同济大学线性代数复习题
同济大学线性代数试卷题库 (3)
同济大学课程考核试卷(B 卷) 2009—2010学年第一学期课名：线性代数（2学分） 考试考查：考查（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(6-8小题均为单选题)(24分)1、 设A 为3阶方阵，已知||2A =-，把A 按行分块为123a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123a a a a -=___6_____. 解：根据行列式的最后一个性质（书上的那个），31312221112233+3a a a a a a a a a a --=，31122213123-3630a a a a a a a a a -===，，所以原式为62、 已知4阶行列式34222207005322D =--，且ij M 和ij A 分别为D 中元素ij a 的余子式和代数余子式，则441jj A==∑__0_________.解：根据代数余子式性质44130402222007001111j j A ===-∑.(这是代数余子式经常出的一种形式的习题)3、 已知3阶方阵A 的特征值分别为1，2，-3，则*32A A E ++=__25____________. 解：根据特征值的性质，有-6A =，设*32B A A E =++，则B 对应的三个特征值分别为123-6-6-63262-9212-3λλλ=++=++=+，，，则 *12332-15-525A A E λλλ++==⨯⨯=（）4、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当__14k =__________时，123,,ααα线性相关.解：因为这三个向量构成的矩阵为方阵，则对该矩阵求行列式，因为三个向量线性相关，所以行列式的值等于0，解得14k =5、已知二次型2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则参数a 满足___405a -<<____________. 解：先写出二次型对应的矩阵，为1-112-125a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于二次型是正定二次型，则矩阵也一定是正定矩阵，根据正定矩阵的性质，它的顺序主子式都应大于0，则有221041-005450a a a a >⎧⎪>−−→-<<⎨⎪-->⎩6、 设A 是m n ⨯矩阵，3,3m n >>,若A 与B 行等价，则__D______________.().().().().A A B B A B C A B D 若的前三行线性无关，则的前三行也线性无关若的前三列线性无关，则的前三列也线性无关若的左上角的三阶行列式非零，则的左上角的三阶行列式也非零以上都不对(解：A 和B 都是m n ⨯的矩阵，且A 和B 的行等价,则A 和B 的行向量可以相互表示 ，也就是说对A 做初等行变换可以得到B ，所以存在可逆矩阵P 使得PA B =对,A B 进行列分块就有()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =,也就是要说明在P 可逆的情况下 ,A 的某几列无关和B 的对应的某几列无关等价. 随意取3列()123,,a a a 无关于()123,,b b b 无关等价这是显然的,因为()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =因为P 可逆所以()()()121212,,...,(,,...,)(,,...,)n n n r a a a r P a a a r b b b ==)7、 设,,A B C 为同阶方阵，且ABC E =，则下列各式中不成立的是___B_________.111111(). (). (). ().A CAB E BC A B E C BCA ED B A CE ------====解：因为ABC E =，所以我们可知-1A BC =和-1C AB =，又因为-1-1XX X X E ==，所以A ，C 正确，现在，对ABC E =两边求逆，有-1-1-1C B A E =，可以看出B 错，对于D ，-1A BC =，所以-1-1A C B =，所以-1CA B =，带入D ，可知其正确性8、 非齐次线性方程组Ax b =中，A 是m n ⨯矩阵，()R A r =，则____A___________.(). (). (). (). A r m B r n C m n D r n ===<时方程组有解时方程组有唯一解时方程组有唯一解时方程组有无穷多解解：这题我直接看到A 就选了，其它的也不好分析，因为他们的条件和结论根本没什么明显联系。
同济大学线性代数试卷题库 (7)
2009—2010学年第二学期课名：线性代数（2学分）一、填空与选择题(24分)1、 已知m 阶方阵A 与n 阶方阵B 的行列式值分别为,a b ,且0ab ≠,则11030T A B --⎛⎫-= ⎪⎝⎭______abm n )()3(+-_____________. 解：化简后可得11-300m nTA B +-⎛⎫⎪⎝⎭（）由拉普拉斯定理 ，分母为-1T A B ，所以得到ab m n )()3(+- 2、 设100220333A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其伴随矩阵为*A ，则()1*A -=____A 61______.解：先化简，由伴随矩阵的性质*-1A A A =，()1*-1-1116AA A A A A -===（） 3、 若3阶方阵A 满足20A E A E A E +=+=-=，则253A A E --=___-231___________.解：看到这种形式请立刻联想到特征值，20A E A E A E +=+=-=由这几个等式，我们可知A 的三个特征值为-1，-2，1.而A 为3阶方阵，说明它只有3个特征值，现在，我们来看253A A E --，我们假定253=B A A E --，则根据特征多项式，我们可以分别把A 的三个特征值带进去，得到B 的三个特征值分别为1231533410-3111-5-3-7λλλ=+-=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩，在根据特征值之积等于方阵的行列式可知253A A E --=-231 4、 已知123,,ααα是3R 空间的一组规范正交基，则12323ααα-+=__14__________. 解：本题要求的是12323ααα-+的范数，带入公式，由于123,,ααα是3R 空间的一组规范正交基（正交基：列向量位单位向量，且每个列向量之间内积为0），于是有=5、 设二次型22212312313(,,)222T f x x x x Ax ax x x bx x ==+-+，其中0b >，已知A 的全体特征值之和为1，全体特征值之积为12-，则a =_1__________，b =___2________.解：二次型A 所对应的矩阵是00200-2a b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为它的行列式的值即使特征值的积，主对角线之和（又称为迹，用tr （A ）表示）既是特征值之和，得到a=1，将a 代入A ，求出行列式=-12，得到b=2；6、 设A 为n 阶非零方阵，且A 中各行元素都对应成比例，又12,,,t βββL 是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则-1t n =____________.解：因为A 中各行元素都对应成比例且A 为n 阶非零方阵，很明显11111111()1,..([])1111R A e g =,又由于12,,,t βββL 是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，所以它的基础解系中有t 个线性无关向量，则根据-n r A t =（） ，可得-1t n =7、 设12324369Q t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 为3阶非零方阵，且0PQ =，则下面说法正确的是_____C____. (). 6() 1 (). 6() 2 (). 6() 1 ().6() 2A t R PB t R PC t R PD t R P ====≠=≠=时时时 时解：利用代入法，0PQ R P R Q n =−−→+≤（）（），6(Q)1()2t R R P ==∴≤时， 6()2 1 t R Q R P ≠=∴≤时，（），因为P 为3阶非零方阵，1R P ∴=（）8、 设1123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1223b b b α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1323c c c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,三条不同的直线0i i i a x b y c ++=，(1,2,3)i =，220i i a b +≠，则这三条直线交于一点的充要条件是_____D____________.12312312312312312(). ,,). ,, (). (,,)(,,) ().,,,A B C R R D ααααααααααααααααα=线性相关 (线性无关 线性相关,线性无关解：这题的意思是，要让这个线性方程有唯一解（只有唯一解才能让它们交于同一点）即增广矩阵111222333---a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩应该为2，且系数矩阵112233a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩也应该为2所以12312,,,ααααα线性相关,线性无关二、(12分) 设n 阶方阵111b b bb A bb ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L，试求A 的全体特征值.. 解：根据特征多项式定义-0A E λ=，1-1-01-b b b b bb λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M O M L，（小技巧，把每一列元素对应加到第一列上，在把第一列上的元素提出来就很容易得到特征值了）解得：-11n b λ=+（），1--1b n λ=（重）三、(10分)设4阶方阵1000230004500067A ⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭，又()E A B E A +=-，求E B +. 解：这种题拿到就化简，()(2E A B E A E A E B E +=-−−→++=（）） 这时应该先算0E A +≠（），说明E A +（）可逆，然后得到-1(2E B E E A +=+）（） 1000110022111033311114444E B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、(12分)已知线性方程组123123123(2)22 1 2(5)4 2 24(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩，试讨论参数λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解.解：这种题很好解，因为它的系数矩阵是方阵，所以，根据克莱姆法则，我们可以直接求它的系数行列式，并令其为0，2-2-225--4-2-45-λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦令它的行列式为0，得到1,1,10λ=，当1λ=当增广矩阵为12-2124-42-2-44-2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，利用初等变换，得到 1 2 -2 00 0 0 1 0 0 0 0说明系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不等，所以无解，把10λ=带进去，得到的是无穷解 所以110λ≠和有唯一解五、(12分)设有如下两个向量组：向量组()123111I :0,1,1232a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，向量组()II :1231222,1,1364a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问a 取何值时两个向量组等价？a 又为何值时两个向量组不等价？解：先对I 和II 求行列式，可解得I 的行列式为1a +，II 的行列式为6,可知，它们要等价，则a 必然不能等于-1.当a=-1，I 和II 的秩不等。
线性代数习题详解(同济大学第四版第四章)
⎜⎛ 25
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
31 1 1 1
17 2 3 3
43 ⎟⎞
3⎟
5 5
⎟ ⎟⎟⎠
~ r − r 43
⎜⎛ 25 ⎜0
r3
−
r2
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
31 1 0 0
17 2 1 0
43 ⎟⎞
3⎟
3 0
⎟ ⎟⎟⎠
所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.
3
⎜⎛ 1
(2)
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
2 1
1 2 0 1
(2)
⎧ x1
若
a1
,
a2
,
a3
,
a4
线性无关,则
⎪⎪ ⎨ ⎪
x1 x2
⎪⎩ x3
+ + + +
x4 x2 x3 x4
= 0 ⎜⎛ 1
= = =
0 0 0
⇒
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1⎟⎞⎜⎛ x1 ⎟⎞
0⎟⎜ 10 ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝
x2 x3 x4
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
0
1001
第四章 向量组的线性相关性
1．设 v1 = (1, 1, 0)T , v2 = (0, 1, 1)T , v3 = (3, 4, 0)T , 求 v1 − v2 及 3v1 + 2v2 − v3 . 解 v1 − v2 = (1, 1, 0)T − (0, 1, 1)T
= (1 − 0, 1 − 1, 0 − 1)T = (1, 0, − 1)T
因向量组 a1 ,a2 , ,ar 线性无关,故
同济大学线性代数试卷 含答案
s
(s
≥ 2 ) 线性无关，且可由向量组 β 1 ，β
2 ，பைடு நூலகம்，β
线性表示，
s
则以下结论中不能成立的是 B
(A) 向量组 β 1 ，β 2 ，"，β s 线性无关；
(B) 对任一个α j (1≤ j ≤ s ) ，向量组α j ，β 2 ，"，β s 线性相关；
(C) 向量组α 1 ，α 2 ，"，α s 与向量组 β 1 ，β 2 ，"，β s 等价.
2009-2010 学年第一学期《线性代数 B》期末考试试卷（B 卷）--2
三、（10 分）已知α 1 ，α 2 ，α 3 与 β 1 ，β 2 ，β 3 为所有 3 维实向量构成的线性空间 R3 的两组基,
⎛ 0 2 −1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
α
1 ，α
2，α
3
到
β
1
，β
2
，β
3
的过渡矩阵为
P
=
⎜ ⎜
-9
.
4512
⎛a 2 2⎞
3.
已知矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
a
2
⎟ ⎟
，伴随矩阵
A∗
≠
0 ，且
A∗ x
=
0 有非零解，则
C
.
⎜⎝ 2 2 a ⎟⎠
(A) a = 2 ；
（B） a = 2 或 a = −4 ；
(C) a = −4 ；
(D) a ≠ 2 且 a ≠ −4 .
6. 设η0 是非齐次线性方程组 Ax = b 的特解， ξ1,ξ2,",ξs 是齐次方程组 Ax = 0 的基 础解系，则以下命题中错误的是 B (A) η0 ,η0 − ξ1,η0 − ξ2 ,",η0 − ξs 是 Ax = b 的一组线性无关解向量； (B) 2η0 + ξ1 + ξ2 +" + ξs 是 Ax = b 的解； (C) Ax = b 的每个解均可表为η0 ,η0 + ξ1,η0 + ξ2 ,",η0 + ξs 的线性组合. 7. 设 4 阶矩阵 A 有一个特征值为 −2 且满足 AAT = 5E ，| A | > 0 ，则其伴随矩阵 A∗ 的一个特
同济大学线性代数习题课 共54页
不妨设a 0,由b2 ac得b 0.再由abc 0 得c 0，与题设矛.盾 故
ab 0.
bc 由克莱姆法则知，方 组(程2)有唯一解.从而知 方程组(1)有唯一解，即三条不 直同 线交于一.点
例12 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千 克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种化肥每千克含 氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮 70克，磷5克，钾1.4克．若把此三种化肥混合，要 求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化 肥各需多少千克？
x1x2 xna(x1x2 xn1 x1x3 xnx2x3 xn).
当x1x2xn0时，还可改写成
D nx 1x 2 x n [1 a (11 1)].
x 1 x 2
x n
评注 本题是利用行列式质 的把 性所给n的阶
行列式Dn用同样形式的 n1阶行列式表示出, 来 建立了Dn与n1阶行列式Dn1之间的递推关.有系 时，还可以把给定 n阶的行列式Dn用同样形式的 比n1阶更低阶的行列式， 表建 示立比n1阶行 列式更低阶行列式的 之递 间推关.系
xnxn1Dn2. 如此继续下去，可得
D nx 1x 2 x n １ ax 1x 2 x n 2ax n x 1x 2ax 4 x nx nx n 1 x 3D 2
x1x2xn１ax1x2xn2axn x1x2ax4xn xnxn1x3(ax1ax2x1x2)
用降阶法计算
例 计算
abcd
bad c
D4 c
d
a
. b
d c ba
解 将D4的第2、3、4行都加到1行 第，并从1行 第中 提取公因a子 bcd，得
2009-2010 同济大学线代期末考试第一学期_线代期末试题
同济大学课程考核试卷 2009 — 2010学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名：课号： 课名：线性代数 考试考查：此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( )试卷年级 专业（注意：本试卷共七大题,三大张,满分100分．考试时间为 分钟。
要求写出解题过程,否则不予计分）一、填空题（每空3分,共24分）1、设1α、2α、3α均为3维列向量,已知矩阵 123(,,)A ααα=,()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3,且1A =,那么B = 。
2. 设分块矩阵A O C O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ,A B 均为方阵,则下列命题中正确的个数为 。
(A). 若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B). 若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C). 若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D). 若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化.3、设2341345145617891D =,则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 。
4、设向量组(I):12,,,r ααα可由向量组(II):12,,,s βββ线性表示,则 成立。
(注：此题单选)(A)．当r s <时,向量组（II ）必线性相关 (B)．当r s >时,向量组（II ）必线性相关 (C)．当r s <时,向量组（I ）必线性相关(D)．当r s >时,向量组（I ）必线性相关5、已知方阵A 满足223A A O +=, 则()1A E -+= 。
6、当矩阵A 满足下面条件中的 时,推理“若AB O =, 则B O =”可成立。
（注：此题可多选）(A).A 可逆 (B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵,已知1,2-为A 的特征值,B 的所有对角元的和为5, 则矩阵B 的全部特征值为 。
同济大学线性代数习题集
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=01100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=01111010100111.6．行列式=-010000200001nn .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知d b c a c c a b ba b ca cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a xa a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. na b b b a a b b a a a b321222111111111； 8．x a a a a x a a a a x a a a a xn nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++; 10.211200000210001210001211．aa a aa a a aaD ---------=110110001100011001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++d ddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni in nn nn n n n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c b a的充要条件是0=++c b a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
同济大学线性代数习题
用加边法计算
例 计算 a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
解
1
0
a a xn
0
0
1
D1 1 1
a x1
a a
a
a
a x n1
a
a a xn
1 a
1 x1 D1
1 1
n
1
a
x i1 i
a
x1
a a 1 a a
xn
1 x1
x n1 xn
1 0
a a
x n1 xn
aa
x1x2
1 a2 a3 x
将第1列的( a1)倍加到第2列，将第1列的
( a２)倍加到第3列，,将第1列的( an)倍加到最 后一列，得
10
00
1 x a1 0 0
n
Dn1 (x ai)1
a2 a1
x a2
0
i1
1 a2 a1 a3 a2 x an
n
n
( x ai) ( x ai).
解 将测得的数据分别代入h(t ),得方程组
a0 13.6,
a0 10a1 100a2 1000a3 13.57,
a0
20 a1
400 a 28000 a 313.55,(1)
a0 30a1 900a2 27000a3 13.52.
将 a0 13.60分别代入其余三个方程,得方程组
x1 x2
xn
评注 本题是利用行列式的性质把所给的n阶
行列式 Dn 用同样形式的 n 1阶行列式表示出来, 建立了Dn 与n 1阶行列式Dn1之间的递推关系.有 时，还可以把给定的n阶行列式Dn 用同样形式的 比 n 1阶更低阶的行列式表示，建立比n 1阶行 列式更低阶行列式之间的递推关系.
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线代补充复习题
一、填空与单选题.
1、设4阶方阵()1231,,2,A αααβ=，()3212,,,B αααβ=，其中12312,,,,αααββ都是4维列向量，如果行列式||1A =，||2B =，则行列式||A B += .
2、设3阶方阵A 的行列式||2A =，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式()1*2A A --= .
3、设230A A E ++=,则1()A E -+= .
3、设矩阵21111122a A a a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-+⎝⎭
，则a = 时，矩阵A 的秩最小.
4、设n 元非齐次线性方程组Ax β=的通解为1122x c c ξξη=++，其中12,,ξξη为线性无关的n 维列向量，12,c c 为任意常数，则矩阵(,)B A β=的秩()R B = .
5、设向量()1,2,3T α=，()1,1,1T
β=-，矩阵T A αβ=，则下面说法中不正确的是 .
(A) ()1R A =. (B) 0是矩阵A 的特征值.
(C) α是矩阵A 的特征向量. (D) β是矩阵A 的特征向量.
6、设3阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为123,,λλλ，则下面说法中不正确的是 .
(A) 如果A 可逆，则一定有123,,λλλ全不为零.
(B) 如果A 可相似对角化，则123,,λλλ一定两两互不相同.
(C) 如果2A E =，则123,,λλλ一定只能为1或者1-.
(D) 如果123,,λλλ都大于零，则A 的对角元之和112233a a a ++一定大于零.
7、设有3阶方阵122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，130310001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则方阵A 与B .
(A) 既相似又合同 (B) 相似但不合同
(C) 合同但不相似 (D) 既不相似又不合同
8、设A 为4阶对称矩阵, 且432A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）
A ．2222-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭
B ． 2220-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭ C. 2200-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D. 2000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
9、已知AB C =，且||0B ≠，则下列说法正确的是 ：
A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价
B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价
C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价
D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
10、二次型2222424f x y z xy xz =++--是 ：
A.正定二次型
B.负定二次型
C.非正定也非负定二次型
D.无法判断
11、设12,,...,s ααα为维列向量组，A 为矩阵,下列选项正确的是
A.若12,,...,s ααα线性相关,则12,,...,s A A A ααα线性相关
B.若12,,...,s ααα线性相关,则12,,...,s A A A ααα线性无关
C.若12,,...,s ααα线性无关,则12,,...,s A A A ααα线性相关
D.若12,,...,s ααα线性无关,则12,,...,s A A A ααα线性无关
12、设()()()1231,1,0,1,0,1,0,1,1T T T ααα===为3R 的一组基，则向量()2,0,0T b =在这组基下的坐标为 .
13、设二次型212311223(,,)22f x x x x x x x x =++ ,则其正惯性指数为 .
n m n ⨯
14、设阶方阵111a a a a A a a
⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3n ≥，如果齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个向量，则常数a = .
15、设23462463A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()132340B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，且()2r A AB += ，则t = .
A.7
B.8
C.9
D.10
16、已知n 阶方阵A 与B 相似，则下列说法正确的是 .
A. 存在正交矩阵P ，满足1P AP B -=；
B. A 与B 具有相同的特征值和特征向量；
C. A 与B 均相似于一个对角矩阵；
D. 对于任意的常数k ，矩阵A kE -与B kE -相似.
17、设A 为矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出组，则 .
A. 若齐次线性方程组0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解；
B. 若齐次线性方程组0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多解；
C. 若非齐次线性方程组Ax b =有无穷多解，则0Ax =仅有零解；
D. 若非齐次线性方程组Ax b =有无穷多解，则0Ax =有非零解.
二、计算题
1、设有矩阵等式()12T T C B E A C --=，其中311230122A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，100010011B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，
而E 为3阶单位方阵，求矩阵C . 2、问当λ为何值时, 线性方程组12312312
3(1)3
(1)3(1)0x x x x x x x x x λλλλ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有唯一解、无解、有无穷多
解? 并在有无穷多解时求出其通解.
3、设向量1(,2,2)T αλ=-，
2(2,3,4)T αλ=+-，3(2,4,3)T αλ=--+，(1,2,3)T βλ=-.问参数λ取何值时,
(1) 向量β不能由向量组123,,ααα线性表示； (2) 向量β可由向量组123,,ααα线性表示，且表示式唯一；(3) 向量β可由向量组123,,ααα线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.
n m n ⨯
4、设二次型2221231231223(,,)222f x x x ax x x x x x x =++--经正交变换112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
化为标准形2221233f by y y =++. (1) 求参数,a b . (2) 求正交阵P .
三、证明题
1、(1) 设44A ⨯，123122900,,900901ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
是线性方程组Ax b =的3个解， 证明：*0A =.
(2) 已知,αβ是两个相互正交的n 维列向量，证明：矩阵T
E αβ+可逆. 2、对于n 阶方阵()
ij n n A a ⨯=，我们定义A 的迹tr()A 为A 的所有对角元之和，即1122tr()nn A a a a =+++. 可以证明：对任意两个n 阶方阵,A B ，成立等式tr()tr()AB BA =. 下面设n 阶方阵A 满足等式2A A =，证明：
(1) ()()R A R A E n +-=，其中E 为n 阶单位阵；
(2) A 可相似对角化，并写出A 的相似对角化矩阵；(3) ()tr()R A A =.
3、证明题:
(1)设A 是矩阵, B 是矩阵, E 是阶单位矩阵. 若AB E =，证明矩阵B 的列向量组线性无关.
(2)设矩阵2,T T
A ααββ=+其中,αβ是两个互相正交的三维单位列向量. 证明：矩阵A 能够相似于对角矩阵1=20⎛⎫ ⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭
.
n m ⨯m n ⨯n。