第2章-数学基础-网络10

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2、模运算
即 ① 用a (mod m)表示a被m除的余数， r=a(mod m)， a(mod m)= b(mod m)， 表示为a≡b(mod m) ② 求余运算a (mod m)是将a映射到集合{0,1，…， m-1}中，即用a (mod m)代替a。求余运算称为模运 算。
于是有：
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2.1.4同余与模运算
1、同余
定义2.1.7 设a、b是两个整数，m是一个正整数， 如果m|b-a，即b-a=km，则称a与b对模m同余， 记作 a≡b(mod m)。 （即a和b对m具有相同的余数。令a=k1m+r ， b=k2m+r
b-a=k1m+r-(k2m+r)=(k1-k2)m=km )
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2.1.2素数
定义2.1.4 整数p（>1）是素数（Prime Number），当且仅当p只有因子1和p，否则p为 合数。

例如： 7=1×7，7没有1和7以外的因数，因此7是 素数；
6=2×3，6有因数2和3，因此6是合数。
从此定义可知，正整数集合可分为三类：素数、 合数和1。


定义2.1.5 如果两个整数a和b有gcd(a,b)=1，则称 a与b互素。1与任何整数互素。
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2.1.4同余与模运算
定理2.1.7 同余性质 设a、b、c是整数，m是正整数，则有： （1）自反性，即a≡a(mod m)；
（2）对称性，即若a≡b(mod m) ， 则b≡a (mod m)； （3）传递性，即若a≡b(mod m)，且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
因此在Z16上，
11×13=143 (mod 16)=15。
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2.1.4 中国剩余定理
定义2.1.8 若a、b都是整数，且m不能整除a，则 称ax≡b (mod m)为模m的一次同余方程。 （1）若x0是满足ax≡b (mod m)的一个整数，即 ax0≡b (mod m)，则x0称为该同余方程的解。 （2）事实上，满足x≡x0 (mod m)的所有整数都 满足ax≡b (mod m)，因此同余方程的解通常写成 x≡x0 (mod m)。
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例：求gcd (1970，1066)=？ 【解】 用欧几里德算法的计算过程如下： 1970＝1×1066+904 1066＝1×904+162 904＝5×162+94 162＝ 1×94+68 94＝1×68+26 68＝2×26+16 26＝1×16+10 16＝1×10+6 10＝1×6+4 6＝ 1×4+2 4＝2×2+0
i 1
1
其中min{x,y}表示x，y中最小者；max{x,y}表示x， y中最大者。 例如： gcd(6，20)=2min{1,2}∙3min{1,0}∙5min{0,1}=21∙30∙50=2， lcm(6，20)= 2max{1,2}∙3max{1,0}∙5max{0,1}=22∙31∙51=60
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=173×1066-204×904 =173×1066-204×(1970-1×1066) =173×1066-204×1970+204×1066 =377×1066-204×1970 故：2=377×1066-204×1970 与定理2.1.5中ua+bv= gcd(a,b)相对应： 2 = 377×1066-204×1970 即 gcd(1970,1066) = 377×1066-204×1970 因此 a=1970，b=1066， u =-204 ，v=377 由此可见，gcd(a,b)可以以线性形式ua+bv表达。
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2.1.3 Eulid（欧几里德）算法
利用算术基本定理可以求得两个正整数的最大公 因子，但当两个正整数比较大时，求它们的标准 分解式非常困难，因此求其最大公因子也变得非 常困难，Eulid算法成为解决该问题的另一种简便 方法。 定理2.1.4 （带余数除法）设a、b∈ N，其中b>0， 则存在唯一的整数q和r，使得： a=qb+r 成立。 定理2.1.5 设a、b∈ N，则存在两个整数v、u，使 得： ua+bv= gcd(a,b)
X ≡ M1’M1b1+M2’M2b2+……+Mk’Mkbk(mod M)
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【例1】求解
x ≡ 1(mod2)
x ≡ 2(mod3)
x ≡ 3(mod5) 【解】由已知条件：
b1=1，b2=2，b3 =3，m1=2，m2=3，m3 =5
依中国剩余定理： M=m1m2m3=2×3×5=30 M1=M/m1=30/2=15， M2=M/m2=30/3=10， M3=M/m3=30/5=6


则 φ(m)= m(1-1/p1) (1-1/p2)… (1-1/pn)
例如m=6， 其标准分解形式为6=21×31
因此，φ(m)= φ(6)=6×(1-1/2) (1-1/3)=2。
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定理2.1.3 Euler定理（欧拉定理）若整数a和m互 素，则
a φ(m) ≡1 (mod m)

例如a=3，m=10
由定理2.1.2，10=21×51，因此 φ(m)= φ(10)=10×(1-1/2) (1-1/5)=4
代入定理2.1.3公式中有：
aφ(m)=34=81≡1 (mod 10) ≡1 (mod m)
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用算术基本定理求最大公因/倍数
依据算术基本定理，任何正整数可以分解成标准分 解形式，从而可方便地求出两个正整数的最大公因 数和最小公倍数。设a、b是两个正整数，且有标准 分解形式： a= p1e1p2e2……pnen ei∈N b= p1f1p2f2 ……pnfn f i∈ N max{ ei , fi} min{ ei , fi} 则 n n gcd(a,b)= p i ，lcm(a,b)= p i
第二章 数学基础
一. 基本要求与基本知识点 （1）掌握数论的有关基本定义和定理； （2）掌握熵和互信息的概念； （3）了解计算复杂性理论。 二. 教学重点与难点 （1）数论的有关基本定义和定理； （2）信息论的有关定义和定理; （3）NP-完全问题。

数论、信息论和算法复杂性理论是近代密码学的 理论基础，本章给出简单介绍。
82＝10×8+2
10＝ 5×2+0 因此gcd (666，1414) = 2
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进行回代： 2=82-10×8=82- (666-8×82)×8 =65×82-666×8 =65×(1414-666×2)-666×8 =65×1414-138×666 故：2=65×1414-138×666 与定理2.1.5中ua+bv= gcd(a,b)相对应： 2 = 65×1414-138×666 即 gcd(666, 1414) = 65×1414-138×666 因此 a=1414，b=666， u =65，v=-138 由此可见，gcd(a,b)可以以线性形式ua+bv表达。
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0≤r<b

定理2.1.6（Eulid算法）又称辗转除法，给定整数 a和b且 b>0，反复使用带余数除法，得等式如下： a=bq1+r1 0<r1<b
b=r1q2+r2
r1=r2q3+r3 …
0<r2<r1
0<r3<r2
rn-2=rn-1qn+rn
rn-1=rnqn+1+rn+1
0<rn<rn-1
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下面定义模m上的算术运算。
Zm是一个集合{0，1，…，m-1}，其上有两种运算+ 和×。在Zm上的+和×类似于实数域上的加法和乘法， 但要将结果映射到集合{0,1，…，m-1}上。 例：在Z16上做算术运算11×13

（1）先在实数域上做运算11×13=143 =8×16+15；
（2）将结果143映射到集合{0,1，…，15}上，即用 143 (mod 16)=15代替143，即进行模运算。
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定理2.1.1 （算术基本定理）任何一个整数m （>1） ，都存在唯一的因数分解形式： m=p1e1p2e2……pnen 其中ei ∈N，pi均为素数且p1<p2<……<pn，又称 为m的标准分解形式。 例如： 6=21×31×50， 20=22×3 0×51， 100=22×30×52
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定义2.1.6 Euler函数（欧拉函数）是定义在正整 数上的函数，它在正整数m的值等于1，2，...， i，...，m-1中与m互素的数的个数，记作φ(m)。 例如m=6，{1，2，3，4，5}中与m互素的数为{1， 5}，则有： φ(m)= φ(6)=2 定理2.1.2 设正整数m的标准分解形式为： m=p1e1p2e2……pnen
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2.1数论基础
数论是一个用数学方法研究整数性质的古 老的数学分支，是近代密码学的重要理论 基础之一。
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2.1.1 因子
约定：字母N表示全体自然数集合，Z表示全体 整数集合，即 N={0，1，2，∙∙∙∙∙∙}
Z={∙∙∙∙∙∙，-2，-1，0，1，2，∙∙∙∙∙∙}
定义2.1.1 设a, b ∈Z，a≠0，k∈Z，使得b = ka，则称a整除b，并称a是b的因子或者约数， b是a的倍数，记为a | b。 定义2.1.2 设a, b, c∈Z，a，b不全为0，如果c | a且c | b，则称c为a和b的公因子。特别地， 把a和b的所有公因子中最大的，称为a和b的最 大公因子（Greatest Common Divisors）， 记为gcd ( a, b) 或者 (a, b)。