2020年潍坊高二期中考试 数学试卷
2020年山东省潍坊市高二(下)期中数学试卷解析版
经计算：
பைடு நூலகம்
．的相关系数；（
结果保留两位小数） 并预测生产 10 件产品所耗电的度数． （1）计算 （2）求 y 关于 x 的线性回归方程 （xi，yi）（i=1，2，3，4，5） （1）计算（xi，yi）（i=1，2，3，4，5）的相关系数；（结果保留两位小数）
（2）求 y 关于 x 的线性回归方程 =
21. 某市举办数学知识竞赛活动，共 5000 名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环 节共 3 道题，其中 2 道单选题，1 道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道 单选题得 2 分，答错得 O 分，答对多选题得 3 分，答错得 0 分，答完 3 道题后的 得分之和为参赛学生的复试成绩． （1）通过分析可以认为学生初试成绩 X 服从正态分布 N（μ，σ2），其中 μ=66， σ2=144，试估计初试成绩不低于 90 分的人数； （2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为 ，多选题的正答率为 ， 且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为 y，求 y 的分布列及数学期望． 附：p＜μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ ）=0.9974．
18. 已知函数．f（x）=9x-x2-lnx． （1）求曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）设 g（x）=f（x）+lnx，M（t，g（t））是曲线 g（x）上的任意一点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，当 x∈（0，9）时，求△OMN 面积的最大值．
19. 某厂生产 A 产品的产量 x（件）与相应的耗电量 y（度）的统计数据如下表所示： x23456 y23578
8. 袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次
山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） A ．11a b< B ．a b <C ．0ab <D ．2ab b >2．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=3．在等差数列{}n a 中，5799a a a ++=，212a a +=（ ） A ．3 B ．6 C ．9D ．94．“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知方程221612x y m m+=--表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．()6,9B ．()9,12C ．()6,12D ．()()6,99,126．网上购鞋常常看到下面的表格：脚长与鞋号对应表如果一个篮球运动员的脚长为290mm ，根据上表，他应该穿的鞋号为（ ） A ．46B ．47C ．48D ．497．“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()123,n n n a a n n a --++≥=∈N ，记其前n 项和为n S ，则6543S S S S +--=（ ）A ．8B ．13C ．21D ．348．若不等式20ax bx c -+>的解集是()2,3-，则不等式20bx ax c ++<的解集是（ ） A ．()3,2- B ．()2,3-C ．()(),23,-∞-+∞ D ．()(),32,-∞-+∞9．数列1，13+，2133++，，211333n -++++，的前n 项和n S =（ ）A ．312n -B ．3122n n --C ．1334n +-D ．13342n n +--10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B 1C ．12D 111．已知0,0a b >>，若不等式212na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．2012．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c .某同学根据所学知识，得到下列结论:①卫星向径的取值范围是[],a c a c -+②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 ③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 ④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③C ．②④D ．①③④二、填空题13．已知命题“x ∀∈R ，220x x a ++≥” 是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 14．在等比数列{}n a 中，22a =，3516a a ⋅=，则6a =__________．15．设1F ，2F 分别是椭圆2212516x y +=的左右焦点，P 为椭圆上任意-一点，点M 的坐标为()1 ,3-，则1PM PF 的最大值为__________．16．下列四个命题:①若0a b >>，0a m >>，则b m b b ma m a a m-+<<-+ ②函数4()1f x x x =++，的最小值是3 ③用长为2l 的铁丝围成--个平行四边形，则该平行四边形能够被直径为l 的圆形纸片完全覆盖④已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为3. 其中所有正确命题的序号是__________．三、解答题17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为35，点()5,0A -为椭圆的左顶点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点()()000,0P x y x >在椭圆C 上， 且12F PF ∆的面积为3，求点P 的坐标. 18．(1)求不等式2111x x -≥+的解集. (2)求关于x 的不等式2(1)0x a x a +--> (其中a ∈R )的解集.19．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和，525S = ，且2a ，5a ，14a 依次成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．如图，已知圆22:(1)16E x y ++=，点()1,0F 是圆E 内一个定点，P 是圆E 上任意-一点，线段PF 的垂直平分线l 和半径PE 相交于点Q ，连接QF ，记动点Q 的轨迹为曲线T .(1)求曲线T 的方程;(2)若A 、B 是曲线T 上关于原点对称的两个点，点D 是曲线T .上任意-一点(不同于点A 、B )，当直线DA 、DB 的斜率都存在时，记它们的斜率分别为1k 、2k ，求证:12k k ⋅的为定值.21．为了提高职工的工作积极性，在工资不变的情况下，某企业给职工两种追加奖励性绩效奖金的方案:第一种方案 是每年年末(12月底)追加绩效奖金一次，第一年末追加的绩效奖金为1万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多1万元;第二种方案是每半年(6月底和12月底)各追加绩效奖金一次，第一年的6月底追加的绩效奖金为0.3万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多0.3万元. 假设你准备在该企业工作()n n +∈N 年，根据上述方案，试问:(1)如果你在该公司只工作2年，你将选择哪一种追加绩效奖金的方案?请说明理由. (2)如果选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多，你至少在该企业工作几年?(3)如果把第二种方案中的每半年追加0.3万元改成每半年追加x 万元，那么x 在什么范围内取值时，选择第二种方案的绩效奖金总额总是比选择第一种方案多? 22．已知数列{}n a 的前n 项和()22n n S a n +=-∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n B ; (3)设11(1)n n c a n n =-+，n T 为数列{}n c 的前n 项和，是否存在正整数k ，使得对任意的()n n +∈N ，均有k n T T ≥若存在，求出k 值;若不存在，请说明理由.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案． 【详解】 解：0a b <<， 0ab ∴>，故C 错误；两边同除ab 得：11a b>，故A 错误； a b ∴>，故B 错误；两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确； 故选D ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档． 2．C 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 3．B 【分析】根据等差数列的下标和性质解答，即在等差数列中，若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 【详解】解：由等差数列下标和公式知，5799a a a ++=，5972a a a +=73a ∴=212726a a a ∴+==故选B本题考查等比数列的下标和性质，若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+，属于基础题． 4．A 【分析】利用等比中项公式及充分必要条件判断求解． 【详解】解：m 是两个正数2和8的等比中项，4m ∴==±．故4m =是4m =±的充分不必要条件，即“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的充分不必要条件， 故选A ． 【点睛】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个． 5．B 【分析】方程221x ym n +=表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是00m n m n>⎧⎪>⎨⎪>⎩，列出不等式组，解得.【详解】解：因为方程221612x y m m+=--表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，所以60120612m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得912m <<即()9,12m ∈故选B 【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质． 6．C 【分析】根据表中数据分析可知脚的长度与鞋号是一次函数的关系，求出函数解析式，解得．解：由表所给数据知脚的长度与鞋号是一次函数的关系，满足()220534y x -=-，即550y x =+当290y =时解得48x =故脚长为290mm ，他应该穿的鞋号为48， 故选C 【点睛】本题考查一次函数的应用问题，属于基础题． 7．C 【分析】由数列的递推式和斐波那契数列{}n a 的定义，计算可得所求值． 【详解】 解：11a =，21a =，()123,n n n a a n n a --++≥=∈N 3122a a a =+= 4233a a a =+=5345a a a =+= 6458a a a =+=6543S S S S ∴+-- 6453S S S S =-+- 5546a a a a =+++855321=+++=故选C ． 【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于基础题． 8．D根据不等式20ax bx c -+>的解集求出a 、b 和c 的关系， 代入不等式20bx ax c ++<中化简，即可求出该不等式的解集． 【详解】解：不等式20ax bx c -+>的解集是()2,3-， 所以方程20ax bx c -+=的解是-2和3，且0a <；即2323b a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得b a =，6c a =-；所以不等式20bx ax c ++<化为260ax ax a +-<， 即260x x +->， 解得3x <-或2x >，所以所求不等式的解集是()(),32,-∞-+∞．故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与对应一元二次方程的关系问题，是基础题． 9．D 【分析】首先求出数列的通项公式，再用分组求和法求解． 【详解】解：依题意设题中数列为{}n a ，11a = 当()*2n n N≥∈时，21133********nn n n a-+-===+-+-+令1n =，113112a -==成立，3122n n a =-所以12111111333222222n n S =⨯-+⨯-++⨯- 12111111333222222n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()131312132n n⨯-=-- 13342n n +-=-故选D 【点睛】本题考查等比数列求和及分组求和，属于基础题． 10．D 【分析】可解得点A 、B 坐标，由AFBF ⊥，得0AF BF =，把222b a c =-代入该式整理后两边同除以4a ，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围 【详解】解：由22221x y a b y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得x =y =，A ∴，(B ，，∴AF c =+，(BF c =-，AF BF ⊥∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++，2222243a b c a b∴=+，(*) 把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-，两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得24e =-1e ∴=，故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题． 11．A 【分析】因为0,0a b >>，所以利用不等式的性质，把不等式212na b a b+≥+中的变量n 分离出来，变为221())(n a a b b ++≥，利用基本不等式求出2)(21()a ba b ++的最小值，确定n 的取值范围，最后求出n 的最大值.【详解】 因为0,0a b >>，所以20a b +>，22121((2))a b n n a b a b a b+≥⇒++≥+，2212()552)(9b a b b a a a b +=++≥+=+（当且仅当a b =时，取等号），要想不等式212n a b a b+≥+恒成立，只需9n ≤，即n 的最大值为9，故本题选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式、不等式恒成立问题，把变量n 分离出来，利用基本不等式是解题的关键. 12．B 【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么； ②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论； ③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小． 【详解】 解：如图所示，对于①，卫星向径的最小值为11||A F a c =-，最大值为21||A F a c =+，∴①正确；对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为22111a c c a a c a c c-=-=-+++， a c 越小，21a e+就越大，211a c -+就越小，椭圆轨道越扁，∴②错误； 对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，∴③正确；对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，∴④错误； 综上，正确结论的序号是①③，共2个． 故选B ．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题． 13．[)1,+∞ 【分析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为x ∈R ，函数22y x x a =++的图象抛物线开口向上，所以只要判别式不大于0即可． 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，220x x a ++≥”是真命题， 所以不等式220x x a ++≥在x ∈R 上恒成立．由函数22y x x a =++的图象是一条开口向上的抛物线可知， 判别式0∆即2240a -解得1a ≥ 所以实数a 的取值范围是[)1,+∞．故答案为：[)1,+∞． 【点睛】本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用，解题要注意x 的范围，如果x R ∉，一定要注意数形结合；还应注意条件改为假命题，有时考虑它的否定是真命题，求出a 的范围．本题是一道基础题． 14．8 【分析】根据等比数列的下标和公式可得，即若数列{}n a 是等比数列，且m n p q +=+则m n p q a a a a =．【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列， 所以3526a a a a = 又22a =，3516a a ⋅= 所以68a = 故答案为：8 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题． 15．15 【分析】由椭圆的定义可得，122||||2||||2||PM PF a PM PF a MF +=+-+，由此可得结论． 【详解】解：由题意2(3,0)F ，2||5MF =，由椭圆的定义可得，1222||||2||||10||||10||15PM PF a PM PF PM PF MF +=+-=+-+=， 当且仅当P ，2F ，M 三点共线时取等号， 故答案为：15． 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 16．①③④ 【分析】①利用不等式的性质即可得出； ②取特殊值可排除②；③利用余弦定理及基本不等式判断； ④利用基本不等式可证． 【详解】解：对于①，0a b >>，0a m >>．0a b ∴->，0a m +>，0a m ->， ()0a b m ∴->，()()()0a b m a b m b a m ∴-=+-+>，()()()0a b m b a m a b m -=---> ()()a b m b a m ∴+>+同除()a a m +得()()b m ba m a+∴>+()()b a m a b m ∴->-同除()a a m -得()()b m b a a m -∴>-综上得b m b b m a m a a m-+<<-+，故①正确； 对于②，4()1f x x x =++则4(2)2621f -=-+=--+，故②错误； 对于③，设平行四边形的一组邻边分别为,x y 夹角为θ，0,0,x l y l x y l <<<<+=，()0,θπ∈=x y l +=≥24l xy ∴≤l <所以平行四边形的任何一边及对角线都小于l ，该平行四边形能够被直径为l 的圆形纸片完全覆盖，故③正确；对于④，正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则421xy x -=+，()0,2x ∈所以426621333111x x y x x x x x x -+=+=+-=++-≥=+++当且仅当611x x +=+即1x =取等号，故④正确； 故答案为:①③④ 【点睛】本题考查不等式的性质，及基本不等式的应用，属于中档题．17．（1）2212516x y +=；（2）,14⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由已知a 的值及离心率，可得c ，再由222b a c =-求出b 即可求得椭圆方程； （2）由1212012PF F S F F y ∆=⋅，可求得0y ，代入方程，即可求得P 坐标． 【详解】解:(1)由已知得，5a =， 又35c e a ==，3c ∴=， 则22216b a c =-=，所以椭圆标准方程为2212516x y +=. （2）)由(1)知，1226F F c ==12F PF ∆的面积为1212012PF F S F F y ∆=⋅01632y =⨯⨯=， 解得01y =±，代入椭圆的方程解得0x =所以点P 的坐标为,14⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查用待定系数法求曲线方程的能力，及三角形的面积计算，属于基础题． 18．（1）{2x x ≥或1}x <-；（2）分类讨论，详见解析. 【分析】（1）通分，将分式不等式转化为整式不等式，解整式不等式即可，需注意分母不能为零． （2）先利用十字相乘法因式分解，然后对a 分类讨论． 【详解】解:(1)原不等式化为21101x x --≥+，即201x x -≥+， 所以(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，解得2x ≥或1x <-，∴不等式解集为{}21x x x ≥<-或.(2)原不等式可化为()(1)0x a x +->， 当1a ->，即1a <-时，解得x a >-或1x < 当1a -=，即1a =-时，解得1x ≠， 当<1a -，即1a >-时，解得1x >或x a <-.综上所述，当1a <-时，不等式的解集为{}1x x a x >-<或； 当1a =-时，不等式的解集为{}1x x ≠;当1a >-时，不等式的解集为{}1x x x a ><-或 【点睛】本题考查分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，属于基础题． 19．（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）利用前n 项和公式及等比中项的性质构造关于1a 和d 的方程组，解得. （2）利用裂项相消法求和．【详解】解:(1)设数列{}n a 的首项为1a ，公差为()d d ≠0，由题意52521425S a a a =⎧⎨=⋅⎩，即()()()1211154525,2413,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩1125,2a d d a +=⎧∴⎨=⎩，解得112,a d =⎧⎨=⎩21n a n ∴=-，(2)由题意知，111(21)(21)n n n b a a n n +==-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭12n n T b b b ∴=+++111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，等差数列前n 项和公式的应用，以及裂项相消法求和，属于基础题．20．（1）22143x y +=；（2）详见解析. 【分析】（1）根据中垂线的性质可得QP QF =，可得4QE QF +=，由椭圆的定义知，Q 点的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出轨迹方程．（2）设D 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，则点B 的坐标为()00,x y --，表示出1k 、2k ，由D 、A 、B 在椭圆上，则满足椭圆方程，消去00,x y 即可得12k k ⋅为一个定值．【详解】(1)解:Q 在线段PF 的中垂线l 上，QP QF ∴=，4QE QF QE QP PE ∴+=+==，又24EF =<Q ∴点的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，24a ∴=，22c =，即2a =，1c =，23b ∴=，∴曲线T 的方程为22143x y +=.(2)设曲线T 上点D 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，则点B 的坐标为()00,x y --，故22143x y +=，2200143x y +=， 由斜率公式得010y y k x x -=-，020y y k x x +=+2212220y y k k x x -∴⋅=-又22334y x =-，2200334y x =-，22012220333344x x k k x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴⋅=-()2202203344x x x x -==-- 因此，斜率之积12k k ⋅为定值34-. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是设而不求的整体思想，属于中档题．21．（1）见解析；（2）至少在该公司工作3年；（3）13x >. 【分析】（1）将两种方案可得奖金分别计算出来，比较得出结论；（2）根据规则计算出第n 年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，解得；（3）根据规则计算出第n 年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，参变分离，求出x 的取值范围． 【详解】解:(1)第2年末，依第一方案得到的奖金总额为123+=（万元）.依第二方案得到的奖金总额为0.30.320.330.343+⨯+⨯+⨯=(万元).∴在该公司工作2年，选择第一方案和选择第二方案得到的绩效奖金一样多(2)第n 年末，依第一方案得到的奖金总额为:(1)1232n n n +++++=（万元） 依第二方案得到的奖金总额为:()()0.312320.321n n n ++++=+由题意得:(1)0.3(21)2n n n n ++>， 解得:2n >，因为n +∈N ，所以3n ≥，所以至少在该公司工作3年才能保证选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多.(3)第n 年末，依第一方案，得到的绩效奖金总额为(1)1232n n n +++++=（万元)， 依第二方案，得到的绩效奖金总额为(1232)(21)x n xn n ++++=+由题意(1)(21)2n n xn n ++>对所有正整数恒成立， 即142n x n +>+对所有正整数恒成立，因为1111114244(21)4123n n n +=+≤+=++所以当13x >万元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案的绩效奖金总额多. 【点睛】本题考查等差数列求和的应用，关键是理解题意，属于基础题．22．（1）2n n a =；（2）16(23)2n n B n +=+-⋅；（3）存在，4k =.【分析】（1）根据1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，用作差法求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n B ； （3）将11(1)n n c a n n =-+的通项求出，判断其增减性，即可得到k n T T ≥． 【详解】 解（1）由22n n S a =-得1122n n S a ++=- 1122n n n a a a ++∴=-， 12n n a a +∴=即12n na a +=， 又1122S a =-，得12a =，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，1222n n n a -∴=⋅=.(2)由(1)得(21)2nn b n =-，123n n B b b b b ∴=++++23123252(21)2n n =⋅+⋅+⋅++-，2321232n B =⋅+⋅+1(23)2(21)2n n n n ++-+-相减得23122222n B -=⋅+⋅+⋅122(21)2n n n +++⋅--⋅21228(21)2n n n ++=+--- 1(32)26n n +=--. 16(23)2n n B n +∴=+-⋅∴数列{}n b 的前n 项和为16(23)2n n ++-⋅.（3）由(1)得112(1)n n c n n =-+1(1)1(1)2n n n n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 计算得：1: 0c =，20c >，30c >，40c >，50c <， 当5n ≥时，1(1)(1)(2)22n n n n n n ++++-1(2)(1)02n n n +-+=>， 5n ∴≥时，(1)2nn n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列， 又5n =时，5(1)65122nn n +⨯=<， 5n ∴≥时，(1)12nn n +<， 5n ∴≥时，1(1)10(1)2n nn n c n n +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， 故123445,T T T T T T <<<>>∴当4k =时，使得对任意的n ，均有4n T T ≥.【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题．。
2019-2020学年山东省潍坊市五县市高二下学期期中考试数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】利用间接法可得答案.
【详解】
从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，
共有 种选法，
其中不含女生的有 种选法，
所以服务队中至少有1名女生的选法种数为 .
故选：B
【点睛】
本题考查了有限制条件的排列组合综合题，使用间接法是解题关键，属于基础题.
D选项，令 ，则 ，令 ，对其求导，判定其单调性，得到 ，令 ，根据题中条件，即可判定出D.
【详解】
A选项，因为 ，所以 ，
由 得， ；由 得， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增；故A正确；
B选项，令 ，则 显然恒成立；
所以函数 在 上单调递减；
又 ， ，
所以函数 有且仅有一个零点；故B正确；
10．已知函数 ，则（）
A．函数 一定存在最值
B． ，
C．若 是 的极值点，则
D．若 是 的极小值点，则 在区间 单调递增
【答案】BC
【解析】根据 时， ，当 时， ，可判断 不正确；再结合图象的连续性可判断 正确；根据可导函数在极值点处的导数值为零，可判断 正确；根据三次函数的单调性可知， 不正确.
3.841
5.024
6.635
7.879
10828
【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）分布列见解析，期望为 ．
【解析】（1）根据所给数据可得列联表，然后计算 可得；
（2）由分层抽样可知男生抽3人，女生抽5人， 的可能取值为0，1，2，3，并且 服从超几何分布，计算出概率得分布列，再由期望公式计算出期望．
山东省潍坊市2020版高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
山东省潍坊市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列推理是归纳推理的是（）A . A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B . 由a1=1，an=3n﹣1，求出S1 ， S2 ， S3 ，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C . 由圆x2+y2=r2的面积πr2 ，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD . 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2. （2分）已知复数，则的共轭复数等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二下·巨鹿期末) 如图所示,阴影部分的面积是（）A .B .C .D .4. （2分）一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A . 2B . 1C .D .5. （2分）(2018·全国Ⅲ卷理) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（）A . 0.7B . 0.6C . 0.4D . 0.36. （2分）(2017·黑龙江模拟) 复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A . 2﹣iB . 2+iC . 4﹣iD . 4+i7. （2分） (2019高三上·昌吉月考) 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·资阳模拟) 将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（）A . 40B . 60C . 80D . 1009. （2分）若二项式（x﹣）8的展开式中常数项为280，则实数a=（）A . 2B . ±2C . ±D .10. （2分）已知为的导数，且，则（）A . -B .C .D . -11. （2分）已知数列2，，，，4，…，则2 是该数列的（）A . 第7项B . 第8项C . 第9项D . 第10项12. （2分）下列关系正确的是（）A . 0∉NB . 0=0C . cos0.75°＞cos0.7D . lge＞（lge）2＞lg二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2015高二上·淄川期末) 已知x＞0，观察下列几个不等式：；；；；…；归纳猜想一般的不等式为________．14. （2分） (2016高二上·金华期中) 已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________；这个圆锥的体积为________．15. （1分）(2013·天津理) 已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=________．16. （1分）已知f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图，若f（x）＜1，则x的范围为________．x﹣204f（x）1﹣11三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2018高二下·龙岩期中)（1）已知复数（）在复平面内所对应的点在第二象限，求k的取值范围；（2）已知是纯虚数，且，求复数 .18. （10分）(2013·江苏理) 设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤ （k∈N*）时，．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．19. （5分）现将6张不同的明星签名送给甲、乙、丙三人，每人至少一张，共有多少种不同的分配方法？20. （5分）已知函数f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a为常数）（1）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，求a的取值范围．21. （5分） (2016高三上·德州期中) 某工艺品厂要设计一个如图Ⅰ所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图Ⅱ所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图Ⅰ的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为S2 ，折叠后重合部分△ACP的面积为S1 ．（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（Ⅱ）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？（Ⅲ）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？22. （10分）(2018·遵义模拟) 已知函数，其中常数 .（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，当时，试问是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。
山东省潍坊市2019-2020年度高二下学期数学期中考试试卷C卷
山东省潍坊市2019-2020年度高二下学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知， |Z-2|=1，则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是（）A . 和B . 3和1C . 和D . 和32. （2分）(2018·安徽模拟) 若双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·綦江期末) 命题“若，则”的逆否命题是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则4. （2分）曲线在(1,-1)处的切线方程为（）A . x-y-2=0B . x-y+2=0C . x+y-2=0D . x+y+2=05. （2分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（）A . 两段圆弧B . 两段椭圆弧C . 两段双曲线弧D . 两段抛物线弧6. （2分）设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·湖南期中) 已知角α的终边在函数y=x的图象上，则1﹣2sinαcosα﹣3cos2α的值为（）A . ±B . ±C .D . ﹣8. （2分）小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（）A . 18B . 27C . 37D . 2129. （2分）(2017·上饶模拟) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，点B∈C，若，则|FB|=（）A . 4B . 8C .D .10. （2分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A . 232B . 252C . 472D . 484二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2018·普陀模拟) 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为________（结果用数值表示）.12. （1分） (2019高二上·宾县月考) 双曲线的两条渐近线的方程为________.13. （1分） (2019高一上·杭州期中) 已知幂函数的图象过点，则的单调减区间为________．14. （1分） (2016高二上·衡水期中) 某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有________种．15. （1分） (2016高二上·福田期中) 已知P（4，﹣1），F为抛物线y2=8x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|+|MF|的值最小，则M点的坐标为________．16. （1分）(2019·湖州模拟) 我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为________尺．17. （1分） (2016高二上·宜春期中) 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，且，则cosB的值为________．三、解答题 (共5题；共35分)18. （5分）已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体①函数f（x）在其定义域上是单调函数．②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[ ]．（1）判断函数是否属于M，说明理由．（2）判断g（x）=﹣x3是否属于M，说明理由，若是，求出满足②的区间[a，b]．19. （10分）已知点P是圆C：（x+）2+y2=16上任意一点，A（， 0）是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．20. （10分） (2016高一上·南京期中) 已知函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为﹣1，设f（x）= ．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t•3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k• ﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．21. （5分）(2017高三上·山西月考) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是 ,且（1）求角A的大小;（2）求的取值范围.22. （5分） (2020高三上·贵阳期末) 已知函数 .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共35分) 18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
山东省潍坊市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷(模拟)
山东省潍坊市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数 f(x) 在 x=1 处的导数为1，则（）A . 3B .C .D .2. （2分） (2019高二上·宁波期中) 已知椭圆的焦点在轴上，若其离心率为，则的值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高三上·西安模拟) 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 24. （2分）已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）A .B .C . 或D .5. （2分） (2017高二上·清城期末) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 1+D . 1+6. （2分） (2015高二下·上饶期中) 设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2 ，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A . （﹣∞，﹣2012）B . （﹣2012，0）C . （﹣∞，﹣2016）D . （﹣2016，0）7. （2分）已知椭圆的两个焦点分别为、，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（）A .B .C .D .8. （2分）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A .B . （）C . （0，）D . （， 1）9. （2分） (2017高二下·宾阳开学考) 以双曲线 =1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A . y2=16xB . y2=﹣16xC . y2=8xD . y2=﹣8x10. （2分） (2017高二下·雅安开学考) 抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1 ， y1），B（x2 ，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（）A . 3B .C .D . 411. （2分） (2017高二下·中原期末) 若函数f（x）= x3﹣（1+ ）x2+2bx在区间[3，5]上不是单调函数，则函数f（x）在R上的极大值为（）A . b2﹣ b3B . b﹣C . 0D . 2b﹣12. （2分） (2019高二上·漠河月考) 已知椭圆的离心率为 .双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·全国Ⅲ卷文) 已知向量，，，若，则________。
山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a =，292S =，则公比q =（ ） A ．12B ．13C ．3D ．22．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.4P ξ<<=，则()0P ξ>=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.4D ．0.13．函数()f x 的图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，记()()43a f f =-，()3b f ='，()4c f ='，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）A ．15B ．25C ．110D ．3105．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()121nn a n =--，则101S =（ ） A ．301B ．101C ．101-D ．301-6．函数()()322,f x x ax bx a a b =+++∈R 在0x =处取得极大值9，则a b +=（ ）A ．3B ．3-C ．3-或3D ．07．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '为其导函数．当0x >时，()()0xf x f x '->，()10f =，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()()1,00,1-UD ．()()1,01,-⋃+∞8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为45，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为35，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．60B ．65C ．70D ．75二、多选题9．下列函数的导数运算正确的是（ ） A ．()e e e x x x x x '=+B ．'=C ．2sin 1cos cos x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()1lg 2ln10x x '=⎡⎤⎣⎦10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则（ ）A ．()34P B =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立11．黎曼函数（Riemann function ）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩N 为既约真分数和内的无理数，若数列2221n n n a R ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，*n ∈N ，则（ ）A ．121n n a =- B ．12n n a a ++>C ．()111112321nii i n i a a ++==--∑ D ．1211ni i a n =≤-+∑三、填空题12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是．13．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()15485k S a a a =++，则k =． 14．已知函数()ln x f x x=，设()()()2g x f x af x =-，若()g x 只有一个零点，则实数a 的取值范围是；若不等式()0g x >的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知函数()2ln f x x x x =+-．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．16．某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望． 17．已知数列{}n a 满足123111n n a a a a a n -⋅⋅⋅=+． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令21n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式2122n n n S n λ⋅-≥+对*n ∀∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．18．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：(1)已知y 与x 线性相关，求出y 关于x 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为()01p p <<．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i ）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为()f p ．求()f p 的最大值点0p ； （ii ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i ）中确定的0p 作为p 的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 19．已知函数()()220m f x mx m m x-=+->． (1)当1m =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：()()*11ln 122nk n n n kn =>++∈+∑N ．。
山东省潍坊市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案
1．若函数 f ( x) = x2 + sin x ，则 f (0) = （ ）
A． −1
B．0
C．1
D．3
2．正项等比数列an 中， a1 a3 = 4 ， a5 = 16 ，则公比为（ ）
A．1
B． −2
C．2
D．4
3．已知函数 f ( x) = x + 4 ，则 y = f ( x) 的极小值点是（ ）
lg 3 0.48）（第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）
在① bn
=
log2
1 an+1 log2
an+2
；② bn
=
log2
an
−3
；③ bn
=
n+
an ，这三个条件中任选一个，补充在下面问
ex
f(
e3
x)
2021的解集是______．
16．某公司为一个高科技项目投入启动资金 2000 万元，已知每年可获利 20%，但由于竞争激烈，每年年底需 从利润中取出 200 万元资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润的增长率，则第三年年初该项目的资金为
______万元，该公司经过______年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的 2 倍）的目标． （ lg 2 0.30 ，
2由题意知??11223ln3xxexx?所以????21ln312ln3xxxeex?因为213x?所以??12213ln30xxxxe??令????0xhxxex??????10xhxxe????所以??hx在??0??单调递增所以12ln3xx?1213xxe?????111111112121ln3lnlnxxxxexexxxxxxxe???令110xtxe??令??3lntgtt?????231lntgtt???所以当??0te???10g??当??te?????0gt??所以??gt在??0e单调递增在??e??单调递减所以????max3gtgee??所以1112lnxxxx?最大值为3e
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试卷类型：A
高二数学
2020.11
本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.
1.若向量a =（-4,2,1）与向量b =（2，x,y ）共线，则x-y =
A. 32-
B. 12-
C. 12
D. 1 2.已知过点A （a ，2），B （-1,4）的直线的斜率为-1，则a =
A.-2
B.-1
C.1
D.2
3.圆x 2+y 2=9和圆x 2+y 2-8x +6y +9=0的位置关系是
A.外离
B.相交
C.内切
D.外切
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有
粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它
的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周
率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方
丈=106立方寸），一斛粟米卖324钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子
A.200两
B.400两
C.432两
D.480两
5.已知直线a （a -1）x +y -1=0与直线3x +ay +1=0垂直，则实数a =
A. 12
B. 0或12
C. 0或23
D. 23
6.过点A （0,0），B （2,2）且圆心在直线y =2x -4上的圆的标准方程为 A. 22(2)4x y -+= B. 22(2)4x y ++=
C. 22(4)(4)8x y -+-=
D. 22
(4)(4)8x y ++-=
7.已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别为A 1D 1，D 1D 的中点，则异面直线EF 与BD 所成的角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
8.如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠DAB =60°，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折至△A 1DE 的位置，使得面A 1ED ⊥面BCDE ，则点A 1到直线DB 的距离为
A. 7
B.
7
C.
3
2
D. 3
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.
9.若m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面，则下列命题正确的是
A.若m⊥α,n∥α，则m⊥n
B.若n⊥α,n∥m，则m⊥α
C.若m⊥α,m∥β，则α⊥β
D.若α⊥β,m∥α，则m⊥β
10.在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a的图象可能正确的是
11.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为23，AD1=42，AD1⊥D1C，则下述正确的是
A. AB=42
B.∠B1CA=45°
C.三棱锥B1-CAD1外接球的半径为23
D.点D到面AB1C的距离为23
12.已知圆C:x2+y2=4，直线l:x+y+m=0，则下列结论正确的是
A.当m=2时，直线l与圆C相交
B.P（x1，y1）为圆C上的点，则（x1-1）2+（y1-22）2的最大值为9
C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1，则m的取值范围是2<m<32
D.若直线l上存在一点P，圆C上存在两点A、B，使∠APB=90°，则m的取值范围是[-4,4]
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13点（1,1）到直线x+y+1=0的距离为.
14.一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分
的高都为1
2
米，公共的底面是边长为1米的正方形，那么这个漏斗的容
积为米3.
15.一条光线从点（2,3）射出，经y轴反射后与圆（x-3）2+（y+2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为.
16.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 为棱A 1C 1上的点。
且BC 1
∥平面AB 1D ，则11
A D DC = .已知A
B =B
C =AA 1=1，AC =2,以
D 为球心，以
5为半径的球面与侧面AA 1B 1B 的交线长度为 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中
点，设OA =a , OB =b , OC =c .
（1）试用向量a ,b ,c 表示向量OE ；
（2）若OA =OC =3，OB =2，∠AOC =∠BOC =∠AOB =60°，求
OE ·AC 的值.
18.（本小题满分12分）
已知圆C :x 2+y 2+ax =0过点326,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭. （1）求圆C 的标准方程及其圆心、半径；
（2）若直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，求△MNP 面积的取值范围.
19.（本小题满分12分）
从①2BG GC =，②G 是PB 的中点，③G 是△PBC 的内心三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.
在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥底面ABCD ，且
PD =1，AB =3，AD =2，E,F 分别为PC,BD 的中点.
（1）判断EF 与平面P AD 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若G 是侧面PBC 上的一点，且 ，求三棱锥G-DCE
的体积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
20.（本小题满分12分）
某工厂M（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）OA与OB之间已知M到高速公路OA的距离是9千米，到高速公路OB的距离是18千米，∠
AOB=60°.以O为坐标原点，以OA为x轴建立如图所示的平面
直角坐标系.
（1）求直线OB的方程；
（2）现紧贴工厂M修建一直线公路连接高速公路OA和OB，
与OA的连接点为C, OB的连接点为D，且M恰为该路段CD的
中点，求CD的长度.
21.（本小题满分12分）
如图，几何体为圆柱Ω的一半，四边形ABCD为圆柱Ω的轴截面，点E为圆弧AB上异于A,B的点，点F为线段ED上的动点.
（1）求证：BE⊥AF；
（2）若AB=2，AD=1，∠ABE=30°，且直线CA与平面ABF所成
角的正弦值为
15
10
,求平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦
值.
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l:y=7x+4上，B（7,3），以线段AB为直径的圆C（C 为圆心）与直线l相交于另一个点D,AB⊥CD.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点A不在第一象限内，圆C与x轴的正半轴的交点为P，过点P作两条直线分别交圆于M,N两点，且两直线的斜率之积为-5，试判断直线MN是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.。