【真卷】2017年天津市和平区高考数学四模试卷(文科)

2017年天津市和平区高考数学四模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=（）A．[1，2]B．[1，2） C．[2，3]D．（2，3]2．（5分）袋中有外观相同的红球，黑球各1个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取1个球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8πB．10πC．12πD．84．（5分）双曲线﹣=1的右焦点到该双曲线渐近线的距离等于（）A．4 B．3 C．2 D．25．（5分）已知a∈R，则“a2+4a﹣5＞0”是“|a+2|＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列各区间中，是函数f（x）=2cos2x的一个单调递增区间的为（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，）D．（，）7．（5分）如图，在四边形ABOC中，AO=BO=CO，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（0，]D．（，e）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）若复数z满足条件z﹣3=，则|z|=．10．（5分）函数f（x）=的单调递减区间是．11．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为．12．（5分）经过圆x2+2x+y2=0的圆心，且与直线x+y﹣2=0垂直的直线方程是．13．（5分）已知数列{a n}的通项公式是a n=，其前n项和S n=，则项数n的值等于．14．（5分）已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣log（﹣x），则方程f（x）﹣=0在（0，6）内的所有根之和为．15．（13分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若λsinA=sinB+sinC （λ∈R）．（Ⅰ）当λ=3，且b=c时，求cosA的值；（Ⅱ）当A=60°时，求λ的取值范围．16．（13分）某单位计划制作一批文件柜，需要大号铁皮40块，小号铁皮100块，已知市场出售A、B两种不同规格的铁皮，经过测算，A种规格的铁皮可同时裁得大号铁皮2块，小号铁皮6块，B块规格的铁皮可同时截得大号铁皮1块，小号铁皮2块，已知A种规格铁皮每张250元，B种规格铁皮每张90元．分别用x，y表示购买A、B两种不同规格的铁皮的张数．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）根据施工需求，A、B两种不同规格的铁皮各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数．17．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，在直角梯形ABEF中，BE=2，AF=3，BE∥AF，∠BAF=90°，平面ABCD⊥平面ABEF．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABEF；（Ⅱ）求证：CD∥平面AEF；（Ⅲ）求三棱锥D﹣AEF的体积．18．（13分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a7=20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n及前n项和为S n；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：＜．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右顶点A（3，0），直线l与x轴交于点A，与y轴交于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C的另一交点为D，P为弦AD的中点，是否存在着定点Q，（3）若OM∥l，交椭圆C于点M，在（2）的条件下，求的最小值．20．（14分）已知函数f（x）=﹣x2﹣ax+ln（ax+1）（a∈R）．（Ⅰ）若x=2为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）单调递增，求a的取值范围．（Ⅲ）当a=﹣1时，方程f（x）=+有实数根，求b的最大值．2017年天津市和平区高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=（）A．[1，2]B．[1，2） C．[2，3]D．（2，3]【解答】解：集合A={x|x2+x﹣6＜0}=（﹣3，2），B={x|1≤x≤3}=[1，3]，则A∩B=[1，2），故选：B2．（5分）袋中有外观相同的红球，黑球各1个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取1个球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：袋中有外观相同的红球，黑球各1个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取1个球，摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，3次摸球所得总分为5是指3次摸球时两次摸到红球，一次摸到黑球，∴3次摸球所得总分为5的概率p==．故选：C．3．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）【解答】解：由三视图得到几何体是底面直径为4，高为3的两个圆锥组合体，所以体积为；故选：A．4．（5分）双曲线﹣=1的右焦点到该双曲线渐近线的距离等于（）A．4 B．3 C．2 D．2【解答】解：方法一：由题意可知：双曲线的渐近线方程y=±x，即ay±2x=0，右焦点F（c，0），c2=a2+4，则右焦点到该双曲线渐近线的距离d===2，故选D．方法二：由双曲线（a＞0，b＞0），焦点到双曲线渐近线的距离d=b，∴右焦点到该双曲线渐近线的距离等于2，故选D．5．（5分）已知a∈R，则“a2+4a﹣5＞0”是“|a+2|＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2+4a﹣5＞0得a＞1或a＜﹣5，由|a+2|＞3得a+2＞3或a+2＜﹣3，即“a2+4a﹣5＞0”是“|a+2|＞3”的充要条件，故选：C6．（5分）下列各区间中，是函数f（x）=2cos2x的一个单调递增区间的为（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，）D．（，）【解答】解：函数f（x）=2cos2x=cos2x+1．由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，得：，当k=1时，可得一个单调递增区间的为（，π）．故选B．7．（5分）如图，在四边形ABOC中，AO=BO=CO，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵OA=BO=CO，∴O是△ABC的外接圆圆心，以AB为x轴，以AB的中点为原点建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣，），∴AB的中垂线方程为x=0，AC的中垂线方程为y﹣=（x+），联立方程组，解得O（0，），∴=（1，），=（2，0），=（﹣，），∵=λ+μ，∴，解得λ=，μ=．故选A．8．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（0，]D．（，e）【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）若复数z满足条件z﹣3=，则|z|=5．【解答】解：∵，则|z|=．故答案为：5．10．（5分）函数f（x）=的单调递减区间是（e，+∞）．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞）．∵f′（x）=，令f′（x）＜0，可得1﹣lnx＜0，解得x＞e．所以函数的单调递减区间为（e，+∞）．故答案为：（e，+∞）．11．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为3．【解答】解：赋值S=7，n=1，判断7＞12不成立，执行S=2×7﹣1=13，n=1+1=2，判断2＜9成立；判断13＞12成立，执行S=13﹣10=3，n=2+1=3，判断3＜9成立；判断3＞12不成立，执行S=2×3﹣1=5，n=3+1=4，判断4＜9成立；判断5＞12不成立，执行S=2×5﹣1=9，n=4+1=5，判断5＜9成立；判断9＞12不成立，执行S=2×9﹣1=17，n=5+1=6，判断6＜9成立；判断17＞12成立，执行S=17﹣10=7，n=6+1=7，判断7＜9成立；判断7＞12不成立，执行S=2×7﹣1=13，n=6+1=7，判断7＜9成立；判断13＞12成立，执行S=13﹣10=3，n=8+1=9，判断9＜9不成立，算法结束，输出S=3．故答案为：3．12．（5分）经过圆x2+2x+y2=0的圆心，且与直线x+y﹣2=0垂直的直线方程是x ﹣y+1=0．可得圆心坐标为（﹣1，0）．∵直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1，∴与直线x+y﹣2=0垂直的直线的斜率为1．则所求直线方程为y﹣0=1×（x+1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．13．（5分）已知数列{a n}的通项公式是a n=，其前n项和S n=，则项数n的值等于6．【解答】解：由数列{a n}的通项公式是a n==1﹣，前n项和S n=n﹣=n﹣1+，由S n=，则n﹣1+=，解得：n=6，∴项数n的值为6，故答案为：6．14．（5分）已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣log（﹣x），则方程f（x）﹣=0在（0，6）内的所有根之和为12．【解答】解：∵定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（﹣x），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∵当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣log（﹣x），∴f（x）在（0，6）内的图象如右图：由方程f（x）﹣=0得f（x）=，作出函数y=的图象如图：则在（0，6）内的零点之和为：x1+x2+x3+x4=2+10=12．故答案为：12三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若λsinA=sinB+sinC （λ∈R）．（Ⅰ）当λ=3，且b=c时，求cosA的值；（Ⅱ）当A=60°时，求λ的取值范围．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）当λ=3时，根据正弦定理，由3sinA=sinB+sinC，可得：3a=b+c，…2分根据余弦定理cosA==，…4分由b=c，可得cosA=．…6分（Ⅱ）当A=60°时，λ=sinB+sinC=sinB+sin（120°﹣B）=sinB+cosB+sinB=sin （B+30°），…9分∴λ=2sin（B+30°）…10分∵B∈（0°，120°），可得：B+30°∈（30°，150°），…11分∴sin（B+30°）∈（，1]，…12分∴λ∈（1，2]…13分16．（13分）某单位计划制作一批文件柜，需要大号铁皮40块，小号铁皮100块，已知市场出售A、B两种不同规格的铁皮，经过测算，A种规格的铁皮可同时裁得大号铁皮2块，小号铁皮6块，B块规格的铁皮可同时截得大号铁皮1块，小号铁皮2块，已知A种规格铁皮每张250元，B种规格铁皮每张90元．分别用x，y表示购买A、B两种不同规格的铁皮的张数．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）根据施工需求，A、B两种不同规格的铁皮各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数．【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y满足的数学关系式为，即则对应的平面区域如图：（Ⅱ）设花费资金为z元，则目标函数为z=250x+90y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象得当直线经过M时，截距最小，此时z最小，由，得，即M（10，20），此时最小值z=250×10+90×20=4300，答：购买两种铁片分别为10，20张时，花费资金最少，为4300元．17．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，在直角梯形ABEF中，BE=2，AF=3，BE∥AF，∠BAF=90°，平面ABCD⊥平面ABEF．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABEF；（Ⅱ）求证：CD∥平面AEF；（Ⅲ）求三棱锥D﹣AEF的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC==3，∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC，∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面ABEF．（Ⅱ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵CD⊄平面ABEF，AB⊂平面ABEF，∴CD∥平面AEF．解：（Ⅲ）连结CF，由（Ⅱ）知CD∥平面AEF，∴点D到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，由（Ⅰ）知AC=，∴三棱锥D﹣AEF的体积V=V三棱锥C﹣AEF==．三棱锥D﹣AEF18．（13分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a7=20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n及前n项和为S n；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：＜．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}满足a2=3，a4+a7=20，∴依题意，得：，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴=n+n（n﹣1）=n2．证明：（Ⅱ）∵，∴=．∵，∴，k∈N*，∴＜，∴=＜1+2（）+2（）+…+2（）=1+2（）=＜，∴＜．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右顶点A（3，0），直线l与x轴交于点A，与y轴交于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C的另一交点为D，P为弦AD的中点，是否存在着定点Q，使得OP⊥EQ恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若OM∥l，交椭圆C于点M，在（2）的条件下，求的最小值．【解答】解：（1）由椭圆右顶点A （3，0），a=3，椭圆的离心率e==，则c=，b 2=a 2﹣c 2=4， ∴椭圆的标准方程：；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程y=k （x ﹣3），，消去y ，整理得：（9k 2+4）x 2﹣54k 2x +81k 2﹣36=0，设D （x D ，y D ），则3x D =，则x D =，y D =k （x D ﹣3）=﹣，∴D （，﹣），由P 为弦AD 的中点，则P （，﹣），∴直线OP 的斜率k OP =﹣，对于直线l 的方程y=k （x ﹣3），令x=0，则E （0，﹣3k ）， 假设存在定点Q （m ，n ），m ≠0，满足OP ⊥EQ ， 直线EQ 的斜率k EQ =，∴k OP •k EQ =﹣•=﹣1，整理得4n +12k ﹣9km=0，由4n +（12﹣9m ）k=0恒成立，则，解得：，则定点Q 的坐标为（，0）；（3）由OM ∥l ，则直线OM 的方程y=kx ，设M （x M ，y M ）， 由，解的：x M =±，由===（）=（+）≥2=×2×2=2，当且仅当=，即k=±时，取等号，∴当k=±时，的最小值2．20．（14分）已知函数f（x）=﹣x2﹣ax+ln（ax+1）（a∈R）．（Ⅰ）若x=2为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）单调递增，求a的取值范围．（Ⅲ）当a=﹣1时，方程f（x）=+有实数根，求b的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣x2﹣ax+ln（ax+1），求导，f′（x）=x2﹣2x﹣a+，由x=2为f（x）的极值点，则f′（2）=0，即﹣a+=0，解得：a=0，当a=0，f′（x）=x2﹣2x=x（x﹣2），从而x=2为函数的极值点，成立，∴a的值为0；（Ⅱ）f（x）在[3，+∞）单调递增，则f′（x）=x2﹣2x﹣a+=，则f′（x）=≥0在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0，f′（x）=x（x﹣2），在区间[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在区间[3，+∞）上单调递增，故a=0符合题意；②当a≠0时，由f（x）的定义域可知：ax+1＞0，若a＜0，则不满足条件ax+1＞0对区间[3，+∞）上恒成立，则a＞0，则ax2+（1﹣2a）x﹣（a2+2）≥0，对区间[3，+∞）上恒成立，令g（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣（a2+2），其对称轴为x=1﹣，由a＞0，则1﹣＜1，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只需要g（3）≥0即可，由g（3）=﹣a2+3a+1≥0，解得：≤a≤，由a＞0，则0＜a≤，综上所述，a的取值范围[0，]；（Ⅲ）当a=﹣1时，方程f（x）=+，转化成﹣x2+x+ln（1﹣x）=，即b=﹣x2（1﹣x）+x（1﹣x）+（1﹣x）ln（1﹣x），令t=1﹣x，则b=t（lnt+t﹣t2）在（0，+∞）上有解，令h（t）=lnt+t﹣t2，（t＞0）求导h′（t）=+1﹣2t=，当0＜t＜1时，h′（t）＞0，故h（t）在（0，1）上单调递增；当t＞1时，h′（t）＜0，故h（t）在（1，+∞）单调递减；h（t）在（0，+∞）上的最大值为h（t）max=h（1）=0，此时x=1﹣t=0，b=t（lnt+t﹣t2）=0，当a=﹣1时，方程f（x）=+有实数根，求b的最大值0．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。