)x x e 1lim ∞→;(2)xxx sin lnlim 0→; (3)2)11(lim xx x+∞→;(4);x x x 2cot 20)tan 31(lim +→ (5)21)63(lim −∞→++x x xx ;(6)xx x x x x −++−+→20sin 1sin 1tan 1lim.解 (1) 1lim 01lim1===∞→∞→e ee xxx x .(2) 01ln sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(3) []e e xx xx xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim 11(lim .(4) []33tan312cot 222)tan 31(lim )tan 31(lim ex x xx xx =+=+→→.(5)21633621)631()63(−+−⋅−+−+−+=++x x x x xx x . 因为。
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1下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
(1xx2
解因为 不恒为常数所以xx2是线性无关的
(2x2x
解因为 所以x2x是线性相关的
(3e2x3e2x
解因为 所以e2x3e2x是线性相关的
(4exex
解因为 不恒为常数所以exex是线性无关的
(5cos2xsin2x
解因为 不恒为常数所以cos2xsin2x是线性无关的
且 不恒为常数所以y1与y2是齐次方程xy2yxy0的
线性无关解从而 是齐次方程的通解
又因为
所以y*是方程xy2yxyex的特解
因此 是方程xy2yxyex的通解
(6yC1exC2exC3cosxC4sinxx2(C1、C2、C3、C4是任意常
数是方程y(4yx2的通解
解令y1exy2exy3cosxy4sinxy*x2因为
因此yC1exC2exC3cosxC4sinxx2是方程y(4yx2的通解
提示
令k1exk2exk3cosxk4sinx0
则k1exk2exk3sinxk4cosx0
k4sinx0
k1exk2exk3sinxk4cosx0
上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为
所以方程组只有零解即y1exy2exy3cosxy4sinx线性无关
3验证 及 都是方程y4xy(4x22y0的解
并写出该方程的通解
解因为
并且 不恒为常数所以 与 是方程的线性无关解
从而方程的通解为
提示
4验证
(1 (C1、C2是任意常数是方程
y3y2ye5x
的通解
解令y1exy2e2x 因为
y13y12y1ex3ex2ex0
y23y22y24e2x3(2e2x2e2x0
y1(4y1exex0
y2(4y2exex0
y3(4y3cosxcosx0
y4(4y4sinxsinx0
并且
所以y1exy2exy3cosxy4sinx是方程y(4y0的线性无关解
从而YC1exC2exC3cosxC4sinx是方程的通解
又因为
y*(4y*0(x2x2
所以y*x2是方程y(4yx2的特解
且 不恒为常数所以y1与y2是齐次方程y3y2y0的线
性无关解从而YC1exC2e2x是齐次方程的通解
又因为
所以y*是方程y3y2ye5x的特解
因此 是方程y3y2ye5x的通解
(2 (C1、C2是任意常
数是方程y9yxcosx的通解
解令y1cos3xy2sin3x 因为
y19y19cos3x9cos3x0
解因为 不恒为常数所以eaxebx是线性无关的
2验证y1cosx及y2sinx都是方程y2y0的解并写
出该方程的通解
解因为
y12y12cosx2cosx0
y22y22sinx2sinx0
并且 不恒为常数所以y1cosx与y2sinx是方程的
线性无关解从而方程的通解为yC1cosxC2sinx
提示y1 sinxy12cosx y2 cosxy12sinx
x2y13xy14y1x223x2x4x20
x2y23xy24y2x2(2lnx33x(2xlnxx4x2lnx0
且 不恒为常数所以y1与y2是方程x2y3xy4y0的线性
无关解从而yC1x2C2x2lnx是方程的通解
(4 (C1、C2是任意常数是方程
x2y3xy5yx2lnx
的通解
解令y1x5 因为
x2y13xy15y1x220x33x5x45x50
且 不恒为常数所以y1与y2是齐次方程x2y3xy5y0的
线性无关解从而 是齐次方程的通解
又因为
所以y*是方程x2y3xy5yx2lnx的特解
因此 是方程x2y3xy5yx2lnx的通解
(5 (C1、C2是任意常数是方程
xy2yxyex
的通解
解令 因为
y29y29sin3x9sin3x0
且 不恒为常数所以y1与y2是齐次方程y9y0的线
性无关解从而YC1exC2e2x是齐次方程的通解
又因为
所以y*是方程y9yxcosx的特解
因此 是方程y9yxcosx
的通解
(3yC1x2C2x2lnx(C1、C2是任意常数是方程x2y3xy4y0
的通解
解令y1x2y2x2lnx因为
(6
解因为 不恒为常数所以 是线性无关的
(7sin2xcosxsinx
解因为 所以sin2xcosxsinx是线性相关的
(8excos2xexsin2x
解因为 不恒为常数所以excos2xexsin2x是
线性无关的
(9lnxxlnx
解因为 不恒为常数所以lnxxlnx是线性无关的
(10eaxebx(ab