立体几何_异面直线成角求法&习题

构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得cos B 1GF＝2221112B G GF B F B G GF +-=•＝0，故∠B 1G F ＝评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．图1C图21A 1B 1C 1D BCD E FG解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠B E A ＝∠BA E＝，又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度． 故填． 三、平移(或构造)几何体 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan PDDBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -，从而将问题简化．异面直线练习一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离1D 1B 1C PDBCAPB CAA B C SE F A B C D D 1 C 1B 1 A 1M N NMFE D CB A J IHG F ED C B A B A C DA 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）548．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线；②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ） （A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿 DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ． 三、解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QRPR ＝3，求AC 与BD 所成的角．F E P CBA NMD CBA D CB A P QD 1C 1B 1A 116．已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为PA 和BC 的中点． （1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）EF 与PC 所成的角； （3）线段EF 的长．17．如图，AB 和CD 是两异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ，M 是BD 的中点，N 是AC 的中点．（1）求证：MN ⊥AC ； （2）当AB ＝CD ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c 时，求MN 的长．18．（如图）已知P 、Q 是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心． （1）求线段PQ 的长； （2）证明：PQ ∥AA 1B 1B ．§1 异面直线一、复习要点1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离． 2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性． 5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．M NC．M ND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF 和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE 间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN 与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD 和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a, b是异面直线是指①a∩b=∅, 且a与b不平行；②a⊂面α，b⊂面β，且平面α∩β=∅；③a⊂面α，b⊂面β，且a∩b=∅；④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立。