八年级数学12.2三角形全等的判定 第2课时 用“sas”证三角形全等练习 新人教版
12.2 三角形全等的判定(题题经典含答案)
考点卡片1．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．2．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．5．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．6．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．12.2三角形全等的判定一、全等三角形的判定1．（2020•恩平市模拟）如图，AB DB =，12∠=∠，请问添加下面哪个条件不能判断ABC DBE ∆≅∆的是()A ．BC BE =B ．AC DE =C ．AD ∠=∠D ．ACB DEB∠=∠2．（2019秋•柯桥区期末）如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO BO =，添加一个条件，能使AOC BOD ∆≅∆，所添加的条件的是．3．（2018秋•中山市期中）如图，AE CF =，AD CB =，DF BE =，求证：ADF CBE ∆≅∆．4．（2018秋•泰兴市校级月考）已知：如图，BCA DAC ∠=∠，AD BC =．求证：ABC CDA ∆≅∆．5．（2020春•昌图县期末）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是()A ．一锐角对应相等B ．两锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等6．（2018秋•永定区期末）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，以下结论：（1）ABD ACD ∆≅∆；（2）AB AC =；（3）B C ∠=∠；（4）AD 是ABC ∆的一条角平分线．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2018秋•东台市月考）使两个直角三角形全等的条件是()A ．一锐角对应相等B ．一条直角边和一个锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两锐角对应相等8．（2019秋•德清县期末）如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，垂足分别是C ，D ，（若要用“HL ”得到Rt ABC Rt BAD ∆≅∆，则应添加的条件是．（写一种即可）9．（2018秋•镇原县期中）如图，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，//AC DB ，且AC BD =，那么Rt AEC Rt BFD ∆≅∆的理由是．10．（2018秋•淮安区期中）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，要使ABD ACD ∆≅∆，若根据“HL ”判定，还需加条件．11．（2019秋•东湖区校级月考）如图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，//AB EF ，AB EF =，B F ∠=∠，10AE =，7AC =，则AD 的长为()A ．5.5B ．4C ．4.5D ．312．（2018秋•硚口区校级月考）AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，若4AD =，5AC =，则AB 的取值范围是．13．（2018春•江岸区校级月考）在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，3AB =，6CD =，则AC =．14．（2019•惠安县一模）如图，AC BD ⊥，DE 交AC 于E ，AB DE =，A D ∠=∠．求证：AC AE BC =+．15．（2018秋•硚口区期中）如图．ABC ∆中，CA CB =．D 是AB 的中点．90CED CFD ∠=∠=︒，CE CF =，求证：ADF BDE ∠=∠．16．（2018秋•高新区期中）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF DCBC EF，=，A D∠=∠，//求证：B E∠=∠．四、全等三角形的应用17．（2019秋•吴兴区期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带()去．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块18．（2019秋•无棣县期末）泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么∆≅∆的方法是()∆≅∆，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定ABC EDCABC EDCA．SAS B．ASA C．AAS D．SSS19．（2018春•宝丰县期末）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A B''的长等于内槽宽AB，那么判定OAB∆≅△OA B''的理由是()A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS20．（2019秋•鹿城区期中）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD CBDE= =，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出20米，则AB的长是米．12.2三角形全等的判定参考答案与试题解析一、全等三角形的判定1．（2020•恩平市模拟）如图，AB DB =，12∠=∠，请问添加下面哪个条件不能判断ABC DBE ∆≅∆的是()A ．BC BE =B ．AC DE =C ．AD ∠=∠D ．ACB DEB∠=∠【考点】KB ：全等三角形的判定【分析】本题要判定ABC DBE ∆≅∆，已知AB DB =，12∠=∠，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：A 、添加BC BE =，可根据SAS 判定ABC DBE ∆≅∆，故正确；B 、添加AC DE =，SSA 不能判定ABC DBE ∆≅∆，故错误；C 、添加AD ∠=∠，可根据ASA 判定ABC DBE ∆≅∆，故正确；D 、添加ACB DEB ∠=∠，可根据ASA 判定ABC DBE ∆≅∆，故正确．故选：B ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2019秋•柯桥区期末）如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO BO =，添加一个条件，能使AOC BOD ∆≅∆，所添加的条件的是CO DO =．【考点】KB ：全等三角形的判定【专题】553：图形的全等；67：推理能力【分析】添加CO DO =，再加上条件AO BO =，对顶角AOC BOD ∠=∠，然后利用SAS 判定AOC BOD ∆≅∆即可．【解答】解：添加CO DO =，在AOC ∆和BOD ∆中AO BO AOC BOD CO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOD SAS ∴∆≅∆，故答案为：CO DO =．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2018秋•中山市期中）如图，AE CF =，AD CB =，DF BE =，求证：ADF CBE ∆≅∆．【考点】KB ：全等三角形的判定【专题】553：图形的全等【分析】由AE CF =可得AF CE =，又AD CB =，DF BE =，根据SSS 即可证明ADF CBE ∆≅∆．【解答】证明：AE CF = ，AE EF CF EF ∴-=-，AF CE ∴=．在ADF ∆和CBE ∆中AF CE AD CB DF BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ADF CBE SSS ∴∆≅∆．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．4．（2018秋•泰兴市校级月考）已知：如图，BCA DAC ∠=∠，AD BC =．求证：ABC CDA ∆≅∆．【考点】KB ：全等三角形的判定【专题】14：证明题【分析】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，据此判断即可．【解答】证明：在ABC ∆和CDA ∆中，BC DA BCA DAC AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDA SAS ∴∆≅∆．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．二、直角三角形全等的判定5．（2020春•昌图县期末）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是()A ．一锐角对应相等B ．两锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等【考点】KC ：直角三角形全等的判定【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS 、SSS 、AAS 、ASA 、HL 五种．据此作答．【解答】解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A 、C ；而B 构成了AAA ，不能判定全等；D 构成了SAS ，可以判定两个直角三角形全等．故选：D ．【点评】此题主要考查两个直角三角形全等的判定，除了一般三角形全等的4种外，还有特殊的判定：HL ．6．（2018秋•永定区期末）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，以下结论：（1）ABD ACD ∆≅∆；（2）AB AC =；（3）B C ∠=∠；（4）AD 是ABC ∆的一条角平分线．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】KA：全等三角形的性质；KC：直角三角形全等的判定【专题】64：几何直观【分析】先运用SAS证明ABD ACD=正确；（3）B C∠=∠∆≅∆正确；（2）AB AC∆≅∆，再得（1）ABD ACD正确；∆的角平分线．即可找到答案．BAD CAD∠=∠（4）AD是ABC【解答】解：AD AD、ADB ADC==∠=∠、BD CD∆≅∆正确；∴（1）ABD ACD=正确；∴（2）AB AC（3）B C∠=∠正确；∠=∠BAD CAD∆的角平分线．∴（4）AD是ABC故选：D．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，及全等三角形性质的运用．7．（2018秋•东台市月考）使两个直角三角形全等的条件是()A．一锐角对应相等B．一条直角边和一个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两锐角对应相等【考点】KC：直角三角形全等的判定【专题】553：图形的全等；67：推理能力【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；B、正确，符合判定AAS或ASA；C、错误，全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行；D、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2019秋•德清县期末）如图，AC BC⊥，垂足分别是C，D，（若要用“HL”得到⊥，AD BD=．（写一种即可）=或BC ADRt ABC Rt BAD∆≅∆，则应添加的条件是AC BD【考点】KC ：直角三角形全等的判定【专题】69：应用意识；553：图形的全等【分析】利用直角三角形全等的判定定理HL ，可找出应添加的条件，此题得解．【解答】解：若添加AC BD =，在Rt ABC ∆和Rt BAD ∆中，AC BD AB BA =⎧⎨=⎩，Rt ABC Rt BAD(HL)∴∆≅∆；若添加BC AD =，在Rt ABC ∆和Rt BAD ∆中，BC AD AB BA =⎧⎨=⎩，Rt ABC Rt BAD(HL)∴∆≅∆．故答案为：AC BD =或BC AD =．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，牢记“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”是解题的关键．9．（2018秋•镇原县期中）如图，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，//AC DB ，且AC BD =，那么Rt AEC Rt BFD ∆≅∆的理由是AAS．【考点】KC ：直角三角形全等的判定【专题】14：证明题【分析】根据垂直定义求出90AEC BFD ∠=∠=︒，根据平行线的性质得出A B ∠=∠，根据全等三角形的判定定理AAS 推出即可．【解答】解：CE AB ⊥ ，DF AB ⊥，90AEC BFD ∴∠=∠=︒．//AC DB ，A B ∴∠=∠．在AEC ∆和BFD ∆中AEC BFD A B AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，Rt AEC Rt BFC(AAS)∴∆≅∆，故答案为：AAS ．【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，垂直定义的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，AAS ，ASA ，SSS ，直角三角形全等的判定定理除了具有以上定理外，还有HL 定理．10．（2018秋•淮安区期中）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，要使ABD ACD ∆≅∆，若根据“HL ”判定，还需加条件AB AC =．【考点】KC ：直角三角形全等的判定【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”)可得需要添加条件AB AC =．【解答】解：还需添加条件AB AC =，AD BC ⊥ 于D ，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆和Rt ACD ∆中，AD AD AB AC =⎧⎨=⎩，Rt ABD Rt ACD(HL)∴∆≅∆，故答案为：AB AC =．【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解HL 定理．三、全等三角形的判定与性质11．（2019秋•东湖区校级月考）如图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，//AB EF ，AB EF =，B F ∠=∠，10AE =，7AC =，则AD 的长为()A ．5.5B ．4C ．4.5D ．3【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】67：推理能力；553：图形的全等【分析】证明ABC EFD ∆≅∆可得7DE AC ==，根据AD AE DE =-可求解．【解答】解：//AB EF ，A E ∴∠=∠．又AB EF =，B F ∠=∠，()ABC EFD ASA ∴∆≅∆．7AC DE ∴==．1073AD AE DE ∴=-=-=．故选：D ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．12．（2018秋•硚口区校级月考）AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，若4AD =，5AC =，则AB 的取值范围是313AB <<．【考点】6K ：三角形三边关系；KD ：全等三角形的判定与性质【专题】552：三角形；553：图形的全等【分析】延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，利用“边角边”证明ABD ∆和ECD ∆全等，再根据全等三角形对应边相等可得CE AB =，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答．【解答】解：延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，则2248AE AD ==⨯=，AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD ∆和ECD ∆中，BD CD ADB EDC DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ECD SAS ∴∆≅∆，CE AB ∴=，又5AC = ，5813∴+=，853-=，313CE ∴<<，即AB 的取值范围是：313AB <<．故答案为313AB <<．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，“遇中线加倍延”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．13．（2018春•江岸区校级月考）在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，3AB =，6CD =，则AC =9．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】55：几何图形【分析】在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED ∆≅∆，得到B AED ∠=∠，再证明ED EC =，进而代入数值解答即可．．【解答】解：在AC 上截取AE AB =，连接DE，AD 平分BAC ∠，BAD DAC ∴∠=∠，在ABD ∆和AED ∆中，AE AB BAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD AED SAS ∴∆≅∆，B AED ∴∠=∠，BD DE =，又2B ADB∠=∠2AED ADB ∴∠=∠，而2AED C EDC ADB ∠=∠+∠=∠，CED EDC ∴∠=∠，CD CE ∴=，369AB CD AE CE AC ∴+=+==+=．故答案为：9【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．14．（2019•惠安县一模）如图，AC BD ⊥，DE 交AC 于E ，AB DE =，A D ∠=∠．求证：AC AE BC =+．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】553：图形的全等【分析】由“SAS ”可证ABC DEC ∆≅∆，可得BC CE =，即可得结论．【解答】证明：AB DE = ，A D ∠=∠，90ACB DCE ∠=∠=︒()ABC DEC AAS ∴∆≅∆BC CE ∴=，AC AE CE=+ AC AE BC∴=+【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．15．（2018秋•硚口区期中）如图．ABC ∆中，CA CB =．D 是AB 的中点．90CED CFD ∠=∠=︒，CE CF =，求证：ADF BDE ∠=∠．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】14：证明题【分析】连接CD ，证得ECD FCD ∆≅∆，得出CDF CDE ∠=∠，利用等腰三角形的“三线合一”得出90CDA CDB ∠=∠=︒，进一步求得结论即可．【解答】证明：如图，连接CD ，在Rt ECD ∆和Rt FCD ∆中，CF CE CD CD =⎧⎨=⎩，Rt ECD Rt FCD ∴∆≅∆，CDF CDE ∴∠=∠，CA CB = ，D 是AB 的中点，CD AB ∴⊥，90CDA CDB ∴∠=∠=︒，ADF BDE ∴∠=∠．【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的判定方法是解决问题的关键．16．（2018秋•高新区期中）如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上，已知AF DC =，A D ∠=∠，//BC EF ，求证：B E ∠=∠．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】552：三角形；67：推理能力；553：图形的全等；14：证明题【分析】欲证明B E ∠=∠，只要证明ABC DEF ∆≅∆即可．【解答】证明：AF CD = ，AC DF ∴=，//BC EF ，ACB DFE ∴∠=∠，在ABC ∆和DEF ∆中，A D ∠=∠，AC DF =，ACB DFE ∠=∠，()ABC DEF ASA ∴∆≅∆，∴∠=∠．B E【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．四、全等三角形的应用17．（2019秋•吴兴区期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带()去．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块【考点】KE：全等三角形的应用【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．18．（2019秋•无棣县期末）泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么∆≅∆的方法是() ABC EDC∆≅∆，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定ABC EDCA．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】KE：全等三角形的应用【分析】根据题目确定出ABC∆全等的条件，然后根据全等三角形的判定方法解答．∆和EDC【解答】解：C是BD的中点，∴=，BC DCAB BD，DE BD⊥，⊥∴∠=∠=︒，90ABC EDC在ABC ∆和EDC ∆中，90ABC EDC BC DC ACB ECD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC EDC ASA ∴∆≅∆，DE AB ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，根据题目信息，确定出三角形全等的条件是确定利用哪种三角形全等的方法的关键．19．（2018春•宝丰县期末）如图，将两根钢条AA '、BB '的中点O 连在一起，使AA '、BB '能绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A B ''的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB ∆≅△OA B ''的理由是()A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS【考点】KE ：全等三角形的应用【分析】由O 是AA '、BB '的中点，可得AO A O ='，BO B O ='，再有AOA BOB ∠'=∠'，可以根据全等三角形的判定方法SAS ，判定OAB ∆≅△OA B ''．【解答】解：O 是AA '、BB '的中点，AO A O ∴='，BO B O ='，在OAB ∆和△OA B ''中AO A O AOA BOB BO B O ='⎧⎪∠'=∠'⎨⎪='⎩，OAB ∴∆≅△()OA B SAS ''，故选：A ．【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，HL ，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．20．（2019秋•鹿城区期中）要测量河岸相对两点A ，B 的距离，已知AB 垂直于河岸BF ，先在BF 上取两点C ，D ，使CD CB =，再过点D 作BF 的垂线段DE ，使点A ，C ，E 在一条直线上，如图，测出20DE =米，则AB 的长是20米．【考点】KE：全等三角形的应用【专题】552：三角形；67：推理能力【分析】由AB、ED均垂直于BD，即可得出90ABC EDC∠=∠=︒，结合CD CB=、ACB ECD∠=∠即可证出()ABC EDC ASA∆≅∆，由此即可得出20AB ED==，此题得解．【解答】解：AB BD⊥，ED AB⊥，90ABC EDC∴∠=∠=︒，在ABC∆和EDC∆中，90 ABC EDCBC DCACB ECD∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC EDC ASA∴∆≅∆，20AB ED∴==．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理()ASA．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．。
八年级数学上册(人教版)配套达标检测：12.2.2三角形全等的判定(二)SAS练习题
D C B
A
12.2.2三角形全等的判定（二）SAS
1、如图1，AB ∥CD ，AB=CD ，BE=DF ，则图中有多少对全等三角形( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2、如图2，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( )
A.∠1=∠2
B.∠B=∠C
C.∠D=∠E
D.∠BAE=∠CAD
3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( )
A.AB ∥CD
B.AD ∥BC
C.∠A=∠C
D.∠ABC=∠CDA
4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________，•根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．
5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由．
∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义).
在△ABD 和△ACD 中，
∵____________________________， ∴△ABD ≌△ACD （ ）
6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B.
7、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？
8、如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、F 、C ，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.
①AB=DE ； ②AC=DF ； ③∠ABC=∠DEF ； ④BE=CF.。
12.2三角形全等的判定第2课时(SAS)
分析:如果能证明△ABC ≌△DEC, A 就可以得出AB=DE 在△ABC 和△DEC 中,CA=CD,CB=CE.
C
E D
B
如果能得出∠ACB=∠DCE,
△ABC 和△DEC就全等了.
知识应 用
例2、如图，有一池塘，要测池塘端A、B的距离， 可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C， 连结AC并延长到D, 使CD=CA.连结BC并延长到E, 使CE=CB. 连结DE,那么量出DE的长，就是A、B 的距离.为什么？
(1)全等
(2)全等
例２：小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ,△EDH≌△FDH吗？EH=FH吗？ D 解：在△EDH和△FDH中： ＥＤ＝ＦＤ（已知）
E
F
∠EDH=∠FDH（已知）
ＤＨ＝ＤＨ（公共边）
H
∴△EDH≌△FDH（Ｓ.Ａ.Ｓ）
∴EH=FH(全等三角形对应边相等）
课堂小结:
1、边角边的内容是什么？
三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等 (边角边或SAS)
课堂小结:
2、边角边的作用: （证明两个三角形全等，也可间接证明线段，角相等） 利用全等三角形证明线段或角相等, 是证明线 段或角相等的重要方法之一，其思路如下： ⑴观察要证的线段和角在哪两个可能全等 三角形之中. ⑵分析要证全等的这两个三角形，已知什 么条件，还缺什么条件. ⑶设法证出所缺的条件.
B
C
2
O A
OA = OB(已知）
∠1 =∠2（对顶角相等） OD = OC （已知）
D
1
∴△OAD≌△OBC (S.A.S)
巩 固 练 习
2.如图所示, 根据题目条件，判断下面 的三角形是否全等． （1） AC＝DF， ∠C＝∠F， BC＝EF； （2） BC＝BD， ∠ABC＝∠ABD．
12.2 三角形全等的判定 第2课时 用“SAS”判定三角形全等
10．根据下列条件，能画出唯一的三角形ABC的是( A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50° D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°
C )
11．如图，AC＝AB，AD平分∠CAB，点E在AD上，则图中能全等 D 的三角形( ) A．一对也没有 B．只有△ACD≌△ABD C．只有△ACD≌△ABD和△AEC≌△AEB D．有△ACD≌△ABD，△AEC≌△AEB，△EDC≌△EDB三对
15．如图，AB⊥DC于点B，且BD＝BA，BE＝BC，延长DE交AC于 点F.BD＝BA，∠DBE＝∠ABC＝90°，BE＝BC，
∴△BED≌△BCA，∴DE＝AC，∠DEB＝∠C，又∠D＋∠DEB＝ 90°，∴∠D＋∠C＝90°，∴∠DFC＝90°，∴DF⊥AC，即
12．如图，已知AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，只需添加的一 AB＝DC或∠ACB＝∠DBC 个条件是_______________________________________ ．
13．如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝60°， 70° ． ∠B＝25°，则∠EOB的度数是___________
易错点：误用“SAS”导致出错 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，且 CD＝BE，△ADC与△AEB全等吗？请说明理由． 解：△ADC≌△AEB.理由：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的
中点，∴AD＝AE，在△ADC和△AEB中，AC＝AB，∠A＝∠A，
AD＝AE，∴△ADC≌△AEB(SAS)
采青 春 风
高考总分： 692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分 毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院
12.2三角形全等的判定第2课时“边角边”精选练习含答案
12一、选择题1. 如图，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( )A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD2. 能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是（ ）A ．AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，∠C=∠C ′B. AB=A ′B ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C ′C. AC=A ′C ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′CD. AC=A ′C ′， ∠C=∠C ′，BC=B ′C3. 如图，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，能够添加的条件是( )A. AB ∥CDB. AD ∥BCC. ∠A=∠CD. ∠ABC=∠CDA4.如图，ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ） A ．BC=EC ，∠B=∠E B ．BC=EC ，AC=DCC ．BC=DC ，∠A=∠D D ．AC=DC ，∠A=∠D5.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，若连接AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 6.在△ABC 和C B A '''∆中，∠C ＝C '∠,b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角形（ ）A. 不一定全等B.不全等C. 全等，按照“ASA ”D. 全等，按照“SAS ”第1题 第3题图第4题图 第5题图7.如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD ≌△AC D 的条件是（ ）A ．AB=ACB ．∠BAC=90°C ．BD=ACD ．∠B=45°8．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 是AD 的中点，且MB=MC ，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD 的周长为（ ）A ．22B ．24C ．26D ．28二、填空题9. 如图，已知BD=CD ，要按照“SAS ”判定△ABD ≌△ACD ，则还需添加的条件是 . 10. 如图，AC 与BD 相交于点O ，若AO=BO ，AC ＝BD ，∠DBA=30°，∠DAB=50°，则∠CBO=度.第9题图第7题图 第8题图 第10题图第11题图11.西如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的两侧，AB ∥DE ，BF=CE ，请添加一个适当的条件： ，使得AC=DF. 12.如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是 （写出一个即可）．13.（2005•天津）如图，OA=OB ，OC=OD ，∠O=60°，∠C=25°，则 ∠BED= 度．14. 如图，若AO=DO ，只需补充 就能够按照SAS 判定△AOB ≌△DOC.15. 如图，已知△ABC ，BA=BC ，BD 平分∠ABC ，若∠C=40°，则∠ABE 为度.16.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=2cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC=BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm ，则AE= cm ． 40︒D C B A E17. 已知：如图，DC=EA ，EC=BA ，DC ⊥AC ， BA ⊥AC ，垂足分不是C 、A ，则BE 与DE 的位置关系是 . AC E B0 CE DB A 第13题图第14题图第12题图第15题图第16题图第17题图D18. △ABC中，AB=6，AC=2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范畴是.三、解答题19. 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分不在直线A D的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．20．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD ⊥AD，AE=DF，AB=DC．求证：∠ACE=∠DBF．21．如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．22. 如图，AB=AC，点E、F分不是AB、AC的中点，求证：△AFB ≌△AEC．23.如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并讲明理由。
八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定 第2课时 用“SAS”判定三角形全等说课稿 (新版)新人
八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定第2课时用“SAS”判定三角形全等说课稿（新版）新人教版一. 教材分析本次说课的内容是新人教版八年级数学上册第12.2节三角形全等的判定，第2课时，主要讲解的是用“SAS”判定三角形全等。
这一节内容是在学习了三角形相似和三角形全等的概念基础上进行的，是三角形全等判定方法中的重要一环。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握“SAS”判定三角形全等的方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析根据我对学生的了解，他们在学习了三角形相似和三角形全等的基础上，对于全等的概念已经有了初步的认识，但是对于如何用“SAS”判定三角形全等，可能还存在着一些理解和运用上的困难。
因此，在教学过程中，我需要通过具体的例子和练习题，引导学生理解和掌握“SAS”判定三角形全等的方法。
三. 说教学目标本次课的教学目标是让学生理解和掌握“SAS”判定三角形全等的方法，能够运用“SAS”判定三角形全等，并能够解决实际问题。
四. 说教学重难点教学重点是让学生理解和掌握“SAS”判定三角形全等的方法，教学难点是如何引导学生理解和运用“SAS”判定三角形全等。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲解法、示范法、练习法等教学方法。
通过讲解法，让学生了解“SAS”判定三角形全等的原理；通过示范法，让学生直观地理解“SAS”判定三角形全等的步骤；通过练习法，让学生巩固“SAS”判定三角形全等的方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形相似和三角形全等的概念，引导学生进入本节课的学习。
2.讲解：“SAS”判定三角形全等的方法：首先，让学生观察两个三角形，找出它们的两个边和夹角分别相等；然后，根据全等三角形的性质，得出这两个三角形全等。
3.示范：通过具体的例子，演示如何用“SAS”判定三角形全等，让学生直观地理解全等的判定过程。
4.练习：让学生通过练习题，运用“SAS”判定三角形全等，巩固所学的方法。
2020年人教版数学八年级上册学案12.2《三角形全等的判定》(含答案)
12．2三角形全等的判定第1课时用“SSS”判定三角形全等学习目标：1．理解和掌握全等三角形判定方法1－“SSS”．2．体会尺规作图．3．掌握简单的证明格式．预习阅读教材，完成预习内容．知识探究三边分别相等的两个三角形________(可以简写成“边边边”或“________”)．自学反馈1．在△ABC、△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则____________．2．已知AB=3，BC=4，CA=6，EF=3，FG=4，要使△ABC≌△EFG，则EG=________.3．如图，通常凳子腿活动后，木工师傅会在凳腿上斜钉一根木条，这是利用了三角形的________．点拨：两个三角形三角、三边六个元素中，满足一个或两个元素相等是无法判定全等的，我们这节课探讨的是三个元素相等中三边对应相等的情况．4．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是________．活动1小组讨论例1.如图，AB=AD，CB=CD，求证：△ABC≌△ADC.证明：在△ABC与△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)．例2.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证：△ACD≌△CBE.证明：∵C是AB的中点，∴AC=CB.在△ACD与△CBE中，∵AD=CE，CD=BE，AC=CB，∴△ACD≌△CBE(SSS)．点拨：注意运用SSS证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．例3.如图，AB=AD，DC=BC，∠B与∠D相等吗？为什么？解：结论：∠B=∠D.理由：连接AC，在△ADC与△ABC中，∵AD=AB，AC=AC，DC=BC，∴△ADC≌△ABC(SSS)．∴∠B=∠D.点拨：要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．课堂小结1．本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题．2．添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法．第2课时用“SAS”判定三角形全等学习目标：1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“SAS”．理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．预习阅读教材，完成预习内容．知识探究1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形________(可以简写成“边角边”或“________”)．2．有两边和一个角对应相等的两个三角形________全等．点拨：如果给定两个三角形的类型(如两个钝角三角形)，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．自学反馈1．如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是( )A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠ABD=∠EBC2．如图，AO=BO ，CO=DO ，AD 与BC 交于E ，∠O=40°，∠B=25°，则∠BED 的度数是( )A ．60°B ．90°C ．75°D ．85° 3．已知：如图，AB 、CD 相交于O 点，AO=CO ，OD=OB. 求证：∠D=∠B.分析：要证∠D=∠B ，只要证△AOD ≌△COB. 证明：在△AOD 与△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO （已知），∠ ＝∠ （对顶角相等），OD ＝ （已知），∴△AOD ≌△________(SAS)． ∴∠D=∠B(__________)．4．已知：如图，AB=AC ，∠BAD=∠CAD.求证：∠B=∠C.点拨：1.利用SAS 证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角；在书写证明过程时相等的角应写在中间；2．证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”、“公共角、公共边”等． 活动1 小组讨论例1.已知：如图，AB ∥CD ，AB=CD.求证：AD ∥BC.证明：∵AB ∥CD ， ∴∠2=∠1.在△CDB 与△ABD 中，∵CD=AB ，∠2=∠1，BD=DB ， ∴△CDB ≌△ABD.∴∠3=∠4. ∴AD ∥BC.点拨：可从问题出发，要证线段平行只需证角相等即可(∠3=∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等．例2.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°)，连接AE、CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论．解：结论：AE=CD，AE⊥CD.理由(提示)：延长AE交CD于点F，先证△ABE≌△CBD，得AE=CD，∠BAE=∠BCD.又∠AEB=∠CEF，可得∠CFE=90°，即AE⊥CD.点拨：1.注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件；2．线段的关系分数量与位置两种关系．课堂小结1．利用对顶角、公共角、直角用SAS证明三角形全等．2．用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径．第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等学习目标：1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“ASA”，判定方法4——“AAS”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．预习：阅读教材，完成预习内容．知识探究1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形________(可以简写成“角边角”或“________”)．2．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形________(可以简写成“角角边”或“________”)．3．试总结全等三角形的判定方法，师生共同总结．点拨：三角形全等的条件至少需要三对相等的元素(其中至少需要一条边相等)．自学反馈1．能确定△ABC≌△DEF的条件是( )A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠EB．AB=DE，BC=EF，∠C=∠EC．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠DD．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是( )A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论错误的是( ) A ．DE=DF B ．AE=AF C ．BD=CD D ．∠ADE=∠ADF4．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA=OB ，∠A=∠C.那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．解：△AOD ≌△COB.证明：在△AOD 和△COB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C （已知），OA ＝OB （已知），∠AOD ＝∠COB （对顶角相等），∴△AOD ≌△COB(ASA)．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？活动1 小组讨论例1 已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ=NQ.求证：HN=PM.证明：∵MQ ⊥PN ， ∴∠MQP=∠MQN=90°. ∵NR ⊥MP ，∴∠MRN=90°.∴∠RMH ＋∠RHM=∠QHN ＋∠QNH=90°. 又∵∠RHM=∠QHN ，∴∠PMQ=∠QNH. 在△PMQ 与△HNQ 中，∵∠MQP=∠NQH=90°，MQ=NQ ，∠PMQ=∠QNH ， ∴△PMQ ≌△HNQ. ∴HN=PM.例2 已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E=∠B ，DE=CB. 求证：AD=AC.证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD=∠BAE=90°.∴∠CAD＋∠BAD=∠BAE＋∠BAD.∴∠CAB=∠DAE.在△ABC与△AED中，∵∠CAB=∠DAE，∠B=∠E，CB=DE，∴△ABC≌△AED.∴AD=AC.课堂小结1．本节内容是已知两个角和一条边对应相等得全等，三个角对应相等不能确定全等．2．三角形全等的判定和全等三角形的性质常在一起进行综合应用，有时还得反复用两次或两次以上，从而达到解决问题的目的．第4课时用“HL”判定直角三角形全等学习目标：1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．预习：阅读教材，完成预习内容．知识探究1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是____________．2．直角三角形全等的判定方法有________(用简写)．自学反馈1．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D=∠A=90°，EB=FC，AB=DF.则△ABC≌________，全等的根据是________．2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．①一个锐角和这个角的对边对应相等；( )②一个锐角和这个角的邻边对应相等；( )③一个锐角和斜边对应相等；( )④两直角边对应相等；( )⑤一条直角边和斜边对应相等．( )3．下列说法正确的是( )A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等点拨：直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．活动1小组讨论例1.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC.求证：(1)AB=DC；(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD与Rt△CDB中，∵AD=CB，BD=DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．∴AB=DC.(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证)，∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.例2.已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD=BC.证明：连接CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°.在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵AC=BD，DC=CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD.∴AD=BC.课堂小结1．“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，以及用HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等．课堂小练一、选择题1.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D2.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF3.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下面判断中错误的是( )A.若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对5.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC6.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（）A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以7.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC8.如图,已知△ABC的三个元素,则甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是（）A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙9.如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是（）A．BC=B′C′B．∠A=∠A′C．AC=A′C′D．∠C=∠C′10.如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C二、填空题11.如图,∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是．（将你认为正确的结论的序号都填上）12.如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件：①AB=CD；②BE∥DF；③∠B=∠D；④BE=DF.其中不一定能使△ABE≌△CDF的是（填序号）13.在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E，在BC上，BE=BF，连结AE，EF和CF，此时，若∠CAE=30°，那么∠EFC= ．14.如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）15.图示，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是（填上适当的一个条件即可）参考答案1.C2.C3.B4.C.5.C.6.B7.B8.B9.C10.B11.答案为：①②③．12.答案为：④.13.答案为：30°．14.答案为：BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF．15.答案为：BC=BD。
12-2三角形全等的判定(SAS)同步练习-八年级数学人教版上册
12.2三角形全等的判定（SAS）一、单选题1．如图，已知ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙2．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，BC＝DF，△A＝△D B．AB＝BC，DE＝EF，△B＝△EC．AB＝EF，AC＝DF，△A＝△D D．BC＝EF，AC＝DF，△C＝△F∠=∠，由这三个条件，就可得出△ABE△△DBC，依据3．如图，已知AB＝DB，BC＝BE，12的判定方法是（）A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边4．如图，要测量池塘两端M，N的距离，在池塘外找一点O，连接MO，NO并分别延长，使QO=MO，PO=NO，连接PQ．则只需测出线段PQ的长度，即可得池塘两端M，N的距离，则证明两个三角形全等的理由是( )A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS≌，则还需加上条件（）5．如图，AC、BD相交于O，△1=△2，若用“SAS”说明ACB BDAA ．AD ＝BCB ．△D ＝△C C ．OA ＝ABD ．BD ＝AC6．如图，AC DF =，12∠=∠，如果根据“SAS ”判定ABC DEF △≌△，那么需要补充的条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DE =C ．B E ∠=∠D ．BF CE = 7．如图，将两根钢条AA ′、BB ′的中点O 连在一起，使AA ′、BB ′能绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A ′B ′的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB △△OA ′B ′的理由是（ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS8．嘉淇发现有两个结论：在111A B C △与222A B C △中，△若1122AB A B =，1122AC A C =，1122B C B C =，则111222A BC A B C △△≌；△若12A A ∠=∠，1122AC A C =，1122B C B C =，则111222A BC A B C △△≌．对于上述的两个结论，下列说法正确的是（ ） A ．△，△都错误 B ．△，△都正确 C ．△正确，△错误 D ．△错误，△正确 9．如图，AC△CB ，DB△CB ，垂足分别为C ，B ，AC DB =，则可以直接判定△ACB△△DBC 的根据是( )A ．HLB ．SASC ．AASD ．ASA10．如图，已知AD ＝AE ，AF 是公共边，用“SAS ”证明△ADF 和△AEF 全等，给出条件正确的是（ ）A ．AF 平分△BACB ．DF ＝EFC ．BF ＝CFD ．△B ＝△C二、填空题 11．如图所示，AB = AD ，△1 = △2，添加一个适当的条件，使ABC ADE △≌△，则需要添加的条件是_________．12．如图，已知AB△CD ，AD△BC ，E.F 是BD 上两点，且BF ＝DE ，则图中共有_____对全等三角形.13．如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，只带上第1块，依据是________方法判定全等14．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．15．如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 是BC 上的一点，过点B 作//BE AC ，使BE CD =，连接CE 与AD 相交于点G ，则AD 与CE 的关系是_______________．三、解答题16．已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，,AD AE BD CE ==．求证：B C ∠=∠．17．如图，如图，E F 、是四边形ABCD 的对角线BD 上的两点，//,AE CF AE CF =，BE DF =．求证：ADE CBF ≌．18．已知：如图，在ABC 和DEF 中，点B 、E 、C 、F 四点在一条直线上，且,,BE CF AB DE B DEF ==∠=∠．求证：ABC DEF △≌△．19．如图，点A 、B 分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A 、B 间的距离，但不方便，小明先在地上取一个可以直接到达点A 和点B 的点C ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ，连接DE ．（1）求证：△ACB △△DCE ；（2）测出DE 的长即为点A 、B 间的距离，你能说明其中的道理吗？20．已知：如图，//AB CD ，AB DC =，BE CF =．求证：AF DE =．21．如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，且FD ED =，BF CD =，FDE B ∠=∠，那么B 和C ∠的大小关系如何？为什么？22．如图，在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=，点D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE BD =，连接AE ，DE ，DC ．（1）证明：ABE CBD ≅△△；（2）若30CAE ∠=，求BDC ∠的度数．23．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，△BAE ＝△DAC ．求证：△C ＝△E ．参考答案1．B解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC 不全等；图乙符合SAS 定理，即图乙和△ABC 全等；图丙符合AAS 定理，即图丙和△ABC 全等；故选：B ．2．D解：A ．BC 边和EF 边是对应边，所以所给条件证明不出ABC DEF ≅．故A 不符合题意．B ．边AB 与BC 都在ABC 中，边DE 与EF 都在DEF 中，所给条件不是对应边相等，所以证明不出ABC DEF ≅，故B 不符合题意．C ．AB 边和DE 边是对应边，所以所给条件证明不出ABC DEF ≅，故C 不符合题意．D ．相邻两对应边分别相等且所夹的角相等，可以利用SAS 证明ABC DEF ≅，故D 符合题意．故选：D ．3．B解：△△1=△2，△△1+△EBD =△2+△EBD ，△△ABE =△DBC ，在△ABE 和△DBC 中，BA BD ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DBC （SAS ），故选：B ．4．A解：在△PQO 和△NMO 中，QO MO POQ NOM PO NO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△PQO △△NMO （SAS ），故选：A ．解：ACB BDA △≌△已具有△1=△2，AB=BA ，用“SAS”证ACB BDA △≌△需添加夹△1，△2的边BD=AC ，A. AD ＝BC 与已知构成边边角，不能判断两个三角形全等，故本选项错误；B. △D ＝△C 与已知构成AAS 判定两个三角形全等，不符合题意，故本选项错误；C. OA ＝AB 能推出三角形OAB 为等边三角形，证ACB BDA △≌△缺条件，故本选项错误；D. BD ＝AC 与已知构成SAS 证ACB BDA △≌△，故本选项正确．故选择：D ．6．D解：需要补充的条件是BF =CE ，△BF +FC =CE +CF ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABC △△DEF （SAS ）．故选：D ．7．A解：△O 是AA ′、BB ′的中点，△AO ＝A ′O ，BO ＝B ′O ，在△OAB 和△OA ′B ′中AO A O AOA BOB BO B O ''''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△OAB △△OA ′B ′（SAS ），故选：A ．8．C解：△符合“SSS”三角形全等的判定法则，故正确；△为“ASS”，不符合三角形全等的判定法则，故错误；故选：C ．解：△AC△CB，DB△CB，△△ACB=△DBC=90°，=，CB=BC，△AC DB△△ACB△△DBC（SAS），故选B．10．A解：△AD=AE，AF为公共边，当所给条件为AF平分△BAC，△△BAF=△CAF，△△ADF△△AEF（SAS），故选：A．∠=∠11．B D∠=∠，理由如下：解：添加：B D1=2∠∠，∴∠=∠，BAC DAE,,=∠=∠AB AD B D∴≌.ABC ADE∠=∠．故答案为：B D12．3解：△AB△CD，AD△BC，△△ABD=△CDB，△ADB=△CBD，又BD=DB，△△ABD△△CDB，△AB=CD，AD=BC.又△BF=DE，△BE=DF，△AB=CD，△ABD=△CDB，BE=DF，△△ABE△△CDF，△AD=BC ，△ADB=△CBD ，BF ＝DE ，△△ADE△△CBF.综上，共有3对全等三角形．故答案为3．13．SAS解：为了方便起见，需带上第1块，其理由是：利用SAS 得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块．故答案为：SAS ．14．AD=BD解：由图可知，只能是AD=BD ，才能组成“SAS”，故答案为：AD=BD.15．AD △CE ，AD =CE解：由题意可知：△△ACB =90°，BE △AC ，△△ACB =△EBC =90°，在Rt △ACD 和Rt △CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△CBE （SAS ），△△CAD =△BCE ，AD =CE ，△△CAD +△CDA =90°，△△CDA +△BCE =90°，△△CGD =180°-（△CDA +△BCE ）=90°，△AD △CE ，综上：AD △CE ，AD =CE ，故答案为：AD △CE ，AD =CE ．16．证明见解析证明：△AD ＝AE ，BD ＝CE ，△AB ＝AC ，在△ABE 和△ACD 中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△ACD （SAS ），△△B =△C ．17．见解析．证明：//AE CFAED CFB ∴∠=∠△DF BE =∴+=+DF EF BE EF ，即DE BF =在ADE 和CBF 中AE CF AED CFB DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ADE CBF SAS ≌18．见解析证明：△BE CF =△BC EF =在ABC 与DEF 中AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ABC DEF SAS ≌19．（1）见解析；（2）全等三角形的性质解：（1）在△ABC 和△DEC 中，AC DC ACB DCE BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACB △△DCE （SAS ）；（2）△△ACB △△DCE ，△AB ＝DE ，△DE 的长即为点A 、B 间的距离．20．证明见解析解：//,AB CD,B C ∴∠=∠,BE CF =,BF CE ∴=在ABF 与DCE 中，AB CD B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(),ABF DCE SAS ∴≌.AF DE ∴=21．见解析解：△△FDC =△B +△DFB （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即△FDE +△EDC =△B +△DF B ．又△△FDE =△B ，△△DFB =△EDC ，在△DFB 和△EDC 中，FD ED DFB EDC BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DFB △△EDC （SAS ），△△B =△C ．22．（1）见解析；（2）75°解：()1证明：△90ABC ∠=，△90DBC ∠=，在ABE △和CBD 中，．AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ABE CBD SAS ≅△△．()2△AB BC =，90ABC ∠=， △45BCA ∠=，△304575AEB CAE BCA ∠=∠+∠=+=． △ABE CBD ≅△△，△75BDC AEB ∠=∠=．23．见解析解：△△BAE =△DAC ，△△BAE ＋△EAC =△DAC ＋△EAC ， 即：△BAC =△DAE ．在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BAC △△DAE ．△△C =△E ．。
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第2课时用“SAS”证三角形全等
基础题
知识点1 用“SAS”判定两个三角形全等
1．下图中全等的三角形有（）
图1 图2 图3 图4
A．图1和图2 B．图2和图3
C．图2和图4 D．图1和图3
2．如图所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是（）
A．∠B＝∠C
B．∠D＝∠E
C．∠DAE＝∠BAC
D．∠CAD＝∠DAC
3．已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，求证：△AOD≌△BOC.
4．已知：如图，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.
5．如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.求证：△ABC≌△CED.
知识点2 利用“SAS”判定三角形全等证明线段或角相等
6．(武汉中考)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：DC∥AB.
7．(云南中考)如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：AC＝BD.
知识点3 利用“SAS”判定三角形全等来解决实际问题
8．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于内槽宽A′B′，那么判定△AOB≌△A′OB′的理由是（）
A．边角边 B．角边角
C．边边边 D．角角边
9．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是____________________________________．
中档题
10．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是（） A．BD＝CE B．∠ABD＝∠ACE
C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE
11．(陕西中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（） A．1对B．2对
C．3对D．4对
12．如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为________．
13．如图所示，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1 km，DC＝1 km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3 km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE＝1.2 km，BF＝0.7 km，则建造的斜拉桥长至少有________km.
14．已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠D.
15．如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)∠CBF＝∠FEC.
综合题
16．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF＝DE，求证：
(1)BD＝FC；
(2)AB∥CF.
参考答案
1．D 2.C
3.证明：在△AOD和△BOC中，
⎩⎪⎨⎪
⎧OA ＝OB ，∠O ＝∠O（公共角），OD ＝OC ，
∴△AOD ≌△BOC(SAS)． 4.证明：∵OC 平分∠AOB， ∴∠AOC ＝∠BOC. 在△AOC 和△BOC 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧OA ＝OB ，∠AOC ＝∠BOC（已证），OC ＝OC （公共边）， ∴△AOC ≌△BOC(SAS)． 5.证明：∵AB∥ED， ∴∠B ＝∠E.
在△ABC 和△CED 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CE ，∠B ＝∠E，BC ＝ED ，
∴△ABC ≌△CED(SAS)．
6.证明：∵在△ODC 和△OBA 中，⎩⎪⎨⎪
⎧OD ＝OB ，∠DOC ＝∠BOA，OC ＝OA ，
∴△ODC ≌△OBA(SAS)．
∴∠C＝∠A(或∠D＝∠B)． ∴DC∥AB.
7.证明：在△ADB 和△BCA 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA，AB ＝BA ，
∴△ADB ≌△BCA(SAS)．
∴AC＝BD.
8.A 9.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 10.B 11.C 12.30° 13.1.1 14.∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，即∠BAC＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE，AC ＝AE ，
∴△ABC ≌△ADE(SAS)．
∴∠B＝∠D.
15.证明：(1)∵AB∥DE， 16.∴∠A ＝∠D. 又∵AF＝CD ， ∴AF ＋FC ＝CD ＋FC .∴AC＝DF. ∵AB＝DE ，
∴△ABC ≌△DEF(SAS)．
(2)∵△ABC≌△DEF， ∴BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE. ∵FC＝CF ，
∴△FBC ≌△CEF(SAS)． ∴∠CBF＝∠FEC.
16.证明：(1)∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.
在△ADE 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AE ＝CE ，∠AED ＝∠CEF，DE ＝FE ，
∴△ADE ≌△CFE(SAS)．
∴AD＝CF.
∵D 是AB 的中点， ∴AD ＝BD. ∴BD＝FC.
(2)由(1)知△ADE≌△CFE， ∴∠A ＝∠ECF. ∴AB∥CF.。