第五章函数
九年级数学上第五章反比例函数

系可以表示成:
y k k为常数 , k 0
x 的形式,那么称y是x的反比例函数.
结束语
函数来自现实生活,函数是描述现 实世界变化规律的重要数学模型.
函数的思想是一种重要的数学思想 ,它是刻画两个变量之间关系的重要手 段.
作业
1、基础作业:
课本P145页习题5.1 第1 、2题
一般地,如果两个变量x,y之间的关系
可以表示成:y k k为常数 , k 0 的
形式,那么称y是xx的反比例函数.
老师质疑: 反比例函数的自变量x能不能是0?为什么?
做做 一一 做做
1、一个矩形的面积是20cm2,相邻的两条边长为 xcm和y cm,那么变量y是x的函数吗?是反比例函
数吗?为什么? y 20 , x
2
3
Y2 3
1
24
-4 -2
-1 2
3
(1).写出这个反比例函数的表达式;
解:∵ y是x的反比例函数, y k .
x
把x=-1,y=2代入上式得:
得k 2.
y 2. x
2 k . 1
(2).根据函数表达式完成上表.
随堂练习
1、在下列函数表达式中,x均为自变量,哪 些是反比例函数?每一个反比例函数相应 的k值是多少?
2、预习作业:
课本P147页§5.2
运动中的数学
行程问题中的函数关系
京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高 速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间 t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系? 变量t是v的函数吗?为什么?
变量t与v之间的关系 可表示为:
t 1262 v
第五章 三角函数

圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
思考1:如何刻画点P的位置变化?
借助角ɑ的大小变化刻画点P的 位置变化. 思考2:初中学过角的范围00~3600, 点P旋转一周即为3600,再旋转所 得的角如何表示?
有必要扩充角的范围!
P
ɑ
O
A
我们生活中随处可见的角
体操动作“李小鹏跳”:2002年在匈 牙利世锦赛上,李小鹏在跳马时做出 的“踺子后手翻转体180度接直体前 空翻转体900度”
在体操、花样滑冰、跳台跳水等比 赛中,常常听到“转体2周”、“转 体3周半”这些动作名词,你知道他 们转了多少角吗?
(1)时钟从12:00到12:15,分针转过了多少度? (2)时钟从12:00到13:15,分针转过了多少度?
机械齿轮
生活中很多的角 并不是静态的
引入新的角的定义、分类:
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形.射线OA、OB分别是角的始边和终 边,端点O为角的顶点。
终边在y轴上:S={α|α=90°+k·180° ,k∈Z}. 终边在x轴上:S={α|α=0°+k·180° ,k∈Z}.
终边在坐标轴上:S={α|α=0°+k·90° ,k∈Z}.
例题讲解
例3 写出终边在y=x上的角的集合S,S中满足 不等式-360°≤β≤720°的元素β有哪些.
【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有: -315°,-135°,45°,225°,405°,585°.
角和终边的关系
一个角,对应一条终边; 一条终边,对应无数个角:终边相同的角
与α终边相同的角β可表示为:β=α+k·3600,k∈z, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α 整数个周角的和.
高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin(ωxφ)》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin (ωx φ)》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名:___________考号:___________一、解答题1.已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++,且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.(1)求a 的值;(2)先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的12,再将所得的图像向右平移12π个单位,得到函数()y g x =的图像,求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2.写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程,并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像(保留痕迹). 3.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<2π)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)如何由函数y =sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象,写出变换过程. 4.用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 5.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >,0>ω与2πϕ<),在同一个周期内,当4x π=时,则y 取最大值1,当712x π=时,则y 取最小值-1. (1)求函数()f x 的解析式.(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和. 6.已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴;(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度,得到函数()g x 的图象,若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点,求实数k 的取值范围.7.2021年12月9日15时40分,神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲!受“天宫课堂”的激励与鼓舞,某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料,他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时,则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地 球引力,进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式: 0lnkm v m ω=,被称为齐奥尔科夫斯基公式,其中ω为发动机的喷射速度,0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完 )时的质量.0km m 被称为火箭的质量比.(1)某单级火箭的初始质量为160吨,发动机的喷射速度为2千米/秒,发动机熄火时的质量为40吨,求该单级火箭的最大理想速度(保留2位有效数字);(2)根据现在的科学水平,通常单级火箭的质量比不超过10.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒,请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒,并说明理由.(参考数据:ln20.69≈,无理数e 2.71828=)二、单选题8.为了得到函数3sin 2y x =的图象,只要将函数3sin(21)y x =-的图象( ) A .向左平移1个单位长度 B .向左平移12个单位长度C .向右平移1个单位长度D .向右平移12个单位长度9.函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象( ) A .向右平移6π个单位得到 B .向左平移6π个单位得到 C .向右平移3π个单位得到 D .向左平移3π个单位得到 10.要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,只需将cos2y x =的图像( )A .向左平移3π个单位长度B .向右平移3π个单位长度C .向左平移23π个单位长度 D .向右平移23π个单位长度 11.为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需把函数3sin y x =图像上所有点( )A .向左平行移动3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B .向左平行移动3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C .向左平行移动6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D .向右平行移动3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12.要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,需( )A .将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)B .将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)C .将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D .将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13.为了得到函数2cos2y x =的图象,只需把函数2cos 2y x x =+的图象( ) A .向左平移3π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度 C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移6π个单位长度三、填空题14.将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+(0A >,0>ω与π2ϕ≤)的图象如图,则()f x 的解析式为_____.15.彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化,有着灿烂历史.按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等,其中蕴含着丰富的数学文化,如图1,漆器图案中出现的“阿基米德螺线”,该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹.这些螺线均匀分布,将其简化抽象为图2,若2OA =,则AOB ∠所对应的弧长为______.参考答案与解析1.(1)2a =;(2)3π. 【分析】(1)由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2,所以min ()112f x a =-++=,从而可求出a 的值;(2)由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+,由()4g x =得1sin(4)62x π-=,从而可求出x 的值【详解】(1)()2sin(2)16f x x a π=+++,∵[0,]2x π∈,∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=,∴2a =;(2)依题意得()2sin(4)36g x x π=-+,由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ,解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质,考查三角函数的图像的变换,考查转化能力和计算能力,属于基础题2.答案见解析.图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程,然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半,得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变,纵坐标扩大到原来的2倍,得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3.(1)f (x )=sin (2)6x π+ ;(2) 答案见解析.【分析】(1)由图像可得A =1,51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值,然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值,从而可求出函数f (x )的解析式; (2)利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A =1.f (x )的最小正周期T =4×5()126ππ-=π,故ω=2Tπ=2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+=1又|φ|<2π,∴φ=6π.故函数f (x )的解析式为f (x )=sin (2)6x π+.(2)变换过程如下:y =sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标不变,得到y =sin 2x 的图像,再把y =sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y =sin (2)6x π+的图像. 4.答案见解析【分析】利用五点作图法,列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解:按五个关键点列表如下:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.5.(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ,最小正周期T ,然后利用最小正周期公式求ω,通过代值求出ϕ即可;(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可;(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知,1A =,1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=,即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<,∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)利用平移变换和伸缩变换可知,sin y x =的图象向右平移4π个单位长度,得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13,纵坐标不变,得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=. 6.(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】(1)求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,解方程442x k ππππ+=+,k ∈Z 即得解;(2)求出()2cos 4g x x π=,即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点,再利用数形结合分析求解. (1)解:因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+,k ∈Z ,解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . (2)解:依题意,将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后,得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点,如图所示所以02k <-<,即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7.(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒,理由见解析【分析】(1)明确0k m m ω、、各个量的值,代入即可;(2)求出最大理想速度max v ,利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. (1)2ω=,0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.(2)10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8.B【分析】根据已知条件,结合平移“左加右减”准则,即可求解.【详解】解:()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =.故选:B . 9.A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-,结合三角函数的图象变换,即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位,即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选:A. 10.B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 11.A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位,得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12,可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选:A 12.D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解:对于A ,将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,错误;对于B ,将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,错误;对于C ,将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后,得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,错误;对于D ,将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后,得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,正确.故选:D. 13.C【分析】化简2cos 2y x x =+,再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选:C14.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知,函数的最值、最小正周期,可得,A ω的值,代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭,进而解得ϕ的值,根据函数的图像变换规律,可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==,函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以2π2T ω==,所以()()2sin 2g x x ϕ=+.又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以5ππ2π62k ϕ+=+(k ∈Z ),解得π2π3k ϕ=-(k ∈Z ). 因为π2ϕ≤,所以π3ϕ=-,所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为:()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15.4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=,结合弧长公式,即可求解.第 11 页 共 11 页 【详解】由题意,可知圆心角2π9AOB α=∠=,半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=. 故答案为:4π9.。
离散数学 函数部分

2020/3/14
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三、函数的合成运算
定义 考虑g:A→B,f:B→C是两个函数,则合成 关系f•g是从A到C的函数,记为 f•g:A→C,
称为函数g与f的合成函数。
显然,对任意x∈A,有 f•g(x)=f(g(x))。
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例
例1 设f:R→R,满足: 1)f={<x,x2>|x∈R}; 2)f={<x,x+1>|x∈R}。求f-1。
解 1)对任意x∈R,有f(x)=x2与之对应,所以 f不是单射函数,即f非双射函数,因此f的逆函 数不存在。 2)因f是双射函数,所以f-1存在,且有: f-1={<x,x-1>|x∈R}。
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5
例2
设A={a,b},B={1,2},A×B={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>},
此时从A到B的不同的关系有24=16个。分别如下:
R0=Φ R1={<a,1>} R2={<a,2>} R3={<b,1>};
R4={<b,2>};R5={<a,1>,<b,1>} R6={<a,1>,<b,2>}
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例2
设An={a1,a2,a3,…,an}是n个元素的有限集, Bn={b1b2b3…bn|bi∈{0,1}},对An的每一个子 集S(即对任意S(An)),令
第5章 函数

第5章函数及其应用5.1 函数种类5.1.1 命令函数,例如:getchar(),putchar()等。
5.1.2标准C++库函数,fabs(), pow(), rand(),sin(x), sqrt(), fexp()等,要使用头文件。
5.1.3自定义函数5.2 自定义函数的概念及使用方法例1:求两个数中的最大数#include <iostream.h>int imax (int a, int b){return (a>b ? a:b); }void main(){int a=6,b=9;cout<<"max="<<imax(a,b)<<endl;}例2:求x的n次方#include "iostream.h"main(){ float mpow(float a,int n);cout<<"pow="<<mpow(3.,3)<<endl;}float mpow(float a,int n){int i;float k=1;for(i=1;i<=n;i++)k=k*a;return (k); }5.3 自定义函数的三种形式5.3.1 无参函数,例如main(),getchar()等。
主函数与子函数之间不传输数据例:输出字符四方形************************************************void print(){int i;for(i=1;i<5;i++)cout<<(“************\n”;}5.3.2. 空函数例:null(){ }5.3.3. 有参函数如例1,例2说明:1.C++语言程序由一个主函数和若干个子函数(模块)组成。
1.子函数也有类型和函数值。
2.子函数程序体可以作为单独的文件存放,如果单独存放,应在主函数中作为头文件进行说明。
第5章 函数1

第5章 函数
(2) A到B的所有不同的满射有6个, 分别为 f1={(a, g1), (b, g1 ), (c, g2)} f2={(a, g1 ), (b, g2), (c, g1 )} f3={(a, g1 ), (b, g2), (c, g2)} f4={(a, g2), (b, g1 ), (c, g2)} f5={(a, g1 ), (b, g2), (c, g1 )} f6={(a, g1 ), (b, g2), (c, g2)}
p: A→A是双射, 则称p为集合A上的n阶置换 记为 阶置换, 阶置换
a1 p= p( a1 )
a2 L an p ( a2 ) L p ( an )
第5章 函数
例2 若A={1, 2, 3}, 试写出A上的全部置换。 解 A上的全部置换有3!=6个,分别为
1 p1 = 1 1 p3 = 2
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f: A→B, g: C→D, 若 有A=C、 B=D且对所有的x∈A, 有f(x)=g(x), 则称 函数f和g相等, 记为f=g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA, 即 BA={f|f: A→B}
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|=|B||A| 证明 设|A|=m, |B|=n(m, n∈N); 又设A={a1, a2, …, am}。 因为 Df=A,所以 f={(a1, f(a1)), (a2, f(a2)), …, (am , f(am))}。 , 而每个f(ai)(i∈Nm)都有n种可能,所以A到B的不 同函数共有 {n·n·…·n } =n m个 M个 即 |BA|=|B||A|
第5章 函数
中职数学第五章三角函数知识点

中职数学第五章三角函数知识点第五章三角函数角和任意三角函数的定义1.角:角是由两条射线共同确定的图形部分。
2.弧度制:半径长度的圆弧所对的圆心角为1弧度角。
180° = π rad180° = π rad ≈ 0. rad1 rad ≈ 57.3°3.终边相同的角的表示:β/β = k360° + α。
k∈Z} {β/β = 2kπ + α。
k∈Z}终边在坐标轴上的角的集合:x正半轴:{α/α = 2kπ。
k∈Z}y正半轴:{α/α = π + 2kπ。
k∈Z}x负半轴:{α/α = π + 2kπ。
k∈Z}y负半轴:{α/α = 3π + 2kπ。
k∈Z}x轴:{α/α = kπ。
k∈Z}y轴:{α/α = ±kπ。
k∈Z}第一象限角:0 < α < π/2第二象限角:π/2 < α < π第三象限角:π < α < 3π/2第四象限角:3π/2 < α < 2π4.任意角的三角函数:在角θ的终边上任取一点P(x。
y)。
r = √(x^2 + y^2) (r。
0)sinθ = y/rcosθ = x/rtanθ = y/x任意角三角函数符号:一全二正弦三切四余弦5.同角三角函数关系tanθ = sinθ/cosθ2sin^2θ + cos^2θ = 1sinα ± cosα)^2 = 1 ± 2sinαcosα特殊勾股数:3.4.5.6.8.10.5.12.13.8.15.17.7.24.25;诱导公式第一象限角正角α第二象限角第三象限角第四象限角2π - απ - απ + αsin(α+2kπ) = sinαcos(α+2kπ) = cosα___(α+2kπ) = tanαsin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan(-α) = -tanαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα___(π-α) = -tanαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαcos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,α-πsin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosα,tan(2π-α)=-tanα,-αsin(α-π)=-sinα,cos(α-π)=-cosα,sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,___(α-π)=tanα根据奇偶性和象限可得以上结论。
python课件第五章Python的函数:函数的递归及应用

教学内容
5.5 函数的递归
5.7 内置函数
教学要求
掌握:函数的嵌套与递归。 熟悉:函数的概念、函数化编程的思想。 了解:内置函数的使用。
5.5 函数的递归
函数定义中调用函数自身的方式形成递归。
例5-4 求第n项的阶乘
阶乘一般定义:n!=n(n-1)(n-2)……(1)
2022/2/3
17
5.7 Python内置函数
2022/2/3
18
5.7 Python内置函数
2022/2/3
19
5.7 Python内置函数
2022/2/3
20
小结
掌握:函数的定义和使用;函数的参数和 函数的返回值;函数的嵌套。
熟悉:函数的递归。 了解:内置函数的使用。
课堂小测
单选题 1分
n!=
n(n-1)! (n>0)
2022/2/3
5
5.5 函数的递归
例5-4 求第n项的阶乘
2022/2/3
6
ห้องสมุดไป่ตู้
5.5 函数的递归
执 行 过 程
2022/2/3
7
多选题 1分
下列是递归程序特点的是()。
A 书写简单 B 一定要有基例 C 执行效率高 D 思路简单,但不宜理解
提交
5.5 函数的递归
例5-5 科赫曲线的绘制
2022/2/3
9
5.5 函数的递归
例5-5 科赫曲线的绘制——实验七(见实验课件)
2022/2/3
10
课后思考:汉诺塔问题
问题IPO 输入:汉诺塔的层数 处理:实现一个汉诺塔圆盘的移动,采用递归实现将所有圆盘从A移 动到C。 输出:整个移动流程
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3.函数返回值为指针 即函数的返回值可以是变量的地址、数组名或指针变量等。 如: float *fun(float x[],float y);
char
*strcat(char *strDest,const char *strSource);
在说明或定义返回值为指针的函数时,只须在函数名前加 一指针类型说明符即可。
注意:若对应的实参是指针变量,则该指针应有确定的指向。
若该二语句删除,程序 运行时将异常终止。
void main() {char *a,*b; a=new char[40]; b=new char[20]; cin>>a>>b; copy_string(a,b); cout<<a<< b<<endl; delete []a; delete []b; }
5.2.1 指针参数
1.形参为指针变量 特点:形参的改变能影响实参值 【例5.7】交换两个变量的值
#include "iostream.h" void swap(int * ,int * ); void main() { int a,b;cin>>a>>b; swap(&a,&b); cout<<a<<b<<endl; } void swap(int *x,int *y) {int temp=*x;*x=*y;*y=temp;}
2.形参为常指针
防止被调函数对实参所指对象的修改
#include "iostream.h " int f(const int * p) { int a=100; a=*p; *p=a; return a; return *p; } void main() { int x=5; cout<<f(&x); }
注意:不能返回一个局部变量(在函数内定义的变量)的地址 #include "iostream.h" int *fun(int x) { int y=x*x; return &y; } void main() { intt;*p; }
【例5.10】拼接两个字符串s1和s2,将拼接后的字符串存于s1中返回。
char *strcat1(char *s1,const char *s2) {char *p=s1; while(*p++); --p; while(*p++=*s2++) ; return(s1); }
思考:若不定义为返回指针值的函数,则程序应如何修改?
int sct(int m,int n) //求最小公倍数 { return( m*n/gcd(m,n) ); }
#include "iostream.h“ void main() { int m,n; cin>>m>>n; cout<<gcd(m,n)<<endl; cout<<sct(m,n)<<endl; }
形参:指针变量 实参:变量的地址、指针变量或数组名
【例5.8】随机生成10个1~100之间的数放在一维数组中,求其平均 值及最大的元素值 。 程序: #include "iostream.h" #include "stdlib.h" const int N=10; void fun(float *p,float *p1,int *p2) { float sum,max1; sum=max1=*p++; for(int i=1;i<N;i++) { if (max1<*p) max1=*p; sum=sum+*p;p++; } *p1=sum/N; *p2=max1; } void main() { float a[10],aver,max,x; for(int i=0;i<10;i++) { x=rand()%100+1; a[i]=x; } fun(a,&aver,&max); //注意实参的写法 cout<<aver<<max<<endl; }
用于返回函数值。表达式值的类型与函数类型最好 一致。
• void型函数
函数体中return语句可以不出现。若出现,则不能带 表达式。
5.1.3 函数调用
形式:
函数名(实在参数表) 函数调用的过程:
注意:
• 实参与形参的个数、位置与类型必须一致。它可以是同类型的常量、
变量或表达式。
• 调用的形式可以是表达式,也可以是语句。 • 函数定义中的形参只有当发生函数调用时,才被分配内存单元。
函数调用和返回的过程:
主函数 ① 输入数据 保存:返回地 址、当前现场 ③ ⑥ 恢复:主调程序 现场、返回地址
自定义函数
④ 处理过程 ⑤ 函数结束或 函数值返回
②
调用函数 ⑦
输出
⑧ 结束
注意:数据的输入、输出一般放在主函数中
【例5.3】 求正整数m,n的最大公约数和最小公倍数 。 分析:m、n的最小公倍数为: m*n/最大公约数。 int gcd(int m,int n) //求最大公约数 { while(int r=m%n) {m=n;n=r;} return(n); }
省略参数名
//函数说明,也可int max(int,int);
注意:
函数调用在前,定义在后,则必须对函数 进行说明,函数说明可以放在函数调用之前所 在的函数内,也可以放在源文件开头、函数的 外部。
函数说明和函数定义在返回类型、函数名 和参数表上必须要完全一致。
5.2 函数间参数传递
5.2.1 传值参数 特点:形参的改变不会影响实参的值
5.1.2 函数的定义
函数类型 函数名(形式参数类型表) {函数体}
【例5.1】求三个整型数中最大的数。
将两数的比较独立出来编一函数:
int max(int x,int y) { int z; if(x>y) z=x; else z=y; return z; //将大的数返回 } void main() { int a,b,c,m; cin>>a>>b>>c; m=max(a,b); m=max(c,m); cout<<m<<endl; }
void pic(int n) { for(int i=0;i<n;i++) { cout.width(10-i); for(int j=0;j<2*i+1;j++) cout<<"*"; cout<<endl; } }
#include "iostream.h" #include "iomanip.h" void main() { pic(4); //以语句形式调用 pic(6); }
函数体: {数据定义 数据操作 }
使用过的函数: 主函数 main 库函数 fabs sqrt gets strcpy
5.1 函数的定义、调用与说明
5.1.1 引例
已知五边形的各条边的长度,计算其面积 • 计算多边形面积,可将多边形分解成若干个三角形
b a g
S1
c
S2 S3
x
d
y z
e
f
• 计算三角形面积的公式如下:
【例5.9】字符串的复制
程序:
#include "iostream.h" void copy_string(char *from, char *to) { while(*from!='\0') *to++=*from++; *to='\0'; } void main() { char a[]="I am a teacher.", b[]="You are a student."; cout<<a<<endl<<b<<endl; copy_string(a,b); cout<<a<<endl<<b<<endl; }
第五章 函数
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 函数的定义、调用与说明 函数间参数传递 递归函数 函数参数缺省 函数重载 函数模板 作用域与存储类
回顾一下对函数的认识: 程序由函数构成,每个程序有且只有一个main主函数 函数由函数头和函数体构成
函数头:函数类型、函数名、参数类型表
实参:常量、变量和表达式。 形参:变量
【例5.5】m是一个3位的正整数,将满足m、m2 、m3 均为回文 数的正整数输出。所谓回文数是指顺读与倒读数字相同,如4、 151、34543。 分析:将正整数的每位数取出,构造一个逆序的正整数,若该 数与原来的相同,即为回文数。 bool palindrome(int x) { int m=x,n=0,k; while(x!=0) //构造一逆序数 { k=x%10; n=n*10+k; x/=10; } return m==n; }
说明: – 函数类型指函数返回值的数据类型 – 函数体由语句和其它分程序组成。 – 形式参数可以为空,但圆括号不能省略。 – 函数体中不允许再嵌套定义函数 – 对没有返回值的函数,函数类型定为void型(无类 型或空类型)。
• 非void型函数 函数体中必须有return语句,形式为: return 表达式 ; 或 return (表达式) ;
area c( c x )( c y )( c z ) c 1 ( x y z) 2