2017江苏省高等数学竞赛本1-4参考答案
江苏省年专转本高等数学试卷及解答教学内容
x x
▲
． a 1
lim( x 1)x lim(1 1 )x e1 ， a exdx ex a ea ，所以 a 1．
x x
x
x
8．设函数 y f (x) 的微分为 dy e2xdx ，则 f (x)
▲
． f (x) 2e2x
f (x) e2x ， f (x) 2e2x ．
18．
求通过点 (1, 1 , 1) 且与直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
及直线
4 x
x 3y 2z yz5
1 0
0
都垂直的直线方程．
解
依题意直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
的方向向量
s1
(1,
2,
1)
，直线
4x 3y 2z
x
y
z
5
1 0
0
的方向向量
i jk
i jk
s2
4
3
2
(5, 2, 7)
解 设 u y2 ， v xy ，则 z yf (u ，v) ，于是有
z x
y
f x
y
f v
v x
y2
f2 ，
2z xy
2 yf2
y2
f2 y
2 yf2
y2 ( f2 u
u y
f2 v
v ) y
ux f
vy
2 yf2 y2 (2 yf21 xf22 ) 2 yf2 2 y3 f21 xy2 f22 ．
9．设
y
y(x)
是由参数方程
x y
t3 3t 1 sin
1 t
确定的函数，则
江苏省高中数学竞赛预赛试题
江苏省⾼中数学竞赛预赛试题江苏省⾼中数学竞赛预赛试题本试卷分第⼀卷（选择题）和第⼆卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共36分）⼀．选择题：本⼤题共6⼩题，每⼩题6分，共36分。
在每⼩题给出的4个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1．函数y=f (x ) 的图像按a →=(?4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x +4)+2，那么y=f (x ) 的解析式为( )A ． y=sin xB ． y=cos xC ．y=sin x +2D ．y=cos x +4解: y=sin[(x +π4)+π4], 即 y=cos x .故选B ．2．如果⼆次⽅程x 2－px －q=0 (p ，q ∈N*)的正根⼩于3，那么这样的⼆次⽅程有 ( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解：由?=p 2+4q >0，－q <0，知⽅程的根⼀正⼀负．设f (x )= x 2－px －q ，则f (3)= 32－3p －q ＞0，即3p +q ＜9.由p ，q ∈N*，所以p=1，q ≤5或p=2，q ≤2. 于是共有7组(p ，q )符合题意．故选C ． 3．设a >b >0，那么a 2+1b (a －b )的最⼩值是（）A ． 2B ． 3C ．4D ． 5解：由a >b >0，可知 02≥4．故选C ．4．设四棱锥P －ABCD 的底⾯不是平⾏四边形，⽤平⾯α去截此四棱锥，使得截⾯四边形是平⾏四边形，则这样的平⾯α( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有⽆数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧⾯的交线为m ，n ，直线m 、n 确定了平⾯β，作与β平⾏的平⾯α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平⾏四边形．这样的平⾯α有⽆数多个．故选D ．5．设数列{a n }：a 0=2, a 1=16，a n +2=16 a n +1－63 a n (n ∈N )，则a 2005被64除的余数为( )A ． 0B ．2C ．16D ．48解：数列{ a n }模64周期地为2，16，2，－16，⼜2005被4除余1，故选C ． 6．⼀条⾛廊宽2m 、长8m ，⽤6种颜⾊的1?1m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单⾊的，每种颜⾊的地砖都⾜够多)，要求相邻的两块地砖颜⾊不同，那么所有的不同拼⾊⽅案种数有( )A ．308B ．30?257C ．30?207D ．30?217 解：铺第⼀列(两块地砖)有30种⽅法；其次铺第⼆列，设第⼀列的两格铺了A 、B 两⾊(如图)，那么，第⼆列的上格不能铺A ⾊，若铺B⾊，则有(6－1)种铺法；若不铺B ⾊，则有(6－2)2种⽅法，于是第⼆列上共有AB21种铺法．同理，若前⼀列铺好，则其后⼀列都有21种铺法. 因此，共有30?217种铺法．故选D ．⼆．填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2π得→OB ，且2→OA +→OB =（7，9），则向量→OB= ．解：设→OA =（m ，n ），则→OB =（－n ，m ），所以 2→OA +→OB =（2m －n ，2n +m ）=（7，9），即 ?2m －n=7，m +2n=9．得 ?m=235，n=115．因此，→OA =(235，115），→OB =（－115，235)．故填（－115，235)．8．设⽆穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等⽐中项，则该数列的通项公式为．解：由题意知a n +22=2S n ，即S n =(a n +2)28．①由①式，a 1+22=2a 1，得a 1=2．⼜由①式得 S n －1=(a n －1+2)28(n ≥2) ②则有 a n =S n －S n －1=(a n +2)28－(a n －1+2)28 (n ≥2)，整理得 (a n +a n －1)(a n －a n －1－4)=0．⼜因为a n >0，a n －1>0，所以a n－a n－1=4(n≥2)，a1=2.因此, 数列{a n}是以2为⾸项，4为公差的等差数列，其通项公式为a n=2+4(n －1)，故填a n=4n－2 (n∈N*)．9．函数y=|cos x|+|cos2x| (x∈R) 的最⼩值是．解：令t=|cos x|∈[0，1]，则y=t+|2t2－1|．22≤t≤1时，y=2t2+t－1=2(t+ 14)2－98，得22≤y≤2．当0≤t<22时，y=－2t2+t+1=－2(t－14)2+98，得22≤y≤98．⼜y可取到22．故填2210．在长⽅体中ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，点E、F、G分别是棱AA1、C1D1与BC的中点，那么四⾯体B1－EFG的体积是．解：在D1A1的延长线上取⼀点H，使AH=14，易证，HE∥B1G，HE∥平⾯B1FG．故V B1－EFG=V E－B1FG=V H－B1FG=V G－B1FH．⽽S?B1EF =98，G到平⾯B1FH的距离为1．故填V B1－EFG=38．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都⾄少出现1次，这样的5位数共有个．解：在5位数中，若1只出现1次，有C51(C41+C42+C43)=70个；若1只出现2次，有C52(C31+C32)=60个；若1只出现3次，有C53C21=20个．所以这样的五位数共有150个．故填150．12．已知平⾯上两个点集：M={(x，y)| |x+y+1|≥2(x2+y2)，x，y∈R}，N={(x，y)| |x－a|+|y－1|≤1，x，y∈R}，若M∩N≠?，则a的取值范围为．解：由题意知M是以原点为焦点，直线x+y+1=0为准线的抛物线及其凹⼝内侧的点集，N是以(a，1)为中⼼的正⽅形及其内部的点集(如图)．考察M∩N=?时a的取值范围：令y=1, 代⼊⽅程|x+y+1|=2(x2+y2) 得x2－4x－2=0，解得x=2±6．所以，当a<2－6－1=1－6时M∩N=?．令y=2，代⼊⽅程|x+y+1|=2(x2+y2)得x2－6x－1=0，解得x=3±10．所以，当a>3+10时，M∩M=?．于是，当1－6≤a≤3+10，即a∈[1－6，3+10]时，M∩N≠?．故填[1－6，3+10]．三、解答题：13．已知点M是?ABC的中线AD上的⼀点，直线BM交边AC于点N，且AB 是?NBC的外接圆的切线，设BCBN=λ，试求BMMN（⽤λ表⽰）．(15分)证明：在?BCN中，由Menelaus定理得BM MN ·NAAC·CDDB=1．因为BD=DC，所以BM MN =ACAN．………………………6分由∠ABN=∠ACB，知?ABN ∽?ACB，则ABCDNMAB AN =AC AB =CB BN．所以，AB AN ·AC AB =? ????CB BN 2，即AC AN =BC 2BN2．…………………………………………………12分因此，BM MN =BC 2BN2．⼜BC BN=λ，故BM MN=λ2．………………………………………………………………15分14．求所有使得下列命题成⽴的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)解：当n=2时，由x 1+x 2=0，得x 1x 2+x 2x 1=－2x 12≤0．故n =2时命题成⽴；……3分当n=3时，由x 1+x 2+x 3=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=(x 1+x 2+x 3)2－(x 21 +x 22+x 23)2=－(x 21+x 22+x 23)2≤0．故n=3时命题成⽴．……………………………………………………………………………………6分当n=4时，由x 1+x 2+x 3+x 4=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 4+x 4x 1=(x 1+x 3)(x 2+x 4)=－(x 2+x 4)2≤0．故n=4时，命题成⽴．………………………………………………………………9分当n ≥5时，令x 1=x 2=1，x 4=－2，x 3=x 5=…=x n =0，则i=1∑n x i =0，但i=1∑nx i x i +1=1>0，故n ≥5时命题不成⽴．综上可知，使命题成⽴的n=2，3，4．……………………………………………15分15．设椭圆的⽅程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三⾓形，求离⼼率e 的取值范围，并⽤e 表⽰直线PQ 的斜率．(24分)解：如图，设线段PQ 中点M ，过点P 、M 、Q 分别作准线的垂线，垂⾜分别为点P ?，M ?，Q ?，则|MM ?|=12(|PP ?|+|QQ ?|)=12(|PF |e+|QF |e )=|PQ |2e．…………………………6分假设存在点R ，则|RM |=32|PQ |，且|MM ?|＜|RM | ，即|PQ |2e ＜32|PQ |，所以， e ＞33．………………………………12分于是，cos ∠RMM ?=|MM ?||RM |=12e ?13e，cot ∠RMM ?=13e 2－1．在图中，|PF| < |QF|，且有k PQ= tan∠QFx= tan∠FMM?=cot∠RMM?=13e2－1．………………………………………………18分当e>33时，过点F作斜率为13e2－1的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述过程知，|RM|=32|PQ|．故?PQR为正三⾓形．……………………………………………21分根据对称性，当|FP| > |FQ|时，有k PQ=－13e2－1．所以，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离⼼率e的范围是(33，1)，且直线PQ的斜率为±13e2－1．…………………………………………………………………………………………24分16．⑴若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正⽅体的体积之和等于2005，求n 的最⼩值，并说明理由；( 12分)⑵若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正⽅体的体积之和等于，求n的最⼩值，并说明理由．( 24分)解：⑴因为 2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，故n=4存在，n min≤4．………6分103=1000，113=1331，123=1728，133=2169，123<2005<133，则n≠1．若n=2，因103+103<2005，则最⼤⽴⽅体的棱长只能为11或12，2005－113=674，2005－123=277，674与277均不是完全⽴⽅数，故n=2不可能；若n=3，设此三个⽴⽅体中最⼤⼀个的棱长为x，由3x3≥2005＞3×83，知最⼤⽴⽅体的棱长只能为9、10、11或12，⽽2005<3?93， 2005－93－93=547，2005－93－83－83>0，故x≠9．2005－103－103=5，2005－103－93=276，2005－103－83=493，2005－103－73－73>0．故x≠10；2005－113－93<0，2005－113－83=162，2005－113－73=331，2005－113－63－63>0，故x≠11；2005－123－73<0，2005－123－63=61，2005－123－53－53>0，故x≠12．所以n=3不可能．综上所述，n min=4．…………………………………………………………………………12分⑵设n个⽴⽅体的棱长分别是x1，x2，…，x n，则x31+x32+…+x3n=．①由2002≡4(mod 9)，43≡1(mod 9)，得≡42005≡4668?3+1≡(43)668?4≡4(mod 9)．②⼜当x∈N*时，x3≡0，±1(mod 9)，所以x31≡⁄4(mod 9)，x31+x32≡⁄4(mod 9)，x31+x32+x33≡⁄4(mod 9)．③①式模9，并由②、③式可知n≥4．…………………………………………………18分⽽2002=103+103+13+13，则=?(103+103+13+13)=(2002668)3?(103+103+13+13)=(2002668?10)3+(2002668?10)3+(2002668)3+(2002668)3．故n=4为所求的最⼩值．………………………………………………………………24分。
江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。
10.=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分） 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。
四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
36t2(t2＋12) 1 ， 不妨设 k＞0， 令 t＝k＋ ，则 t≥2，可化得 PQ2＝ k (3t2＋4)2 6t t2＋12 ． 即 PQ＝ 3t2＋4 设 B(x0，y0)，则切点弦 PQ 的方程是 x0x＋3y0y＝3． k2－1 1 x－ 上，所以 y0＝－2． 又 P，Q 在 l：y＝ 2 4k 3(k2－1) ． 从而 x0＝ 2k k2－1 2 3( ) ＋12 k 3t2 所以 B 到 PQ 的距离 d＝ ＝ ． 2 k －1 2 2 t2＋12 2 ( ) ＋16 k 6t t2＋12 1 9t3 1 3t2 因此△BPQ 的面积 S＝ ×d×PQ＝ × × ＝ ． 2 2 2 t2＋12 2(3t2＋4) 3t2＋4 ……………………………… 16 分 1 1 9 令 u＝ ，则 0＜u≤ ，化得 S＝ ． t 2 2(4u3＋3u) 1 当 0＜u≤ 时，4u3＋3u 递增． 2 9 1 所以 0＜4u3＋3u≤2，即 S≥ ，当且仅当 u＝ ，即 t＝2，k＝1 时，等号成立． 4 2 9 ． 故△BPQ 的面积 S 的取值范围是 [ ，＋∞） 4 四、解答题（本题满分 20 分） 1 1 设函数 fn(x)＝1＋x＋ x2＋…＋ xn． 2! n! （1）求证：当 x∈(0，＋∞) ，n∈N* 时，ex ＞ fn(x)； （2）设 x＞0，n∈N*．若存在 y∈R 使得 ex ＝ fn(x)＋ 解： （1）用数学归纳法证明如下： (i) 当 n＝1 时，令 f(x)＝ex－f1(x)＝ex－x－1，则 f ′(x)＝ex－1＞0，x∈(0，＋∞)恒成立， 所以 f(x)在区间(0，＋∞)为增函数． 又因为 f(0)＝0，所以 f(x)＞0，即 ex＞f1(x)． ……………………………… 5 分 1 xn+1ey，求证：0＜y＜x． (n+1)! ………………………… 20 分
2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
1 1 ＋ 的最小值． (x＋y)2 (x－y)2 ………………………… 4 分
1 1 1 1 1 )((x＋y)2＋(x－y)2) 2 ＋ 2 ＝ ( 2 ＋ 4 (x＋y) (x－y) (x＋y) (x－y)2
E E E E E
1 ≥ (1＋1)2 4
A A E
6k 6 ，y ＝1－ 2 ． k2＋3 Q k ＋3
y－yP x－xP (1＋3k2)(y＋1)－2 (1＋3k2)x＋6k 所以 直线 l： ＝ ，即 l： ＝ ． yQ－yP xQ－xP (1＋3k2)(yQ＋1)－2 (1＋3k2)xQ＋6k k2－1 1 化简得 l：y＝ x－ ． 2 4k 1 1 直线 l 纵截距是常数－ ，故直线 l 过定点(0，－ )． 2 2 ……………………… 8 分
(ii) 假设 n＝k 时，命题成立，即当 x∈(0，＋∞)时，ex＞fk(x)， 1 1 1 k+1 x )， 则 n＝k+1 时，令 g(x)＝ex－fk+1(x)＝ex－(1＋x＋ x2＋…＋ xk＋ 2! k! (k+1)! 1 1 所以 g(x)在区间(0， ＋∞)为增函数． 则 g′(x)＝ex－(1＋x＋ x2＋…＋ xk)＝ex－fk(x)＞0， 2! k! 又因为 g(0)＝0，所以 g(x)＞0，x∈(0，＋∞)恒成立，即 ex＞fk+1(x)，x∈(0，＋∞)． 所以 n＝k＋1 时，命题成立． 由(i)(ii)及归纳假设可知，∀n∈N*，当 x∈(0，＋∞)时，ex ＞ fn(x)． ……………………………… 10 分 1 n+1 y 1 n+1 x e ＞ fn(x)＋ x ， （2）由（1）可知 ex ＞fn＋1(x)，即 fn(x)＋ (n+1)! (n+1)! 所以 ey＞1，即 y＞0．下证：y＜x． 1 1 1 － 下面先用数学归纳法证明：当 x＞0，ex＜1＋x＋ x2＋…＋ xn 1＋ xnex，n∈N*． 2! n! (n－1)! (i) 当 n＝1 时，令 F(x)＝1+xex－ex，则 F′(x)＝xex＞0，x∈(0，＋∞)， 所以 F(x)在区间(0，＋∞)单调增． 又 F(0)＝0，故 F(x)＞0，即 ex＜1+xex． (ii) 假设 n＝k 时，命题成立， 1 1 1 － 即当 x∈(0，＋∞)时，ex＜1＋x＋ x2＋…＋ xk 1＋ xkex． 2! k ! (k－1)! 1 1 1 k+1 x x 则当 n＝k＋1 时，令 G(x)＝1＋x＋ x2＋…＋ xk＋ x e －e ， 2! k! (k+1)! 1 1 k+1 x x 1 k+1 x 1 x e －e ＞ x e ＞0， G′(x)＝1＋x＋ x2＋…＋ xkex＋ k! (k+1)! (k+1)! 2! 所以 G(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，又 G(0)＝0，故 G(x)＞0，即 1 1 1 k+1 x ex＜1＋x＋ x2＋…＋ xk＋ x e ，x∈(0，＋∞)． 2! k! (k+1)! 由(i)(ii)及归纳假设， 1 1 1 n+1 x 可知当 x∈(0，＋∞)时，ex＜1＋x＋ x2＋…＋ xn＋ x e ，对 n∈N*成立． 2! n! (n+1)! 1 1 1 n+1 y 1 1 1 n+1 x x e ＜1＋x＋ x2＋…＋ xn＋ x e， 所以 ex＝1＋x＋ x2＋…＋ xn＋ 2! n! (n+1)! 2! n! (n+1)! 从而 ey＜ex，即 y＜x．证毕． ……………………………… 20 分
2016江苏省高等数学竞赛题本科一级
2016江苏省高等数学竞赛题（本科一级）1. 设234()(1)(2)(3)(4),.(2).f x x x x x f ''=----试求2. 求极限0tan(tan )tan(tan(tan ))limtan tan(tan )tan(tan(tan ))x x x x x x →-⋅⋅3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到(1,3)B 的一段弧，试求曲线积分2(1).xy xy e xy dx e x dy Γ++⎰4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z ∏-+=，在直线2124x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩上求一点Q ，使得线段PQ 平行于平面∏，试写出点Q 的坐标.二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，作出说明.命题：若函数()f x 在0x =处连续，0(2)()lim ()x f x f x a a R x→-=∈，则()f x 在0x =处可导，且 (0)f a '=.三．设函数()f x 在区间[0,1]上二阶可导，(0)0,(1)1f f ==.求证：(0,1),()(1)()1f f ξξξξξξ'''∃∈++=+使得.四．求定积分220sin 1cos x x dx xπ+⎰.五．设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足： 2222(sin()2cos ,2cos )1()f xy x xy y x y o x y +-=++++试求曲面(,)z f x y =点(2,2)-处的切平面方程.六．求二重积分：22,{(,)01,01}Dx y xdxdy D x y y x x +-=≤≤-≤≤⎰⎰其中.七．设∑为球面2222,x y z z ++=试求曲面积分444333222()x y z x y z x y z x y z dS ∑++---+++---⎰⎰.八．已知级数2(1)ln n n n n λ∞=-∑，其中实数[0,1]λ∈，试对λ讨论该级数的绝对收敛，条件收敛与发散性.。
江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准
2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点 的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。
2017江苏省高等数学竞赛试题(本科四级)
(1) 求单调区间与极值;
4. (8 分) 已知 xn = ln2 (1 + n) + 2 ln(1 + n) − 2n, 试判别数列 {xn } 的单调性.
∫
5. (10 分) 设 n 为正整数,In =
0
π 2
sin 2nx dx, sin x (2) 试求定积分 I3 =
(1) 求 In − In−1 (n ≥ 2);
x →2
一
二
三
分
次积分的值. 2. (10 分) 判断下列命题是否成立? 若判断成立, 给出证明; 若判断不成立, 举一反例, 证明命题不成立. 命题 1. 若函数 f (x), g(x) 在 x = a 处皆不连续 (a ∈ R), 则 f (x) + g(x) 在 x = a 处不连续; 命题 2. 若函数 f (x), g(x) 在 x = a 处皆连续 (a ∈ R), 但不可导, 则 f (x) + g(x) 在 x = a 处不可导. 3. (13 分) 已知曲线 y = x2 , 2(1 − x) (2) 求凹凸区间; (3) 求渐近线; (4) 画出此曲线的简图.
2017 年江苏省普通高等学校第十四届
高等数学竞赛试题 (本科四级)
题号 得分 1. 解答下列各题 (每小题 5 分, 共 25 分). (1) (5 分 ×2) 求极限: ( 1 2 n ) + 2 +···+ 2 ; lim 2 n→∞ n + 1 n +2 n +n ( 1 2 n ) lim 2 ; + 2 + · · · + n→∞ n + 1 n + 22 n2 + n2 f (x) − x = 4, 试证 f (x) 在 x = 2 处可导, 并求 f ′ (2). x−2 ∫ 4 [x] (3) (5 分) 设 [x] 表示实数 x 的整数部分, 试求定积分 dx. 2 1 x √ ∫ 1 ∫ 1+√1−y2 2x − x2 , 1 ≤ x ≤ 2 交换二次积分 dy f (x)dx 的次序, 并求此二 (4) (5 分) 设 f (x) = 0 y x ,0 ≤ x ≤ 1 (2) (5 分) 已知函数 f (x) 在 x = 2 处连续, 且 lim