高二数学向量知识点总结
高二数学向量知识点总结
高二数学向量知识点总结高二数学向量知识点总结（一)考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用向量积两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三:定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式,主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，经常也会与函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中,难度以中档题为主,偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与函数的综合问题【内容解读】向量与函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识，函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解形的内容相结合，也有向量与函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主,属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化，这样就可以将形和数紧密地结合在一起．因此,许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
高二数学向量知识点
高二数学向量知识点1. 向量的定义和表示向量是带有方向和大小的量，通常用箭头来表示。
向量用字母加上一个箭头来表示，例如AB→表示从点A指向点B的向量。
2. 向量的加法和减法向量的加法是指将两个向量的大小和方向相加得到一个新的向量。
向量的减法是指将两个向量的大小和方向相减得到一个新的向量。
3. 向量的数量积向量的数量积也叫点积，表示为两个向量之间的乘积。
向量的数量积等于这两个向量的模长的乘积再乘以它们夹角的余弦值。
4. 向量的向量积向量的向量积也叫叉积，表示为两个向量之间的乘积。
向量的向量积等于这两个向量的模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值，并且结果是一个新的向量。
5. 平面向量的坐标表示平面向量可以使用其在坐标系中的坐标表示。
一般情况下，平面向量的坐标表示为 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的投影，y 表示向量在 y 轴上的投影。
6. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、结合律和分配律。
即对于任意向量 a、b 和 c，有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(a + b)·c = a·c + b·c- 分配律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中 k 是一个实数7. 向量的向量积的性质向量的向量积满足反交换律和分配律。
即对于任意向量 a 和b，有以下性质：- 反交换律：a×b = -b×a- 分配律：a×(b + c) = a×b + a×c8. 向量共线与垂直的判定- 共线判定：如果两个向量的数量积为0，则它们共线。
- 垂直判定：如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。
9. 向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，用 ||a|| 或 |a| 表示，计算方式为向量的坐标的平方和的开平方。
单位向量是模长为1的向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
高二数学空间向量的坐标运算知识精讲
高二数学空间向量的坐标运算【本讲主要内容】空间向量的坐标运算空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，空间向量平行，垂直的坐标表示形式。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 空间直角坐标系（1）单位正交基底，空间直角坐标系，右手直角坐标系（2）坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OA xi yj zk =++，则实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。
2. 向量的直角坐标运算设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则a b a b a b a b +=+++()112233，，a b a b a b a b -=---()112233，，a b a b a b a b ⋅=++112233a b a b a b a b R //⇔===∈112233λλλλ，，，或a b a b a b 112233==a b a b a b a b ⊥⇔++=11223303. 夹角和距离公式（1）夹角公式：设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则cos <>=++++⋅++a b a b a b a b a a a b b b ，112233122232122232（2）距离公式：设A x y z B x y z ()()111222，，，，， 则d x x y y z z AB =-+-+-()()()122122122（3）平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。
如果 a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。
【解题方法指导】1. 在证明线线平行时，利用a b a b //⇔=λ即()()a a a b b b 123123，，，，=λλλ，在证明线面平行或面面平行时，需转化为线线平行问题。
高二数学知识点：向量
高二数学知识点：向量
高二数学知识点：向量
1.向量的基本概念
(1)向量
既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.
向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)
(5)平行向量
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.
若向量a、b平行，记作a∥b.
规定：0与任一向量平行.
(6)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.
②向量a，b相等记作a=b.
③零向量都相等.
④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.
2.对于向量概念需注意
(1)向量是区别于数量的.一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.
(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线
则是指线段必须在同一条直线上.
(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.。
高二数学知识点及公式整理
高二数学知识点及公式整理11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =x a +y b +z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =x a +y b +z c ，则称x a +y b +z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式.注：（1）对于基底{a ，b ，c }应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a ，b ，c 都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间内任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→.推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O ABCD 中，OA ―→可表示为OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→＋z OD ―→且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2.如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a ＝λb 即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设{},,a b c构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）A ．a ，b ，c两两不共线，但两两共面B ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．a ，a c - ，a c +能构成空间另一个基底D ．若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零【答案】ABD【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.【详解】因为{},,a b c 构成空间的一个基底，所以a ，b ，c两两不共线，但两两共面，故A 正确；对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++，故B 正确；因为()()2a c a c a -++= ，所以a ，a c - ，a c + 共面，故不能构成空间的一个基底，故C 错误；根据空间向量基本定理可知，若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零，故D 正确；故选：ABD变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）A ．,2,a a b a b -+B ．,,a b a b c+- C ．22,,2a b a b c++D ．,,2a c b c a b c++++ 【答案】B【分析】利用基底的性质进行求解.【详解】因为()232a b a a b -=-+ ，所以,2,a a b a b -+是共面向量，不能构成基底，A 不正确；因为,,a b a b c +-不是共面向量，所以可以构成基底，B 正确；因为22a b +与a b + 平行，所以22,,2a b a b c ++ 不能构成基底，C 不正确；因为2a c b c a b c +++=++，所以,,2a c b c a b c ++++ 共面，不能构成基底，D 不正确.故选：B.变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若{}a b c，，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b- C ．a b +，a b - ，cD ．a b +，a b c ++ ，c【答案】ABD【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.【详解】{},,a b c构成空间的一个基底，对于A ，()()2b c b c b ++-= ，因此b c + ，b ，b c -共面，A 正确；对于B ，)()(2a a b b a ++-=，因此a ，a b + ，a b - 共面，B 正确；对于C ，假定a b +，a b - ，c 共面，则存在,R λμ∈使得()()()()c a b a b a b λμλμλμ=+-++-=+ ，而,,a b c不共面，则00λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得0λμ==，于是0c = ，,,a b c 共面，与,,a b c 不共面矛盾，因此a b +，a b - ，c 不能共面，C 错误；对于D ，()a b c a b c ++=++ ，因此a b +，a b c ++ ，c 共面，D 正确．故选：ABD变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）{},,a b c 是空间的一个基底，与a b +、a c + 构成基底的一个向量可以是（）A ．b c+B ．b c-C ．bD ．c【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理判断即可.【详解】由于()b c a b a c -=+-+ ，故b c - 与a b +、a c + 共面，无法构成空间的一个基底，故B 错误；因为{},,a b c 是空间的一个基底，由于不存在实数对x 、y ，使得()()b c x a b y a c +=+++，若成立则011x y x y +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然方程组无解，故a b +、a c + 与b c + 可以作为空间的一个基底，故A 正确，同理可得C 、D 正确；故选：ACD变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若{}123,,e e e是空间的一个基底，且向量{}123123123,22,32OA e e e OB e e e OC ke e e =++=-+=++不能构成空间的一个基底，则k =（）A ．83B ．52C ．14-D ．94【答案】D【分析】由题意可知，向量OA 、OB 、OC共面，则存在实数x 、y 使得OC xOA yOB =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于x 、y 、k 的方程组，即可解得k 的值.【详解】因为向量123OA e e e =++ ，12322OB e e e =-+ ，12332OC ke e e =++不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC共面，故存在实数x 、y 使得OC xOA yOB =+ ，即()()()()()123123123123322222ke e e x e e e y e e e x y e x y e x y e ++=+++-+=++-++ ，因为{}123,,e e e 是空间的一个基底，则2322k x y x y x y =+⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得521494x y k ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.故选：D.变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1SA AB ==，BC ，则空间的一个单位正交基底可以为（）A ．1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{},,AB AC ASC ．11,,22AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D．,AS AB ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，AB 、AC 都在面ABC 内，所以SA AB ⊥，SA AC ⊥.因为AB AC ⊥，1AB =，BC =2AC =，又SA =1，所以空间的一个单位正交基底可以为1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：A考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC ，BD 相交于O ，M为1OC 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c = ，则CM = （）A ．111442a b c+- B ．111442a b c-+C ．111442a b c --+ D ．311442a b c -+- 【答案】C【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】如图所示，()1111111112242442CM CO CC CB CD CC a b c =+=++=--+，故选：C变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b=，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c -++C ．1122a b c --+D ．1122a b c-+【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，111111111111()22222BM BA AA A M AB AA A B A D a c a b a b c =++=-+++=-+++=-++.故选：B变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体A PBC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q点，点M 满足34AM AQ = ，则PM =（）A ．131444PA PB PC-+B ．111444PA PB PC++C ．131444PA PB PC ++ D ．113444PA PB PC -+ 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正四面体A PBC -中，因为AQ ⊥平面PBC ，所以Q 是PBC 的中心，连接PQ ，则()2132PQ PB PC =⨯+，所以34PM PA AM PA AQ=+=+ ()333444PA AP PQ PA PA PQ=+⨯+=-+ ()13211114432444PA PB PC PA PB PC =+⨯⨯+=++.故选：B变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则OM =（）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++ 【答案】A【分析】利用基底,,a b c表示,OP OQ ，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为2OP PA =，所以13OP OA = ，因为Q 是BC 的中点，所以1()2OQ OB OC =+，因为M 为PQ 的中点，所以1()2OM OP OQ =+ 1122OP OQ =+ 11()64OA OB OC =++ 146114a b c =++，故选：A.变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为（）A ．16OE OA OB OC =++ B ．111333OE OA OB OC =++C ．111663OE OA OB OC=++ D ．111633OE OA OB OC=++ 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为13NE NM =，所以3NM NE = ，所以3()OM ON OE ON -=-，即1233OE OM ON =+ ，又11,()22OM OA ON OB OC ==+ ，所以111633OE OA OB OC =++ .故选：D变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c =++ B ．777101010QP a b c =+-C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P 是1CA 的中点，所以11111()()()222AP AA AC AA AB AD a b c =+=++=++，又因为点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，所以11111111114()5555AQ AA A Q AA A C AA AC AA AC AA =+=+=+-=+114114()55555AB AD AA a b c =++=++，所以1114333()2555101010QP AP AQ a b c a b c a b c =-=++---=+- ，故选：C.变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体ABCD 中，O 为BCD △的重心，记AB a =，AC b =，AD c = ．若23AP AO = ，2CM MD = ，则PM =______．（用a ，b ，c 表示）【答案】214999a b c-++【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，O 为BCD △的重心，则()()211323BO BC BD BC BD =⨯⨯+=+，所以23PM AM AP AC CM AO=-=+- ()2233AC CD AB BO=+-+ 222333AC CD AB BO=+-- ()()13222333AC A B D D AB C AC B +⎡⎤=+---⎢⎥⎣⎦2222233399AC AD AC AB BC BD=+----()()2222233399AC AD AC AB AC AB AD AB=+------ 22222223339999AC AD AC AB AC AB AD AB=+---+-+ 214214999999AB AC AD a b c =-++=-++.故答案为：214999a b c-++变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是ABC 、OBC △的重心，D为BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用试用基底{},,a b c 表示向量OG和GH .【答案】()11,33=++=-OG a b c GH a【分析】由已知得()12AD AB AC =+ ，23AG AD = ，可得OG OA AG =+；由23= OH OD 可得=++ GH GA AO OH 可得答案.【详解】由已知得=-- OB b O a A ，=--OC c O a A ，因为G 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，所以()()22112=+=+- A b A AB c D a C ，()()2213331222=+=+-=-⨯b AG ADc a b c a ，所以()()11233=+=+-++=++ OG OA AG a a b c a b c ；又因为H 是OBC △的重心，所以()()22113323==⨯+=+OH OD OC OB b c ，()()3131123=++=-+--++=- GH GA AO OH b c a a b c a .考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上的一点，且12OP OA mOB nOC =++（m ，n ∈R ）则m ，n 的值可能为（）A ．11,2m n ==-B ．,112m ==C ．1,12m n =-=-D ．1,12m n ==-【答案】A【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.【详解】因为点P 为平面ABC 上的一点，12OP OA mOB nOC =++ ，则12OP m n OA m AB n AC ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ，于是112m n ++=，即12m n +=，显然选项BCD 都不满足，A 选项满足.故选：A变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -中，侧面11CC D D 的中心是P ，若1AP AD mAB nAA =++，则m =_________，n =_________．【答案】12/0.512/0.5【分析】用1,AB AA 表示出DP，从而得出m ，n 的值．【详解】由于11111()222AP AD DP AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以12m =，12n =，故答案为：12；12．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知1,,BA BC BB 为三条不共面的线段，若1123AC xAB yBC zC C =++，那么x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．116【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：11AC AB BC CC =++，即11AC AB BC C C =+- ，因为1123AC xAB yBC zC C =++ ，所以1x =，21y =，31z =-，所以1x =，12y =，13z =-，所以1171236x y z ++=+-=.故选：B.变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，满足12PM PC = ，23PN PD = ．若MN xAB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56-D ．－1【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出MN，即可求解.【详解】矩形ABCD 中，AC AB AD =+ ,所以PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++.因为12PM PC = ，所以()12PM AP AB AD =-++ .因为PD AD AP =- ,23PN PD =，所以()23PN AD AP =- .所以()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+ .所以111,,266x y z =-=-=，所以11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：A变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++，则xyz =______．【答案】1-【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+-，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则2x y -等于（）A ．2B ．1-C ．12-D ．13【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.【详解】正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，如图，则111111111111111()2222AE AA A E AA A C AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++ ，1,,AA AB AD 不共面，又1AE AA xAB y AD =++ ，于是得12x y ==，所以122x y -=-.故选：C例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(,)x y ，使得AB x AC y AD =+，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.【详解】由题意，设存在唯一的实数对(,)x y ，使得AB x AC y AD =+，即()()232a b x a c y b c λ-=-++ ，则()232a b xa yb y x c λ-=++-，则x =2，32y =-，0y x λ-=，解得43λ=-.故选：D.变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ=，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.【答案】13【分析】根据空间向量线性运算得到1166AC AM AD λλ+=，证明出共线定理的推论，由,,M C D 三点共线，得到11166λλ+=，求出13λ=.【详解】因为AB BP AP +=，所以1166AP AC AD =+ ，即1166AC A AM D λ+= ，1166AC AM AD λλ+=，下面证明：已知OB xOA yOC =+，若,,A B C 三点共线，则1x y +=，因为,,A B C 三点共线，所以存在非零实数t ，使得AB t AC =，即()OB OA t OC OA -=- ，整理得()1OB tOC t OA =+- ，故1x t =-，y t =，所以1x y +=，因为,,M C D 三点共线，故11166λλ+=，解得：13λ=.故答案为：13考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．123OM OA OB OC =+- B ．322OM OA OB OC=-- C ．111243OM OA OB OC=++ D ．221333OM OA OB OC=+- 【答案】D【分析】OM xOA yOB zOC =++，分析出当,,,M A B C 共面时，1x y z ++=，从而分析四个选项，得到正确答案.【详解】当,,,M A B C 共面时，不妨设AM AB AC λμ=+，变形得到()()OM OA OB OA OC OA λμ-=-+-，则()1OM OB OA OC λλμμ=-+-+，设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则11x y z λμλμ++=--+++=，只有选项D 中2211333⎛⎫++-= ⎪⎝⎭符合题意.故选：D .变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．(1)试证：EF 与BC，AD 共面；(2)AD a = ，AB b = ，AC c = ，试用基底{a ，b ，c}表示向量BF ．【答案】(1)证明见解析(2)()122BF a c b =+- ．【分析】（1）连接AC ，取AC 的中点P ，连接PE ，PF ，根据直线与平面平行的判定定理可得AD ∥平面PEF ，BC ∥平面PEF ，从而可得向量EF 与BC，AD 共面；（2）直接利用向量的加减法运算得答案．【详解】（1）证明：如图，连接AC ，取AC 的中点P ，连接PE ，PF ．∵P ，F 分别为AC ，CD 的中点，∴AD ∥PF ．又∵PF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ．∴AD ∥平面PEF ．同理可证，BC ∥平面PEF ．∴向量EF 与BC，AD 共面.（2）解：()()1122BF BC BD AC AB AD AB=+=-+-()()112222AC AD AB a c b =+-=+-.变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD 与AC 交于点M .求证：1,,C O M 三点共线．【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求1,MC MO的关系，即可推理作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c ===，1123A O A C =，BD 与AC 交于点M ，即点M 是AC 的中点，于是111111111()232363MO MC CO AC CA AC AA AC AC AA =+=+=+-=+ 111111()63663AB AD AA a b c =++=++，11111111()2222MC MC CC AC AA AB AD AA a b c =+=+=++=++ ，因此13MC MO = ，即1//MC MO，而直线1MC 与直线MO 有公共点M ，所以1,,C O M 三点共线.变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC 中，12BM BC = ，12MN NO = ，34AP AN = ，用向量,,OA OB OC 表示OP ，则OP =________．若OQ OB λ= ，且PQ //平面ABC ，则实数λ=________．【答案】111444OA OB OC ++34/0.75【分析】运用空间向量的线性运算法则，将OP用基底,,OA OB OC 表示出来，延长OP 与AM 交于D ，当//PQ BD 时，//PQ 平面ABC .【详解】由条件可知：()33134444OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON=+=+=+-=+()132111111443422444OA OM OA OB OC OA OB OC =+⨯=+⨯+=++；延长OP 与AM 交于D ，连接BD ，则当//PQ BD 时，PQ ⊄Q 平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，//PQ ∴平面ABC ；令,OD OP AD mAM μ== ，则有1111444AD OD OA OP OA OA OB OC μμμμ⎛⎫=-=-=-++ ⎪⎝⎭，()()11112222AD m AM m AB AC m OB OA OC OA mOA mOB mOC ==+=-+-=-++ ，根据向量基底表示法的唯一性，有：1141124m m μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得24,33m μ==，//,,OQ OP PQ BD OPQ OBD OB OD∴= 34=，34λ∴=.故答案为：111444OA OB OC ++，34变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、AB 、CD 的中点，H 是1AC 上的点，1//GC 平面EFH .若AB =AH =___________.【答案】1【分析】设1AH AC λ= ，其中01λ≤≤，将EF 、EH 、1GC 用基底{}1,,AB AD AA 表示，分析可知1GC 、EF、EH共面，则存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，解出λ的值，即可得出AH 的长度.【详解】设1AH AC λ=，其中01λ≤≤，1122EF AF AE AB AD =-=- ，()111122EH AH AE AB AD AA AD AB AD AA λλλλ⎛⎫=-=++-=+-+ ⎪⎝⎭，11112GC GC CC AB AA =+=+ ，因为1//GC 平面EFH ，则1GC 、EF 、EH 共面，显然1GC 、EF不共线，所以，存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+，即1111112222AB AD AA m AB AD n AB AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222m n AB m AD n AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ，因为{}1,,AB AD AA 为空间中的一组基底，所以，11221122m n m n λλλ⎧+=⎪⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得13λ=，因此，11133AH AC ===.故答案为：1.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = ，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =________.【答案】213【分析】设1AM AC λ= ，其中01λ<<，用AB、AD 、1AA 表示向量GM 、GE 、GF ，利用共面向量的基本定理可知存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，由空间向量基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，即可解得实数λ的方程组，即可解得实数λ的值.【详解】设()111AM AC AB AD AA AB AD AA λλλλλ==++=++，其中01λ<<，1112233GM AM AG AB AD AA AA AB AD AA λλλλλλ⎛⎫=-=++-=++- ⎪⎝⎭ ，11223GE AE AG AB AA =-=- ，11233GF AF AG AD AA =-=- ，因为E 、F 、G 、M 四点共线，则向量GM 、GE、GF 共面，由共面向量定理可知，存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，即1112121232333AB AD AA m AB AA n AD AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1112233m AB n AD m n AA =+-+，所以，()12132233m n m n λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-+=-⎪⎩，解得213λ=.故答案为：213.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ，CD 的中点，记BC a = ，BA b = ，1BB c = ，满足11π3B BC B BA ∠=∠=，π2CBA ∠=，2AB BC ==，13BB =.(1)用a ，b ，c 表示FE ；(2)计算BC FE ⋅.【答案】(1)1122FE b c a=+-(2)1【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用1,,BA BB BC 表示出FE；（2）应用向量数量积的运算律得BC FE ⋅ 11122BC BA BC BB BC BC =⋅+⋅-⋅，结合已知即可求数量积.【详解】（1）11FE FD DD D E =++ 11122BA BB BC =+-1122b c a =+- ；（2）11122BC FE BC BA BB BC ⎛⎫⋅=⋅+- ⎪⎝⎭ 11122BC BA BC BB BC BC =⋅+⋅-⋅ 11πcos 22BC BA BC BB =+ 2π1cos 32BC -0321=+-=.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为____________．【答案】12-/0.5【分析】BC ，BD ，BA两两成60 角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.【详解】根据题意ABCD 为正四面体，BC ，BD ，BA 两两成60角，12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ,由12AE BE BA BC BA =-=- ，1122CF BF BC BA BD BC =-=+- ，所以111222AE CF BC BA BA BD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-．故答案为：12-变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c ===.(1)试用向量,,a b c 表示向量OE；(2)若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，求OE AC ⋅ 的值.【答案】(1)111236OE a b c =++ ；(2)83-.【分析】（1）由点E 为AD 的中点，可得1()2OE OA OD =+ ，而11()33OD OB BC OB OC OB =+=+- ，代入前面的式子化简可得结果；（2）由（1）可知111236OE a b c =++ ，由于AC OC OA c a =-=-，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，所以111()222OE OA OD OA OD =+=+，因为2BD DC =，所以13BD BC = ，所以1121()3333OD OB BC OB OC OB OB OC =+=+-=+ ，所以11211111112233236236OE OA OB OC OA OB OC a b c ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭；（2）由（1）得111236OE a b c =++，因为4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，AC OC OA c a =-=- ，所以()111236OE AC a b c c a ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭22111111223366a c a b c a b c a c =⋅-+⋅-⋅+-⋅ 221111132336a c abc a b c =⋅-+⋅-⋅+221111144cos 60434cos 6034cos 60432336=⨯⨯︒-⨯+⨯⨯︒-⨯⨯︒+⨯11144816326=⨯⨯⨯-+⨯83=-.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，则1C AB ∠的余弦值是________.【答案】3【分析】利用空间向量基本定理，得到11AC AB AD AA =++，求出1AC ，1AC AB ⋅ ，再由向量夹角公式求1C AB ∠的余弦值.【详解】由题设，可得如下示意图，∴111AC AD AB CC AD AB AA =++=++ ，设AB a = ，则1AD AA a ==，又1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，所以212AB AD a ⋅= ，2112AB AA a ⋅= ，2112AD AA a ⋅= ，所以以11AC AB AD AA =++===.()22221111222AC AB AD AB AA AB a a a a ⋅=++⋅=++= ，所以21111cos cos,AC ABC AB AC ABAC AB⋅∠===.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D-中，2AB=，2AD=，12AA=，1160BAA DAA∠=∠=︒，90BAD∠=︒，则1BC与1CA所成角的余弦值为（）A．6-BC．4-D．4【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设AB a=，AD b=，1AA c=，因为,,a b c向量不共面，故{},,a b c可构成空间的一组基底，结合2a=，2b=，2c=，1160DAA∠=∠=︒，90BAD∠=︒，所以a b⋅=0，=a c⋅122=22⨯⨯，12=22=2b c⨯⨯⋅，则1BC b c=+，1CA a b c=--+，可得11BC CA⋅()()b c a b c=+⋅--+22a b a c b b c c b c=-⋅-⋅--⋅+⋅+0244=--+2=-，1BC===，1CA==2=，所以111111cos,BC CABC CABC CA⋅===又因为异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以1BC 与1CA.故选：B.变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A BCD 中，AB，AC ，AD 两两夹角均为π3，且112AB AC AD === ，若G ，M 分别为线段AD ，BC 的中点，则（）A．4MG =B．2MG =C ．异面直线AC 与DB所成角的正弦值为6D ．异面直线AC 与DB【答案】BC【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用,,AB AC AD 表示出MG，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.【详解】不妨设,,AB a AC b AD c ===，则||||1,||2a b c === ，且1,12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ，111()()222MG AG AM AD AB AC c a b =-=-+=-- ，所以||2MG = ，因为1()2AC BD b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，且||BD = ，所以cos ,AC BD = 36AC BD AC BD ⋅=，则sin ,AC BD == 所以异面直线AC 与DB所成角的正弦值为故选：BC变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =______．【答案】23-【分析】以,,AB AC AD为基底，()11,22AM AB AC CN AD AC =+=- ，即可求解.【详解】解：以,,AB AC AD为基底，它们两两之间均为60︒，设正四面体ABCD 棱长为2，则()11,22AM AB AC CN AD AC =+=- ,()1111122222⋅⎛⎫⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎭⋅⎝ AM CN AB AC AD AC AD AB AD AC AC AB AC AC ()1112422=+--=-所以()()222112324⎡⎤=+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦，AM AB AC AB AB AC AC 22211324⎛⎫=-=-⋅+= ⎪⎝⎭CN AD AC AD AD AC AC ，所以2cos ,3AM CN AM CN AM CN⋅==-⋅ ,故答案为：23-变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且4,2,60AB AD BAD ∠=== ，11190,60,47BAA DAA BD ∠∠=== .(1)用1,,AB AD AA 表示1BD，并求1AA 的长；(2)若E 为11B C 中点，求异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值.【答案】(1)11BD AA AD AB =+-，15AA =【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）用1,,AB AD AA 表示CE，计算1BD CE ⋅ ，由向量法求异面直线所成的角．【详解】（1）111BD AA A AD A D B B A =-=+- ，111122AA AD AA AA ⋅=⨯⨯=，110,4242AB AA AD AB ⋅=⋅=⨯⨯= ，222211147222BD AA AD AB AD AB AA AD AB ==+++⋅-⋅-⋅ ，即2114741628AA AA =+++-，解得15AA = ；（2）由（1）知111111,2BD AA AD AB CE CC C E AA AD=+-=+=-()2211111111112222BD CE AA AD AB AA AD AA AD AD AA AB AA AB AD⎛⎫⋅=+-⋅-=-+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭115525254222=-+⨯+⨯=1BD CE == 设异面直线1BD 与CE 所成角为θ，则111552cos cos ,BD CE BD CE BD CEθ⋅===⋅变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求1DB 的长；(2)求向量1DB 与AB夹角的余弦值.【答案】5.【分析】（1）用空间的一个基底1{,,}AB AD AA表示向量1DB ，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1{,,}AB AD AA为空间的一个基底，因为2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=，则11πππ321cos 1,23cos 3,13cos 3332AB AD AB AA AD AA ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯= ，111DB DA AB BB AB AD AA =++=-+ ，所以1||DB ==（2）由（1）知，11DB AB AD AA =-+ ，则22112136DB AB AB AB AD AB AA ⋅=-⋅+⋅=-+=，又1DB = ，所以向量1DB 与AB夹角的余弦值111cos ,5||||DB DB D B AB AB B A ⋅〈〉==.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅=，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ===||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅=⋅，∴异面直线1BD 与AC所成角的余弦值为6.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于O 点，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，4AB AD ==，15AA =.则下列结论正确的有（）A ．1AC BD ⊥B ．119BC AC ⋅=C．1BD =D ．111122OB AB AD AA =--【答案】AB【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.【详解】如图，由题意得，2216AB AD == ，2125AA = cos 44cos608AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=⨯︒=，111cos 45cos6010AB AA AB AA BAA ⋅=⋅∠=⨯︒=，111cos 45cos6010AD AA AD AA DAA ⋅=⋅∠=⨯︒=，对于选项A ，()()11AC BD AB BC CC AD AB⋅=++⋅-11AB AD AB AB BC AD BC AB CC AD CC AB =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅ 2211AB AD A D AA B A B A AD A A A D AB =⋅-+-⋅+⋅-⋅ 2211161610100A AA D AA AB A D AB =-++⋅-⋅=-++-=所以1AC BD ⊥，即1AC BD ⊥.故选项A 正确.对于选项B ，()()1111BC AC BC CC AC AA ⋅=+⋅-()()()()()11111AD AA AB AD AA AD AA AB AD AA AD AA =+⋅+-=+⋅++⋅-2211AD AB AA AB AD AA =⋅+⋅+- 81016259=++-=故选项B 正确.对于选项C ，()()222111B A AD ABAD A D A B=-=+-222111222AD AB AD AA AD AB AA A A A B=+++⋅-⋅-⋅ 16251620162041=+++--=所以1BD =1BD =故选项C 错误.对于选项D ，()1111111112222OB OB BB DB AA AB AD AA AB AD AA =+=+=-+=-+故选项D 错误.故选：AB变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==，11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为2【答案】AB【分析】A 选项，利用空间向量运算法则得到11AC AB AD AA =++，平方后，由向量数量积公式求出2111AC = ，求出1AC A 正确；B 选项，求出DB AB AD =- ，()()110A AB AD AA A C DB AB D ⋅⋅=++-=，得到B 正确；C 选项，作出辅助线，得到四边形11ABCD 为平行四边形，点A ∈平面11ABC D ，而点C ∉平面11ABC D ，从而得到C 错误；D 选项，先得到AC AB AD =+ ，11BD AD AB AA =-+，从而求出()()116A AB AD AD A C B B AA D ⋅⋅+=+-= ，1AC BD，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.【详解】由空间向量运算法则得到：11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅112212cos602cos 452cos 45AB AD AB AA AD AA =+++⋅︒+⋅︒+⋅︒122111222=+++++=，故1AC =A 正确；因为DB AB AD =-，所以()()11A A AB AD A AB ADC DB ++=⋅⋅- 2211AB AD AA AB AA AD-+⋅-⋅=112cos 45cos 4502AA AB AA AD -+⋅︒=-⋅︒=，故1AC DB ^，1AC DB ⊥，B 正确；连接11,A D BC，因为11//AB C D ，且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，点A ∈平面11ABC D ，而点C ∉平面11ABC D ，故直线AC 与直线1BD 是异面直线，C 错误；AC AB AD =+ ，11BD AD AB AA =-+，()()11D A AB AD A AB A C BD A +⋅=-⋅+2211AB AD AB AB AA AD AD AB AD AA =⋅-+⋅+-⋅+⋅ 112cos 452cos 45112AB AA AD AA =-+⋅︒++⋅︒=+=，又()22222AC AB ADAB AB AD AD=+=+⋅+ 222cos60426AB AD =++⋅︒=+=，()2222211111222BD AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB AA =-+=++-⋅+⋅-⋅ 112212cos602cos 452cos 45AD AB AD AA AB AA =++-⋅︒+⋅︒-⋅︒523=-=，故1AC BD == ，设1BD 与AC 所成角为θ，所以111cos cos 3AC BD AC BD AC BD θ⋅=⋅==⋅故1BD 与AC所成角的余弦值为3，D 错误.故选：AB考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（）AB ．2CD【答案】D【分析】记AB a =，AD b =，1AA c =，由1AC a b c =++ ，利用向量法即可求出1AC 的长.【详解】解：记AB a =，AD b =，1AA c = ，由题意可知1a b c === ，,,,60a b b c c a ︒〈〉=〉=〈〉=，所以11cos601122a b b c c a a b ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⨯⨯=，222221111()2()11126222AC a b c a b c a b b c c a ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++= ⎪⎝⎭，所以1AC =1AC故选：D.变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD ==，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1BCD ．2【答案】C【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到11AB AD AA BD =-++，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.【详解】以{}1,,AB AD AA 为基底向量，可得111BA AD DD AB AD AA BD =++=-++，则2222211111()222BD AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=++-⋅-⋅+-⋅uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 1222cos6021cos4521cos45=++-⨯-⨯⨯+⨯⨯15432=-⨯-，∴1BD =故选：C.变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且60PAB PAD ∠=∠= .若M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c === .(1)将空间向量PC 与BM 用,,a b c表示出来；(2)求线段BM 的长.【答案】(1)111,222PC a b c BM a b c=+-=-++62【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.【详解】（1）。
第01讲 空间向量与立体几何-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)
第01讲 空间向量与立体几何知识点1 空间向量的有关概念1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2. 表示法：（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 3．几类特殊的空间向量 名称 定义表示法 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量 记为0 单位模为1的向量叫做单位向量|a|＝1或【考点目录】【知识梳理】知识点2 空间向量的线性运算（一）空间向量的加减运算共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和共起点，连终点，方向指向被减向量a＋b＝b＋aλa的长度是a的长度的|λ|倍μa)＝(λμ)a知识点3 共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量的区别 //0a b b ≠（）使得a b λ=；（2）存在唯一实数λ，使得0a b b λ≠=（），则//a b ．注意：0b ≠不可丢掉，否则实数就不唯一．―→―→―→1、空间一点实数对→数对(,,)x y z ，使得对空间中任意一点(OP xOA yOB zOC x+=++其中共面向量定理的用途：⇒λ利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
2.直线l 的方向向量如图O ∥l ，在直线l 上取非零向量a ，设P 为l 上的任意一点，则∥λ∥R 使得OP ―→＝λa. 定义：把与a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．知识点4 空间向量的夹角定义如图，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∥AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉范围 0≤〈a ，b 〉≤π向量垂直 如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ∥b知识点5 空间向量的数量积运算1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a ＝0.注：a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos a,b 〈〉的乘积．(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b )，λ∥R交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c2.投影向量及直线与平面所成的角(1)如图∥，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图∥)．(2)如图∥，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′——→，向量A ′B ′——→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′——→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．知识点6 空间向量数量积运算律及性质1、数量乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅； ()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．2、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1e a a e a cos a,e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅；()4a b cos a,b a b ⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．知识点7 空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =xa+yb+zc .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =xa+yb+zc ，则称xa+yb+zc 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式. 2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk ，使a ＝xi ＋yj ＋zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．知识点8 空间向量基本定理应用1、证明平行、共面问题(1)对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb .(3)直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |. (2)若a ，b 是非零向量，则a ∥b ∥a ·b ＝0. 3、求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB→ )．知识点9 空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 注意点：(1)基向量：|i |＝|j |＝|k |＝1，i ·j ＝i ·k ＝j ·k ＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∥xOy ＝135°(或45°)，∥yOz ＝90°.(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标、向量的坐标 （1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝xi ＋yj ＋zk .在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点（2）空间点的对称问题∥空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．∥对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． （3）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝xi ＋yj ＋zk .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，可简记作a ＝(x ，y ，z )．知识点10 空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标运算法则设向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，λ∥R ，那么(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．2．空间向量相关结论的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有(1)平行关系：当b ≠0时，a ∥b ∥a ＝λb ∥a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∥R)； (2)垂直关系：a ∥b ∥a ·b ＝0∥a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(3)|a|＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23.(4)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 3．空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)． (1)P 1P 2――→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．(2)P 1P 2＝|P 1P 2――→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. (3)若O (0,0,0)，P (x ，y ，z )，则|OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.知识点11 空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点， (1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →＋ta . (3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →.2．空间平面的向量表示式∥如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝xa ＋yb .∥如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式．∥由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ∥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．知识点12 空间平行、垂直关系的向量表示知识点13 空间距离及向量求法设u 为直线l 的单位方向向量，A ∥l ，P ∉l ，AP―→＝a ，向量AP ―→在直线l 上的投影向量为AQ ―→（AQ ―→＝(a ·u )u .）， 则PQ ＝|AP ―→|2－|AQ ―→|2＝a 2－a ·u2―→知识点14 空间角及向量求法成锐角的余角．两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于π2的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|(1)两个平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．考点一 空间向量及其线性运算1．（2022·重庆·高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，1BA BC CC ++=（ ） A ．11D BB ．1D BC ．1DBD ．1BD2．（2022·湖南益阳·高二期末）在四面体OABC 中，,,,OA a OB b OC c M ===为OA 的中点，N 为棱BC 上的点，且2BN NC =，则MN =（ ）A ．112233a b c -++B ．112233a b c --C ．121233a b c -++D ．111222a b c -++3．（2022·陕西商洛·高二期末（理））在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上，且1114A P AC =，若1AP xAA yAB zAD =++，则x y z ++=（ ）A ．34B ．1C ．54D ．744．（2022·福建师大附中高二期末）如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.【考点剖析】A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+考点二 共线问题5．（2022·全国·高二期末）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．、、A B CB ．BCD 、、C ．A BD 、、D ．A C D 、、6．（2022·山西吕梁·高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上，若1311444AP AA AB AD =++，则11A PAC =（ ） A ．13B ．34C ．14D ．237．（2022·上海松江·高二期末）设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 为（ ）A ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭考点三 共面问题8．【多选】（2022·广东江门·高二期末）若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．,,a b a a b -+ B ．,,b c b b c -+ C ．,,a b c a b -+D ．,,a b a b c c +++9．（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有623OP OA OB OC =++，则（ ）A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面10．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A ､B ､C ､D ､E 是空间中的五个点，其中点A ､B ､C 不共线，则“DE 平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．（2022·福建厦门·高二期末）已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．－613．（2022·全国·高二期末）已知(2,1,3)PA =-，(1,2,3)PB =-，(7,6,)PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=___________.考点四 空间向量基本定理14．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+15．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ）A ．131222a b c ++B ．111222a b c --C ．131222a b c -+D ．131222a b c +-16．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12c a b -- B ．()12b ac -- C ．()12a cb -- D ．()12c a b ++ 17．（2022·江苏无锡·高二期末）定义：设{}123,,a a a 是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++，则称有序实数组(),,x y z 为向量p 在基底{}123,,a a a 下的坐标．已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，{},,2a b a b a c +-+是空间的另一个基底，若向量p 在基底{},,2a b a b a c +-+下的坐标为()1,2,3．(1)求向量p 在基底{},,a b c 下的坐标； (2)求向量p 在基底{},,a b c 下的模．考点五 空间向量的数量积及其性质的应用18．（2022·广西钦州·高二期末（理））如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，AB 是它的一条侧棱，128,,P P P ⋯是它的上底面上其余的八个点，则集合{},1,2,,8i x x AB AP i =⋅=⋯的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．819．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，2BAD π∠=，3BAC π∠=，则AB CD ⋅=______．20．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD 中，236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=，则BC BD ⋅=______．21．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知空间向量()0,1,2AB =-，2AC =，2,3AB AC π=，则AB BC ⋅=（ ）A ．5B 5C ．5D 522．（2022·北京昌平·高二期末）已知正三棱锥-P ABC 的底面ABC 的边长为2，M 是空间中任意一点，则()MA MB MC ⋅+的最小值为（ ）A ．32-B ．1-C ．D ．12-23．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为（ ）AB C D ．24．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体ABCD 中，2,90,2===∠=︒⋅=-AB AC AD BAD AB CD ，则BAC ∠=（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒25．（2022·福建厦门·高二期末）在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=︒，则OB 与AC 所成角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°26．（2022·全国·高二期末）已知()0,0,0O ，()1,2,3A ，()2,1,2B ，()1,1,2P ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标是______27．【多选】（2022·湖北黄冈·高二期末）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A (含边界)内有一动点P ，则（ ）A ．若1111,1B P mB B nB A m n =++=，则 1110B P B D ⋅= B ．若11(01)A P A B λλ=<<，则110C P BD ⋅= C ．若()11111111,22B P PA A E AC AD ==+，则 1123E B P A⋅=- D ．若()1111112A E AC A D =+，则存在非零向量1B P 使111B P A E ⋅=-考点六 空间向量的运算的坐标表示（一）空间向量坐标的基本运算28．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量()()2,1,3,1,1,2a b =-=-，则2a b +=（ ）A ．B ．()4,1,1-C ．()5,1,4-D29．（2022·重庆九龙坡·高二期末）在空间直角坐标系中，若(1,1,0)A ，1(2,0,1)2AB =--，则点B 的坐标为（ ） A ．（3，1，﹣2）B ．（-3，1，2）C ．（-3，1，-2）D ．（3，-1，2）30．（2022·福建宁德·高二期末）已知()1,2,3A ，()4,5,9B ，13AC AB =，则AC 的坐标为______． 31．（2020·陕西·绥德中学高二期末（理））若(1,1,0)a =,(1,0,2)b =- ,则与a b +同方向的单位向量是_______. 32．【多选】（2022·福建三明·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则（ ）A ．点1C 的坐标为（2，0，2）B ．()12,2,2C A =--C ．1BD 的中点坐标为（1，1，1） D ．点1B 关于y 轴的对称点为（－2，2，－2）（二）空间向量平行的坐标运算33．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知向量()2,1,1a x =---，()2,,2b x x =-，且//a b ，则x 的值为（ ） A ．2-B ．1C ．1-或2D ．1或2-34．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知向量()1,1,0a =-，()1,0,2b =，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-35．（2022·北京昌平·高二期末）已知(,2,6)a x =-是直线1l 的方向向量，(1,,3)b y =-是直线2l 的方向向量．若直线12l l ∥，则x y +=________．36．（2022·重庆长寿·高二期末）已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l α⊥，则y 的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．14D ．4（三）空间向量垂直的坐标运算37．（2022·广东广州·高二期末）已知向量(1,3,2)a →=-，(2,,4)b m →=--，若a b →→⊥，则实数m 的值是___________. 38．【多选】（2022·福建福州·高二期末）已知空间向量()()1,,2,2,1,2a k k b =+-=-，且a b ⊥，则 （ ） A ．6k =-B ．6k =C ．3b =D ．9b =39．（2022·河北保定·高二期末）已知()2,1,3a =-，()1,2,1b =-，若()b a b λ⊥+，则实数λ=______．40．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知向量a →=(1，1，k)，b →=(−1，0，−1)，c →=(0，2，1)，且向量2a b -与c 互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．2- C ．3- D ．4-（四）空间向量模长的坐标运算41．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高二期末）若点(1,1,2)A -，(0,3,0)B ，(1,0,1)C -点D 在z 轴上，且AD BC ⊥则||=AD ______.42．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）已知向量()2,1,3a →=-，()1,1,b x =-，若a →与b →垂直，则2a b →→+=___________.43．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =-，且a c ⊥，//b c ，则2a b +=______.44．（2022·江苏·沭阳如东中学高二期末）已知(1,21,0),(3,,)a t t b t t =--=，则||b a -的最小值（ ）A B C ．143D （五）空间向量夹角的坐标运算45．（2022·吉林辽源·高二期末）已知空间向量(3,22)a =-，b 是单位向量，1213a b -=，则向量a 与b 的夹角为______.46．（2022·全国·高二期末）若向量(1,,)a λλ=，(2,1,1)b =-，a ，b 夹角为钝角，则λ的取值范围是______. 47．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 为PC 上一动点，PM tPC =，若⊥BMD 为钝角，则实数t 可能为（ ）A ．15B ．14 C ．13D ．1248．（2022·广东江门·高二期末）若两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=__________.（六）空间向量投影的坐标运算49．（2022·上海金山·高二期末）在空间直角坐标系O xyz - 中，已知向量()1,0,3a =，则a 在x 轴上的投影向量为________.50．（2022·天津天津·高二期末）已知空间向量()1,0,1=a ，()2,1,2b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是__________．51．（2022·广东惠州·高二期末）已知()0,1,1a =，()0,1,0b =，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．1B C ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭考点七 空间向量在立体几何平行、垂直问题中的应用（一）平行问题52．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．53．（2022·安徽滁州·高二期末）如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABC ，AD //BE //CF ，且AD ＝1，BE ＝5，CF ＝3，⊥ABC 是边长为2的正三角形，G 是AB 的中点．(1)求证：CG //平面DEF ；(2)求二面角E DF A --的余弦值．（二）垂直问题54．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）如图，边长为2的等边PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点.(1)证明：AM PM ⊥；(2)求平面P AM 与平面ABCD 的夹角的大小；(3)求点D 到平面AMP 的距离.55．（2022·福建福州·高二期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．56．（2022·湖北恩施·高二期末）在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AB =BC =C 1C =2A 1B 1，O 为AC 的中点，P 是C 1C 的中点.(1)证明：平面A 1BC ⊥平面POB ；(2)求二面角B 1－A 1B －C 的余弦值.（三）综合问题57．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知平面β法向量为()3,1,5m =-，直线l 的方向向量为()6,2,10n =--，则（ ）A ．l 与β平行B ．l 与β垂直C ．l 与β相交但不垂直D ．以上都不对58．【多选】（2022·广东深圳·高二期末）直三棱柱111ABC A B C 中，1,,,,CA CB CA CB CC D E M ⊥==分别为11B C ，11,CC AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则（ ）A ．对于棱AC 上任意点N ，有1MN BC ⊥B ．棱AC 上存在点N ，使得MN ⊥面1BC NC ．对于棱AC 上任意点N ，有MN 面1A DED ．棱AC 上存在点N ，使得MN DE ∥59．（2022·北京房山·高二期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线PB 与直线1A D 垂直，直线PB ∥平面11B D CB ．直线PB 与直线1DC 平行，直线PB ⊥平面11AC DC ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面11ADC BD ．直线PB 与直线11B D 相交，直线PB ⊂平面1ABC考点八 空间角的计算60．（2022·广东江门·高二期末）在直三棱柱111ABC A B C 中，1190,,BCA D F ∠=︒分別是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（ ）A B ．12 C D 61．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：⊥BM 与ED 平行⊥BM 与CE 垂直⊥CE 与平面ABCD ⊥CN 与BM 所成角为60︒以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥62．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，60DAB ∠=，SA ⊥面ABCD ，22SA AD BC ===，点F 为线段SD 中点(1)求证：CF 面SAB ；(2)求异面直线FC 与BD 所成角的大小.63．【多选】（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）已知在直三棱柱111ABC A B C 中，底面是一个等腰直角三角形，且1AB BC BB ==，E 、F 、G 、M 分别为1111B C A B AB BC ，，，的中点．则（ ）A ．1GB 与平面11ACC A B ．1AB 与1BC 所成角为3π C ．1//A M 平面EFBD ．平面1AB C ⊥平面1A MC64．（2022·河南南阳·高二期末（理））如图，四边形ABEF 为直角梯形，//AF BE 且BE EF ⊥，CDFE 为正方形，且平面CEFD ⊥平面ABEF ，22EF AF BE ===，13AP AB =，23DQ DC =，则PQ =______，直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值为______．65．（2022·福建省仙游县度尾中学高二期末）如图，在三棱锥-P ABC 中，PAC △是正三角形，AC BC ⊥，2,AC BC PB ===D 是AB 的中点．(1)证明：AC PD ⊥；(2)求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值．66．（2022·甘肃·测试·编辑教研五高二期末（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA ，1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点.(1)求证：11C M B D ⊥；(2)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.67．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4=AD ，E 为棱PD 的中点，F 是线段PC 上一动点.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若直线BF 与平面ABCD F EA D --的余弦值.（三）平面与平面所成的角（二面角）68．（2022·青海玉树·高二期末（理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,2PA AB =,正方形ABCD 的对角线交于点O ．(1)求证:BD ⊥平面P AC ;(2)求二面角P BD C --的余弦值．69．（2022·云南曲靖·高二期末）如图所示，AE ⊥平面ABCD ，四边形AEFB 为矩形，,BC AD BA AD ⊥，224AE AD AB BC ====.(1)求证：CF ⊥平面ADE ；(2)求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值.70．（2022·广东中山·高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为直角梯形，π2DAB ∠=，π3ABC ∠=，22AB DC ==，PD PA =CD PD ⊥.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求平面APB 和平面PBC 的夹角大小.71．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，BM BC λ=，且二面角M PA C --为30°，求λ的值.考点九 空间距离的计算（一）点到直线的距离72．（2022·吉林白山·高二期末）已知(3,1,0)A ，(5,2,2)B ，(2,0,3)C ，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A ．3BC ．D73．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）已知直线l 经过点()211A ，，，且()101n =，，是l 的方向向量，则点()432P ，，到l 的距离为（ ）A ．12BCD 74．（2022·青海海东·高二期末（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，6,3,,AB AB AE PF ==分别是线段11,A C BB 的中点，则点P 到直线EF 的距离是（ ）A B ．125 C D ．185（二）点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离75．（2022·上海市奉贤中学高二期末）经过原点的平面α的一个法向量为(3,1,2)n =，点A 坐标为(0,1,0)，则点A 到平面α的距离为______.76．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，则点1C 到平面1A BD 的距离是（ ）A B C D77．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）在矩形ABCD 中，2==AD AB E 是线段AD 的中点，将⊥ABE 沿BE 折起到⊥PBE 位置（如图），点F 是线段CP 的中点．(1)求证：DF ⊥平面PBE ：(2)若二面角P BE C --的大小为2π，求点A 到平面PCD 的距离． 78．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）若两平行平面α、β分别经过坐标原点O 和点()2,1,1A ，且两平面的一个法向量为()1,0,1n =-，则两平面间的距离是______．（三）异面直线的距离79．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，M ，N 分别是棱AB ，1CC 的中点，E 是BD 的中点，则异面直线1D M ，EN 间的距离为______.80．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为______．81．（2022·全国·高二期末）在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是___________．考点十 空间向量与立体几何的综合问题82．【多选】（2022·广东茂名·高二期末）（多选）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD ==E 是侧面11AA D D 的中心，F 是底面ABCD 的中心，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）A ．EF 是单位向量B ．三棱锥1A BCD -外接球的表面积为7πC ．直线EF 与1A CD ．//EF 平面1A BC83．【多选】（2022·辽宁辽阳·高二期末）在空间直角坐标系O xyz -中，(1,0,0),(1,2,2),(0,0,2)---A B C ，则（ ）A ．3⋅=OC ABB ．点B 到平面AOC 的距离是2C ．异面直线OC 与ABD ．点O 到直线AB 84．【多选】（2022·江苏南通·高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，1160A AB A AD DAB ∠∠∠===，点P 在线段1BC 上，则（ ） A ．1AP B C ⊥B ．P 到11A B 和CD 的距离相等C ．AP 与11A BD ．AP 与平面ABCD所成角的正弦值最大为13 一、单选题 1．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（ ）A ．1122-+a b cB ．1122a b c +- C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c 2．（2022·河北·石家庄二十三中高二阶段练习）设直线1l 、2l 的方向向量分别为a ，b ，能得到12l l ⊥的是（ ） A ．(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =-B ．(2,2,1)a =-，(3,2,10)b =-C ．(1,0,0)a =，(3,0,0)b =-D ．(2,3,5)a =-，(2,3,5)b =3．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，空间四边形ABCD 中，点G 为BCD △的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，则1132AG BE CA ++的化简结果为（ ）A ．AFB ．AHC ．AED ．CF4．（2021·全国·高考真题（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角【过关检测】为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）在正四面体D ABC -中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点，则（ ）A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得π4FDB ∠= C ．存在某个位置，使得直线DE 与平面DBFD ．存在某个位置，使得平面DEF 与平面DAC二、多选题 6．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11111A C B D O ⋂=，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1160BAD DAA BAA ∠=∠=∠=︒，则下列结论正确的是（ ）A．1BD B ．1//CO 平面1BDA C ．1AA 与平面ABCDD ．四棱锥1B ABCD -7．（2022·全国·高二专题练习）已知直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，O 为1A C 的中点.点P 满足1BP BC λ=，其中[0,1]λ∈，则（ ）A ．对[0,1]λ∀∈时，都有11A P OB ⊥B ．当13λ=时，直线1A P 与AB 所成的角是30° C ．当12λ=时，直线1A P 与平面111A B CD ．当12λ=时，直线1A P 与1OB 相交于一点Q ，则112PQ QA = 三、填空题8．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，用向量AB ，AD ，1AA 表示1D B =______．9．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段BC ，AD 的中点，点G 是线段CD 上靠近D 的四等分点，则直线EF 与AG 所成角的余弦值为______．四、解答题10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，1BC E 为11A C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）求点A 到平面BCE 的距离.11．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，2AB AD ==，11AA =，点P 为线段BC 中点．(1)求1D P ；(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．12．（2022·广东·顺德一中高二阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，,,D E F 分别为111,,AA AC A C 的中点，AB BC ==12AC AA ==.（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角1B CD C 的余弦值； 13．（2022·天津·静海一中高二阶段练习）如图，⊥AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，2AE BC ==，1AB AD ==，87CF =，则（1）求BD 与EC 所成角的余弦值；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求平面EBD 与平面BDF 的夹角的余弦值.。
专题1.1 空间向量及其运算(七个重难点突破)(原卷版)-高二数学上学期重难点和易错点突破
专题1.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示名称方向模表示法零向量任意0记为0单位向量11a ＝或=1AB 相反向量相反相等记为a 共线向量相同或相反//a b 或//AB CD 相等向量相同相等=a b 或=AB CD知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>a λ 与向量a 的方向相同a λ 的长度是a 的长度的λ倍0λ<a λ 与向量a 的方向相反λ=0a λ=，其方向是任意的3.空间向量的运算律知识点3共线向量与共面向量1.直线l 的方向向量定义：把与a平行的非零向量称为直线l 的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量()0a b b ≠ ,，//a b 的充要条件是存在实数λ使=a bλ 共面向量定理：若两个向量a b,不共线，则向量p 与向量a b ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p xa yb＝＋对空间任一点O ，)1(OP xOA yOB x y =+＋＝空间中,,,P A B C 四点共面的充要条件是存在有序实数对(,,)x y z ，使得对空间中任意一点O ，都有(1OP xOA yOB zOC x+y +z ==++其中)重难点1空间向量的线性运算1．如图，在空间四边形ABCD 中，F ，M ，G 分别是BD ，BC ，CD 的中点，化简下列各式：(1)()12AB BC BD ++ ；(2)()12AG AB AC -+ ；(3)AC GD MB ++ ．2．如图，点M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB 和CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+.3．在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，化简1AF AB BC -+，并在图中标出化简结果．4．如图.空间四边形OABC 中，OA a,OB b,OC c === ，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．221332a b c+- C ．111222a b c+- D ．211322a b c-++ 5．如图所示，在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，11111,,A B a A D b A A c ===，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：0EF GH PQ ++=.6．如图，设A 是BCD △所在平面外的一点，G 是BCD △的重心.求证：()13AG AB AC AD =++.7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．记AB a=，AD b = ，1AA c = 则下列正确的是（）A．1122AM a b c =-++B．1122AM a b c =+-C ．1122AM a b c=++ D ．1122AM a b c=++ 重难点2共线问题8．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知9AB m =+ a b ，2BC =-- a b ，2DC =-a b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数m =_____；9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是底面1111D C B A 和侧面11CC D D 的中心，若()10EF A D λλ+=∈R，则λ=_____．10．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP=m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（）A ．P ∈直线ABB ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线11．已知5a = ，a b λ=.（1）若b 与a的方向相同，且7b = ，则λ的值为_____；（2）若b 与a的方向相反，且7b = ，则λ的值为_____.12．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，下列不能与m a b =- ，n b c =-构成空间的另一个基底的是（）A ．a c -B ．a c+C ．a b+ D ．a b c++ 13．已知平面单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅= ，且12a xe e =+ ，x R ∈，122(1)b e e λλ=+-，若使1b a -= 成立的正数λ有且只有一个，则x 的取值范围为_____.14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 在11A D 上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且12.3A F FC = 若1,,AB A b c a D AA === .（1）用,,a b c表示EB .（2）求证：E ，F ，B 三点共线.15．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且OE kOA = ，OF kOB =，OH kOD = ，AC AD m AB =+ ，EG EH mEF =+，0,0k m ≠≠.求证：（1）//AC EG；（2）OG kOC = .重难点3向量的共面问题16．已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若64BD PA PB PC λ=-+，则λ=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-17．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，1132OM xOA OB OC =++，则x =_____．18．已知,,A B M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点,,A B M 是否共面．(1)3OB OM OP OA +=- ；(2)4OP OA OB OM =-- ．19．已知12e e ，为两个不共线的非零向量，且12AB e e =+ ，1228AC e e =+ ，1233AD e e =- ，求证：A B C D，，，四点共面．20．i ，j ，k是三个不共面的向量，22AB i j k =-+ ，23BC i j k =-+ ，35CD i j k λ=+- ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为_____.21．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP ++=-uu r uu u r uuu r uu u r B ．OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r C ．2OA OB OC OP ++=uu r uu u r uuu r uu u rD ．3OA OB OC OP++= 22．若{a ，b ，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c +，b ，b c -r r B ．a ，a b + ，a b - C ．a b + ，a b - ，c D ．a b + ，a b c ++ ，c知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量a b ,，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a b ,的夹角，记作a b ,，夹角的范围：[]0,π，特别地，如果π2a b = ,，那么向量a b ,互相垂直，记作a b ⊥ 知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量a b ,，则cos ,a b a b 〈〉叫做a b,的数量积，记作a b ⋅ ，即cos ,a b a b a b ⋅= 〈〉．零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律()()a b a b Rλλλ⋅⋅∈＝，交换律a b b a ⋅=⋅ 分配律()a b c a b a c⋅⋅⋅ ＋=＋3．投影向量在空间，向量a 向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ||,bc a a b b =〈〉，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．4．数量积的性质若a，b 为非零向量，则（1）0a b a b ⊥⇔⋅= ；（2）()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向；（3）2a a a ⋅= ，a a a =⋅；（4）a b cos a,b a b⋅〈〉=；（5）a b a b⋅≤ 重难点4空间向量数量积的运算23．在正四面体-P ABC 中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PD PC ⋅的值为（）.A ．14-B ．18-C ．12-D ．1224．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13BB =，E 、F 分别为棱AB 、11A C 的中点，则1EF BB =⋅_____.25．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ⋅=_____.26．给出下列命题：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量,a b 满足a b =r r ，则a b = ；③在向量的数量积运算中()()a b c a c b ⋅=⋅r r r r r r ；④对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅ ，则a b =，其中假命题的个数是_____．27．已知空间四面体D ABC 的每条棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则FE CD ⋅等于（）A ．14B ．14-C ．4D ．4-28．设a 、b为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①22a a = ；②2a b baa⋅=；③()222a b a b ⋅=⋅ ；④()2222a b a a b b -=-⋅+ .其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．429．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60︒，且1,2,3a b c ===，试求(1)()22a b c +-；(2)()()323a b b c -⋅-．30．在三棱锥D ABC -中，已知2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-，则CD =_____重难点5用数量积解决夹角问题31．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长度为4，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.用向量法求：(1)BD 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成角的余弦值.32．（多选）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为333．已知向量,a b r r 都是空间向量，且π,=3a b ，则3,4=a b -_____.34．已知不共面的三个向量,,a b c 都是单位向量，且夹角都是3π，则向量a b c -- 和b 的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．34πD ．56π35．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，2AB AD ==，11AA =，点P 为线段BC 中点．(1)求1D P ；(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．36．如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 和AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ．若4,6,8,AB AC BD CD ====α与平面β夹角的余弦值为_____．重难点6投影向量37．在标准正交基{},,i j k 下，已知向量2a i =-+ 83j k + ，52b i k =-+ ，则向量2a b + 在i 上的投影为_____，在,j k 上的投影之积为_____．38．已知4a = ，向量e 为单位向量， 120a e <>= ，，则空间向量a 在向量e 方向上投影为_____．39．如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，已知1AB =，2AD =，3AA '=，分别求向量AC ' 在AB 、AD 、AA ' 方向上的投影数量．40．如图，已知PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠= ，6PA AB BC ===，则向量PC 在BC 上的投影向量等于_____.41．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，向量AB 在向量11A C 方向上的投影向量的模是_____．42．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，CB AB ⊥，AB BC a ==，PA b =．(1)确定PC 在平面ABC 上的投影向量，并求⋅ PC AB ；(2)确定PC 在AB 上的投影向量，并求⋅ PC AB ．重难点7用数量积求线段长度43．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC 中，若M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，记OA a = ，OB b = ，OC c = .(1)用向量a ，b ，c 表示向量AN ；(2)若13AP AN =，求OP .44．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．5B ．3C D45．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c = ，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，1a b c === ，则用{},,a b c 表示1AC uuu r 及线段1AC 的长为分别为（）A ．1AC c a b =++ ，15AC = B ．1AC a b c =+- ，13AC =C ．1AC c a b =++ ，1AC =D ．1AC a b c =+- ，1AC =46．如图，在直三棱柱111—ABC A B C 中，E F G ，，，分别为11A B ，1CC ，1BB 的中点，分别记AB ，AC ，1AA 为a ，b ，c .(1)用a ，b ，c 表示EF ，EG ；(2)若12AB AC AA ===，AB AC ⊥，求2EF EG + .47．如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，=90ACD ∠︒，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，则,B D 间的距离等于（）A B ．1C2D ．148．平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,3,5,9060,AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=''∠='︒︒，则AC '的长为（）A ．10B C D49．棱长为2的正方体中，E ，F 分别是1DD ，DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．(1)求1cos ,EF C G ．(2)求FH 的长．。
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高二数学向量知识点总结
导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学向量知识点总结》的内容，具体内容：数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。
以下是我为您整理的关于的相...
数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。
以下是我为您整理的关于的相关资料，供您阅读。
(一)
考点一：向量的概念、向量的基本定理
【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算
【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐
标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点
【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题
【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇
【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用
【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐
标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将"形"和"数"紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
(二)
平面向量
戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律);
+( +c)=( + )+c (结合律);
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .
(2) 若=(),b=()则‖b .
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只有一对实数，，使得= e1+ e2。