北师大版2020年春七年级数学下册 全等三角形基本模型上 学案(无答案)
北师大版七年级数学下册第四章三角形常见解题模型(无答案)
常见解题模型非三角形问题中构造全等三角形解题方法模型总结：若四边形中有两对邻边相等，常连接这两对邻边的交点，构造全等三角形解题。
1．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．2．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC．（1）∠B与∠D相等吗？请说明理由；（2）求证：EC＝FC．一线三等角模型3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1＝∠B，AD＝DE，求证：△ADB≌△DEC．三垂直模型方法模型总结：在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等，易证两直角三角形全等，常见的模型如下：4．如图，已知AB⊥BC，AE⊥BE，CD⊥BE，垂足分别为B、E、D，AB＝BC．求证：BE＝CD．5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD 的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE；（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．倍长中线法6．在△ABC中，AD为中线，试说明AD<（AB+AC）．7．如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD＝∠BDA，求证：AC＝2AE．8．如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．截长补短法9．小明在做题时遇到了下面的一个问题：如图，在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，P在AD上且为A与D之间的任一点，判断PB+AC与AB+PC 的大小关系．小明思考了很长时间都没有思路，便求助了老师．老师给了他一个提示：在BD上取一点E，使得DE＝DC，再根据对称图形的特点就可以将AC、PC两条线段的位置转移了．小明根据老师的提示，接着又连接了AE和PE，便建立了证明思路．请你帮小明同学写出PB+AC与AB+PC的大小关系的结论，并完成证明步骤．10．已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°，求证：AE＝AD+BE．解法一（截长法）：如图，在EA上取点F，使EF=BE,连接CF 。
2020北师大版七年级数学下册：2_图形的全等_教案1
第三章三角形2 图形的全等一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习并认识了一些图形，大多是通过直观感知、操作确认得到的，此部分的学习让学生通过观察，对图形全等有一个感性的认识。
作为本章第二节课，教科书紧紧抓住学习内容与生活的联系，从学生熟悉的、感兴趣的国旗等这些实物图片与学生熟悉的几何图片的大小、形状切入课题来研究图形的全等，使学生对图形全等有一个感性的认识，知识容量、思维难度不是很大，同时以学生感兴趣的教学活动为主线，从而促进了知识和思维的发展。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些认识图形的活动。
解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历观察图形的活动，具有了一定的图形分析能力，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书通过实例让学生理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等，及全等三角形的有关性质。
日常生活中，学生接触图形全等的例子很多，如数学课本的封面、光盘的表面、名片等，教学中要充分让学生列举生活中的例子，并试着用一个名词概括这些例子，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，体验数学术语表达的精练、简洁。
为此，本节课的教学目标是：1、知识与技能：借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解图形全等的意义和全等三角形的定义，了解图形全等的特征和全等三角形的性质。
2、过程与方法：经历“我实践，我发现” ，“几何常识我知道”，“实践问题我创造”的教学活动由此“感悟图形的全等——应用图形的全等——创造图形的全等”，带动知识发生、发展的全过程。
3、情感与态度：学生观察生活中变化的图片信息，并愿意谈论图形的特征，在实践反思中敢于发表自己的观点，树立实事求是的科学态度。
其次学生积极参与图形全等的探究过程，从中体味合作与成功的快乐，建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值。
【最新】北师大版七年级数学下册第四章《三角形全等的判定及应用》导学案
新北师大版七年级数学下册第四章《三角形全等的判定及应用》导学案学习内容：三角形全等的判定及应用教学过程（收获）（三），应用1、已知AB⊥AC,AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，[来源:]求证：△DAC≌△EAB.学习目标：1、通过复习与小结，对本单元基本概念进行巩固提高，使本单元的知识条理化、系统化。
2、通过基本图形变换，总结常用的证明方法，提高学生运用变换思想、分析探索解题思路的能力。
[来源学科网]重点及难点：掌握基本图形结构，灵活运用各种基本图形来解决全等三角形的证明。
灵活选用解题方法，提高数学思维能力。
教学过程（二）、选择题（）1、下列条件能判断△ABC和△DEF全等的是A）、AB=DE，AC=DF，∠B=∠EB）、∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EFC）、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DED）、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D（）2、在△ABC和△DEF中，如果∠C=∠D，∠B=∠E，要证这两个三角形全等，还需要的条件是A）、AB=ED B）、AB=FD C）、AC=DF D）、∠A=∠F （）3、在△ABC和△A’B’C’中，A B=A’B’，AC=A’C’，要证△ABC≌△A’B’C’，有以下四种思路证明:①BC=B’C’；②∠A=∠A’；③∠B=∠B’；④∠C=∠C’，其中正确的思路有A）、①②③④B）、②③④C）、①②D）、③④[来源学。
科。
网Z。
X。
X。
K]2 如图：BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。
求证：AB=AC。
3、如图：A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。
求证：△ACF≌△BDE[来源学科网][来源学_科_网]第 1 页第 2 页B CAFEDA BCEFD。
北师大版七年级下册 4.2 图形的全等 学案(无答案)
第四章三角形4.2 图形的全等教学目标：1、掌握全等图形的概念，能判断简单图形的全等2、掌握三角形全等的概念及性质3、应用三角形的全等，求对应边的长、对应角度数一、知识点讲授：1. 观察下列图形，回答问题：（1）哪些图形能够完全重合？请写出来；（2）观察这些完全重合的图形，它们的形状、大小有什么关系？（3）其实，能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同。
2. 我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
例如：如图，△ABC与△DEF叠在一起后是完全重合的，那么△ABC与△DEF就是全等三角形。
其中，我们把重合的点称为对应点，重合的边称为对应边，重合的角称为对应角。
那么：图中的对应点有；图中的对应边有；图中的对应角有。
△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作“△ABC全等于△DEF”。
记两个三角形全等时，对应顶点的字母一定要写在对应的位置上。
显然，全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3. 如图，△ABC≌△A'B'C'，AD是BC边上的高，AE是BC边的中线，AF是∠BAC 的平分线。
（1）在△A'B'C'中，作出B'C'边上的高A'D'，B'C'边的中线的A'E'，∠B'A'C'的平分线的A'F'；（2）通过测量，AD与A'D'、AE与A'E'、AF与A'F'之间有什么数量关系？你能得出什么结论？（3）其实，全等三角形对应边上的高相等，对应边的中线相等，对应角的平分线相等。
二、例题讲解：1. 有下列说法：①面积相等的两个三角形全等；②若两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同；③两个等边三角形一定是全等图形；④边数相同的图形一定能互相重合。
其中错误的说法有（）A、4个B、3个C、2个D、1个2. 已知：如图，△AOD≌△BOC，则图中相等的边有；图中相等的角有。
初中七年级数学北师大版下册《全等三角形的基本模型》教案
《全等三角形的基本模型》教学设计一、教学内容分析三角形是贯穿初中几何的核心内容，四边形与圆中考察的关键性问题通常都是三角形问题；三角形部分考察的重点为全等三角形，相似的学习建立在全等之上；初一下学期全等三角形的学习尤为重要；四边形部分的难点为对称、平移、旋转——三大变换，而此三大变换根本都是只改变位置关系不改变图形的大小及形状，其本质仍是全等；二、教学目标利用模型快速找到题目中的两个三角形的对应角和对应边的关系，证明全等。
三、重难点重点：利用模型证明三角形全等。
难点：抽象出全等三角形的模型，并证明。
四、教学方法自主学习和小组合作探究。
五、教学流程（一）、复习概念与思考：1、三角形全等的判定方法？分别是哪几种？SSS SAS AAS ASA HL2、三角形全等的证题思路？已知两边？已知一边一角？已知两角？（二）、思考：三角形全等是否可以总结出相应的模型？（三）、四大基本模型。
模型一：平移型模型解读：把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC 称为平移型全等三角形。
图①，图②是常见的平移型全等三角形。
学生总结该类模型的特点：此类三角形涉及等边加(减)公共边的条件。
1.（提问选择题）如图,在△AFD和△CEB中,BC,AD+BC=10,则AD的长是((A)3(B)4(C)6(D)52.（）如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF。
求证：AB＝DE.模型二：翻折型模型解读：将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形。
此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等。
3.（）如图,∠D=∠C,DE=CE,则以下说法错误的是()(A)AD=BC(B)OA=AC(C)∠OAD=∠OBC(D)△OAD≌△OBC4.（）如图,已知AD=BC,根据“SSS”,还需要一个条件,可证明△ABC≌△BAD;根据“SAS”,还需要一个条件,可证明△ABC≌△BAD.5.（）如图,△ABC 中, AB=AC,点D,E 分别为边AB,AC的中点, BE=CD 吗?为什么?模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形。
2020年春北师大版数学七年级下册第四章三角形4.3探索三角形全等的条件(第1课时)教案设计
4.3研究三角形全等的条件（第 1 课时利用“边边边”判定三角形全等）教课目的1.认识三角形的稳固性 .2.掌握用“边边边”证明两个三角形全等的方法．3.由研究三角形全等条件的过程，领会由操作、概括获取数学结论的过程．教课要点难点要点 : 会用“边边边”证明两个三角形全等．难点：1. 在复杂的图形中进行三角形全等条件的剖析和研究； 2. 领会由操作、概括获取数学结论的过程．课时安排1课时教课过程复习稳固1.什么叫全等三角形？可以完整重合的两个三角形叫做全等三角形 .2.全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等 .3.已知△ ABC ≌△ DEF ，找出此中相等的边与角 .AB=DE,AC=DF,BC=EF∠ABC=∠DEF, ∠BAC=∠EDF, ∠ACB=∠DFE导入新课要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与或角的大小相关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？⋯⋯1：已知两个三角形全等，它的三个角、三条分相等，那么反来，假如两个三角形中上述六个元素相等，能否必定全等？全等2：两个三角形全等，能否必定需要六个条件呢？假如只足上述一部分条件，能否我也能明他全等？（学生）提出后，接下来一同研究足一个条件相等，两个条件相等，三个条件相等，⋯⋯分是什么状况 .研究新知一、新知教材 P97～P98 的内容，回答以下 .1.三分相等的两个三角形全等，写“”或“ SSS” .2.三角形拥有定性 .二、合作研究研究 1：只一个条件 (一条或一个角 )画三角形，画出的三角形必定全等？【思虑】（1）只有一条相等，两个三角形不必定全等，以下.（2）只有一个角相等，两个三角形不必定全等，以下.【】只有一个条件相等不可以保两个三角形全等.研究 2：出两个条件画三角形，有几种可能的状况？每种状况下作出的三角形必定全等吗？【思虑】三种状况：两条边，两个角，一条边一个角.（1）三角形的两边对应相等时，两个三角形不必定全等，以以下图.（2）三角形的两角对应相等时，两个三角形不必定全等，以以下图。
七年级初一数学下册第章三角形图形的全等教案北师大
4.2 图形的全等〖教学目的：〗〖知识与技能目标：〗借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解图形全等的意义，了解全等图形的特征。
〖过程与方法：〗培养学生善于观察的能力。
〖情感态度与价值观：〗培养学生审美情趣。
〖教学重点、难点：〗重点：图形的全等与全等图形的特征的了解。
难点：识别全等图形及通过实践活动得出全等形〖教学过程：〗Ⅰ.创设现实情景，引入新课引导学生观察课本两组图形。
Ⅱ．根据现实情景，讲授新课一．探讨多举一些学生比较熟悉的能全等或不全等图形的实例，让学生进行想象全等力形与不全等图形的区别。
例如：（1）同一张底片冲印出两张相同尺寸的相片与两张不同尺寸的相片。
（2）同一人的两只手掌与一大人左手掌和一小孩的左手掌。
（3）一个三角形和一个四边形3．把下列两组图形投影出来：二．结论a)从“做一做”中得到的两个图形有什么特征？这两个图形能够重合，它们的形状和大小都相同。
b)在看一看中，你的看法如何？形状相同且大小也相同的两个图形能够重合，反之亦然。
形状不同或大小不同的两个图形不能重合，不能重合的两个图形大小一定不相同。
c)能够重合的两个图形称为全等图形。
d)全等图形的形状和大小都相同Ⅲ．做一做教材练习Ⅳ．课时小结本节课学习了能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同。
Ⅴ．课后作业〖板书设计：〗七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列各数中最大的是（）A．B．1 C．D．【答案】B【解析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断出最大的数即可．【详解】根据题意首先可以判断2＜＜3，∴＜0，0＜＜1，0＜＜1∴最大的数是1故选:B.【点睛】此题考查有理数大小比较，解题关键在于掌握其比较的法则.2．若m、n满足()21150m n-+-=m n+的平方根是（）A．4±B．2±C．4D．2【答案】B【解析】根据非负数的性质列式求出m、n，根据平方根的概念计算即可．【详解】由题意得，m-1=0，n-15=0，解得，m=1，n=15，m n+=4,4的平方根的±2，故选B．【点睛】考查的是非负数的性质、平方根的概念，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．3．解为12xy=⎧⎨=⎩的方程组是（）A．135x yx y-=⎧⎨+=⎩B．135x yx y-=-⎧⎨+=-⎩C．331x yx y-=⎧⎨-=⎩D．2335x yx y-=-⎧⎨+=⎩【答案】D【解析】根据方程组的解的定义，只要检验12x y =⎧⎨=⎩是否是选项中方程的解即可． 【详解】A 、把12x y =⎧⎨=⎩代入方程x-y=-1，左边=1≠右边，把12x y =⎧⎨=⎩代入方程y+3x=5，左边=5=右边，故不是方程组的解，故选项错误；B 、把12x y =⎧⎨=⎩代入方程3x+y=-5，左边=5≠右边，故不是方程组的解，故选项错误； C 、把12x y =⎧⎨=⎩代入方程x-y=3，左边=-1≠右边，故不是方程组的解，故选项错误； D 、把12x y =⎧⎨=⎩代入方程x-2y=-3，左边=-3=右边=-3，把12x y =⎧⎨=⎩代入方程3x+y=5，左边=5=右边，故是方程组的解，故选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分AOC ∠，若AOD ∠比AOE ∠大75︒，则AOD ∠的度数是（ ）A ．100︒B ．102︒C ．105︒D ．110︒【答案】D 【解析】设AOE x ︒∠=，根据OE 平分AOC ∠和AOD ∠比AOE ∠大75︒这两个条件用含x 的代数式表示出,AOC AOD ∠∠，然后由AOD ∠和AOC ∠互为邻补角列出一元一次方程，求出AOE ∠，即可求出AOD ∠的度数【详解】∵OE 平分AOC ∠∴2AOC AOE ∠=∠设AOE x ︒∠=，则2AOC x ︒∠=75AOD x ︒︒∠=+又∵180AOC AOD ︒∠+∠=∴2+75=180x x +（）∴x=35∴AOD ∠=753575110x ︒︒︒︒︒+=+=故选：D【点睛】本题考查的是邻补角的定义及角平分线的定义，理解定义、根据相应角之间的关系列出方程是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD 中，点M N ，分别在,AB BC 上，100,70,A C ∠=∠=将BMN △沿MN 翻折，得FMN ，若////,MF AD FN DC ,则B 的度数为（ ）A ．80B ．85C ．90D ．95【答案】D 【解析】首先利用平行线的性质得出100,70BMF FNB =︒=︒∠∠，再利用翻折的性质得出50,35FMN BMN FNM MNB ==︒==︒∠∠∠∠，进而求出∠B 的度数．【详解】∵//,//MF AD FN DC ，100,70,A C ∠=∠=∴100,70BMF FNB =︒=︒∠∠∵将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN∴50,35FMN BMN FNM MNB ==︒==︒∠∠∠∠∴180503595F B ==︒-︒-︒=︒∠∠故答案为：D ．【点睛】本题考查了四边形翻折的问题，掌握翻折的性质、平行线的性质是解题的关键．6．张老师买了一辆启辰R50X汽车，为了掌握车的油耗情况，在连续两次加油时做了如下工作：（1）把油箱加满油；（2）记录了两次加油时的累计里程（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程），以下是张老师连续两次加油时的记录：则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．3升B．5升C．7.5升D．9升【答案】C【解析】解：根据图表得出行驶的总路程为400千米，总的耗油量为12升，所以平均油耗．为400÷30=7.5升．故答案选C．考点：图表信息题；平均数.7．矩形ABCD的面积是15，它的长与宽的比为3：1，则该矩形的宽为()A．1 B C D【答案】D【解析】设矩形的宽为x，则长为3x，然后依据矩形的面积为15，列出方程，最后依据算术平方根的性质求解即可．【详解】设矩形的宽为x，则长为3x．根据题意得：23x15=，所以2x5=所以x=【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．8．在实数|-3|，-2，-π，-1中，最小的数是（）A．3-B．2-C．π-D．1-【答案】C【解析】根据有理数大小比较的法则比较即可．【详解】解：在实数|-3|，-2，-π，-1中，最小的数是-π．故选C．【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．9．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】分析：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．故选C．10．变量x与y之间的关系是y=﹣12x2+1，当自变量x=2时，因变量y的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】B【解析】把自变量x 的值代入函数解析式进行计算即可得解．【详解】把x=2代入y=﹣12x 2+1中得：y=-1. 故选B. 【点睛】 考查了函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键． 二、填空题题 11．已知：（x+2）（x 2﹣2ax+3）中不含x 2项，a ＝_____．【答案】1【解析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含x 2项，即可确定出a 的值．【详解】解：原式＝x 3﹣2ax 2+3x+2x 2﹣4ax+6＝x 3+（2﹣2a ）x 2﹣4ax+3x+6，由结果不含x 2项，得到2﹣2a ＝0，解得：a ＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．若|x ﹣y|+2-y =0，则xy+1的值为_____．【答案】5.【解析】根据非负数的和为0，那么每个非负数都为0，列出方程组求出x ，y ；最后代入解析式即可。
2020年春北师大版数学七年级下册第四章三角形4.3探索三角形全等的条件教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形全等的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等条件的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，我发现学生们在解决问题时，对于全等条件的运用还不够熟练。有些学生在面对稍复杂的几何图形时，不知道如何下手。针对这一点，我打算在下一节课中进行一些针对性的练习，帮助学生巩固全等条件的运用，提高他们解决几何问题的能力。
最后，总结回顾环节，学生们对于今天所学的知识点有了更加清晰的认识。但我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和练习是远远不够的，还需要在课后布置一些相关的作业，让学生们有机会独立思考和巩固所学知识。
-对于SAS和ASA的区分，可以通过具体的图形对比，让学生观察和讨论两者的差异，强化记忆。
-在解决实际问题时，教师应引导学生先找出已知条件和未知量，然后选择合适的全等条件进行求解。
-在几何证明过程中，教师要指导学生运用全等三角形的性质，如对应边、对应角相等，进行逐步推理，突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS、SAS、ASA这三个全等条件。对于难点部分，我会通过具体的图形和比较来帮助大家理解如何区分和应用这些条件。
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初一英才 全等进阶——基本模型
【知识梳理】
★全等三角形基本证明思路
★基本模型
一、“K ”型（一线三等角） 二、垂直模型
△ADB ≌△BEC △ABD ≌△CAE
找其中一个角的对边 →AAS
找夹边 →ASA
找边的对角 →AAS
找夹边的另一角 →ASA 找夹角的另一边 →SAS 边是角的邻边
边是角的对边 →找任一角 →AAS
找直角 →HL
找第三边 →SSS 找夹角 →SAS
已知两角
已知一边和一角
已知两边C
A
E
B
D
三、空翻模型
△PDM ≌△BMN △CEM ≌△MBN
四、半角模型
△ABE ’≌△ADE
五、手拉手模型
45°E'
C
D A E
阴影部分三角形全等
例1 垂直模型：
1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
（1）求证：AE=CD
（2）若AC=12cm，求BD的长
2.如图，△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.
（1）若BC在DE的同侧（如图1）且AD=CE，说明BA⊥AC.
（2）若BC在DE的两侧（如图2）其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由
3.如图，已知△ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF，连接EF，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，反向延长DA交EF于点M.证明：EM=FM
4.如图，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 .
例2 K型(一线三等角)
1.如图，△ABC中，AB=AC，点D,E,F分别在△ABC的三边上，且∠B=∠1.BD=CF，求证：△EBD≌△DCF
2.如图，等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，点C,D,E在一条直线上，且∠ADC=∠ACB=∠BEC，求证DE=AD+BE
3.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN ，BE ⊥MN ①当直线MN 绕点C 旋转到图一的位置，求证：DE=AD+BE ②当直线MN 绕点C 旋转到图二的位置，求证：AD=DE+BE
③当直线MN 绕点C 旋转到图三的位置，判断AD,DE,BE 之间的等量关系
例3 手拉手模型
1. 如图，点A ，B,D 在一条直线上，△ABC ，△BDE 均为等边三角形，连接AE 和CD ，AE 分别交CB,CD 于点F,H,CD 交BE 于点G ，连接FG ， 证明：①△ABE ≌△CBD ②AE=CD
E
D
C
B
A
M
N
E
D C
B
A
N
M E
D C
B
A
N
M
③△ABF≌△CBG
④△DBG≌△EBF
⑤BF=BG
⑥AF=CG,EF=DG
⑦△FBG为等边三角形
⑧HB平分∠AHD
⑨∠CHA=60°
手拉手模型中线段的关系
①数量关系：全等三角形（SAS）
②位置关系（夹角）：一组对应角+一组对顶角
2、如图所示，正方形ABCD与正方形AEFG有公共顶点A，连接BG、ED相交于点O.
问：BG与ED的数量关系和位置关系是什么？
例4 半角模型
1.在正方形ABCD中，若M,N分别在边BC,CD上移动，且满足MN=BM+DN。
求证：①∠MAN=45°②△CMN的周长=2AB③AM,AN分别平分∠BMN和∠DNM
2. 在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，若E,F 分别在边BC,CD 上，满足EF=BE+DF. 求证：2∠EAF=∠BAD
3.已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60° 请探究下列两种情况下AE,CF,EF 之间的数量关系。
F
E
N
D
C
B
M
F E D
C
B
N
提升训练
1、如图，已知∠ABC=90°，△ABD 是边长为3的等边三角形，点E 为射线BC 上任意一点（点E 与点B 不重合），连结AE ，在AE 上方作等边三角形AEF ，连结FD 并延长交射线BC 于点G ． （1）如图甲，当BE=BA 时，求证：△ABE ≌△ADF ；
（2）如图乙，当△AEF 与△ABD 不重叠时，求∠FGC 的度数；
2、如图，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°，猜想图中两个阴影部分的面积的数量关系并证明
3、已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）.以
图乙
图甲
F
D
C
A
G F
D
C
B
A
A E
AD 为边作正方形ADEF ，连接CF.
（1）如图①，当点D 在线段BC 上，求证：CF+CD=BC ；
（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请探究CF,BC,CD 三条线段之间的关系； （3）如图③，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时，其他条件不变，请探究CF,BC,CD 三条线段之间的关系.
4、如图，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I.求证：①I 是EG 的中点.②BC=2AI. B 卷练习
图③
图②
图①
D
E
F
C B A
F
E
D
C B
A
E F C B
D A
1、如图1所示，以△ABC 的边AB 、AC 为斜边向外分别作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，∠ADB=∠AEC=90°，点F 为BC 边的中点，连接DF 、EF. （1）若AB=AC ，试说明DF=EF ；
（2）若∠BAC=90°，如图2所示，试说明DF ⊥EF ；
（3）若∠BAC 为钝角，如图3所示，则DF 与EF 存在什么数量关系与位置关系？试说明理由.
2、在△ABC 中，AC=AB,CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ，一三角板按如图1所示的位置摆放，该三角板的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.
（1）在图1中，请你通过观察、测量BF 和CG 的长度，猜想写出BF 与CG 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）当三角板沿着AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一条直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，此时，请你再测量DE 、DE 与CG 的长度，猜想写出DE 、DF 与CG 间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当三角板在（2）的基础上沿着AC 方向继续平移到图3所示的位置（点F 在线段AC 上，但与点C 不重合），（2）中的猜想是否成立？
图3
图2图1B
F
C
E
D
A
A
F
E
C
B
D
B
F
E
C
D
A 图1
C
G
B
F
A
图3
E D
A
F
B
G
C。